RELATÓRIO DE FISICA 2

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Pontifícia Universidade Católica do Paraná
ESCOLA POLITÉCNICA
ENGENHARIA QUÍMICA
BÁRBARA PEDROSO DOS SANTOS
GABRIELLA DA CRUZ PIERRI
HENRIQUE MOTTIN DE CAMPOS
MICAEL KUKLA RAMOS
análise de movimento retilíneo uniforme e movimento retilíneo uniforme variável
CURITIBA
2017
BÁRBARA PEDROSO DOS SANTOS
GABRIELLA DA CRUZ PIERRI
HENRIQUE MOTTIN DE CAMPOS
MICAEL KUKLA RAMOS
análise de movimento retilíneo uniforme e movimento retilíneo uniforme variável
Trabalho sobre experimento físico analisando a lei de Hookeapresentadoà disciplina de Física Experimental I da Pontifícia Universidade Católica do Paraná, como requisito parcial à segunda avaliação.
Orientador: Profº Guilherme André Dal Moro
CURITIBA
2017
SUMÁRIO
1	Introdução	5
2	Objetivos	6
2.1	Objetivo Geral	6
2.2	Objetivos Específicos	6
2.2.1	Experimento de MRU	6
2.2.2	Experimento MRUV	6
3	FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA	7
4	MATERIAIS E MéTODOs	9
4.1	EXPERIMENTO MRU	9
4.2	EXPERIMENTO MRUV	11
5	RESULTADOS E ANÁLISE DE DADOS	14
6	CONCLUSÃO	18
Referências	19
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Experimento MRU com eletroímã em cima	13
Tabela 2 - Experimento MRU com eletroímã mais em baixo	13
Tabela 3 - Experimento MRUV	14
LISTA DE GRÁFICOS
Introdução
No presente trabalho, iremos abordar a realização de duas práticas na qual, a primeira utilizando o conceito de movimento retilíneo uniforme (MRU), onde um eletroímã segurava uma esfera e a soltava em alturas de y variados de (∆y) a fim de analisar o tempo (t) decorrido. E a segunda foi utilizando o conceito de movimento retilíneo uniformemente variável (MRUV), onde foi utilizado um carrinho com uma determinada massa de impulso e variando o x em distâncias variáveis (∆x).
Para o movimento retilíneo uniforme (MRU), a trajetória é uma reta e sua velocidade é constante, ao variar a distancia (∆x), há então uma variação no tempo (∆t)(BAUER, WESTFALL e DIAS, 2012). Quando o objeto tem uma aceleração constante, é denominado movimento retilíneo uniformemente variável (MRUV), onde a velocidade passa a variar em função do tempo(HALLIDAY e RESNICK, 2012).
O elevador é tratado como um exemplo de movimento retilíneo uniforme, pois durante o intervalo de subida e descida até chegar próximo ao repouso ele se move a uma velocidade constante (HALLIDAY e RESNICK, 2012).
Ao se tratar de uma aceleração constante ou quase constante, há como exemplo um carro acelerando a uma taxa consideravelmente constante ao cruzar o sinal quando muda do vermelho para verde e, ao freiar o carro até parar no próximo semáforo pode ser considerado constante a aceleração (ou desacelereação, comumente chamado). Há também aplicações em quedra livre, tal como uma bola de beisebol lançada verticalmente (HALLIDAY e RESNICK, 2012).
Objetivos
Objetivo Geral
Verificar experimentalmente as relações entre grandezas cinemáticas no MRU e MRUV. 
Objetivos Específicos
Experimento de MRU
Determinar as velocidades resultantes dos intervalos de tempo e posição bem como seu erro;
Plotar os pontos no gráfico determinados pela velocidade para as duas posições do eletroímã, comparando-as;
Determinar a área sob a curva do gráfico velicidade versus tempo;
Determinar o coeficiente angular e coeficiente linear do gráfico posição versus tempo.
Experimento MRUV
Determinar a acelaração média resultante do intervalo de tempo, posição e velocidade;
Determinar o coeficiente angular e comparar com a aceleração média;
Plotar os pontos da aceleração no gráfico;
Desenhar o gráfico aceleração versus tempo.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Podemos analisar um movimento em linha reta de forma unidimensional, sendo a posição do objeto analisado composta apenas pela coordenada x. Temos que o deslocamento é igual à diferença entre duas posições, e este varia com o tempo. A partir destes conceitos, podemos calcular a velocidade média (Vm) segundo a equação (1).
	
