2000 Problemas de matemáticas Santiago Álvarez Areces

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Santiago Álvarez Areces - Manuel Fernández Flórez
2000
P ro blem a s
de
M a tem á tica s
Problemas propuestos 
y resueltos para: 
E. Secundaria y Bachillerato
EDITORIAL EVEREST, S. A.
Madrid • León • Barcelona • Sevilla • Granada • Valencia
Zaragoza • Las Palmas de Gran Canaria • La Coruña
Palma de Mallorca • Alicante • México * Lisboa
Indice
Bloque 1 ........................................................................................................... 3
✓ Variaciones................................................................................................... 5
✓ Permutaciones.............................................................................................. 5
✓ Combinaciones............................................................................................. 5
✓ Potencias de binomios y polinomios......................................................... 5
✓ Ejercicios propuestos.................................................................................. 6
✓ Resolución de los ejercicios....................................................................... 13
Bloque 2 ........................................................................................................... 31
✓ Operaciones con potencias y radicales.................................................... (32 ')
✓ Ejercicios propuestos.................................................................................. 33
✓ Operaciones con polinomios...................................................................... 40
✓ Ejercicios propuestos.................................................................................. 41
✓ Operaciones con fracciones algebraicas................................................... 44
✓ Ejercicios propuestos.................................................................................. 45
✓ Regla de Ruffini............................................................................................ 50
✓ Ejercicios propuestos.................................................................................. 51
✓ Resolución de los ejercicios............................................................................ 52
Bloque 3 ........................................................................................................... 79
✓ Ecuaciones de primer grado....................................................................... (80
✓ Ejercicios propuestos.................................................................................. 81
✓ Ecuaciones de segundo grado.................................................................... ^82
✓ Ejercicios propuestos.................................................................................. 82
✓ Inecuaciones de primer y segundo grado................................................ 84
✓ Ejercicios propuestos.................................................................................. 86
✓ Sistemas de ecuaciones lineales................................................................ 87
✓ Ejercicios propuestos.................................................................................. 88
✓ Resoluciones de problemas mediante ecuaciones e inecuaciones 89
✓ Ejercicios propuestos.................................................................................. 90
✓ Representación gráfica de funciones de primer y segundo grado 93
✓ Ejercicios propuestos.................................................................................. 94
✓ Resolución de los ejercicios....................................................................... 95
Bloque 4 ........................................................................................................... 119
✓ Progresiones aritméticas............................................................................ 120
✓ Ejercicios propuestos.................................................................................. 120
✓ Resolución de los ejercicios....................................................................... 122
✓ Progresiones geométricas .......................................................................... 125
✓ Ejercicios propuestos.................................................................................. 126
✓ Resolución de los ejercicios....................................................................... 128
Bloque 5 .....................................................................................................133
✓ Introducción............................................................................................. 134
✓ Espacios vectoriales .............................................................................. 134
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 135
✓ Resolución de los ejercicios ................................................................. 137
✓ Plano afín, incidencia y paralelismo. Producto escalar.
✓ Plano Euclídeo........................................................................................ 144
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 146
✓ Resolución de los ejercicios ................................................................. 151
Bloque 6 .................................................................................................... 167
✓ Problemas sobre límites de sucesiones .............................................. 168
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 170
✓ Problemas relacionados con el número «e» ....................................... 172
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 173
✓ Problemas sobre límites de funciones................................................ 174
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 175
✓ Problemas sobre continuidad y discontinuidad de funciones ......... 178
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 179
Resolución de los ejercicios................................................................. 181
Bloque 7 .................................................................................................... 197
✓ Trigonometría ........................................................................................ 198
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 201
✓ Los números complejos ....................................................................... 206
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 207
✓ Resolución de los ejercicios................................................................. 212
Bloque 8 .................................................................................................... 235
✓ La circunferencia................................................................................... 236
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 237
✓ La elipse.................................................................................................. 238
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 239
✓ La hipérbola ........................................................................................... 240
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 241
✓ La parábola ............................................................................................ 243
✓ Ejercicios propuestos.............................................................................243
✓ Resolución de los ejercicios................................................................. 244
Bloque 9 .................................................................................................... 261
✓ Cálculo diferencial................................................................................. 262
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 262
✓ Máximos, mínimos, puntos de inflexión............................................. 267
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 268
✓ Estudio y representación gráfica de una función ............................. 270
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 270
✓ Resolución de los ejercicios................................................................. 271
✓Tabla de derivadas ................................................................................. 288
Bloque 1 0 ................................................................................................... 289
✓ Integrales indefinidas............................................................................. 290
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 291
✓ Resolución de los ejercicios ................................................................. 301
Bloque 1 1 ................................................................................................... 333
✓ Cálculo de integrales definidas. Aplicaciones.................................... 334
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 335
✓ Resolución de los ejercicios ................................................................. 339
Bloque 12 ................................................................................................. 355
✓ Espacios vectoriales............................................................................... 356
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 356
✓ Subespacio vectorial ............................................................................. 358
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 358
✓ Determinantes........................................................................................ 359
✓ Ejercicios propuestos................................................. 359
✓ Resolución de sistemas por la regla de Cramer ............................... 361
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 361
✓ Resolución de los ejercicios.................................................................. 362
Bloque 13 ................................................................................................. 373
✓ Aplicaciones lineales............................................................................. 374
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 374
✓ Matrices................................................................................................... 375
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 376
✓ Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales............. 378
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 379
✓ Resolución de los ejercicios ................................................................. 381
Bloque 14 ................................................................................................. 395
✓ Espacios afín y euclídeo. Productos escalar, vectorial y m ixto 396
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 398
✓ Resolución de los ejercicios ................................................................. 401
Bloque 15 ................................................................................................. 411
✓ Probabilidades ....................................................................................... 412
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 413
✓ Resolución de los ejercicios ................................................................. 417
Bloque 16 .................................................................................................. 429
✓ Estudio local de una función ................................................................ 430
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 430
✓ Aproximación local de una función .................................................... 432
✓ Ejercicios propuestos............................................................................. 433
✓ Resolución de los ejercicios ................................................................. 434
TERCERA EDICIÓN
© Santiago Alvaro/ Arceos,
Manuel Fernández l lore/ y 
EDITORIAL EVEREST, S. A.
Carretera León-La Cornña. km 5 - LEON 
ISBN: 84-241-7605-7 
Depósito legal: LE. 402-2001 
Printed in Spain - Impreso en España
EDITORIAL EVERGRÁFICAS, S. L. 
Carretera León-La Cornña, km 5 
LEÓN (España)
Bloque 1
✓ Variaciones
✓ Permutaciones
✓ Combinaciones
✓ Potencias de binomios y polinomios
3
VARIACIONES
D efin ición
Se llaman variaciones sin repetición de m elem en tos tom ados de 
n en n, a las distintas alineaciones que s e pueden formar con los 
m elem entos dados, de m odo qu e en cada alineación entren n de 
los m elem entos.
Dos alineaciones s e consideran distintas cuando difieren en 
algún elem ento, o cuando, teniendo los mism os elem entos, éstos 
están ordenados de distinta forma.
Para representar las variaciones sin repetición d e m elem entos 
tomados d en en n se emplea la notación:
V„ m (m — 1) (m — 2).... (m — n + 2) (m — n + 1)
V ariaciones c o n rep etic ión
Se representan por la notación:
VRm„ = m"
PERMUTACIONES
D efin ición
Se llaman perm utaciones sin repetición de m elem entos de un 
conjunto a las distintas alineaciones qu e s e pueden hacer con los 
m elem entos dados de m odo que en cada alineación entren todos 
los m elem entos del conjunto.
Dos alineaciones son distintas, cuando sus elem entos están 
ordenados de distinta forma.
Para representar ¡as perm utaciones sin repetición de m elem en ­
tos se emplea la notación:
Pm = m! - m (m — 1) (m - 2)... 3 ■ 2 ■ 1
P erm utaciones c o n rep etic ión
Se representan por la notación: 
mi
a! pi y!...
siendo m = a + f) + y + ...
COMBINACIONES
D efinición
Se llaman com binaciones sin repetición de m elem entos tomados 
de n e n n , a los distintos grupos que s e pueden formar con los m 
elem entos dados, de m odo que en cada grupo entren n de los m 
elem entos, y que un grupo se diferencie de ¡os demás, al menos, 
en un elem ento.
Para designar las com binaciones de m elem en tos tom ados de n 
en n s e emplea la notación:
V
N úm eros com b in a torios
Los núm eros de la forma m!ni (m - n)l ■ s e ¡laman núm eros com ­
binatorios y s e representan por el símbolo I , por tanto:
mi . 
ni (m - n)i
P ropiedades d e los n úm eros com b in a tor ios
" (”
m 
m - n
NOTA.0! = l ; l ! = l ; Q = q = l
T rián gu lo d e Tartaglia
0
Ú
A A A Atí © W w e • • • *
Es lo mismo que escribir:
1 1 
1 1 
i N A N A 1 
1 X A \ A !
C om bin acion es co n rep etic ión
Se representan por la notación:
POTENCIAS DE BINOMIOS Y POLINOMIOS 
La in d u cc ió n m a temática
Es un m étodo para dem ostrarla validez de ciertas fórmulas re fe ­
ren tes sobre todo a los núm eros naturales.
E ste m étodo consta de dos partes y ambas son necesarias para 
probarla validez d e la fórmula o teorem a:
I) Comprobar que es cierto para n = 1
II) Adm itiendo que es cierto para un valor n = m, comprobar 
que lo es también para el valor siguiente n = m + 1
P oten cia d e u n b in o m io (B inom io d e N ew ton )
(a + b)m = (o )a ” + ( l ) am~’ b + (2 )a“ - 2b2 + ... + (m - l)abffi 1 + (m)bm 
siendo m 6 N
D esarrollo d e (a - b )m
(a-b)» = (o)a“ - ... + - l)ab"-'+ < -1)“ ím)b”
T érm in o general
Es el qu e ocupa el lugar n + 1:
T „,, = ( — l ) " í n )a m" b" de (a — b)" 
fm\
Tníl = y n ja ” ” b ” de (a + b )” 
C u ad rado d e u n p o lin o m io
(a + b + c)2 = a2 + b 2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + C + d)2 = a2 + b 2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac +
+ 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
P oten cia d e u n p o lin om io
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 
+ 3c2a + 3c2b + 6abc
5
E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S
1. Formar todas las variaciones que se pueden hacer con los ele­
mentos a, b, c, d, e, tom ados tres a tres y sin que se repitan ele­
mentos en cada variación.
