Aula 18

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Centroide
MECÂNICA DOS SÓLIDOS I
PROF. MURILO BARBOSA DE CARVALHO
UNIDADE VI – PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS
Abordagem
 Apresentar o conceito de centro de gravidade e centroide;
 Determinar a localização do centro geométrico de uma superfície plana;
 Utilizar teoremas de Pappus e Guldinus para encontrar a área de uma
superfície de revolução;
 Encontrar a força resultante de um carregamento distribuído geral
Introdução
 Formas de interação entre os corpos
Contato direto Gravitacional, eletromagnética, 
centrífuga.
Introdução
 Força de gravidade: Terra exerce uma força sobre cada uma das partículas 
de um corpo
 Peso de todas as partículas Peso equivalente
 Centro de gravidade: Ponto onde se localiza o peso resultante de um sistema 
de pontos materiais.
Definição
Centro de gravidade (G):
ponto no qual se localiza
o peso resultante de um
conjunto de pontos
materiais.
• Os pesos dos pontos
materiais são
representado por forçar
paralelas, que podem
ser substituídas por
uma única força
equivalente no ponto G.
Definição
• A soma dos momentos de todos pesos dos pontos materiais é igual ao
momento do peso resultante em relação aos eixos coordenados;
• É possível determinar o centro de gravidade fazendo:
 𝑥𝑊𝑅 = 𝑥1𝑊1 + 𝑥2𝑊2 +⋯+ 𝑥𝑛𝑊𝑛
 𝑦𝑊𝑅 = 𝑦1𝑊1 + 𝑦2𝑊2 +⋯+ 𝑦𝑛𝑊𝑛
 𝑥 =
 𝑥𝑊
 𝑊
 𝑦 =
 𝑦𝑊
 𝑊
 𝑧 =
 𝑧𝑊
 𝑊
Definição
 Para um corpo rígido composto por uma quantidade infinita de partículas,
aplica-se a integração
 𝑥 =
 𝑥 𝑑𝑊
 𝑑𝑊
 𝑦 =
 𝑦 𝑑𝑊
 𝑑𝑊
 𝑧 =
 𝑧 𝑑𝑊
 𝑑𝑊
Definição
 Centroide (C): ponto que define o centro geométrico de um elemento.
Dependente apenas da geometria, assim, não depende do peso do objeto.
Pode estar associado a volume, área ou comprimento.
• Para elementos homogêneos o centro de gravidade e o centroide
coincidem.
• Para elementos não homogêneos as equações de centroide não podem
determinar o centro de gravidade, porém ainda determinam o centroide.
Definição
 O peso infinitesimal dW pode ser expresso em termos de volume infinitesimal
dV:
Assim,
 𝑥 =
 𝑥 𝛾 𝑑𝑉
 𝛾 𝑑𝑉
 𝑦 =
 𝑦 𝛾 𝑑𝑉
 𝛾 𝑑𝑉
 𝑧 =
 𝑧 𝛾 𝑑𝑉
 𝛾 𝑑𝑉
Peso específico (peso por unidade de volume)
𝑑𝑊 = 𝛾 ∙ 𝑑𝑉
Definição
 Para uma placa homogênea de espessura (t) uniforme:
𝑑𝑊 = 𝛾 ∙ 𝑡 ∙ 𝑑𝐴
Assim,
 𝑥 =
 𝑥 𝑑𝐴
 𝑑𝐴
 𝑦 =
 𝑦 𝑑𝐴
 𝑑𝐴
 𝑧 =
 𝑧 𝑑𝐴
 𝑑𝐴
Definição
 Para um fio homogêneo de seção transversal uniforme:
Assim,
𝑑𝑊 = 𝛾 ∙ 𝑎 ∙ 𝑑𝐿
 𝑥 =
 𝑥 𝑑𝐿
 𝑑𝐿
 𝑦 =
 𝑦 𝑑𝐿
 𝑑𝐿
 𝑧 =
 𝑧 𝑑𝐿
 𝑑𝐿
Simetria
 Formas geométricas com eixo de simetria, o centroide ficará sobre esse eixo.
