Aula 05 ENE005

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Análise de Sistemas 
Elétricos de Potência 1
Circuitos Trifásicos Equilibrados e 
Desequilibrados
UNIVERSIDADE FEDERAL
DE JUIZ DE FORA
P r o f . F l á v i o V a n d e r s o n G om e s
E - m a i l : f l a v i o . g o m e s @ u f j f . e d u . b r
E N E 0 0 5 - P e r í o d o 2 0 1 2 - 3
1. Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência;
2. Representação dos Sistemas Elétricos de Potência;
3. Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e 
Desequilibrados;
4. Revisão de Representação “por unidade” (PU);
5. Componentes Simétricas;
6. Representação Matricial da Topologia de Redes (Ybarra, 
Zbarra);
7. Cálculo de Curto-circuito Simétrico e Assimétrico;
Ementa Base
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
2
Sistema Trifásico Simétrico
� Representação Fasorial:
3
( )






−⋅=






−⋅=
⋅=
3
4
cos
3
2
cos
cos
pi
ω
pi
ω
ω
tVv
tVv
tVv
mC
mB
mA
[ ])(sen.)cos(.
120240
120
0
.
.
.
.
θθθ jVVV
VVV
VV
VV
kkk
oo
C
o
B
o
A
+=∠=
+∠=−∠=
−∠=
∠=
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Operador α
� Sistema Trifásico Simétrico
� Relação entre as tensões das fases: Rotação de +120º ou -120º.
� Definindo o operador de rotação de 120º:
� Fazendo a potenciação de α:
4
o1201∠=α
o
o
o
o
o
o
o
01
1201
1201
01
1201.
1201
01
36
25
14
3
2
1
0
∠==
−∠==
∠==
∠=
−∠==
∠=
∠=
αα
αα
αα
α
ααα
α
α
o
o
o
01
1201
1201
03
2
1
∠==
∠=
−∠=
−
−
−
αα
α
α
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Operador α
� Genericamente:
� Onde n=0, 1, 2, 3, ... (inteiro positivo)
5
on
on
on
1201
1201
01
223
113
03
−∠==
∠==
∠==
+
+
αα
αα
αα
on
on
on
1201
1201
01
1)23(
2)13(
03
∠==
−∠==
∠==
+−
+−
−
αα
αα
αα
2210 1 ααααα ++=++
ooo 1201120101210 −∠+∠+∠=++ ααα
0210 =++ ααα
� Propriedade:
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Sequencia
� Conjunto ordenado de fasores:
6














=
C
B
A
F
F
F
sequência
.
.
.
AF
� Caso Particular: a) Três fasores iguais:










=














==
1
1
1
.0
.
0
.
0
.
0
.
F
F
F
F
zerofasedesequência 0F
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Sequencia
7
� Caso Particular: b) 










=














==
α
α
α
α 21
.
1
.
1
.
2
1
.
1
.F
F
F
F
diretafasedesequência 1F
AB FF
.
2
.
α= AC FF
..
α=
� Caso Particular: c) 










=














==
2
2
.
2
.
2
2
.
2
.
2
1
.
α
α
α
α F
F
F
F
inversafasedesequência F
AB FF
..
α= AC FF
.
2
.
α=
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Operador α
� Operador α:
� Para Sistemas Trifásicos Simétricos de Sequência Direta:
8
o
o
o
1201
1201
01
2
1
0
−∠=
∠=
∠=
α
α
α
=
















∠
−∠
∠
=














=
o
o
o
CN
BN
AN
V
V
V
V
V
V
120
120
0
.
.
.
faseV =














1
.
2
.
.
.
.
.
α
α
α
AN
AN
o
AN
V
V
V














=














0
.
1
.
2
.
2
.
0
.
1
.
.
.
.
.
.
.
α
α
α
α
α
α
CN
CN
CN
BN
BN
BN
V
V
V
V
V
V
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Operador α
� Operador α:
� Para Sistemas Trifásicos Simétricos de Sequência Direta:
9
o
o
o
1201
1201
01
2
1
0
−∠=
∠=
∠=
α
α
α










=










=










=














=
1
.1.
1
.
2
.
2
.
2
.
.
.
.
α
α
α
α
α
α CNBNAN
CN
BN
AN
VVV
V
V
V
faseV
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Relação entre Tensão de Linha e de Fase
para Componente Conectado em Estrela (Y)
10