	
	(1)
E a velocidade instantânea, que é dada pela derivação do vetor posição pelo tempo. Se a velocidade instantânea não muda durante todo o movimento, este é denominado um Movimento Retilíneo Uniforme. (YOUNG e FREEDMAN, 2008)
Enquanto que a velocidade é igual à variação da posição do objeto em relação à variação do tempo, a aceleração é a variação da velocidade de um objeto com o tempo, podendo ser contrária ou favorecer o movimento. No caso de um movimento retilíneo uniformemente variado, a aceleração é constante, e a velocidade se altera sempre com a mesma taxa de variação (YOUNG e FREEDMAN, 2008).
Uma função linear é descrita como qualquer função cuja regra é dada segundo a forma , desde que a seja diferente de zero, pois isso a faria ser considerada uma função constante. Uma função é chamada de quadrática se sua regra tem a forma , sendo ‘a’ diferente de zero, esse tipo de função tem seu gráfico em forma de parábola (SAFIER, 2011).
Para um movimento sem aceleração, o gráfico que ilustra a posição em função do tempo é dado por uma função linear. Já para um movimento no qual há aceleração constante, o gráfico da posição pelo tempo é dado por uma função quadrática, também chamada de função do segundo grau, enquanto que o gráfico da velocidade pelo tempo é descrito por uma função do primeiro grau e, se analisada em um intervalo de tempo, delimita um polígono cuja área é igual ao deslocamento (YOUNG e FREEDMAN, 2008)
Para que um corpo seja acelerado, é necessário que haja uma força externa atuando sobre ele, como enunciado pela Segunda Lei de Newton, que afirma que a força resultante em um objeto é igual à massa multiplicada pela sua aceleração, como demonstrado pela equação (2).
	
	
	(2)
Portanto, desde que o atrito possa ser desprezado, em um sistema de um corpo em uma superfície horizontal, ligado a outro objeto na posição vertical através de uma corda que passa por uma polia, a sua força resultante será igual à força peso do segundo objeto. Conhecendo a massa de ambos os objetos, pode-se facilmente calcular a aceleração do sistema (SERWAY, 1996).
Imagine então um sistema similar ao descrito no parágrafo anterior, sem conhecer as massas dos dois objetos, mas sabendo com precisão a posição e o tempo em que se observa o objeto 1, que parte do repouso na posição x=0 m para t=0 s. Sabendo que o deslocamento é igual a área delimitada pelo gráfico da velocidade pelo tempo, e pode ser calculada pela soma da área de um retângulo, cujos pares de lados são iguais à velocidade inicial e ao tempo, com a área do triângulo retângulo de catetos de tamanhos iguais ao tempo e à variação da velocidade. Lembrando que a velocidade inicial é igual à zero, podemos calcular a aceleração a partir da equação (3) a seguir (YOUNG e FREEDMAN, 2008).
	
	
	(3)
Durante um experimento no qual são realizadas repetidas medições para as mesmas condições, geralmente haverá diferenças entre as medidas obtidas, e poderá ser calculado um valor médio para a variável de uma função (xm) e consequentemente um valor médio para a imagem da função (ym). A partir destes serão calculados valores de variação entre a média e o valor original, denotados por ∆x (não confundir com a variação de posição) e também ∆y. Ao plotar estas informações em um gráfico, deve-se fazer a linearização do mesmo, a partir da fórmula , onde a é o coeficiente linear calculado segundo a equação (4).
	
