Centros de Gravidade, Centro de Massa, Centróides de Uma Figura Plana Exercícios Resolvidos

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MECÂNICA APLICADA 
Prof. Michel Sadalla Filho 
Referências 
HIBBELER, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2005, 540p. 
ELIAS, Moisés; CHAVES, Wanrley – Coleção Abril – FÍSICA Volumes 
29/30 – 1978, São Paulo. 
GASPAR, Ricardo: Mecânica dos Materiais. 
http://professor.ucg.br/siteDocente/admin/arquivosUpload/13796/
material/Resistência%20dos%20Materiais.pdf 
BEER, Ferdinand P; JOHNSTON Jr, E. Russel; EISENBERG, Elliot Berg: 
Mecânica Vetorial para Engenheiros – Mc Graw Hill, 7ª Edição,2006 
Centros de Gravidade, Centro de Massa, 
Centróides de uma figura plana 
DOC 06 
14 Fev 
2013 
Ver. 01 
INTRODUÇÃO 
• Os conceitos de CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA e 
CENTRÓIDE, muitas vezes são utilizados como se fossem a 
mesma coisa, pois, na prática são originários de um mesmo 
princípio, o desenvolvimento do primeiro, leva aos outros dois, 
com algumas particularidades. 
• Antes, porém, vamos retomar o TEOREMA DE VARIGON, 
utilizado para desenvolver o conceito de centro de gravidade. 
• TEOREMA DE VARIGNON 
• “O momento da resultante de um sistema de forças 
coplanares, em relação a um ponto qualquer de seu plano, é 
igual a soma algébrica dos momentos parciais das forças 
constituintes do sistema em relação ao mesmo ponto.” 
 2 
TEOREMA DE VARIGNON 
EXEMPLO 
O sistema abaixo, compõem-se de uma viga com as três forças 
indicadas (F1, F2, F3), tendo como resultantes: FR = - 14 N e 
MRO = - 33 N.m (sentido horário) + ΣM0 = (3x1) – (12x3) 
ΣM0 = 3 – 36 
MRo = - 33 N.m 
Determinação do ponto (XG) onde se 
pode colocar a FR que terá o mesmo 
efeito de translação e rotação. 
MR0 = FR . XG 
-33 = -14N . XG 
XG = -33/-14 = 2,4m 
3 
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE 
UMA FIGURA PLANA 
BARRA PRISMÁTICA Secção longitudinal 
Secção transversal 
4 
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS 
DE UMA FIGURA PLANA 
1. Área 
2. Momento Estático de Área 
3. Centro de Gravidade; Centro de Massa, Centróide 
4. Momento de Inércia 
5. Raio de Giração 
5 
1 - ÁREA de uma figura plana é a superfície 
limitada pelo seu contorno. 
b 
h 
Unidade de área: [L2] – unidade de 
comprimento ao quadrado 
Sistema Internacional [m2] outras 
unidades: in2 ; cm2; mm2 
A área é utilizada para a 
determinação das tensões normais 
de tração e compressão (σ) e das 
tensões de cisalhamento ou corte (τ) 
A = b.h 
A = b.h/2 
A = (b+B)/2 . h A = a2 
A = π (R2 – r2) 
A = π R2 
a 
a 
6 
3.1 – CENTRO DE GRAVIDADE 
Seja sistema três partículas de pesos P1, 
P2 e P3, conforme mostrado na figura ao 
lado. 
- P. XG = - P1.x1 - P2.x2 - P3.x3 
P. XG = P1.x1 +P2.x2 + P3.x3 
Aplicando o Teorema de Varignon ponto O: 
XG = P1.x1 + P2.x2 + P3.x3 
 
P 
XG = m1.g.x1 + m2.g.x2 + m3. g.x3 
 m.g 
Como m = m1 + m2 + m3 
XG = m1.x1 + m2.x2 + m3.x3 
 
m1+ m2.+ m3 
 
( 05 ) 
( 06 ) 
Também denominada de centro 
de massa 
7 
3.1 – CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRO DE MASSA 
Girando-se o sistema de partículas de 
90º e no sentido horário, mantêm-se a 
mesma relação das forças-pesos 
destas partículas. 
Analogamente, a ordenada YG da 
linha de ação da resultante será dada 
por: 
CENTRO DE GRAVIDADE: quando se utiliza as forças-pesos 
CENTRO DE MASSA: quando se utiliza as massas 
Mas ambos são conceitos semelhantes, na prática se diz Centro de 
Gravidade, ou ainda o termo CG 
( 07 ) 
8 
3.2 – CENTRÓIDE DE UMA SUPERFÍCIE 
Quando consideramos uma superfície (figura 
no plano XY) ao invés de um corpo sólido 
(volume), a expressão centro de gravidade é 
denominada por alguns autores de 
CENTRÓIDE, ou ainda de BARICENTRO de uma 
superfície. 
Utilizando o conceito de densidade (d) 
d = m / V  m = d . V = d . A. h 
Para casos de densidade homogênea (mesmo 
material) e superfícies de mesma espessura 
(h), as expressões ( 06) e (07) desenvolvidas 
para o centro de gravidade: 
XCG = d h (X1 A1 + X2 A2 + X3 A3) 
 