−














=














=
AN
CN
BN
CN
BN
AN
CA
BC
AB
V
V
V
V
V
V
V
V
V
.
.
.
.
.
.
.
.
.
linhaV
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
11
� Para Sistemas Trifásicos Simétricos:
faselinha VV .303.303
303.
303.
303.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
o
CN
BN
AN
o
o
CN
o
BN
o
AN
CA
BC
AB
V
V
V
V
V
V
V
V
V
∠=














∠=














∠
∠
∠
=














=
Relação entre Tensão de Linha e de Fase
para Componente Conectado em Estrela (Y)
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Operador α (VLinha x VFase, componente em Y)
� Operador α:
� Para Sistemas Trifásicos Simétricos de Sequência Direta:
12
o
o
o
1201
1201
01
2
1
0
−∠=
∠=
∠=
α
α
α














−














=














=
AN
CN
BN
CN
BN
AN
CA
BC
AB
V
V
V
V
V
V
V
V
V
.
.
.
.
.
.
.
.
.
linhaV −














=
1
.
2
.
.
.
.
.
α
α
α
AN
AN
o
AN
V
V
V












−
−
−
=
01
12
20
.
.
αα
αα
αα
ANV














0
.
1
.
2
.
.
.
.
α
α
α
AN
AN
AN
V
V
V
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
� Para Sistemas Trifásicos Simétricos de Sequência Direta:
13
=












−
−
−
=
01
12
20
.
.
αα
αα
αα
ANVlinhaV =














∠
∠
∠
o
o
o
ANV
303.
303.
303
.
2
.
α
α












∠
α
α 2
.
1
..303 AN
o V
faselinha VV .303
1
..303 2
.
.
.
.
.
o
AN
o
CA
BC
AB
V
V
V
V
∠=












∠=














=
α
α
Operador α (VLinha x VFase, componente em Y)
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
� Para Sistemas Trifásicos Simétricos de Sequência Direta:
� Nocaso da determinação das tensões de fase, conhecendo-
se as tensões de linha:
14
=
















∠
−∠
∠
=














=
o
CA
o
BC
o
AB
CA
BC
AB
V
V
V
V
V
V
150
90
30
.
.
.
linhaV














=














1
2
.
1
.
2
.
.
.
.
.
α
α
α
α
α
α
o
AB
AB
AB
o
AB
V
V
V
V












−∠=−∠=
∠
=
α
α 2
.
1
..30
3
1
.30
3
1
303
1
AB
oo
o
Vlinhalinhafase VVV
Operador α (VLinha x VFase, componente em Y)
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Operador α (Tensão de Neutro)
� Sistemas Trifásicos Simétricos de Sequência Direta com 
Neutro Deslocado:
� Deslocamento centro-estrela em relação ao terra
� Tensão de Neutro diferente de zero.
� Tensão de Fase-Terra:
15










+










=














+














=














=
−
1
1
1
..
.
1
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
NO
o
AN
NO
NO
NO
CN
BN
AN
CO
BO
AO
VV
V
V
V
V
V
V
V
V
V
α
α
α
terrafaseV
terraneutroneutrofaseterrafase VVV −−− +=
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Exercício (3.1.1)
� Prove matematicamente que em sistemas trifásicos 
simétricos com gerador ligado em estrela, a tensão 
de linha independe da tensão de neutro.
� Dica: inicie o cálculo utilizando as tensões fase-terra.
16
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Resolução de Sistemas Trifásicos Simétricos 
com Carga Equilibrada Ligada em Estrela
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Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Resolução de Sistemas Trifásicos Simétricos 
com Carga Equilibrada Ligada em Estrela
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Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Resolução de Sistemas Trifásicos Simétricos 
com Carga Equilibrada Ligada em Estrela
� Resolvendo-se o circuito tem-se:
� As expressões mostram que
bastaria calcular a corrente IA e
usar o operador α para obter IB e
IC.
19
( )
'
).0(
'
'
).0(
''
1
'
0
'
2
ZZ
E
ZZ
VI
ZZ
E
ZZ
VVV
ZZ
I
ZZ
E
ZZ
VI
o
CN
C
o
BN
ANCNB
o
AN
A
+
∠
=
+
=−=
+
∠
=
+
=−−
+
=−=
+
∠
=
+
==
αβ
αγβ
γ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺɺɺ
ɺ
ɺ










+
=










=










1
2
.
1
2
.
´
.
α
α
α
α
α
α oo
A
C
B
A
ZZ
EI
I
I
I
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Resolução de Sistemas Trifásicos Simétricos 
com Carga Equilibrada Ligada em Estrela
� É fácil notar neste circuito
que os pontos N e N’ estão 
no mesmo potencial, ou seja:
� Neste sistema a presença do condutor neutro é irrelevante,
pois não circulará corrente nele, independente do valor da sua
impedância.
20
´
´
´
CNCN
BNBN
ANAN
VV
VV
VV
ɺɺ
ɺɺ
ɺɺ
=
=
=
( ) 0. 21 =++=++= ααα oACBAN IIIII ɺɺɺɺɺ
0
´
=NNVɺ
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Resolução de Sistemas Trifásicos Simétricos 
com Carga Equilibrada Ligada em Estrela
� Em resumo:
21










+
=










=










1
2
1
2
1
.
'
1
.
α
α
α
α
ZZ
EI
I
I
I
A
C
B
A
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ










⋅










+
+
+
=










C
B
A
CN
BN
AN
I
I
I
ZZ
ZZ
ZZ
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
'00
0'0
00'
AI
ZZ
ZZ
ZZ
E ɺɺ ⋅










⋅










+
+
+
=










⋅
α
α
α
α 22
1
'00
0'0
00'1
Aula 05 – Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados
Resolução de Sistemas Trifásicos Simétricos 
com Carga Equilibrada Ligada em Estrela
� Sistema Matricial:
� Circuito Equivalente Monofásico:
� Retorno através de condutor neutro fictício 
com impedância nula.
22










⋅










+
+
+
=










C
B
A
CN
BN
AN
I
I
I
ZZ
ZZ
ZZ
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
'00
0'0
00'
( ) AAN IZZV ɺɺ . '+=
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Exercício (3.1.2)
� Um gerador trifásico simétrico alimenta por meio de uma 
linha equilibrada uma carga trifásica equilibrada em estrela. 
� Onde:
� Tensão de linha do gerador igual a 380V (60Hz),
� Gerador conectado em estrela,
� Linha contendo 3 fios,
� Cada fio apresenta resistência série de 0,20Ω e indutância indutiva de 
0,50Ω (as mútuas são desprezíveis),
� A impedância da carga por fase é de 3,0+j.4,0 Ω.
� Calcule:
a) Tensões de fase e de linha no gerador;
b) Correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador;
c) Tensões de fase e de linha na carga;
d) Queda de tensão na linha (valores de fase e de linha);
e) Diagrama fasorial.
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Exercício (3.1.2) - Solução
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Resolução de Sistemas Trifásicos Simétricos 
com Carga Equilibrada Ligada em Estrela
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� Linha com acoplamento mútuo.
� Impedâncias mútuas iguais.
AA
PMM
MPM
MMP
AN I
Z
Z
Z
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
V ɺɺɺ ⋅




















+⋅




















=










⋅
α
α
α
α
α
α 222
1
.
00
00
001
.
1
( ) fasecargalinhafase IZZV +=
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Resolução de Sistemas Trifásicos Simétricos 
com Carga Equilibrada Ligada em Estrela
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� Linha com acoplamento mútuo.
� Impedâncias mútuas iguais.
� Do circuito da Fase A:
AA
PMM
MPM
MMP
AN I
Z
Z
Z
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
V ɺɺɺ ⋅




















+⋅




















=










⋅
α
α
α
α
α
α 222
1
.
00
00
001
.
1
AAMAMAPAN IZIZIZIZV ɺɺɺɺɺ ......
2 +++= αα
( )[ ] AMPAN IZZZV ɺɺ . )( 2 αα +++=
( )[ ] AMPAN IZZZV ɺɺ . )( 0α−++=
0210 =++ ααα
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Resolução de Sistemas Trifásicos Simétricos 
com Carga Equilibrada Ligada em Estrela
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� Linha com acoplamento mútuo.
� Impedâncias mútuas iguais.
� Circuito Equivalente Monofásico:
� Sistema Matricial:
( )[ ] AMPAN IZZZV ɺɺ . +−=
A
MP
MP
MP
AN I
ZZZ
ZZZ
ZZZV ɺɺ ⋅




















−+
−+
−+
=










⋅
α
α
α
α 22
1
.
00
00
001
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