	
	(4)
E a constante b é encontrada ao substituir os valores médios para x e para y.
MATERIAIS E MéTODOs
EXPERIMENTO MRU
Na realização do primeiro experimento referente ao movimento retilíneo uniforme (MRU), foram utilizados um guia, uma rampa levemente inclinada, onde a esfera irá percorrer, uma esfera metálica maciça, que possui uma interação eletromagnética com o eletroímã, um eletroímã, que funciona como uma trava, liberando a esfera quando acionado por meio de uma chave liga e desliga, dois photogates que funcionam como sensores responsáveis por perceber o movimento da bolinha,um cronômetro responsável por medir o intervalo de tempo que a esfera demorava para passar pelos photogates e uma régua graduada em metros.
Para a confecção do experimento, o primeiro photogate (que aciona o cronômetro) foi posicionado num ponto qualquer a uma pequena distância do início da parte plana do guia (onde a aceleração da bolinha já estaria constante), e o segundo photogate (que desliga o cronômetro) a uma distância pré-determinada, onde o intervalo de tempo que a bolinha demora para passar entre os dois poderia ser aferido, assim a bolinha foi fixada no eletroímã, além disso foi ajustado a inclinação do guia, para que quando a bolinha fosse liberada ela obtesse uma velocidade constante em toda sua trajetória retilínea.
Ao preparar o experimento, deve-se haver um cuidado em relação a certificação do funcionamento correto dos sensores dos photogates, além de ser colocado na posição corretaque é posicionado através de observação humana com auxilio de uma régua, e não por equipamentos digitais ou analógicos com alta precisão, a fim de não ocorrer erro em relação ao cálculo da velocidade da esfera.
Este experimento foi divido em duas etapas, onde na primeira etapa o eletroímã se encontrou na posição mais alta da rampa e na segunda etapa ele se encontrou na parte mais baixa da rampa. Para as duas etapas o primeiro photogatese manteve fixado na posição de 9m. 
Dentro de cada etapa, o segundo photogate variou de posição (tomando como base 0 a posição do primeiro photogate) onde a primeira posição foi a 0,100 m de distância do primeiro dada pela régua (ou seja 9,100 m), assim foi desligado o eletroímã sendo a esfera liberada e registrando o tempo pelo cronômetro em que a esfera passou pelos dois photogates. Esse procedimento se repetiu por 3 vezes, para o mesmo deslocamento de modo a realizar o cálculo do valor médio e erro aleatório dos tempos, assim o segundo photogate foi reposicionado aumentando a distância entre os dois para 0,200 m, para a anotação de mais 3 tempos, e assim sucessivamente até chegar na posição de 0,500 m para as duas etapas.
Para realizar os cálculos da média dos tempos foi utilizado a fórmula (5).
	
	
	(5)
Onde n é o número é a quantidade das medidas obtidas e t, os tempos obtidos nas diferentes posições. 
E para o erro aleatório, pode ser calculado pelo desvio padrão médi que é dado pela formula (6) (PIACENTINI, 2008).
	
	
	(6)
Onde a raiz do desvio padrão será a somatória da subtração da medida pela sua média, elevada ao quadrado e dividido pela quantidade de medidas menos um e o desvio padrão médio será o desvio padrão dividido pela raiz da quantidade de medidas.
Assim o erro da medida pode ser calculado através da fórmula (7), onde será a soma do erro aleatório e do erro de escala do cronômetro que foi constatado como 0,001 s, dado pela seguinte equação (8) para equipamentos digitais(PIACENTINI, 2008).
	
	
	(7)
	
	
	(8)
Em cada um desses deslocamentos foi associado a um erro, ou seja, na régua foi determinada um erro de escala de 0,05 cm, mas como há uma subtração de medidas (posições dos photogates) o erro do ∆x se propaga, sendo considerado 0,1 cm, que pode ser calculado com a fórmula (9) (PIACENTINI, 2008).
	
