Unidade III - Aula 1

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Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 3o Estágio
Cálculo Numérico
Método de Runge-Kutta
Aula 8
1 Método de Runge-Kutta
1.1 Introdução
Os métodos de Runge-Kutta são os mais usados para P.V.I., pois são simples e tem alta pre-
cisão. A ideia básica destes métodos é aproveitar o que tem de bom na proposta de Taylor para
o desenvolvimento de f (x) em termos de monomios, mas eliminar o cálculo das derivadas de
f (x, y) o que computacionalmente inaceitável devido a sua lentidão. Vamos aos Métodos.
2 Método de Runge-Kutta de 2a. Ordem
Considere o PVI: 
dy
dx
= f (x, y)
y(x0) = y0
Queremos determinar uma solução para o PVI em (a,b) contendo x0. Para isto, discretiza-
mos o intervalo [a,b] em n partes iguais e calculamos y(xn), onde x0,x1, · · · ,xn são os pontos
em [a,b] A˙ partir dai podemos ajustar uma função a este conjunto de pontos(veremos como fazer
no próximo assunto).
O Método de Runge-Kutta de segunda ordem consiste no processo iterativo:
yn+1 = yn + h
2
(
k1+k2
)
onde: k1 = f (xn , yn) e k2 = f (xn +h, yn +h ∗k1) para i = 0,1,2,3, · · · e h o tamanho dos
intervalos após discretização, isto é, h = x f −x0
n
.
Exemplo 2.1 Determine uma solução aproximada de PVI, para
d y
dx
=−xy ; y(0)= 1, no inter-
valo [0,1] utilizando Runge-Kutta de segunda ordem com h = 0,1
Para o caso , k1 =−xn yn , k2 =−(xn +0,1)(yn +0,1∗k1) e yn+1 = yn + 0,1
2
(
k1+k2
)
temos :
Tabela a seguir, foi gerada através do Excel, usando o código VBA(ver código logo abaixo da tabela)
Curso de Engenharia
©2014
1 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
Centro Universitário de João Pessoa
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Cálculo Numérico
Método de Runge-Kutta
i x yn k1 k2 yn+1
0 0 1 0 -0,1 1
1 0,1 0,995012 -0,0995 -0,19701 0,995
2 0,2 0,980199 -0,1960349 -0,28817 0,980175
3 0,3 0,955997 -0,28678926 -0,37091 0,955964
4 0,4 0,923116 -0,36923161 -0,44308 0,923079
5 0,5 0,882497 -0,44123177 -0,503 0,882464
6 0,6 0,83527 -0,50115105 -0,5496 0,835252
7 0,7 0,782705 -0,54790009 -0,58234 0,782714
8 0,8 0,726149 -0,58096194 -0,6013 0,726202
9 0,9 0,666977 -0,6003806 -0,60705 0,66709
10 1 0,606531 0,606718
Tabela 1: Exemplo extraído do livro Fundamentos de Cálculo Numérico para Engenheiros - Qua-
dros e Bertoli
’Programa construida pelo Prof. Roberto Capistrano/Prof. José Vicente
’Utlizada nas aulas de Cálculo Numérico do UNIPE
Sub Runge_Kutta()
Range("A10:I200").Clear
x = Cells(1, 2).Value
y = Cells(2, 2).Value
h = Cells(3, 2).Value
imax = Cells(4, 2).Value
Cells(10, 1).Value = 0
Cells(10, 2).Value = x ’=t nas aplicações
Cells(10, 3).Value = FO(x) ’analítica
Cells(10, 6).Value = y
For i = 1 To imax Step 1
k1 = F(x, y)
k2 = F(x + h, y + h * k1)
y = y + (h / 2) * (k1 + k2)
x = x + h
Cells(10 + i, 1).Value = i
Cells(10 + i, 2).Value = x
Cells(10 + i, 3).Value = FO(x) ’analítica
Cells(10 + (i - 1), 4).Value = k1
Cells(10 + (i - 1), 5).Value = k2
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Cálculo Numérico
Método de Runge-Kutta
Cells(10 + i, 6).Value = y ’aproximações
Next i
End Sub
Function F(x, y)
F = -x * y ’equação em estudo
End Function
Function FO(x) ’ equação analítica
FO = Exp(-x 2/2)
End Function
3 Método de Runge-Kutta de 4a. Ordem
O método de Runge-Kutta que é mais usado na engenharia(tecnologias de forma geral), é o
de quarta ordem, por combinar, simplicidade, e alta precisão, além de não precisar calcular deri-
vadas de ordem superior(torna lento o processo) e, é fácil de trocar o tamanho do intervalo(passo).
Este método é descrito pelo processo iterativo:
yn+1 = yn + h
6
(
k1+2k2+2k3+k4
)
,
onde k1 = f (xn , yn); k2 = f
(
xn+h
2
, yn+h
2
k1
)
; k3 = f
(
xn+h
2
, yn+h
2
k2
)
; k4 = f (xn+h, yn+hk3).