d. h. (A1 + A2 + A3) 
 YCG = Y1 . A1 + Y2 A2 + .Y3 A3 
 A1 + A2 + A3 
XCG = X1 . A1 + X2 A2 + X3 A3 
 
A1 + A2 + An ( 08 ) 
ANALOGAMENTE, 
( 09 ) 
9 
3.2 – CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRÓIDE DE 
UMA SUPERFÍCIE 
Se ao invés de três elementos em que a área é dividida, aumentarmos para 
n elementos, as equações (8) e (9) ficam: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a totalidade das partículas, temos: 
XCG = ∫ x dA YCG = ∫ Y dA 
XCG = X1 . A1 + X2 A2 + ... Xn An 
 
A1 + A2 + ... An 
YCG = Y1 . A1 + Y2 A2 + ... Yn An 
 
A1 + A2 + ... An ( 10 ) ( 11) 
( 12 ) ( 13) 
A A 
Na prática usamos as equações (10) e (11) que também são expressas por 
( 14 ) 
( 15 ) 
10 
CENTRO GRAVIDADE –composição de figuras 
11 
No exemplo abaixo, desmembramos a figura (a) em duas formas: 
Fig (a) 
Fig (a) 
 X1 A1 + X2 A2 + X3 A3 
 
A1 + A2 + A3 
XCG = 
XCG = 
 X1 A1 + X4 A4 - X5 A5 
 A1 + A4 - A5 
5 
1 
2 
3 
1 
4 
Analogamente 
para YCG 
CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRÓIDES 
Algumas observações 
1. Para este curso, utilizaremos a expressão centro de 
gravidade com mesmo significado de centróide de 
uma superfície plana, ou ainda baricentro. 
2. trabalharemos no plano XY 
3. existem diversas notações para expressar o centro 
de gravidade: 
 XG; XCG e analogamente YG; YCG e 
12 
CENTROS DE GRAVIDADE (CENTRÓIDES) 
DE SUPERFÍCIES PLANAS 
Retângulo Quadrado Triângulo 
13 
CENTROS DE GRAVIDADE (CENTRÓIDES) 
DE SUPERFÍCIES PLANAS 
Círculo ¼ Círculo Semicírculo 
14 
EXEMPLO 1: Localize o CG da figura abaixo 
 
15 
EXEMPLO 1 - Solução 
16 
EXEMPLO 2: Localizar e calcular o centróide da peça abaixo. 
17 
EXEMPLO 2 – Solução 
18 
EXEMPLO 3 – Localizar o centróide da figura abaixo 
EXEMPLO 3 – Solução 
20 
EXEMPLO 4 Determinar o centro de gravidade da figura, 
utilizando o Momento Estático de Área 
 
1 – Cálculo das Áreas: 
SOLUÇÃO 
3- Cálculo do CG 
YCG = 7,36 cm 
21 
YCG 
Na direção x há simetria.... 
EXEMPLO 5 – Determinar o Centro de Gravidade utilizando 
 Momento Estático de Área 
A Figura hachurada pode ser o resul-
tado de um retângulo (12×6) cm2 do 
qual foram retirados um triângulo 
e um semicírculo. 
SOLUÇÃO 
1- ÁREA 
RESPOSTAS CENTRO DE GRAVIDADE 
22 
EXERCÍCIOS – Calcular o CG das figuras abaixo: 
A1 = a
2; x1 = a/2; y1 = a/2 
A2= a
2/2 ; x2=4a/3; y2=a/3 
XG = 0,777a; YG = 0,444a 
Ex. 01 Ex. 02 Ex. 03 
23 
Ex. 04 Ex. 05 
EXERCÍCIOS CENTRO DE GRAVIDADE 
24 
EXERCÍCIOS – CENTRO GRAVIDADE 
EX. 06 – Calcule o centro de gravidade da figura abaixo 
(repare que a figura pode ser expressa pela composição de duas outras) 
- = 
25