2. Formar todas las variaciones monarias, binarías, ternarias y 
cuaternarias, con los elementos 1, 2, 3, 4, con la condición de que 
no se repitan elementos en cada variación.
3. Escribe los dos primeros y los dos últimos términos del desa­
rrollo de las siguientes expresiones:
I) v m II) v „ III) V
SO LU CIÓ N I): V , (m - 1) (m - 2 )... (m - n + 1) (m - n)
SOLU CIÓN II):
SOLU CIÓN III):
(m + 1) m ... 2 1
m 2 ,m - 2 (m - 2) (m - 3) ...2 1
4. Resolverla ecuación: Vx5 = 6Vx3
SOLU CION: x = 6 I
5. Resolver la ecuación 8Vm 4 = Vm 5
SOLU CION: m = 12
6. Resolver la ecuación: 2VX _ 13 = Vx3 + V x _ 2,
SOLU CION: x = 7
7. ¿Cuántos elementos tiene un conjunto si se sabe que el 
número de variaciones ternarias que se pueden formar con ellos 
es nueve veces mayor que el de las binarias?
SOLU CION:
SOLU CION:
SOLU CION:
m = 11
x = 8
x = 12
10. Resolver la ecuación: 5Vm3 = 24VRm_ 12
SOLU CION: m = 6
11. Resolver la ecuación: Vx +, 2 + 2VX _ , 2 = 82
SOLU CIÓN: x = 6
tes seguidas?
SO LU CIÓ N : S = 720
12. ¿Cuántas palabras diferentes de tres letras pueden formarse 
con las letras a, b, c, d, e, teniendo que ser la primera letra una 
vocal?
24. Hallar cuántos números, que no empiecen por cero, y tengan 
cuatro cifras, podem os formar con los guarismos 0, 1, 2, 3 y 4.
SOLU CIÓN:
esIIW SO LU CIÓ N : S = 500
13. Hallar el valor de m sabiendo que el número de variaciones 
que se pueden formar con estos m elem entos (distintos) tomados 
dos a dos es 2 756.
SOLU CION: m = 53
14. ¿Cuántos números diferentes y menores que 1 000 se pueden 
formar con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 sin repetición?
SO LU CIO N : 85
15. ¿Cuántos números distintos de cuatro cifras no repetidas 
pueden formarse con los guarismos 2, 4, 5, 7 y 8 con la condición 
de ser menores que 5 000?
SO LU CIO N : 48
16. ¿Cuántos números distintos de cuatro cifras diferentes pue­
den formarse con los guarismos 0, 2, 4, 5, 6 y 8?
SO LU CIO N : 300
17. Entre doce miembros de una comisión, deben elegirse presi­
dente, vicepresidente y secretario. ¿De cuántas maneras podrá 
hacerse?
SO LU CIO N : 1 320
18. Averiguar cuántos números hay que, siendo mayores que 
200 y menores que 700, estén formados por tres cifras diferentes 
entre las siete primeras cifras significativas.
SO LU CIO N : 150
19. ¿De cuántas formas se pueden colocar dos sortijas diferen­
tes en una mano de modo que no estén en el mismo dedo?
SO LU CIO N : 20
20. Averiguar cuántos números de cuatro cifras distintas pue­
den formarse con los guarismos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cuántos de ellos 
empiezan por 5?
SO LU CIO N : S = 360 ; 60
21. El número de variaciones quinarias de m elementos es 154 440 
y el de ternarias 1 716. Halla m.
SO LU CIO N : m = 13
22. ¿Cuántas palabras se pueden formar con 20 consonantes y 
las 5 vocales, de manera que cada palabra contenga 3 consonan­
tes y 2 vocales, con la condición de que las vocales ocupen sola­
mente el segundo y cuarto puesto y sin que haya letras repetidas 
en cada palabra?
SO LU CIO N : 136 800
23. ¿Cuántas palabras de 2 vocales y 2 consonantes se pueden 
formar, tom ando éstas entre un grupo de 5 vocales y 4 consonan­
tes, con la condición de que no haya en cada palabra 2 consonan-
25. ¿Cuántas quinielas tenem os que rellenar para acertar un 
pleno en una jom ada?
SOLU CION: S = 4 782 969
26. ¿Cuántos números de siete cifras iguales o diferentes se 
pueden formar con los guarismos 1,4, 5, 7 y 9? ¿Cuántos números 
de siete cifras terminan en 7?
SOLU CION: S = 78 125 ; 15 625
27. C onlos guarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6:
a) ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse, con la con ­
dición de que no se repitan las cifras en cada número?
b) ¿Cuántos de estos números son menores que 400?
c) ¿Cuántos son pares?
d) ¿Cuántos son impares?
e) ¿Cuántos son múltiplos de 4?
f) ¿Cuántos son múltiplos de 5?
SO L U C IÓ N : I S a) 1 2 0 ; b) 6 0 ; c) 6 0 ; d) 6 0 ; e) 3 2 ; i) 2 0 1
28. a) ¿Cuántos números de cinco cifras, distintas o repetidas, 
pueden formarse con los guarismos O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?
b) ¿Cuántos de dichos números comienzan por 50?
c) ¿Cuántos de dichos números son pares?
d) ¿Cuántos son divisibles por 5?
s o l u c i ó n : S = a) 90 000 ; b) 1 000 ; c) 45 000 ; d) 18 000
29. Con los guarismos 1, 2, 3, 4, 5 ¿cuántos números de cuatro 
cifras pueden formarse? Hallar la suma de todos ellos.
SOLU CION: 625 ; Sum a = 2 083 125
30. a) Cuántos números de cuatro cifras distintas pueden for­
marse con los guarismos 1, 2, 4, 5 y 7?
b) ¿Cuántos de estos números son pares?
c) ¿Cuántos terminan en 24?
d) ¿Cuántos son múltiplos de 25?
e) ¿Cuántos empiezan por 245?
f) ¿Cuánto suman todos ellos?
SOLU CIÓN:
| S = a) 120 ; b) 48 ; c) 6 ; d) 6 ; e) 2 ; f) 506 616^
31. ¿De cuántos modos pueden colocarse 5 libros distintos en 
una fila de un estante?
SOLU CION: S = 120
32. Resolver la ecuación: P„ = 56P,
SOLU CION:
33. Resolver la ecuación:
SOLU CION:
x = 8
x!
(x - 3)!
= 720
x = 10
34. Resolver la ecuación P„ = 24
SOLU CION: x = 4
35. Resolver la ecuación: —ir- P* — V 5 46
S O L U C IO N : x = 6
36. Resolverla ecuación: 3PX = V32
SO LU CIO N : x = 2
37. Resolver la ecuación: Px = 5PX ,
SO LU CIO N :
SO LU CIO N :
x = 5
x = 3
39. Resolver la ecuación:
SO LU CIO N :
V V „
40. Resolver la ecuación: 8PX 3PV = P„
SO LU CIO N :
41. ¿Cuántos números de 5 cifras distintos pueden formarse con 
los guarismos 1, 2, 3, 4 y 5 que sean menores que 54 000, no 
pudiéndose repetir ningún guarismo?
SO LU CIO N : 114
42. ¿De cuántas maneras diferentes se puede escribir el m ono­
mio x 'y 2z3, teniendo en cuenta el orden de colocación de las 
letras y de los exponentes?
SO LU CIO N : 36
43. Con 2 vocales y 3 consonantes distintas, ¿cuántas palabras 
de 5 letras no repetidas pueden formarse con la condición de que 
no figuren 2 consonantes seguidas?
SO LU CIÓ N : 12
44. Con 2 vocales y 3 consonantes distintas, ¿cuántas palabras 
de 5 letras no repetidas pueden formarse con la condición de que 
no figuren 2 vocales seguidas ni 3 consonantes seguidas?
SO LU CIO N : 60
45. Con 3 vocales y 3 consonantes distintas, ¿cuántas palabras 
de 6 letras pueden formarse con la condición de que no figuren 
2 vocales seguidas ni 2 consonantes seguidas?
SO LU CIO N : I S = 72
46. Con las letras de la palabra s u m a r , ¿cuántas permutaciones 
pueden hacerse? ¿Cuántas empiezan por consonante?
SO LU CIO N : S =120 y 72
47. Con las letras de la palabra e l o i s a , ¿cuántas ordenaciones 
distintas pueden hacerse que empiecen y terminen en conso­
nante? ¿Cuántas que em piecen y terminen en vocal?
SO LU CIO N : S = 48 y 288
48. Con las letras de la palabra S A JO N , ¿cuántas ordenaciones 
distintas pueden hacerse en las que aparezca la J en medio? 
¿Cuántas que empiecen y terminen en consonante?
S O L U C IO N : S = 24 y 36
7
49. Con los guarismos 1, 2, 3, 4, 5 y 6:
a) ¿Cuántos números distintos, de seis cifras distintas, pueden 
formarse sin repetirse ningún guarismo?
b) ¿Cuántos son múltiplos de 2?
c) ¿Cuántos son impares?
d) ¿Cuántos son múltiplos de 5?
SOLU CION: S a) 7 2 0 í b) 3 6 0 ; c) 3 6 0 ; d) 1 2 0
50. Supuestos ordenados en sucesión creciente todas las per­
mutaciones posibles de las cifras 1, 2, 3, 5, 8, 9, ¿qué lugar ocupa­
ría en la sucesión el número 598 132?
SOLU CION: S = 476
51. Colocadas en orden alfabético todas las permutaciones de 
a b c d e fg , se desea saber el lugar que ocupa la permutación 
c g a d b e f .
SOLU CION: S = 2 047
52. Con las cifras 0, 1, 2, 3, 4:
a) ¿Cuántos números distintos de cinco cifras se pueden formar?
b) ¿Cuánto vale la suma de todos ellos?
s o l u c i ó n : S a) 96 ; b) 2 599 980
53. a) Hallar el número de permutaciones que se pueden formar 
con las letras de la palabra c a ñ a d a .
b) ¿Cuántas empiezan y terminan en A?
c) ¿Cuántas tienen las tres vocales juntas?
d) ¿Cuántas empiezan por C y terminan en A?