	
	(9)
Onde x é a posição final (xf) e xo a posição inicial (xi).
Também pode ser determinado o deslocamento (∆x) dada pela equação (10) e a velocidade da bolinha ao longo da distância que a esfera percorria entre os photogates, expressada pela equação (1).
	
	
	(10)
Como mostrado, existe um erro relacionado ao deslocamento e ao tempo, ou seja, quando foi calculado a velocidade, que é dado por (1), esse erro é propagado e é dado pela fórmula de propagação de erros da divisão (11) (PIACENTINI, 2008).
	
	
	(11)
Sendo x o deslocamento (∆x) e y o tempo (∆t).
EXPERIMENTO MRUV
Na realização do segundo experimento referente ao movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), foram utilizados um trilho de ar, um “carrinho” de metal, que possui um barrra ferro acoplado a ele, responsável pela ativação do sensor do photogate, uma massa nominal de 5 g, dois photogates que funcionam como sensores responsáveis por perceber o movimento do carrinho, um cronômetro responsável por medir o intervalo de tempo que o carrinho demorava para passar pelos photogates e uma régua graduada em metros.
Para a confecção do experimento, foram feitos ajustes na inclinação do trilho para que o carrinho quando solto, pudesse andar com velocidade constante. Após, o primeiro photogate foi bem perto da barra de ferro, onde o seu sensor acende uma luz vermelha, ou seja está ativado, para que a diferença da distância de largada com o inicio do photogate pudesse ser muito próximo de zero, podendo ser considerado que foi liberado a partir do repouso, e o segundo photogate foi colocado a 0,100 m de distância (xf) em relação a posição do primeiro (xi), em seguida a massa nominal de 5 g foi amarrada ao carrinho por um fio onde ficava apoiado por uma polia no final do trilho de ar, para que quando o carrinho fosse solto, a massa adicionada puxasse o carrinho. Por fim foi zerado o cronômetro para contagem dos tempos.
Deve haver um cuidado redobrado ao manusea os equipamentos eletrônicos (photogates), pois deve haver uma certificação do funcionamento dos sensores utilizados, para não ocorrer erro na medida dos tempos de deslocamento do carrinho, também como o seu posicionamento nas medidas desejadas.
Após ocorrer a preparação e devidos testes para verificar se o experimento se sucederia da maneira correta, o carrinho foi posicionado no começo da trajetória e solto, passando pelo primeiro photogate (que aciona o cronômetro), e depois pelo segundo (que para o cronômetro), sendo esse tempo anotado, e repetindo esse procedimento para medir três tempos. Este procedimento foi repetido até o posicionando o segundo photogatecompletar 0,600m em relação ao primeiro.
A fim de obter os cálculos desejados, foi determinado o tempo médio para cada posicionamento do photogate (5),o erro dos tempos (7) sendo constatado o erro do cronômetro como 0,001 s (8) e também o erro da escala do photogate dado por (9).
A determinação do deslocamento do carrinho foi dada por (9)e a velocidade do carrinho (1), bem como o erro associado ao cálculo da velocidade por (11), e como o experimento trata de MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado), ou seja, ocorre a variação da aceleração durante a trajetória do carrinho. O erro da medida de aceleração pode ser calculado pela regra das derivadas parciais dos erros em relação ao tempo e ao deslocamento (12).
	
	
	(12)
Para o cálculo do erro relativo percentual em relação a velocidade no experimento de MRU, e aceleração no experimento de MRU, a formula é dada por (13).
	
	
	(13)
Nessa equação é avaliado os resultados das medidas de uma grandeza, com o seu valor médio (5), permitindo determinar o erro relativo percentual (PIACENTINI, 2008). 
Como para o cálculo da aceleração (3), o tempo é elevado ao quadrado, ocorrendo a propagação de erros, pela multiplicação, que é relatada por (14).
	