• Quando existirem mais de dois eixos de simetria, o centroide ficará na
intersecção desses eixos
Simetria
 Uma figura pode apresentar simetria em relação a um Centro O se:
• Para cada elemento dA coordenadas (x, y), existir um elemento dA’
coordenadas (-x, -y), as integrais serão nulas.
• O centroide coincide com o centro de simetria.
 𝑥 = 𝑦 = 0
 𝑥 =
 𝑥 𝑑𝐴
 𝑑𝐴
 𝑦 =
 𝑦 𝑑𝐴
 𝑑𝐴
Simetria
Centro de simetria Dois eixos de simetria Dois eixos de simetria (ortogonais) + 
centro de simetria
Momento de primeira ordem
 O momento de primeira ordem ou momento estático de um elemento de área
em relação aos eixos coordenados, é por definição representado por:
 Nota-se que os momentos de primeira ordem podem ser determinados como
o produto da área e o seu centroide em relação ao eixo coordenado
relacionado.
 O momento estático será nulo quando o centroide estiver sobre um eixo
coordenado.
 Relações semelhantes podem ser utilizadas para linhas e volumes
𝑄𝑦 = 𝑥 𝑑𝐴 𝑄𝑥 = 𝑦 𝑑𝐴
Elementos compostos
 Consiste em um conjunto de elementos de formatos mais simples, para áreas 
planas podem ser: retangulares, triangulares, circulares, etc.
• O elemento pode ser discretizado em partes constituintes de área e 
centroide conhecidos, eliminando a necessidade de integração;
• Cada parte constituinte é tratada como partícula
• Relações semelhantes podem ser utilizadas para linhas e volumes
 𝑥 =
 𝑥𝐴
 𝐴
 𝑦 =
 𝑦𝐴
 𝐴
Elementos compostos
 𝑥 =
 𝑥𝐴
 𝐴
 𝑦 =
 𝑦𝐴
 𝐴
Teoremas de Pappus e Guldinus
 Teorema utilizado para determinar áreas e volumes de objetos pela revolução 
de um curva plana em torno de um eixo fixo, desde que não a intercepte 
(sinais opostos se cancelariam)
• Área da Superfície: “ A área de um superfície de revolução é igual ao 
produto do comprimento da curva geradora pela distância percorrida pelo 
centroide da curva para gerar a superfície”.
• Volume: “ O volume de um corpo de revolução é igual ao produto da área 
geradora pela distância percorrida pelo centroide da área na geração do 
volume”.
Redução de um sistema de cargas 
distribuídas
 Em diversas situações a superfície de
um pode estar sujeita a cargas
distribuídas: vento, escoamento de
líquido, peso de material.
 A intensidade das cargas em uma
superfície de área pode ser definida
como: lb/ft² ou N/m²
Redução de um sistema de cargas 
distribuídas
 Para um carregamento uniforme ao longo
de um eixo, podemos multiplicar o
carregamento pela largura desse eixo;
 Obtendo assim uma força distribuída ao
longo de um comprimento W(x)=N/m
 Esse sistema de forças pode ser reduzido
a uma força resultante aplicada em uma
localização especifica (centroide)
Redução de um sistema de cargas 
distribuídas
 A intensidade da força resultante é equivalente a soma das forças no sistema,
integração da função carregamento;
 A localização da força resultante é o centro geométrico do diagrama de
carregamento distribuído.
𝐹𝑅 = 𝑤 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝐴 = 𝐴
 𝑥 =
 𝑥 𝑤 𝑥 𝑑𝑥
 𝑤 𝑥 𝑑𝑥
=
 𝑥 𝑑𝐴
 𝑑𝐴
Formas usuais
Formas usuais
Formas usuais
Formas usuais
Exemplo 1
Determine a localização ( 𝑥, 𝑦) do centroide do fio.
Exemplo 2
Localize o centroide 𝑥 da área sombreada.
Exemplo 3
Cada um dos elementos da estrutura tem 
massa por unidade de comprimento de 6 
kg/m. Localize a posição ( 𝑥, 𝑦) do centro de 
gravidade. Despreze as dimensões dos 
pinos nas juntas e a espessura dos 
elementos. Calcule também as reações no 
pino A e no rolete E.