Exemplo 3.1 Determine uma solução aproximada de PVI, para
d y
dx
=−xy ; y(0)= 1, no inter-
valo [0,1] utilizando Runge-Kutta de quarta ordem com h = 0,1
Para o caso, o processo escreve-se :
yn+1 = yn + 0,1
6
(
k1+2k2+2k3+k4
)
, com :
k1 =−(xn yn); k2 =−(xn +0,05)(yn +0,05∗k1);
k3 =−(xn +0,05)(yn +0,05∗k2) e k4 =−(xn +0,01)(yn +0,01∗k3);
Iniciando as iterações com x0 = 0 e y0 = 1, obtemos os resultados :
Tabela gerada através do Excel, usando o código VBA - Runge-Kutta de 4a. ordem(ver código logo
abaixo da tabela)
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Cálculo Numérico
Método de Runge-Kutta
i x yn k1 k2 k3 k4 yn+1
0 0 1 0 -0,05 -0,049875 -0,0995013 1
1 0,1 0,995012 -0,09950125 -0,148506 -0,14813808 -0,1960397 0,995012
2 0,2 0,980199 -0,19603973 -0,242599 -0,242017179 -0,2867991 0,980199
3 0,3 0,955997 -0,28679924 -0,32958 -0,328831466 -0,3692457 0,955997
4 0,4 0,923116 -0,36924654 -0,407094 -0,406242733 -0,441246 0,923116
5 0,5 0,882497 -0,44124845 -0,473239 -0,472359224 -0,5011566 0,882497
6 0,6 0,83527 -0,50116213 -0,526638 -0,525809906 -0,5478825 0,83527
7 0,7 0,782705 -0,54789318 -0,566482 -0,565785316 -0,5809008 0,782705
8 0,8 0,726149 -0,58091924 -0,592538 -0,592043844 -0,6002502 0,726149
9 0,9 0,666977 -0,60027916 -0,605115 -0,604885052 -0,6064883 0,666977
10 1 0,606531 0,606531
Tabela 2: Exemplo extraído do livro Fundamentos de Cálculo Numérico para Engenheiros - Qua-
dros e Bertoli
Comentário: O método de Euler não é usado em razão de precisarmos usar intervalos pequenos
para obter uma boa aproximação. Os métodos de passo mmúltiplo como de ADAMS e o de predição
correção são pouco utilizados na engenharia, pois a ordemde aproximação é amesma da de Runge-
Kutta de quarta-ordem
’Programa construido pelo Prof. Roberto Capistrano/Prof. José Vicente
’Utilizado nas aulas de Cálculo Numérico do UNIPE
Sub Euler_Sis()
Range("A10:I200").Clear
x = Cells(1, 2).Value
y = Cells(2, 2).Value
h = Cells(3, 2).Value
imax = Cells(4, 2).Value
Cells(10, 1).Value = 0
Cells(10, 2).Value = x ’=t nas aplicações
Cells(10, 3).Value = y
Cells(10, 8).Value = FO(x) ’analtico
For i = 1 To imax Step 1
k1 = F(x, y)
k2 = F(x + h / 2, y + k1 * h / 2)
k3 = F(x + h / 2, y + k2 * h / 2)
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Método de Runge-Kutta
k4 = F(x + h, y + k3 * h)
y = y + h * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
x = x + h
Cells(10 + i, 1).Value = i
Cells(10 + i, 2).Value = x
Cells(10 + i, 3).Value = y ’função em estudo
Cells(10 + i, 4).Value = k1
Cells(10 + i, 5).Value = k2
Cells(10 + i, 6).Value = k3
Cells(10 + i, 7).Value = k4
Cells(10 + i, 8).Value = FO(x) ’função análitica
Next i
End Sub
Function F(x, y)
F = (-x) * y ’ inserir a equação
End Function
Function FO(x) ’ analítica
FO= Exp(−x2/2) ’ inserir a equação exata
End Function
4 Exercícios Propostos
(EP1) Para o PVI 5xy ′ = y2− 2 = 0; y(4) = 1 encontre uma solução aproximada para y(x) em
[4.0,4.5] usando Runge-Kutta de 2a. ordem e de quarta ordem com h = 0.1 .
(EP2) Considere o PVI: y ′ = 1− y
x
y(2) = 2. Encontre y(2.1) pelo método de Euler e por Runge-
Kutta, analisando os resultados, com h = 0.1 e h = 0.05.
(EP3) Dado P.V.I. y ′ = 0,04y y(0)= 100. Encontre y(1) usando o método de Euler e Runge-
Kutta de segunda e quarta ordem, com h = 0,25.
(EP4) Considere o P.V.I. y ′ = cos(x)+1 y(0)=−1. Calcule y(2) aproximadamente através do
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Método de Runge-Kutta
método de Euler e Runge-Kuta de segunda e quarta ordem para h = 0,5e h = 0,25.
(EP5) Encontre um valor aproximado para y(0,1) com quatro dígitos, onde y ′ = xy + 1, e
y(0)= 1.
(EP6) Resolva a E.D.O. x ′′+20x ′+125x = 9t ; x(0)= 1 e x ′(0)= 0, usando Euler com h = 0,2 e
h = 0,1.
(EP7) Determinar uma solução aproximada em [4 ; 5] para x ′′+ 5t x ′+ x2 = 1 e x(4) = 1 e
x ′(4)= 1, usando Euler com h = 0,25 e h = 0,2.
(EP8) Encontre uma solução aproximada no intervalo [0 ; 2] para o sistema

x ′ = t x−4y
onde x(0)= 4 e y(0)= 1
y ′ = −9x+7y
use Euler com h = 0,5 e h = 0,2
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