	
	(14)
Onde os erros dos tempos serão multiplicados com as medidas e somados (PIACENTINI, 2008).
RESULTADOS E ANÁLISE DE DADOS
Para o primeiro experimento, os dados e resultados obtidos com o tempo em relação à distância percorrida pela bola metálica com velocidade constante, para a primeira e segunda posição do eletroímãrespectivamente estão presentes nas seguintes tabelas 1 e 2.
Tabela 1 - Experimento MRU com eletroímã em cima
	ΔX± 0,001 (m)
	T ± 0,001
(s)
	T médio
(s)
	Velocidade
(m/s)
	Erro
(%)
	
	0,2
	
	
	
	0,1
	0,2
	0,199666667
	0,501±0,008
	-0,95
	
	0,199
	
	
	
	
	0,392
	
	
	
	0,2
	0,394
	0,393
	0,509±0,004
	0,63
	
	0,393
	
	
	
	
	0,591
	
	
	
	0,3
	0,592
	0,592333333
	0,506±0,003
	0,04
	
	0,594
	
	
	
	
	0,794
	
	
	
	0,4
	0,791
	0,791666667
	0,505±0,002
	-0,16
	
	0,790,986
	
	
	
	0,5
	0,985
	0,985
	0,508±0,002
	0,43
	
	0,984
	
	
	
Fonte: Autores, 2017.
Tabela 2 - Experimento MRU com eletroímã mais em baixo
	ΔX± 0,001 (m)
	T ± 0,001
(s)
	T médio (s)
	Velocidade (m/s)
	Erro (%)
	
	0,127
	
	
	
	0,1
	0,126
	0,126666667
	0,79±0,02
	0,65
	
	0,127
	
	
	
	
	0,255
	
	
	
	0,2
	0,254
	0,254666667
	0,785±0,008
	0,12
	
	0,255
	
	
	
	
	0,383
	
	
	
	0,3
	0,382
	0,382666667
	0,784±0,005
	-0,05
	
	0,383
	
	
	
	
	0,511
	
	
	
	0,4
	0,508
	0,51
	0,784±0,004
	-0,01
	
	0,511
	
	
	
	
	0,643
	
	
	
	0,5
	0,641
	0,642
	0,779±0,003
	-0,71
	
	0,642
	
	
	
Fonte: Autores, 2017.
A determinação da velocidade foi feita com base na equação do deslocamento (1) adotando o valor da aceleração como sendo nulo, também foi feito o estudo dos erros nos dados, levando em consideração os erros de escala e de propagação da divisão (11). O erro aleatório do tempo foi desconsiderado devido ao seu insignificante valor comparado ao do erro do equipamento utilizado. Os dados obtidos foram plotados obtendo o gráfico 1.
GRAFICO
Com uma pequena flutuação entre os dados obtidos, pode-se afirmar que os resultados foram dentro do esperado não havendo imprevistos, e com as pequenas flutuações previstos dentro do estudo de erros. Concluísse assim, que teve uma alta precisão levando em conta as inexperiências dos indivíduos envolvidos e das adversidades do ambiente em que o experimento foi realizado.
Os dados e resultados obtidos no segundo experimento, medindo o tempo levado pelo carrinho a passar por uma medida de espaço com uma aceleração constante estão apresentados na tabela 3.
Tabela 3 - Experimento MRUV
	X±0,001
(m)
	T±0,001
(s)
	Tempo médio
(s)
	Aceleração
(m/s2)
	Erro
(%)
	Velocidade final
(m/s)
	Aceleração
Gráfico (m/s2)
	
	1,13
	
	
	
	
	
	0,1
	1,139
	1,144
	0,153± 0,002
	17,59
	0,175 ± 0,003
	0,10810761
	
	1,163
	
	
	
	
	
	
	1,722
	
	
	
	
	
	0,2
	1,742
	1,71366666
	0,1362± 0,0009
	4,68
	0,233± 0,002
	
	
	1,677
	
	
	
	
	
	
	2,125
	
	
	
	
	
	0,3
	2,182
	2,113
	0,1344± 0,0006
	3,29
	0,284 ± 0,002
	
	
	2,113
	
	
	
	
	
	
	2,567
	
	
	
	
	