SOLUCION: S = a) 120 ; b) 24 ; c) 24 ; d) 12
54. Resolver la ecuación: 3P* 6P*
SOLUCION: x = 8
55. ¿Cuántos números de 7 cifras se pueden formar entrando 
dos veces la cifra 0, dos veces la cifra 1 y tres veces la cifra 2?
SOLU CION: S = 150
56. ¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con las letras de la 
palabra M A T E M Á T IC A S ? ¿Cuántas empiezan y terminan en A?
SOLU CION: S I 6 6 3 2 0 0 ; 9 0 7 2 0
57. a) ¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con las letras 
de la palabra s a l a m a n c a ?
b) ¿Cuántas empiezan por S?
c) ¿Cuántas empiezan por A?
d) ¿Cuántas empiezan y acaban en A?
e) ¿Cuántas tienen las cuatro A juntas?
SOLU CIÓN:
S = a) 15 120 ; b) 1 680 ; c) 6 720 ; d) 2 520 ; e) 720
58. ¿Cuántos números se pueden escribir con las cifras 0, 0, 1, 1, 
2, 2, 2, que sean mayores que un millón?
SOLU CION: S 200
59. Un estante tiene 4 textos iguales de Matemáticas, 3 iguales 
de Química y 5 de Física, también iguales:
a) ¿Cuántas posiciones distintas pueden ocupar?
b) ¿Cuántas de ellas tienen los 4 de Matemáticas al final?
c) ¿Cuántas de ellas tienen uno de Química al principio y 
uno de Física al final?
d) ¿Cuántas tienen dos libros de Matemáticas en los extremos?
SOLU CION: S = a) 27 720 ; b) 56 ; c) 3 150 ; d) 56
6 0 . Formar todas las com binaciones ordinarias que se pueden 
hacer con los elem entos a, b, c, d, e.
61. Calcula el valor de m sabiendo que:
I) Cm2 = 36 II) Cm3 = 7m III) 3Cm3 = Cm4
SO LU CIÓ N I):
SO LU CIÓ N II):
SO LU CIÓ N III):
SO LU CIO N :
m = 9
m = 8
m = 15
I x = 5
63. Resolver la ecuación: C , = 40 (x — 2)
SO LU CIO N : x = 16
64. Resolverla ecuación: 4CR„, = V„
SO LU CIO N : x = 5
65. Hallar m y n sabiendo q u e : Vm n = 20 y Cm n = 10
SO LU CIO N : m = 5 ; I n - 2 I
66. Hallar x sabiendo que el número de combinaciones bina­
rias de x elem entos son 190.
SO LU CIO N : x = 20
67. Averiguar cuántos objetos son necesarios para formar con 
ellos 28 com binaciones binarias con repetición.
SO LU CIO N : m = 7
68. El número de variaciones de m objetos, tomados de 4 en 4 es 
20 veces mayor que el de com binaciones de esos elementos 
tom ados de 5 en 5. Hallar m.
SO LU CIO N : m = 10
69. Sabiendo que en cada ficha del dominó aparecen dos núme­
ros del 0 al 6, incluidos ambos, determinar cuántas fichas tiene 
un dominó.
SO LU CIO N : m = 28
70. Hallar el número de productos de tres factores que se pue­
den formar con los guarismos 2, 5, 8, 11 y 13 (sin repetirse).
SO LU CIO N : S = 10
71. ¿Cuántas sumas diferentes de tres sumandos pueden for­
marse con los guarismos 3, 15, 21, 39, 47, 92?
SOLU CION: S = 20
72. ¿Cuántos triángulos quedan determinados por diez puntos, 
tales que tres cualesquiera no estén alineados?
SOLU CION: S = 120
73. ¿Cuántas líneas de navegación aérea pueden establecerse 
entre las capitales de 10 naciones?
SOLU CION: S = 45
74. Con seis pesas de 1, 2, 3, 4, 7 y 9 kg, ¿cuántas pesadas dife­
rentes pueden obtenerse, tomándolas de 3 en 3?
SOLU CION: 20
75. Con seis pesas de 1, 2, 3, 7, 10 y 25 kg, ¿cuántas pesadas di­
ferentes pueden hacerse?
SOLU CION: 63
76. ¿Cuántas palabras que contengan 2 vocales y 3 consonantes 
pueden formarse con 5 vocales y 6 consonantes?
SOLU CION: 24 000
77. En una clase de 18 alumnos se desea formar un grupo de 4 
para competir en un concurso. ¿Cuántos grupos distintos se pue­
den formar? ¿En cuántos de dichos grupos entra un determinado 
alumno? ¿En cuántos de ellos no entra dicho alumno?
SOLU CION: S = 3 0 6 0 ; 6 8 0 ; 2 3 8 0
78. En un poste de señales luminosas hay 5 focos de distinto 
color. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse encendiendo 
menos de cuatro luces?
SOLU CION: 25
79. Con 5 factores positivos y 5 negativos, ¿cuántos productos 
negativos, de 5 factores distintos cada uno, podrem os hacer?
SOLU CION: 126
80. ¿De cuántas maneras distintas se pueden repartir 4 juguetes 
distintos entre 3 niños sin que sobren juguetes, y ningún niño se 
quede sin juguete?
SOLU CION: 36
81. Para formar la tripulación de un submarino se deben elegir 4 
maquinistas y 1 capitán entre un grupo de 12 hombres, de los 
cuales 9 son maquinistas y 3 capitanes. ¿Cuántas tripulaciones 
se podrán obtener?
S O L U C IO N : 378
82. Se desea distribuir 10 bolas numeradas del 1 al 10 en tres 
urnas, de modo que en la primera haya 5 bolas, en la segunda 3 
bolas y en la tercera 2 bolas. ¿De cuántos modos es posible la dis­
tribución?
SO LU CIO N : S = 2 520
83. Calcula los siguientes números combinatorios:
II) III)
SO LU CIO N I):
SO LU CIO N II):
SO LU CIÓ N III):
56
210
84. Comprueba las siguientes relaciones:
II) III)
SO LU CIÓ N I) :
SO LU CIO N II):
SO LU CIÓ N III):
8) II CsTtfl = 10
8) II = 56
(5) II cjTud = 126
85. Calcula el valor de los siguientes números combinatorios:
/25
i 22
SO LU CIÓ N I):
SO LU CIÓ N II):
SO LU CIÓ N III):
SO LU CIO N IV):
II) 10099 III)
324
323 IV)
195
193
2 300
100
99 100
324
323 324
195
193 18 915
86. Comprueba las siguientes relaciones:
3i o +s 51 ™ (V) + (V
SO LU CIÓ N I):
SO LU CIO N II)
SO LU CIÓ N III):
© +
II
8 )
= 10
( 3 * f f l - (? )
= 56
924
87. Resolver las siguientes ecuaciones:
ii) ni)
9
k ' '
S O L U C IO N I):
SOLU CIÓN II):
SOLU CION III):
x = 5
x = 11
x = 10
88. Resolver las siguientes ecuaciones:
40 40 
x +6 II)
10 10 
x +2 III)
15 15 
x —3
SOLU CIÓN I):
SOLU CION II):
SOLU CION III):
x = 17
x = 4
x = 9
89. Resolver las siguientes ecuaciones:
I)
n)
III)
5
r4ff
IV)
V)
VI)
!)♦(!
9 + G
SOLU CIÓN I): 
SOLU CIÓN II): 
SOLU CIÓN III): 
SO LU CIÓ N IV): 
SOLU CIÓN V): 
SOLU CIÓN VI):
x = 5
x = 7
x = 9
x = 2 ¡ x = 6
x = 3
x = 4 ; x = 1
90. Resolver las siguientes ecuaciones:
!) (3) “ x = (3
SOLU CIÓN I): 
SOLU CIÓN II): 
SOLU CIÓN III):
m> i3 i - x
x = 15
x = 20
x = 10
91. Calcular el valor de x en las siguientes ecuaciones:
í x ) = ÍX M
II
¡xTcN 36 V) 4 (? )
II Ü1 - 1 )
U - y lyj )
SO LU CIÓ N : X = 13 ; y = 7
IIX co X VI)
( ? : © - i 97. Resolver el sistema:
11
20 (2)VII) 18 © + 24 (3)
= 125x
(y + 1) (2y - j )
( 5) : © = 1 VIII) 3 r 5 2 ) - 4
( M ( y : > ) )
SO LU CIÓ N I): x = 9 SO LU CIÓ N : x = 9 ; y = 3
SO LU CIÓ N II): 
SO LU CIÓ N III): 
SO LU CIÓ N IV ): 
SO LU CIÓ N V): 
SO LU CIÓ N V I) : 
SO LU CIÓ N VII): 
SO LU CIÓ N VIII):
x = 4
x = 18
x = 11
x = 8
x = 11
x = 6
x = 2
92. Calcular el valor de x en las siguientes ecuaciones:
x (x2 + 6)
I) (ni + (? ) + 2 ' +
II) x - 1
3
x — 2)
6
= 136
SO LU CIO N I):
SO LU CIÓ N II):
93. Resolver el sistema:
x = 6
x = 11
y + 1
x
y + 1 
y - i
SO LU CIO N : x = 29 ¡ y = 14
94. Resolver el sistema:
x
y - 1
\Yl
SO LU CIÓ N :
= 5 y - 2
x = 17 ; y = 9
95. Resolver el sistema:
3 ( 5) = 2 16,
x
y - 2
SO LU CIO N : x = 14 ; y = 8
96. Resolver el sistema:
10
98. Demuestra por inducción la siguiente igualdad:
1 + 2 + 3 + ... + n — n (n + 1)
2
SOLU CION: Se cu m p le p ara to d o n
99. Demuestra por inducción la siguiente igualdad: 
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n — n (n + 1)
SOLU CION: Se cu m p le para to d o n
100. Demuestra por inducción la siguiente igualdad: 
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n2
SOLU CION: Se cu m p le para to d o n
101. Demuestra por inducción la siguiente igualdad:
l 2 + 22 + 32 + ... + n2 = —V n (n + 1) (2n + 1)
SOLU CION: Se cu m p le p ara to d o n
yjO^J Desarrollar los siguientes binom ios:
I) (a + 2b)4 II) (x + V 2 )5 III) (a1/3 + b 1'3)5 
SOLU CIÓN I):
(a + 2b)4 = a4 + 8a3b + 24a2b 2 + 32ab3 + 16b4
SOLU CION II):
SOLU CIÓN III):
(X + V 2 )5 = X 5 + 5 \ 2x4 +
+ 20x3 + 20 \ 2x2 + 20x + 4\ 2
(a,/3 + b ,/3)5 = a5'3 + 5a4/3b 1/3 +
+ 10ab2'3 + 10a2/3b + 5a1/3b 4 3 + b 5'3
yl03 / Desarrollar los siguientes binomios:
I) (2x + 1/4 y3)5 II) (x2 + y2)5 III) (2xy + y3)4
SOLU CIÓN I):
(2x + 1/4 y3)5 = 32x5 + 20x4y 3 + 5x3y5 + 
+ 5/8 x2y 9 + 5/128 x y 12 + 1/1 024 y 15
SOLU CION II):
SOLU CIÓN III):
(xa + ya)5 = x10 + 5x3y a + 10x6y 4 + 
+ 10x4y e + 5xay “ + y ‘ °
(2xy + y 3)4 = 16x4y 4 + 3 2 x 3y 6 f 
f 2 4 x ay 8 f 8x y ‘° + y 12_______
\104J Desarrollarlos siguientes binomios:
I) (3x2 + 2y3)4 II) (1 /V 2 + V 2 /X )1
III) (2x + y /3 )4
SOLU CIÓN I):
(3x2 + 2y3)4 - 81x8 + 216x6y3 + 
+ 216x4y 6 + 96x2y 9 + 16y12
SOLU CIÓN II):
(1 /V 2 + \ 2 /x )10 = 1/32 + 5/8x + 45 /8x2 + 30 /x3 
+ 105/x4 + 252/x5 + 420/x6 + 480/x7 + 360/x8 + 
+ 160/x9 + 32 /x10
SOLUCIÓN III):
(2x + y /3 )4 = 16x4 + 32/3 x 3y + 24/9 x2y2 
+ 8/27 x y 3 + 1/81 y4
L 105.) Desarrollar los siguientes binomios:
I) (a - l )8 II) (3x - 2y)4 III) (2/x - \ V )4
SO LU CIÓ N I)
(a - l ) 8 = a8 - 8a7 + 28a6 - 56a5 + 70a4 
- 56a3 + 28a2 - 8a + 1
SO LU CIO N II): (3x - 2y)4 = 81x4 - 216x3y + 216x2y2 - 96xy3 + 16y4
SO LU CIÓ N III): (2 /x - / x ) 4 = 16 /x 4 - 3 2 V x /x3 + 2 4 /x- 8 V x + xa
o Desarrollar los siguientes binomios:
I) (V x - V 2 )5 II) (x3/5 - x2)4 III) (x2/2 - 3y)6
SO LU CIO N I)
(V i - V 2)5 = x2 V x - 5x2 V2 + 20x V i 
20 xV 2 + 20 V i - 4 V 2
SO LU CIO N II):
SO LU CIÓ N III):
(3x3'5 - x2)4 = x ,2/5 - 4x19'5 + 6x26'5 
- 4x33'5 + x8
(x2/2 3y)6 = x 12/64 - (9/16) x ,0y + (135/16) x V -
- (135/2) x6y3 + (1 215/4) x4y4 - 729x2y5 + 729y5
107. Hallar el valor de:
(x + y)!l - (x - y)!’
SO LU CIO N : (x + y)5 - (x y)5 = 10x4y f 20x2y3 + 2y5
108. Hallar el valor de:
(1 + V y )5 + (1 - V ^ )5
SO LU CIO N : (1 + V y )5 + (1 V y )5 = 2 + 20y + 10y2
109. Hallar el valor de:
( 3 - 2 V 3)3 - (3 + 2 V 3)3
SO LU CIO N : (3 2 V 3 )3 (3 + 2 V 3 )3 = - 156 V 3
110. Mediante el desarrollo del binomio de Newton, calcular los 
siguientes números con tres cifras decimales:
I) (0,99)3
SO LU CIÓ N I): 
SO LU CIÓ N II): 
SO LU CIÓ N III):
II) (3,OI)4 III) (1,98)5
(0,99)3 = 0,970
(3,OI)4 - 82,085
(1,98)5 = 30,432
111. Calcular directamente el término indicado en los desarro­
llos siguientes:
I) El 6.° término de (3a + b )9
II) El 3.° término de
III) El 8° término de (2a — y)1
SO LU CIÓ N I): Ts = 10 206 a4b 5
11
S O L U C IÓ N II):
SO LU CIÓ N III):
T , = ^ a x V x 
3 27
T . = - 2 5 344 a V
112. Calcular directamente el término indicado en los desarro­
llos siguientes:
I) El 6 ° término de (x — 2 y )8
II) El 14.° (x + 3y)17
III) El 23° término de (x + -----
SOLU CION I): T 6 = - 1 792 x 3y 5
SOLU CIÓN II):
SOLU CIÓN III):
T „ = 2 380 x4(3y)3
T ,, = 2 300
113. Hallar el término medio de los desarrollos siguientes: 
I) (x + y )10
II) ( x -
III)
2
a - 2
b - 2
SOLU CION I):
SOLU CIÓN II):
SOLU CION III):
T„ = 252 x 'y 5
«3 E 5T6 = g - x y
146 432 (a 2)’
729 (b - 2)7
114. Hallar los términos medios de los desarrollos siguientes: 
I) (3x2y + b 2)5 II) (2 - V 3 )5
SOLU CION I):
SOLU CIÓN II):
T3 = 2 7 0 b 4x 6y3 
T„ = 90 b s x4 y2
T3 = 240 
T. = -1 2 0 V 3
115. Hallar el coeficiente del término que a continuación se 
especifica en los desarrollos siguientes:
I) (3x + 4)10, cuya parte literal es x4
II) (2x + -^ - 'j , cuya parte literal es x
III) (x2 + 2x)’ °, cuya parte literal es x12
/ 2 V 1IV) I x2 -i I , cuya parte literal es x4
SO LU CIÓ N I): I Su coeficiente es: 6 9 6 7 2 9 6 0
SO LU CIÓ N II):
SO LU CIO N III)
S O L U C IÓ N IV ):
Su co e fic ie n te es: l i 2' 5’ 70 000
Su coe fic ien te es: (?) 3‘ ■ 11 520
Su coe fic ien te es: (V)2- 29 568
( 116?)Hallar el término que a continaución se especifica en los 
desarrollos siguientes:
I) 13x —------ ) , cuya parte literal es x5
II) (x2 + 2x)'°, cuya parte literal es x12 
III) (x3 — V x )15, cuya parte literal es x30
IV-) / 2 \ 5' x + x2 , cuya parte literal es x7
SO LU CIÓ N I):
El térm in o es: ( - 1 ) 1 \7 ¡36x s = - 7 • 36x5 = - 5 103 x 5
SO LU CIÓ N II):
SO LU CIÓ N III):
SO LU CIÓ N IV):
El térm in o es:( ) 28x 12 = 11 520 x1
El térm in o es : ( - 1 ) 6 (’ *) x30 = 5 005 x 3'
El térm in o es x 7 = — x7
117. Sabiendo que el penúltimo término del desarrollo de 
(2 + ax)nes4 0 x 3, halla el valor de «a» y «n».
SO LU CIO N : = VÜ ; n = 4
118. El segundo y el tercer término del desarrollo (1 + 2y)x son 
iguales a 16 y 96. Hallar «x» e «y».
SO LU CIO N : x = 4 ; y = 2
119. Los términos quinto y séptimo del desarrollo (1 + 2x)n tie­
nen por coeficiente de « x » , respectivam ente 1 120 y 1 792. Halla 
«n».
SO LU CIÓ N : n = 8
(120) Desarrollar los polinomios siguientes:
I) (x2 + 2x + l ) 3 II) (3x - 2y + l )3
SO LU CIÓ N I):
SO LU CIÓ N II):
(x2 + 2x + l ) 3 — x 6 + 6x5 + 15x4 + 
+ 20x3 + 15x2 + 6x + 1
(3x - 2 y + l ) 3 = 2 7 x 3 - 54 x 3y + 27 x 3 + 36xya 
— 3 6 x y + 9x — 8 y 3 + 1 2 ^ — 6 y + 1
(121) Halla el cuadrado de los polinomios siguientes:
I) (1 + 2x + 3x2)2 II) (1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4)2
SO LU CIO N I) :
SO LU CIÓ N II):
(1 + 2x + 3x2)2 = 1 + 4x + 10x2 + 12x3 + 9x4
(1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4)2 1 + 4x f 10x2 +
+ 20x3 + 35x4 + 44x6 + 46x6 + 40x7 + 25x8
122. Halla el cuadrado de los polinomios siguientes: 
I) (x + y + z + t)2 II) (x — y + z — t)2 
SO LU CIÓ N I):
(x + y + z + t)2 = x2 + y2 + z2 + t2 + 2xy + 2xz + 
+ 2xt + 2yz + 2yt + 2zt
12
SO LU CIÓ N II):
