Unidade I - Resumo 6

Prévia do material em texto

Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 1o Estágio
Cálculo Numérico
Integração Numérica
Aula 6
1 Integração Numérica
1.1 Introdução
Nesta etapa, vamos discutir procedimentos numéricos para o cálculo aproximado da inte-
gral
∫ b
a
f (x)d x onde conhecemos os extremos de integração a e b e a função f (x).
O intervalo de integração pode ser limitado ou não e f (x) pode ser dado por uma expressão
analítica onde a primitiva pode não existir(no caso f (x) = e−x2 ) ou representada através de uma
tabela da forma (xi , f (xi )), para i = 0,1,2, . . . ,n.
A ideia básica da integração numérica está em aproximar f (x) por um polinômio.
Vamos ao método :
1.2 Fórmula dos trapézios
A integral de uma função positiva em [a,b] pode ser aproximada pela área do trapézio
como indica a figura:
Assim, pomos : ∫ b
a
f (x)d x ∼= ( f (a)+ f (b)) (b−a)
2
e este valor é conhecido como “aproximação de primeira ordem” para
∫ b
a
f (x)d x. Neste caso o
Curso de Engenharia
©2014
1 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 1o Estágio
Cálculo Numérico
Integração Numérica
erro é cometido por :
E=
∫ b
a
f (x)d x− ( f (a)+ f (b))(b−a)
2
.
Podemos melhorar esta aproximação, isto é reduzindo o erro com a soma de vários trapézios.
Seja f (x) com derivada continua até a ordem 3 em (a,b) e n um inteiro positivo. Subdividi-
mos [a,b] em n intervalos de comprimennto h = b−a
n
,colocando x0 = a, xn = b e os outros
pontos dados por :
xi+1 = xi +h, i = 1,2,3, . . . ,n−1,
obtendo os intervalos [xi−1, xi ] de tamanho h. Logo,
∫ xi
xi−1
f (x)d x ∼= h
2
( f (xi−1+ f (xi )).
Somando estas integrais obtemos :
∫ b
a
f (x)d x ∼= h
2
[
f (x0)+2( f (x1)+ f (x2)+ . . .+ f (xn−1))+ f (xn)
]
.
onde o erro é estimado por :
E≤ h
2
12
(b−a) máx
x ∈ [a,b] | f
′′(x)|.
Exemplo 1.1 Um móvel tem sua velocidade em função do tempo(Km/h) dado através da tabela
Determine a distancia percorrida após 24 minutos.
t(h) 0 0,1 0,2 0,3 0,4
v(km) 4,2 7,5 9 10,5 7
Solução :
Note que 24 minutos corresponde a 0,4 horas. De acordo com a fisica
d =
∫ 0,4
0
v(t )d t
vamos usar a regra do trapézio com n = 4 e h = 0,1. Assim, obtemos :
∫ 0,4
0
v(t )d t ∼= 0,1
2
[4,2+2(7,5+9+10,5)+7]= 3,26km
Curso de Engenharia
©2014
2 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 1o Estágio
Cálculo Numérico
Integração Numérica
1.3 Fórmula de Simpson
Pré-requisitos :
1 A transformação de y = 2
b−a x−
2a
b−a leva o intervalo [a,b] em [0,2].
2 Fórmula de Lagrange para aproximar uma função f (x) por um polinômio de grau 2, onde
h = b−a
2
, isto é, x0 = a, x1 = x0+h e x2 = x0+2h
f (x)= f (a)+ (x−a)∆ f (a)
h
+ (x−a)(x−m)∆
2 f (a)
2h2
onde m = a+b
2
( ponto médio do intervalo [a,b]). Este resultado será discutido com mais detalhes
no tópico 7.
Assim,
∫ b
a
f (x)d x ∼=
∫ b
a
[
f (a)+ (x−a)∆ f (a)
h
+ (x−a)(x−m)∆
2 f (a)
2h2
]
d x
usando ∆ f (a)= f (a+h)− f (a) e ∆2 f (a)= f (b)−2 f (a+h)+ f (a) e o resultado 1 para mudar
a variável de integração, obtemos
∫ b
a
f (x)d x ∼= h
3
[
f (a)+4 f (m)+ f (b)]
o qual é conhecida como fórmula de Simpson de ordem 2. Este método de integração numérica
pode ser melhorado, fazendo :
Considere f (x) com derivadas até ordem 4 e continuas em [a,b].Subdividindo o intervalo
[a,b] em 2n subintervalos de tamanho
h = b−a
2n
e colocamos
a = x0 < x1 = a+h < x2 = a+2h < ·· · < x2n = b.
Se para aplicarmos o método anterior, e somarmos os resultados obteremos
∫ b
a
f (x)d x ∼= h
3
{
f (a)+4[ f (x1)++ f (x3)+·· ·+ f (x2n−1)]+2[ f (x2)+ f (x4)+·· ·+ f (x2n−2)]+ f (b)}
Curso de Engenharia
©2014
3 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 1o Estágio
Cálculo Numérico
Integração Numérica
onde o erro cometido é estimado com
E≤ h
4
180
(
b−a) máx
x ∈ [a,b]
∣∣ f (4)(x)∣∣.
Atenção
Note que para usar o método o intervalo [a,b] deve ser dividido e um número par de subinter-
valos.
Exemplo 1.2 Calcule aproximadamente
∫ 4
0
f (x)d x, onde, f (x) tem derivada até 4 ordem e conti-
nua em (0,4) e vale a tabela
x 0 1 2 3 4
f(x) 0,7 2,6 3,9 2,1 0,2
use o método de Simpson com n =3( quatro subintervalos) e h =1 .
Solução A fórmula de Simpson para n = 3 é
∫ b
a
f (x)d x ∼= h
3
{
f (a)+4[ f (x1)+ f (x3)]+2[ f (x2)]+ f (b)
}
Para o caso, h = 1; a = 0; x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; b = 4; f (0)= 0,7; f (1)= 2,6; f (2)= 3,9; f (3)= 2,1 e
f (4)= 0,2 e ∫ 4
0
f (x)d x ∼= 1
3
{
f (0)+4[ f (1)+ f (3)]+2[ f (2)]+ f (4)
}
∴
∴
∫ 4
0
f (x)d x ∼= 1
3
{
0,7+4[2,6+2,1]+2[3,9]+0,2
}∼= 27,5
2 Exercícios Propostos
EP1.) Calcule a integral de f (x)=p2x+3 no intervalo [1,5] usando a fórmula dos trapézios com
h = 1.Faça o mesmo com h = 0,1. Compare os resultados.
EP2.) Determine h para que a integral de f (x)= e−x em [0,1], calculada via método de Simpson
tenha erro menor do que 10−4.
EP3.) Calcule
∫ 3
−2
(x5−e−x)d x pelos métodos apresentados.
Curso de Engenharia
©2014
4 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente