Aula-07_ENE005

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Análise de Sistemas 
Elétricos de Potência 1
Circuitos Trifásicos Equilibrados e 
Desequilibrados
UNIVERSIDADE FEDERAL
DE JUIZ DE FORA
P r o f . F l á v i o V a n d e r s o n G om e s
E - m a i l : f l a v i o . g o m e s @ u f j f . e d u . b r
E N E 0 0 5 - P e r í o d o 2 0 1 2 - 3
1. Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência;
2. Representação dos Sistemas Elétricos de Potência;
3. Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e 
Desequilibrados;
4. Revisão de Representação “por unidade” (PU);
5. Componentes Simétricas;
6. Representação Matricial da Topologia de Redes (Ybarra, 
Zbarra);
7. Cálculo de Curto-circuito Simétrico e Assimétrico;
Ementa Base
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
2
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
3
Sistema Trifásico
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
4
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
7
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Sistema Trifásico
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8
Sistema Trifásico
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9
Sistema Trifásico
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� Expressão para:
� Sistema Simétrico 
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� Rede Equilibrada 
ou Não
� Carga Aterrada
Equilibrada ou Não
� Expressão para:� Sistema Simétrico 
ou Não
� Rede Equilibrada 
ou Não
� Carga Aterrada
Equilibrada ou Não
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
11
Sistema Trifásico
[ ]

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1-
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� Tensão nos terminais 
da Carga:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
12
Sistema Trifásico
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� Carga Solidamente Aterrado:
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
13
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
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
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Sistema Trifásico
Sistema Trifásico Simétrico e Equilibrado 
com Carga Desequilibrada
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
14
CBA ZZZ ≠≠
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

⋅=












∠
−∠
∠
=










α
α 2
1
120
120
0
A
o
f
o
f
o
f
C
B
A
I
I
I
I
I
I
I
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
15
Sistema Trifásico Simétrico e Equilibrado com 
Carga Desequilibrada
[ ] [ ] [ ]










+










+










=










C
B
A
C
B
A
C
B
A
CN
BN
AN
I
I
I
I
I
I
I
I
I
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
... Ncargalinha ZZZ




















+




















+




















=










C
B
A
NNN
NNN
NNN
C
B
A
C
B
A
C
B
A
PMM
MPM
MMP
CN
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I
I
I
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ZZZ
ZZZ
I
I
I
Z
Z
Z
I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
..
00
00
00
.
'''
'''
'''
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
16
Sistema Trifásico Simétrico e Equilibrado com 
Carga Desequilibrada
[ ] [ ] [ ]










+










+










=










C
B
A
C
B
A
C
B
A
CN
BN
AN
I
I
I
I
I
I
I
I
I
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
... Ncargalinha ZZZ




















++++
++++
++++
=










C
B
A
NCPNMNM
NMNBPNM
NMNMNAP
CN
BN
AN
I
I
I
ZZZZZZZ
ZZZZZZZ
ZZZZZZZ
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
.
'''
'''
'''
Tarefa (3.3.1)
� Seja um sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga
desequilibrada, cuja impedância de aterramento da carga é
não nula (ZN≠0) e as impedâncias mútuas desprezíveis
(Z’M=0).
� Desenvolva a expressão que calcula a corrente de neutro da
carga para o terra (IN’N=IN’O=?), em função da tensão de
fase do gerador e das impedâncias da linha, da carga e de
aterramento.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
17
Solução Tarefa (3.3.1)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
18
Solução Tarefa (3.3.1)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
19
Solução Tarefa (3.3.1)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
20
Solução Tarefa (3.3.1)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
21
Exercício (3.3.2)
� Seja um sistema trifásico simétrico e equilibrado
com carga desequilibrada:
� Tensão de linha do gerador (Y-aterrado): 13,8kV (sequência direta)
� Impedância própria dos fios da linha: 0,30 + j0,56 Ω/km
� Impedância mútua entre os fios da linha: j0,25 Ω/km
� Comprimento da linha: 10,0km
� Impedância da carga em estrela:
� Fase A: 90 + j 45 Ω
� Fase B: j 50 Ω
� Fase C: j 50 Ω
� Aterramento: 10,0 Ω
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
22
Continuação: Exercício (3.3.2)
� Calcule:
� Correntes na linha;
� Tensões de fase e de linha nos terminais da carga;
� Tensão no nó neutro da carga;
� Corrente de neutro na carga.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
23
Solução Exercício (3.3.2)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
24




















+




















+




















=










C
B
A
NNN
NNN
NNN
C
B
A
C
B
A
C
B
A
PMM
MPM
MMP
CN
BN
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I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
I
I
I
Z
Z
Z
I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
..
00
00
00
.
'''
'''
'''
[ ]










=









C
B
A
CN
BN
AN
I
I
I
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
 . redeZ
Solução Exercício (3.3.2)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
25




















+




















+




















=










C
B
A
NNN
NNN
NNN
C
B
A
C
B
A
C
B
A
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MPM
MMP
CN
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AN
I
I
I
ZZZ
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ZZZ
I
I
I
Z
Z
Z
I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
..
00
00
00
.
'''
'''
'''
� Tensão de linha do gerador (Y-aterrado): 13,8kV (sequência
direta)
� Impedância própria dos fios da linha: 0,30 + j0,56 Ω/km
� Impedância mútua entre os fios da linha: j0,25 Ω/km
� Comprimento da linha: 10,0km
� Impedância da carga em estrela:
� Fase A: 90 + j 45 Ω
� Fase B: j 50 Ω
� Fase C: j 50 Ω
� Aterramento: 10,0 Ω
Solução Exercício (3.3.2)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
26
Solução Exercício (3.3.2)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
27
Solução Exercício (3.3.2)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
28
Solução Exercício (3.3.2)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
29
Solução Exercício (3.3.2)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
30
Solução Exercício (3.3.2)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
31
Solução Exercício (3.3.2)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
32
� Carga Solidamente Aterrado:
� ZN=0
� Carga sem aterramento:
� ZN=∞
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
33
Sistema Trifásico




















+




















+




















=










C
B
A
NNN
NNN
NNN
C
B
A
C
B
A
C
B
A
CCBCA
BCBBA
ACABA
CN
BN
AN
I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
I
I
I
Z
Z
Z
I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
..
00
00
00
.
'''
'''
'''




















+




















=










C
B
A
C
B
A
C
B
A
CCBCA
BCBBA
ACABA
CN
BN
AN
I
I
I
Z
Z
Z
I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
.
00
00
00
.
'''
'''
'''




















+
C
B
A
I
I
I
ɺ
ɺ
ɺ
.
000
000
000
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
34
Sist. Trifásico com Carga sem Aterramento
AANNNANA ZIVVV .'''' ɺɺɺɺ =+=
Sistema Trifásico com Carga sem Aterramento
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
35










+










=










'
'
'
'
'
'
''
''
''
NN
NN
NN
NC
NB
NA
NC
NB
NA
V
V
V
V
V
V
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
36
Sistema Trifásico com Carga sem Aterramento
''
.. NNANAAA VYVYI ɺɺɺ +=
0=++ CBA III ɺɺɺ
''
.. NNBNBBB VYVYI ɺɺɺ +=
''
.. NNCNCCC VYVYI ɺɺɺ +=
CBA
NCCNBBNAA
NN YYY
VYVYVYV
++
++
−=
'''
'
...
ɺɺɺ
ɺ
A
NN
A
NA
A Z
V
Z
VI ''
ɺɺ
ɺ +=
AANNNANA ZIVVV .'''' ɺɺɺɺ =+=
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
37
CBA
NCCNBBNAA
NN YYY
VYVYVYV
++
++
−=
'''
'
...
ɺɺɺ
ɺ










+










=










'
'
'
'
'
'
''
''
''
NN
NN
NN
NC
NB
NA
NC
NB
NA
V
V
V
V
V
V
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ




















++
−
=










NC
NB
NA
CBA
CBA
CBA
CBA
NN
NN
NN
V
V
V
YYY
YYY
YYY
YYY
V
V
V
'
'
'
'
'
'
.
1
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
Sistema Trifásico com Carga sem Aterramento
Escrevendo a equação matricialmente:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
38
=










+










=










'
'
'
'
'
'
''
''
''
NN
NN
NN
NC
NB
NA
NC
NB
NA
V
V
V
V
V
V
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ




















++
−
+




















NC
NB
NA
CBA
CBA
CBA
CBA
NC
NB
NA
V
V
V
YYY
YYY
YYY
YYY
V
V
V
'
'
'
'
'
'
.
1
.
100
010
001
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
Sistema Trifásico com Carga sem Aterramento




























++
−
++
−
++
−
++
−
++
−
++
−
++
−
++
−
++
−
=










NC
NB
NA
CBA
C
CBA
B
CBA
A
CBA
C
CBA
B
CBA
A
CBA
C
CBA
B
CBA
A
NC
NB
NA
V
V
V
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
YYY
Y
V
V
V
'
'
'
''
''
''
.
1
1
1
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
[ ]










=










NC
NB
NA
NC
NB
NA
V
V
V
V
V
V
'
'
'
''
''
''
 . 
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
TY Tensão de fase na carga em relação ao centro-estrela
� Analisando o circuito:
� Se: Então:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
39




















=










C
B
A
C
B
A
NC
NB
NA
I
I
I
Z
Z
Z
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
.
00
00
00
''
''
''
Sistema Trifásico com Carga sem Aterramento
[ ]










=










NC
NB
NA
NC
NB
NA
V
V
V
V
V
V
'
'
'
''
''
''
 . 
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
TY
[ ]










=










C
B
A
NC
NB
NA
I
I
I
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
.
''
''
''
cargaZ
[ ] [ ]










=










NC
NB
NA
C
B
A
V
V
V
I
I
I
'
'
'
 . .
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
Tcarga YZ
� Sendo:
� Substituindo :
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
40
Sistema Trifásico com Carga sem Aterramento
[ ] [ ]










=










NC
NB
NA
C
B
A
V
V
V
I
I
I
'
'
'
 . .ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
Tcarga YZ
[ ]










−










=










C
B
A
CN
BN
AN
NC
NB
NA
I
I
I
V
V
V
V
V
V
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
.
'
'
'
linhaZ
[ ] [ ] [ ]






















−










=










C
B
A
CN
BN
AN
C
B
A
I
I
I
V
V
V
I
I
I
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
. . . linhaTcarga ZYZ
� Portanto:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
41
Sistema Trifásico com Carga sem Aterramento
[ ] [ ] [ ]( ) [ ]










+=










−
CN
BN
AN
C
B
A
V
V
V
I
I
I
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
 . . . 
1
TcargalinhaT YZZY
� Expressão para:
� Sistema Simétrico 
ou Não
� Rede Equilibrada 
ou Não
� Carga Não-Aterrada
Equilibrada ou Não
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
42
� Carga Desequilibrada Conectada em Triângulo (delta)
� Transformação Delta para Estrela;
� Montar Matriz Zcarga;
� Usar expressão do sistema 
com carga não aterrada:
CABCAB
CAAB
A
ZZZ
ZZZ
++
=
.
CABCAB
BCAB
B
ZZZ
ZZZ
++
=
.
CABCAB
CABC
C
ZZZ
ZZZ
++
=
.
Sistema Trifásico com Carga em Delta
[ ] [ ] [ ]( ) [ ]










+=










−
CN
BN
AN
C
B
A
V
V
V
I
I
I
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
 . . . 
1
carga TlinhaT YZZY
Exercício (3.3.3)
� Repetir o exercício 3.3.2. considerando a carga ligada
em estrela com o centro-estrela isolado.
Calcule:
� Correntes na linha;
� Tensões de fase e de linha nos terminais da carga;
� Tensão no nó neutro da carga.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
43
Solução Exercício (3.3.3)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
44
Solução Exercício (3.3.3)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
45
Solução Exercício (3.3.3)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
46
Solução Exercício (3.3.3)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
47
Solução Exercício (3.3.3)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
48
Exercício (3.3.4)
� Seja um Sistema Trifásico Simétrico e Equilibrado
com Carga Desequilibrada (idem 3.3.2):
� Tensão de linha do Gerador: 13,8kV (sequência direta, Y
solidamente aterrado)
� Impedância Própria dos fios da Linha: 0,30+j 0,56 Ω/km
� Impedância Mútua entre os fios da Linha: j 0,25 Ω/km
� Comprimento da Linha: 10,0km
� Impedância da Carga emDelta:
� Ramo AB: 90 + j 45 Ω
� Ramo BC: j 50 Ω
� Ramo CA: j 50 Ω
� Calcule:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
49
Continuação: Exercício (3.3.3)
� Calcule:
� Correntes na linha;
� Tensões de fase e de linha nos terminais da carga;
� Diferença de potencial entre o nó neutro (fictício da carga) e o 
terra (VNN’)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
50
Solução Exercício (3.3.4)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
51
Solução Exercício (3.3.4)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
52
Solução Exercício (3.3.4)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
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Solução Exercício (3.3.4)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
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Solução Exercício (3.3.4)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
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Solução Exercício (3.3.4)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
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