(x - y + z - t)2 = x 2 + y2 + z2 + t2 - 2xy + 2xz - 2xt 
— 2yz + 2yt - 2zt
123. Calcular (1 + x + x2)3 aplicando el binomio de Newton.
SOLU CIÓN:
(1 + x + x 2)3 1 • 3x 6x2 • 7x3 + 6x4 • 3x5 1 x 6
124. Desarrollar el polinomio: (x + y + z)3 
SOLU CIÓN:
(x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3x2z + 3y2x + 
+ 3 ^ + 3z2x + 3z2y + 6xyz
1. RESOLUCION
V5 3 = 5 ■ 4 - 3 = 60
abe bac cab dab eab
abd bad cad dac eac
abe baecae dae ead
acb bea cba dba eba
acd bed cbd dbc e b e
ace b ce ebe dbe ebd
adb bda eda dea eca
ade bdc cdb deb ecb
ade bd e ede dee ecd
aeb bea cea dea eda
aec b ec ceb deb edb
aed bed ced d ec ede
2. RESOLUCION
V4.i = 4 Variaciones monarias: 1,2, 3, 4
Variaciones binarias:
12 21 31 41
13 2 3 32 4 2
14 24 34 4 3
Variaciones ternarias:
123 213 312 412
124 214 314 413
132 231 321 421
134 234 324 423
142 241 341 431
143 243 342 432
R E S O L U C IO N D E L O S E JE R C IC IO S
V ., = 4 -3 -2 -1 = 24 ; Variaciones cuaternarias:
1234 2134 3124 4123
1243 2143 3142 4132
1324 2314 3214 4213
1342 2341 3241 4231
1423 2413 3412 4312
1432 2431 3421 4321
3. RESOLUCION
I)
Vm- t „ = (m - 1) (m - 2 )... (m - 1 - n + 2) (m - 1 - n + 1) = 
= (m - 1) (m - 2) ... (m - n + 1) (m — n)
s o l u c i ó n i): v m , n = (m - 1) (m - 2 )... (m — n + 1) (m - n)
II)
V + t.m + i = (m + U m ... [(m + 1) - (m + 1) + 2][(m + 1) - '
— (m + 1) + 1] = (m + 1) m ... (m + 1 — m — 1 + 2) 
(m + 1 — m — 1 +1) = (m + l)m ...2 1
SO LU CIÓ N II): v m + 1 ,m + 1 = (m + 1) m ... 2-1
III)
2,m-2 = (m ~ 2 )(m - 2)... [(m - 2) - (m - 2) + 2][(m - 2) - 
— (m — 2) + 1] = (m — 2) (m - 3) ... (m — 2 - m + 
+ 2 + 2) (m — 2 — m + 2 + 1) = (m — 2) (m — 3)...2-1
SO LU CIÓ N III): V (m - 2) (m - 3 )... 2 1
4. RESOLUCION
VxS = x (x - 1 ) (x - 2 ) (x - 3 ) ( x - 4))
6Vx3 = 6x(x - 1) (x - 2) 
x (x — 1) (x — 2) (x — 3) (x — 4) = 6x(x — 1) (x — 2) 
Efectuando operaciones, resulta:
x 2 — 7x + 6 = 0 ; x = 6 ; x = 1 no sirve
SO LU CIO N :
5. RESOLUCION
x = 6
8Vm4 = 8m(m — 1) (m — 2) (m — 3)
Vmj¡ = m(m — 1) (m - 2) (m — 3) (m — <
^ > 8m(m — l)(m — 2) (m — 3) =m (m — l)(m — 2) (m — 3) (m — 4)
Efectuando operaciones, resulta:
8 = m — 4 =?> nr= 12
SO LU CIO N : m = 12
6. RESOLUCION
2V„ 13 = 2.(x - 1) (x - 2) (x - 3) ■=>K .3 + VK - 1,2 = x (x - 1) (x - 2) + (x - 1) (x - 2) \
2(x - 1) (x - 2) (x — 3) = x (x - 1) (x - 2) + (x - 1) (x - 2)
13
Efectuando operaciones, resulta:
2(x — 3) = x + 1 ^ x — 7
SOLU CION:
7. RESOLUCION
x = 7
VL, = 9V„
vn,.3 = m (m - 1) (m - 2) 
9V 2 = 9m (m - í)
^ > m (m — 1) (m — 2) = 9m (m — 1)
Efectuando operaciones, resulta:
m — 2 = 9 => m = 11
SOLU CION: m = 11
8. RESOLUCION
32Vx3 = 32x (x - l ) ( x - 2) i
32x (x - 1) (x - 2) = 21x3
Efectuando operaciones, resulta:
1 l x 2 — 9 6 x + 64 = O ; x = 8 ; x = — no sirve
11
SOLU CION:
9. RESOLUCIÓN
VRx2 = x 2 
V , = x (x — 1)
SO LU CIÓ N : S = 48K II 00
Luego: x 2 - x (x — 1) = 12 
x 2 - x 2 + x = 12 
x = 12
SOLU CIÓN: x = 12 SO LU CIÓ N : S = 48
10. RESOLUCIÓN 16. RESOLUCIÓN
5Vm3 = 5m (m - 1) (m - 2) En total: V64 = 6 ■ 5 ■ 4 ■ 3 = 360
_ >5m (m — 1) (m — 2) = 24 (m — l )2
24VR„, t2 = 24 (m - l )2 )
Efectuando operaciones, resulta:
5m2 — 34m + 24 = 0 ; m = 6 ; m = no sirve
5
SOLU CION:
11. RESOLUCION
K . 1.2 = (x + V x
2VX , 2 = 2 ( x - l ) ( x - 2)
m = 6
(x + l ) x + 2 ( x - 1) (x - 2) = 82
Efectuando operaciones, resulta: 3x2 — 5x - 78 = 0 
13x = 6 ; x = — no sirve
SOLU CION:
12. RESOLUCION 
a . . 
e . . 4 ■ 3 = 12
=> 12 + 12 = 24
SO L U C IO N : 24
= 2 756
m (m — 1) = 2 756 rp m 2 — m — 2 756 = 0 ; 
m = 53 : m = —52 no sirve
13. RESOLUCION
SO LU CIO N : m = 53
14. RESOLUCION
Todos los n úmeros de una, dos y tres cifras, son menores que 1 000.
Vs, = 5
VM = 5 - 4 = 20 
V5 3 = 5 ■ 4 ■ 3 = 60
SO LU CIÓ N :
5 + 20 + 60 = 85
85
15. RESOLUCION
Sólo sirven los que em piezan por 2 ó 4 
2 ...
4 . . .
V43 = 4 - 3 - 2 = 24
24 + 24 + 48
También:
Se pueden formar: V5. 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 = 120
Los que empiezan por 5, 7 y 8 son m ayores que 5 000, así quedan 
sólo los qu e empiezan por 2 y 4 que son ¡os 2/5 del total:
120 ■ 240 = 48
Los que empiezan por 0 no sirven: VS3 = 5 ■ 4 ■ 3 = 60 
luego:
v 6,4 - v 5.3 = 260 - 60 = 300
SO LU CIO N :
17. RESOLUCION
SO LU CIO N :
300
S = 1 320
18. RESOLUCION
VZ3 = 7 - 6 - 6 = 210 
Empiezan p or 1:
1 . . ; V6 2 = 6 ■ 5= 30 i 
Empiezan por 7: 1 ^ 30 + 30=60 no sirven
7 . . ; V62 = 6 - 5 = 30 )
por ser m enores que 200 y m ayores que 700; luego:
210 - 60 = 150
SO LU CIO N :
19. RESOLUCION
S O L U C IO N :
150
20
14
V64 = 6 ■ 5 -4 ■ 3 = 360 
Empiezan por 5: D • • •
SOLU CIÓN:
20. RESOLUCION
V „ = 5 ■ 4 ■ 3 = 60
S = 360 ; 60
21. RESOLUCION
VL
154 440 
1 716
_ gg . m (m - 1) (m - 2) (m — 3) (m — 4) _
m (m — 1) (m — 2) 90
(m - 3) (m - 4) = 90 m 2 - 7m - 78 = 0 ;
m = 13 ; m = —6 no sirve
SOLU CION: m = 13
22. RESOLUCION
Con ¡as consonantes: V203 = 20 ■ 19 ■ 18 = 6 840 
Con las vocales: V52 = 5 ■ 4 = 20
Representando por C las consonantes y por V las vocales, resulta: 
C V C V C posición fija de las V
luego:
6 840 20 = 136 800
S - 136 800
23. RESOLUCION
Con ¡as vocales: V52 = 5 ■ 4 = 20 
Con ¡as consonantes: V42 = 4 ■ 3 = 12 
Posiciones relativas de m odo que no existan 2 C seguidas: 
C V C V ; C V V C ; V C V C 
El número total de palabras será:
20 • 1 2 - 3 = 720
S = 720
VR54 = 54 = 625
625 — 125 ~ 500 núm eros
24. RESOLUCION
Empiezan por 0: 
Luego:
SOLU CIÓN:
25. RESOLUCIÓN
En la quiniela intervienen catorce partidos, cuyos resultados pue­
den ser 1, X, 2, que se pueden repetir catorce veces, luego:
S = 500
VR3.U = 3 '4 ' 4 782 969
S O L U C IO N : S = 4 782 969
26. RESOLUCION
Terminan en 7;
SO LU CIO N :
78 125 = 15 625
S = 78 125 ; 15 625
27. RESOLUCION
a) V63 = 6 ■ 5 ■ 4 = 120núm eros de tres cifras
b) 120 = 20 : 3 ■ 20 = 60 núm eros que empiezan por 1,2, y
3 que son m enores que 400.
