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Centro Universitário de João Pessoa UNIPÊ Aula - 3o Estágio Cálculo Numérico - Soluções Numéricas Sistemas de EDO Aula 9 1 Sistema de E.D.O 1.1 Introdução O Sistema que vamos discutir são os da forma : dx dt = f (t ,x, y) onde x = x(t ) e y = y(t ) dy dt = g (t ,x, y) um par de funções que são soluções em (a,b) para as equações. Este sistema aparece coom frequência em problemas de engenharia. Se procurarmos soluções de dx dt = f (t ,x, y) onde x = x(t ) e y = y(t ) dy dt = g (t ,x, y) tal que x(t0) = x0 e y(t0) = y0. Temos um Problema de Valor Inicial para o sistema, que são mais comum em problemas de tecnologia. Note que os P.V.I’s para sistema consiste de dois P.V.I. para E.D.O. de primeira ordem com variável independente t e funções x(t ) e y(t ). Assim, podemos aplicar os métodos numéricos em cada equação do sistema para encontrar soluções aproximadas do P.V.I. dx dt = f (t ,x, y), dy dt = g (t ,x, y); t ∈ [a,b] Com x(t0) = x0 e y(t0) = y0. são valores conhecidos. Para o caso, vamos exibir dois métodos, o de Euler( pouca precisão na aproximação) mas rápido em sua execução e o de Runge- Kutta de quarta ordem que alia rapidez com precisão. Iniciamos dividindo o intervalo [a,b em n subintervalos iguais de tamanho b−a n . Te- mos então : a = t0, t1, t2,· · · , tn−1, tn = b e ti+1 = ti +h, para n = 0,1,2, · · · ,n−1. Curso de Engenharia ©2014 1 Prof. Roberto Capistrano Prof José Vicente Centro Universitário de João Pessoa UNIPÊ Aula - 3o Estágio Cálculo Numérico - Soluções Numéricas Sistemas de EDO 2 Método Euler Fórmulas recursivas : xi+1 = xi +h · f (ti , xi yi ) yi+1 = yi +h · g (ti , xi yi ) para i = 0, 1, 2, · · · , n−1 3 Método de Runge-Kutta de 4a. Ordem Fórmulas recursivas xi+1 = xi + h 6 · (k1+2k2+k3+k4) yi+1 = yi + h 6 · (l1+2l2+ l3+ l4) onde : K1 = f (ti ,xi , yi ) l1 = g (ti ,xi , yi ) K2 = f (ti + h 2 ,xi + h 2 k1, yi + h 2 l1) l2 = g (ti + h 2 ,xi + h 2 k1, yi + h 2 l1) K3 = f (ti + h 2 ,xi + h 2 k2, yi + h 2 l2) l3 = g (ti + h 2 ,xi + h 2 k2, yi + h 2 l2) K4 = f (ti +h,xi +h ·k3, yi +h · l3) l4 = g (ti +h,xi +h ·k3, yi +h · l3) para i = 0, 1, 2, · · · , n−1 Curso de Engenharia ©2014 2 Prof. Roberto Capistrano Prof José Vicente Centro Universitário de João Pessoa UNIPÊ Aula - 3o Estágio Cálculo Numérico - Soluções Numéricas Sistemas de EDO 4 Exemplos Resolvidos ER 1 Vamos encontrar uma solução aproximada em [0,1] para o sistema : dx dt = t +x2+ y ; x(0)= 1 dy dt = t · y2+x ; y(0)= 2 usando os métodos de Euler e Runge-Kutta de quarta ordem, para h = 0,25 e h = 0,1 1 Metodo Euler : h = 0,25 . Como h = b−a n e h = 0,25; a = 0 e b = 1, então n = 4. Fórmulas Recursivas para o caso xn+1 = xn +0,25 · (tn +x2n + yn) yn+1 = yn +0,25 · (tn ∗ y2n +xn) para n = 0, 1, 2 e x0 = 1 y0 = 2. Tabela a seguir, foi gerada através do Excel, usando o código VBA(ver código logo abaixo da tabela) i tn xn yn 0 0 1 2 1 0,25 1,75 2,25 2 0,5 3,140625 3,00390625 3 0,75 6,482483 4,916994095 4 1 18,40488 11,07077062 A solução do sistema via o método é caracterizada pelos tabelas : t 0 0,25 0,50 0,75 1 x(t) 1 0,75 3,14 6,48 18,40 t 0 0,25 0,50 0,75 1 y(t) 2 2,25 3,004 4,917 11,07 Curso de Engenharia ©2014 3 Prof. Roberto Capistrano Prof José Vicente Centro Universitário de João Pessoa UNIPÊ Aula - 3o Estágio Cálculo Numérico - Soluções Numéricas Sistemas de EDO Macro construida pelo Prof. Roberto Capistrano/Prof. José Vicente Utilizado nas aulas de Cálculo Numérico do UNIPE Sub Runge_Kutta() Range("A10:D200").Clear t = Cells(1, 2).Value x = Cells(2, 2).Value y = Cells(3, 2).Value h = Cells(4, 2).Value imax = Cells(5, 2).Value Cells(10, 1).Value = 0 Cells(10, 2).Value = t Cells(10, 3).Value = x Cells(10, 4).Value = y For n = 1 To imax Step 1 F1 = F(t, x, y) G1 = G(t, x, y) x = x + h * F1 ’(t, x, y) y = y + h * G1 ’(t, x, y) t = t + h Cells(10 + n, 1).Value = n Cells(10 + n, 2).Value = t Cells(10 + n, 3).Value = x Cells(10 + n, 4).Value = y ’ função em estudo Next n End Sub Function F(t, x, y) ’ primeira função F= t +x2+ y ’ inserir a equação End Function Function G(t, x, y) ’segunda função G= t ∗ (y2)+x ’ inserir a equação exata End Function Curso de Engenharia ©2014 4 Prof. Roberto Capistrano Prof José Vicente
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