	0,4
	2,477
	2,5236666
	0,1256± 0,0005
	-3,47
	0,317 ± 0,002
	
	
	2,527
	
	
	
	
	
	
	2,984
	
	
	
	
	
	0,5
	2,874
	2,93
	0,1165± 0,0004
	-10,46
	0,341 ± 0,002
	
	
	2,932
	
	
	
	
	
	
	3,285
	
	
	
	
	
	0,6
	3,258
	3,23066666
	0,115± 0,0003
	-11,62
	0,371 ± 0,002
	
	
	3,149
	
	
	
	
	
Fonte: Autores, 2017.
Para calcular os resultados foi usado como base a equação do deslocamento (3), adotando o valor de velocidade inicial como sendo nulo. Também foi feito o estudo dos erros, adotando valores de escala e também fazendo o estudo da propagação do erro da divisão (11) e da multiplicação (14). Assim como no primeiro experimento, foi desconsiderado o valor do erro aleatório devido seu número ser muito menor comparado ao erro do equipamento utilizado. Para obter a aceleração pelo gráfico, foi feito uma linearização da equação do deslocamento (3) e aplicado os dados na equação do método dos mínimos quadrados. Com os dados da linearização e do deslocamento pelo tempo foi possível plotar o gráfico 2.
GRAFICO
Os dados obtidos diferentemente dos resultados do primeiro experimento, apresentaram uma maior flutuação, isso se deve ao fato de ser um experimento mais complexo e envolvendo mais variáveis se comparado ao primeiro. Apesar das flutuações não serem pequenas, pode-se dizer que teve uma certa precisão levando em considerações principalmente a inexperiência dos integrantes do grupo com os equipamentos utilizados. Diferentemente do primeiro experimento, a força de atrito do carrinho com o solo influenciou muito mais nos resultados dando assim uma maior flutuação, mesmo com os cuidados a mais.
Para ambos os experimentos os resultados foram confiáveis e alcançaram o objetivo final, porém poderia se ter uma ainda menor flutuação nos dados se os procedimentos tivessem sido feitos com uma maior atenção, melhor manuseio dos equipamentos e considerando mais variáveis como a variável do atrito.
CONCLUSÃO
Com base nos experimentos, foi possível verificar experimentalmente as relações entre grandezas cinemáticas no MRU e MRUV, bem como determinar sua velocidade e aceleração resultante, foi possível determinar todos os erros propagados, além de plotar os pontos no gráfico, tendo inclinações esperadas.
Com base nos erros encontrados, associados às medidas, todos os valores estão dentro da margem de erro da medição de cada experimento realizado. 
Para os dois experimentos, visto que o atrito (apesar de pouco) tenha interferido nas análises, obtivemos flutuações entre os valores obtidos experimentnalmente, mas, mesmo assim são valores coerentes para utilização. O ponto mais prejudicial foi o modo de leitura da posição dos photogates.
Por fim, concluímos que para obterem-se resultados mais precisos, seria necessária uma leitura mais clara, utilizando um equipamento de maior precisão com um erro mínimo, quase desprezível. Em questão das contas seria necessário considerar mesmo que aproximadamente, a força de atrito tanto da esfera quanto do carrinho.
Referências
BAUER, Wolfgang; WESTFALL, Gary; DIAS, Helio. Física para universitários: Mecânica. São Paulo: AMGH Editora Ltda., 2012. 40-42 p.
HALLIDAY, David; RESNICK. Fundamentos de física 1: Mecânica. 9ª Edição. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora, 2012. 17-26 p.
PIACENTINI, João et al. Introdução ao laboratório de física. 3ª Edição. Florianópolis: Editora da UFSC, 2008. 24-39 p.
SERWAY, Raymond A. Física para Cientistas e Engenheiros com Física Moderna. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1996. v.1. 83p.
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física I. 12ª Edição. São Paulo: Addison Wsley, 2008. 41-48 p.
SAFIER, Fred. Pré-Cálculo. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman. 79-95 p.