c) Acaban en 2, 4, 6 ;
. . 2 : V52 = 5 ■ 4 = 20 ¡
. . 4 ; V52 = 5 -4 = 20 20 + 20 + 20 = 60
. . 6 ; Vs,2 = 5 -4 = 2 0 )
d) Acaban en 1, 3, 5;
3 - V 52 = 3 - 2 0 = 60
. . 5 )
e) Acaban en 12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64;
8 ■ V., = 8 ■ 4 = 3 2
f) Acaban en 5;
. . 5 ; V52 = 5 ■ 4 = 20
SOLU CIÓN | S = a) 1 2 0 ; b) 6 0 ; c) 6 0 ; d) 6 0 ; e) 3 2 ; i) 2 0 | 
28. RESOLUCIÓN
a) VRI0 5 = 105 = 100 000 núm eros de cinco cifras 
Los que empiezan por 0 no sirven:
100 000 
10
= 10 000
luego;
100 000 — 10 000 = 90 000 núm eros de cinco cifras
b) 50 •• • ; VRW3 = 103 = 1 000 núm eros que empiezan por 50
c) 90 000 r,r,n ■---------------= 45 000 núm eros que son pares
,, 90 000 , onnn ■d) ---------------= 18 000 núm eros que son divisibles por 5
s o l u c i ó n : S = a) 90 000 ; b) 1 000 ; c) 45 000 ; d) 18 000
29. RESOLUCION
VR54 = 54 = 625 
625 = 125 números que acaban en cada una de las cifras 1, 2, 3, 4 y 5
5
La suma de las unidades es:
125 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 125 ■ 15 = 1 875
La suma de todos ellos, será:
S = 1 875 + 1 875 -10 + 1 875 100 + 1 875 ■ 1 000 = 2 083 125
S O L U C IO N : S = 625 ; S = 2 083 125
15
a) V ,. = 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 = 120 núm eros de cuatro cifras distintas
30. RESOLUCION
b) Terminan en 2 ó 4:
120
c) Terminan en 24:
. . 2 4
d) Son múltiplos de 25:
. . 2 5 ; V3J~-
e) Empiezan por 245:
= 24 : 24 - 2 = 48
V32 = 3 - 2 = 6
3 -2 V32 = 6
245 . ; V21 = 2
f) Suman todos ellos:
S = 24 (1 + 2 + 4 + 5 + 7) + 24 -10 (1 + 2 + 4 + 5 + 7) +
+ 24 ■ 100(1 + 2 + 4 + 5 + 7) + 24 ■ 1 000(1 + 2 + 4 + 5 + 7)
= 24 ■ 19 + 240 ■ 19 + 2 400 19 + 24 000 ■ 19 =
= 456 + 4 560 + 45 600 + 456 000 = 506 616
SO LU CIO N ;
| S = a) 120 ; b) 48 ; c) 6 ; d) 6 ; e) 2 ; f) 506 616
31. RESOLUCIÓN
Pc =5! = 5 • 4 ■ 3 ■ 2 • 1 = 120
SOLU CION:
32. RESOLUCION
120
Px = x! = x (x - 1) (x - 2) ... 3 ■ 2 ■ 156PX 2 = 56 (x - 2)! = 56 (x - 2) (x - 3) ... 3 ■ 2 ■ 1
x (x - 1) (x - 2) ... 2 ■ 1 = 56 (x - 2).. . 3 ■ 2 ■ 1 
Efectuando operaciones, resulta:
x (x — 1) = 56 x 2 — x — 56 = 0 : x = 8 ; x = — 7 no sirve
SOLU CION:
33. RESOLUCION
8
x! _ x (x - 1) (x - 2) (x - 3)!__ = ?20
(x - 3)1 (x - 3)1
Simplificando, resulta:
x (x - 1) (x - 2) = 720 ++ x :¡ - 3x2 + 2x - 720 = 0 
Solamente tiene una solución real, que es : x = 10
SOLU CION: x = 10
34. RESOLUCION
p = 24 = 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1 = 4! x = 4
SOLUCION: x = 4
35. RESOLUCIÓN
5 4 . . . ; P3 = 3! = 3 2 1 = 6 
Los núm eros de 5 cifras m enores que 54 000 son
- L p x = 5 - 4 - 3 - 2 => Px = 6 ■ 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 = 6! x = 6 
6
1 2 0 - 6 = 114
SO LU CIÓ N : X = 6 SO LU CIÓ N : S = 114
3PX = 3 - 2 => Px = 2 =í> x = 2
36. RESOLUCION
SO LU CIO N : x = 2
37. RESOLUCION
Px = x! = x (x - 1) (x - 2) ... 3 ■ 2 • 1
5PX _ , = 5 (x - 1)1 = 5 (x - 1) (x - 2) ... 3 ■ 2 ■ 1 
=> x (x - 1) (x - 2) ... 3 ■ 2 • 1 = 5 (x - 1) (x - 2) ... 3 • 2 ■ 1
Efectuando operaciones, resulta:
x = 5
SO LU CIO N : x = 5
38. RESOLUCION
6PX _ z = 6 (x — 2)1
Px = x! = x (x - 1) (x - 2)1 
resultando:
6 = x (x — 1) =$> x 2 — x — 6 = 0 ; x = 3 ; x = —2 no sirve
6 (x - 2)1 = x (x - 1) (x - 2)1
SO LU CIO N : x = 3
39. RESOLUCION
x (x — 1) _ x (x — 1) (x — 2)
Efectuando operaciones, resulta 
1 = x — 2
3 - 2
SO LU CIO N : x = 5
40. RESOLUCION
8 (x - 1)1 + 3x! = (x + 1)1
8 ( x - 1)1 + 3 x ( x - 1)1 = (x + 1) x (x - 1)1
Dividiendo p or (x — 1)1, resulta:
8 + 3x = (x + 1) x
8 + 3x = x 2 + x
x 2 — 2x — 8 = 0 =?> x = 4 ; x = — 2 no sirve
SO LU CIO N :
41. RESOLUCION
El núm ero de perm utaciones e s : P5 = 5! = 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1 = 120
Los núm eros que son m ayores que 54 000 son los que empiezan 
por:
16
V -
42. RESOLUCION 47. RESOLUCION
Teniendo en cuenta el orden de colocación de ¡as letras serán:
P, = 3! = 3 - 2 1 = 6
Teniendo en cuenta el orden de colocación de ¡os exponen tes 
serán:
P, = 3! = 3 - 2 1 = 6
El número total de m onom ios d iferentes que pod em os escribir, 
serán:
6 - 6 = 36
SO LU CIO N : 36
43. RESOLUCION
24 + 24 = 48
Empiezan y terminan en consonante:
L ____ S ; P4 = 4! = 24
S ____ L ; P4 = 4! = 24
Empiezan y terminan en vocal:
E . . . . O 
E •. •. I 
E . . . . A
Análogam ente: O, I, A ; resultando:
P. ■ V ., = 4! ■ 4 ■ 3 = 24 ■ 12 = 288
SO LU CIO N : S = 48 y 288
La posición relativa de vocales y consonantes es : C V C V C 
Las consonantes C ocupan los lugares 1, 3 y 5, luego serán: 
P3 = 3! = 3! = 3 ■ 2 ■ 1 = 6 
Las vocales V ocupan los lugares 2 y 4, luego serán:
P2 = 2 ! = 2 
El número total de palabras distintas son:
P, • P, = 6 ■ 2 = 12
48. RESOLUCION
SOLU CION:
• • J • • ; p4 = 4! = 24 ordenaciones
Las 3 consonantes ocuparán los lugares l . ° y 5.°
5 . . . J J . . . S N . . . S
5 . . . N J . . . N N . . . J
Resultando:
P, ■ V„, = 3! ■ 6 = 6 ■ 6 = 36
SO LU CIÓ N : s = 24 y 36s = 12
44. RESOLUCION
Las posiciones relativas son:
C V C V C ; C V C C V ; V C C V C ; V C V C C ; C C V C V 
Con ¡as vocales: P, = 2 1 = 2
Con las consonantes: P3 = 3! = 3 ■ 2 ■ 1 = 6 
El número total de palabras será:
5 ■ P, ■ P, = 5 ■ 2 ■ 6 = 60
SOLU CION: 60
45. RESOLUCION
Las posiciones relativas son : V C V C V C ; C V C V C V 
Con las V: P3 = 3! = 3 - 2 1 = 6 
Con las C: P3 = 3! = 3 - 2 1 = 6 
El número total de palabras será:
2 ■ P, ■ P, = 2 ■ 6 ■ 6 = 72
SOLU CION: 72
46. RESOLUCION
P5 = 5! = 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1 = 120perm utaciones 
120 = 24 perm utaciones que empiezan p or cada una d ela sle-
tras S, U, M, A y R
49. RESOLUCION
a) Pe = 6! = 6 ■ 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1 = 720
b) Son los terminados en 2, 4 y 6: ......2
 4 ? 3PB = 360
 6 J
c) Son ¡os terminados en 1, 3 y 5: ........1
 3 } 3PS = 360
 5 ¡
d) Son los terminados en 5: ........ 5 ; P5 = 120
s o l u c i ó n : | S = a ) 7 2 0 ; b ) 3 6 0 ; c ) 3 6 0 ; d ) 1 2 0 ~ |
5 0 . RESOLUCIÓN
Empiezan por 1, 2 y 3: 1 ........... \
2 ................ 3PS = 3 ■ 120 = 360
Empiezan por 51, 52, 53 y 58: 51 . . . . \
53 '.'.’.'. ^ 4P4 = 4 ■ 24 = 96
5 8 . . . . |
Empiezan por 591, 592 y 593: 591 • • • )
5 9 2 . . . > => 3P3 = 3 ■ 6 = 18
5 9 3 . . . J
Empiezan por 59 812: 59 812 • ; p t = j 
La dada 59 8132 ;
Ocuparía el lugar: 360 + 96 + 18 + 1 + 1 = 476
SO LU CIO N : S = 476
Empiezan por consonante:
24 ■ 3 = 72 palabras 51. RESOLUCION
S O L U C IO N : S = 120 y 72
Empiezan por a: a ; P6 = 6! = 720
Empiezan por b : b ; P6 = 6! = 720
17
Empiezan por ca: ca . . . .
Empiezan por cb: cb . . . .
Empiezan p orcd : c d ) =?> 5P5 = 600
Empiezan por ce : ce . . . .
Empiezan por cf: c í .........
Empiezan p orcg a b : . . . ; P3 = 3! = 6
La permutación cgad bef ocupa el lugar:
720 + 720 + 600 + 6 + 1 = 2 047
SOLU CION: S = 2 047 SO LU CIÓ N : S = 150
52. RESOLUCION
a) Se pueden formar:
P5 = 5! = 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1 = 120
Suprimiendo los que empiezan por 0, resulta:
120— - — = 24 empiezan por 0 
120 - 24 = 96
b) La suma de las unidades es: 24 (0 + 1 + 2 + 3 + 4) = 240. 
La suma total será:
S, = 240 + 240 ■ 10 + 240 ■ 100 + 240 ■ 1 000 + 240 ■ 10 000 
= 2 666 640
A esta suma hay que restarle los que empiezan por 0: 
24S2 = (1 + 2 + 3 + 4) 1 111 = 60 ■ 1 111 = 66 660
La suma de ellos es:
SOLU CION: S = a) 96 ; b) 2599980
53. RESOLUCION
a) P¡ = 6 ! 6 ■ 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1 = 1203! 3 - 2 - 1
b) A A ; P4 = 4! = 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1 = 24
c) Posiciones de las 3 vocales juntas:
A A A . . . 
. A A A . .
. . A A A . | 
. . . A A A
4 ■ P3 = 4 ■ 3! = 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1 = 24
c) C . . . . A ; P¡ = 2!
4 - 3 - 2 1 
2 ■ 1 = 12
SOLU CION: S = a) 120 ; b) 24 ; c) 24 ; d) 12
54. RESOLUCION
x! = 6 x!
( x - 3 ) ! 3 ! ( x - 2 ) ! 2 !
3 x (x - 1) (x - 2) (x - 3)! _ e x (x - 1) (x - 2)!
(x - 3)13 ■ 2 ■ 1 (x - 2)12!
Simplificando, resulta: 
x — 2 = 3 x — 2 = 6 x = ,
SO L U C IO N x = 8
55. RESOLUCION
p , , , - 71 _ 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1
7 21213! 2 -1 - 2 - 1 -3 ■ 2 ■ 1
Las que empiezan por 0 no sirven:
6! 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1p2.3 —
6 213! 2 - 1 - 3 - 2 - 1
= 60
El número total de núm eros de 7 cifras serán: 
210 - 6 0 = 150
56. RESOLUCION
U3.2.2 —rn 11!31212!
Empiezan y terminan en A : 
A .................... A ; P%2
= 1663200
9!
212!
9 0 7 2 0
SO LU CIO N : S = 1 6 6 3 2 0 0 ; 9 0 7 2 0
57. RESOLUCION
a) Pg — —~j— — 15120
b) Empiezan por S:
s ; p 48 =
c) Empiezan por A : 
A ................
4! = 1680
8!
; P g =~^q- = 6 720 s 3!
d) Empiezan y acaban por A :
.A ; Pi = = 2 5207 2!
e)
A A A A ..........
A A A A . . . . 
. A A A. A . . . 
. . A A A A . . 
. . . A A A A. 
. . . . A A A A
=> 6 -Ps = 720
SO LU CIO N :
S = a) 15 120 ; b) 1 680 ; c) 6 720 ; d) 2 520 ; e) 720
58. RESOLUCION
U2.2.3—7 7!21213! = 210
Los que empiezan por 0 no sirven:
5!
2 ¡ 3 !
= 10
El número total de números mayores que un millón será: 
210 - 10 = 200
S O L U C IO N : S = 200
18
a) M Q
!••• •! I•• *1
59. RESOLUCION
b)
■ £>4,3,5■> i7
12!
4! 3! 5!
= 27 720
M
3 ; P f = -
8 ! = 5 6
c) Q . • D4,2,4 __' r 10
3 ! 5 !
10! 
4! 2! 4! = 3150
d) M 
E3
8 l
■ P ¡ - 5 = — — = 5 6 
8 3! 5!
s o l u c i ó n : S= a) 27 720 ; b) 56 ; c) 3 150 ; d) 56
60. RESOLUCION
Combinaciones monaiias: C5, = 
a, b, c, d, e
Combinaciones binarias: C l, = -
1
5 ■ 4
= 5
cd
ce
P2
de
= 10
abb e 
ac bd 
ad be 
ae
V5-Combinaciones ternarias: C53 = — =*=
P)
ede
5 - 4 - 3
3 - 2 - 1
= 10
abe be d
abd bc e
abe bde
acd
ace
ade
Combinaciones cuaternarias: C5
abed bede
abee
abde
aede
Combinaciones quinarias: CS 5 = 
abede
5 - 4 - 3 -2 
4 - 3 - 2 1
= 5
V«, 5 - 4 - 3 - 2 - 1 
5 - 4 - 3 - 2 - 1
= 1
61. RESOLUCION
ii r - 2 - m (m ~ 1]
P, 2 -1 ( _ ^ m (m - 1) = 36 -p
m 2 - m - 72 = 0; 
m = 9 : m = - 8 no sirve
SOLUCION: m = 9
m (m — 1) (m — 2) 
3 - 2 - 1 ^ m (m - 1) (m - 2) = 7m
Efectuando operaciones, resulta: 
m 2 — 3m — 40 = 0 ; m = m = — 5 no sirve
SO LU C IO N : m = 8
III)
3 Cn3 = 3
m (m — 1) (m — 2)
V 3-
3 - 2 - 1
m (m — 1) (m — 2) (m — 3) 
4 - 3 - 2 1
m (m — 1) (m — 2)
3 - 2 - 1
Efectuando operaciones, resulta: 
m — 3
m (m — 1) (m — 2) (m — 3) 
4 - 3 - 2 1
3 = ■ = > m — 3 = 1 2 = ? > m = 15
SO LU CIO N :
62. RESOLUCIÓN
x (x — 1) (x — 2)¡
m = 15
2Cx3 = 2 3 - 2 - 1 >=> 2- = x ( x - l )
Vx 2 = x (x - 1)
3 - 2 - 1
Efectuando operaciones, resulta: 
(x - 2) = 1 => x - 2 = 3 => x = 5
SO LU CIO N :
63. RESOLUCIÓN
c X (x - 1) (x - 2)
*,3 3 - 2 - 1
C , = 40 (x - 2)
x = 5
=> = 40 (x — 2)
Efectuando operaciones, resulta:
x (x - 1) =240 x 2 - x - 240 = 0 ; x = 16 ; x = - 15 no sirve
SO LU CIO N :
64. RESOLUCION
4CRx 2 = 4 C x + h2= 4 -
Vx 3 = x (x - 1) (x - 2)
x = 16
(x + 1) X
^ 4 . <x + V * = x ( x - l ) ( x - 2)
Efectuando operaciones, resulta:
x 2 — 5x = 0 3p x (x — 5) = 0 x = Ono sirve ; x = 5
SO LU CIO N : x = 5
65. RESOLUCION
Dividiendo ambas expresiones, resulta:
20 . m (m - 1)... (m — n + 1)
10 m (m - 1)... (m - n + 1) 
n!
= 2 n! = 2 => n = 2
Sustituyendo es te valor de n = 2 en una de las expresiones 
dadas, resulta:
Cm 2 = 10^> - ■ (™ ~ V = 10 m 2 - m - 20 = 0 ,-
m = 5 : m = —4 no sirve
S O L U C IO N : i = 5 ; I n = 2 I
19
66. RESOLUCION
Cx 2 = 190 * ( x ~ = 1 9 0 => x 2 - x - 380 = 0 ;
x = 20 ; x = —19 no sirve
SOLU CION:
67. RESOLUCION
x = 20
(m + l)m
Efectuando operaciones, resulta:
m 2 + m — 56 = 0 ; m = 7 ; m = —8 no sirve
m = 7SOLU CION:
68. RESOLUCION
Vm 4 = m (m - 1) (m - 2) (m - 3)
= 20
m (m — 1) (m - 2) (m — 3) (m — 4) 
5 4 3 2 1
=2> m (m - 1) (m - 2) (m — 3) =
m (m — 1) (m — 2) (m — 3) (m — 4) 
5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1
Efectuando operaciones, resulta: 
m — 41 = -
SOLU CIÓN:
m — 4 = 6 m = 10
m = 10
69. RESOLUCION
C R „ = CS2 = = 28
SOLU CION:
70. RESOLUCION
S = 28
c - Ve., - 5 - 4 - 3 _ 10 
53 P, 3 - 2 1
SOLU CION:
71. RESOLUCION
S = 10
C63 = 6 5 4 = 20 
6'3 3 - 2 1
SOLU CION:
72. RESOLUCION
S = 20
„ 10 ■ 9 8
103 3 2 1 ~ 120
S O L U C IO N : S = 120
73. RESOLUCION
c =
SO LU CIO N :
10 ■
2 ■ 1 = 45
S = 45
74. RESOLUCION
C63 = 6 5 4 =20 6,3 3-2-1
SO LU CIO N : S = 20
75. RESOLUCION
Tomándolas de 1 en 1: C61 = 6
6 ■ 5Tomándolas de 2 en 2: C ,, = ---- — = 1 5
Tomándolas de 3 en 3: C, , = ———- —— = 203-2-1
6 ■ 5 ■ 4 ■ 3Tomándolas de 4 en 4: C6 4 = — —- —- —— = 1 5
6 ■ 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2Tomándolas de 5 en 5: C ,, = ----------- —--------= 6
65 5 - 4 - 3 - 2 ■ 1
6 ■ 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1 
Tomándolas de 6 en 6: C66 = — —- —-—-—- —— = 1o - 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1
El núm ero total de pesadas d iferentes es:
6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63
SO LU CIO N :
76. RESOLUCION
Con las vocales: CL, =
S = 63
5 ■ 4
= 10
6-5-4Con las consonantes: C „ , = ------------------------------= 20
63 3 - 2 - 1
Número de palabras: Ps = 5! = 5 • 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1 = 120.
El número total de palabras que puede formarse será: 
1 0 - 2 0 - 120 = 24 000
SO LU CIO N : S = 24 000
77. RESOLUCION
Los grupos que s e pueden formar son:
„ 1 8 - 1 7 - 1 6 - 1 5C,B4 = ---------------------------- = 3060
4 - 3 - 2 1
Un alumno entra en un grupo determ inado:
„ _ 1 7 - 1 6 - 1 5Liit - t— :---------- = 68 0veces3 2 -1
No entra dicho alumno:
^ _ 1 7 ■ 1 6 ■ 1 5 ■ 14 _—17 4 ------------------------------------- = HJaU veces
4 - 3 - 2 1
S O L U C IO N : S > 3 0 6 0 ; 6 8 0 ; 2 3 8 0
20
Encendiendo un foco : CS1 = 5
78. RESOLUCION
5 - 4
Encendiendo dos focos: C52 = = 10
5 - 4 - 3Encendiendo tres focos: C3, = ----------------= 1 05.3 3 - 2 - 1
El número total de señales luminosas es:
SO LU CIÓ N :
( ! ) —SOLU CIÓN: S = 25
79. RESOLUCIÓN
II)
ñ - 6! 6!
Tomando los 5 factores negativos: C5 S = 1 \s) 5 1 ( 6 - 5 ) 1 5! 1!
Tomando un factor negativo y 4 positivos: C5 I ■ CS4 = 5 ■ 5 = 25 También:
Tomando 3 factores negativos y 2 positivos: 
c 5.3 • c 52 = 1 0 1 0 = 100
El número total de productos negativos de 5 factores distintos 
será :
1 + 25 + 100 = 126
SOLU CION: 126
80. RESOLUCION
Se pu ed e hacer el reparto, dando 2 ju gu etes a uno de los niños y 
1 juguete a cada uno de los otros dos niños:
C = —— — = 64 .2 2
V3.2 = 3 -2 = 6
El número de maneras distintas de repartir los ju gu etes son: 
6 - 6 = 36
SOLU CION:
81. RESOLUCIÓN
36
C„„ = —- —- —- —— = 126 maquinistas 94 4 - 3 - 2 1
C3, = —— = 3 capitanes
El número de tripulaciones que se puede obtener será: 
126 3 = 378
SOLU CIÓN:
82. RESOLUCIÓN
En ¡a primera urna: CW 5
S = 378
1 0 - 9 - 8 - 7 - 6
5 - 4 - 3 - 2 - 1 
Quedan para distribuir: 10 — 5 = 5 bolas
5 - 4 - 3En ¡a segunda urna: CL, = ----------------= 10
93 3 - 2 - 1
Quedan para distribuir: 5 - 3 = 2 bolas
= 252
2 ■ 1En la tercera urna: C ,, = ---------
2.2 2 • 2
= 1
El número total de distribuciones será:
252■10 - 1 = 2 520
SOLUCION: S = 2 520
83. RESOLUCION
I)
V.
3! 3 1 ( 8 - 3 ) 1
También:
8! 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1
315! 3 - 2 - 1 ■ 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1
= 8 - 7 = 56
8 - 7 - 6
3 - 2 - 1 = 8 - 7 = 56
6 ■ 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1 = 6
6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 
5 - 4 - 3 - 2 - 1 = 6
SO LU CIO N :
III)
il0\ 10! 10!
4 I _ 4/(10 - 4)1 ~ 416!
10 ■ 9 ■ 8 7 ■ 6 ■ 5 4 ■ 3 2 ■ 1
4 - 3 - 2 - 1 - 6 - 5 - - 3 - 2 - 1
= 210
También:
10 1 0 - 9 - 8 - 7
4 - 3 - 2 1
= 2 1 0
SO LU CIO N :
84. RESOLUCIÓN 
I)
210
5 • 4 
2 • 1 = 10
5 - 4 - 3
3 - 2 - 1
= 10
= 10
SO LU CIO N I): 10
II)
8 - 7 - 6 - 5 - 4 
5 - 4 - 3 - 2 - 1
= 56
= 56
8 - 7 - 6
3 - 2 - 1 = 56
SO LU CIO N II): 56
III)
9 - 8 7 - 6
4 - 3 - 2 1
= 126
=>
9 ■ 8 ■ 7 ■ 6 ■ 5
= 126
5 - 4 - 2 - 1
= 126
SO LU CIO N III): 126
21
85. RESOLUCION
25 
25 - 22
25 - 2 4 ■2 3 
3 - 2 - 1
= 2300
SOLUCIÓN I): 2 300
II)
100\ _ j 100 
99 ! ~ \100 - 99
SOLUCIÓN II):
100
= 100
III)
324
323
324 
324 - 323
SOLUCIÓN III):
IV)
195
193
195 
195 -1 9 3
SOLUCIÓN IV):
86. RESOLUCION
I)
4
2
4
3
4 ■ 3 
2 ■ 1 
4 - 3 - 2
3 - 2 - 1
= 6 
= 4
+ |*l = 6 + 4 = 10)
* (í) + (S
5 - 4 - 3
3-2-1
5
= 10
= 10
SOLUCIÓN I): 10
7 ■ 6 ■ 5 ■ 4 
4-3-21 
7 ■ 6 ■ 5 ■ 4 ■ 3
5 - 4 - 3 - 2 - 1
= 35 
= 21
7 ' + í 7j = 35 + 21 = 56
( 9” ) - 100 SOLUCIÓN I): x = 5
II) 7 + 4 = x=> x = 11
(“ ) - « SOLUCIÓN II): x = 11
( £ ) - «
III) 2 + 8 = x = > x = 1 0
SOLUCIÓN III):
OIIX
^195j _ 195- 194
--------- = 1 8 9 1 5
1 88. RESOLUCIÓN
; 195
193 18915 SOLUCIÓN I): x = 17
8 - 7 ■ 6 - 5 - 4 
5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1
8 ^ = 56
•=>
= 56 1
SOLUCION II): = 56
III)
11
5 
11
6
IV
12
6
1 1 ■ 1 0 - 9 - 8 - 7
5 - 4 - 3 - 2 - 1
1 1 - 1 0 - 9 - 8 ■ 7 - 6
6 - 5 - 4 - 3 - 2 ■ 1
+ (” ) = 462 + 462 =
1 2 - 1 1 - 1 0 - 9 8 ■ 7
= 462
= 462
6 - 5 - 4 ■3 ■2 - 1
=924 1
12 = 924
SOLUCION III): V) + (V)* ri 924
87. RESOLUCION
Para que dos números combinatorios del tipo y sean
iguales, es necesario que se verifique: m = n + n' para que se 
cumpla que:
m! m!
n! (m — n)! n ’ ! (m — n ’)!
I) 3 + 2 = x = > x = 5
I) x + x + 6 = 40 2x + 6 = 40 2x = 34 =í> x = 17
II) x + x + 2 = 10 4> 2 x + 2 = 10 4> 2x = 8 ^ x = 4 
SOLUCIÓN II): x = 4
III) x + x — 3 = 15 2x — 3 = 15 => 2x = 18 => x = 
SOLUCIÓN III): x = 9
89. RESOLUCION
I) Teniendo en cuenta la propiedad:
m + 1 
n + 1 + n + 1
Resulta: 
6 luego: x = 5
SOLUCIÓN I): x = 5
ni
8 + ( 65 ) ; resulta: x = 7
SOLUCIÓN II): x = 7
III)
31 + \4 resulta: x = 9
SOLUCIÓN III): x = 9
22
IV)
(!) - (!) ♦£ ; resulta: x = 2 ; x = 6
SOLU CIÓN IV): x = 2 ; x = 6
V)
10
x ■jj ; resulta: x = 3
SOLU CIÓN VI): x = 3
VI)
3 + (g ) ; resulta: x = 4 ; x = 1
SOLU CION VI):
90. RESOLUCIÓN 
I)
Q— (í
x = 4 ; x = 1
6 ■ 5 
2 ■ 1
= 15
SOLU CION I): x = 15
II)
0 ? ) = x + (®,41 \4! 6 - 5 - 43 - 2 - 1 = 20
SOLU CIÓN II): x = 20
III)
\3! = x + {3} => x = [2
5 ■ 4 
2 ■ 1
= 10
x = 10SOLU CIÓN III):
91. RESOLUCIÓN 
I)
= 36 => = 36 x ( x - 1) = 72 => x = 9
SOLU CIÓN I) x = 9
II)
(x\ x ( x - 1) (x - 2) . . . . .
U)=x ^ — m — =x ^ =>
x 2 — 3x — 4 = 0 : x = 4 ; x = —1 no sirve
SOLU CIÓN II): x = 4
III)
IX\ ( x \ ^ x (x - 1) (x - 2) (x - 3) _ x ( x - l )
\4/ _ \2/ 4 -3 - 2 1 2 0 ' 2
(x - 2) (x - 3) = 240 => x 2 - 5x - 234 = 0 
x = 18 ; x = - 1 3 no sirve
SOLUCIÓN III): x = 18
IV)
SOLUCIÓN IV):
= > 5 + 6 = x ^ > x = l l
X = 11
V)
(2x)\
x! (2x - x ) ! 
(2x)í
= 15 (2x - 2)!
= 15-
(x - l ) ! [ 2x - 2 - ( x - 1)1! 
(2x - 2)!
4
x ! x ! ‘ (x - l ) ! ( x - 1)! 
Transponiendo términos queda: 
(2x)! ( x - l ) ! ( x - l ) !
x !x ! (2x — 2)!
Y operando resulta:
2x (2x — 1) _
= 15
Recordar que:
(2x)\ = 2 x (2 x - 1) (2x - 2)! 
x! = x (x - 1)!
8x (2x - 1) = 15x2^> x (x - 8) = 0=£ x = 0 no sirve x - 8 = 0 x = 8
SO LU CIÓ N V ): x = 8
VI)
x (x — 1) (x - 2) _ x (x — 1) (x — 2) (x — 3)
3 - 2 - 1
x — 3 
24
4 - 3 - 2 - 1
=> 8 = x — 3 => x = 11
SO LU CIÓ N VI): X = 11
VII)
38 (2) + 24 (2 = 325X
18- X ( X ~ 1} + 24 ■ = 1 2 5 x
2 3 - 2 - 1
9 (x - 1) + 4 (x - 1) (x - 2) = 125
21
x = 6
4x2 - 3x — 126 = 0 : x = 6 ; x = 
SO LU CIÓ N VII):
VIII)
„ ¡x + 2\ - „ ( x + 1 
3 ( 5 ) = 4 ( 2
3 (x + 2) ( x + l ) x _ j ( x + l ) x
- no snrve
3 - 2 - 1 2 ■ 1
x + 2 = 2 x + 2 = 4 x = 2
x = 2SO LU CIO N VIII):
92. RESOLUCIÓN 
I)
1 + x + X X^ ~ 3/1 + , x <x ~ U( x ~ 2) _ x ( x 2 + 6)
2 3 2 6
6 + 6x + 3x (x - 1) + x (x — 1) (x — 2) = x (x2 + 6) 
6 + 6x + 3x2 — 3x + x 3 — 3x2 + 2x = x 3 + 6x 
6 — x = 0 =)> x = 6 
SO LU CIÓ N I): X = 6
23
II)
x (x - 1) + (x - 1) (x - 2) + (x - 2 ) ( x - 3 ) = 1 3 6
2 2 2 
x (x - 1) + (x - 1) (x - 2) + (x - 2) (x - 3) = 272 
x 2 — x + x 2 — 3x + 2 + x 2 — 5x + 6 = 272 
3x2 - 9x - 264 = O 
x 2 — 3x — 88 = O 
x = 11 ; x = — 8 no sirve
SOLU CIÓN II): X = 11
93. RESOLUCION
De la ecuación primera se deduce:
y + y + l = x ^ > 2 y + l = x (1)
Sustituyendo e s te valor de x en la segunda ecuación, resulta: 
7 [2 y + 1 \ = 8 ¡2 y + 1
y + i y - 1
de donde:
(2y + 1)1
(y + l ) ! [ 2y + 1 - (y + 1)]!
(2y + 1)1
(2y + 1)!(2y + 1 ) 1 ___________________
(y + 1 ) ! y! ( y - 1 ) ! ( y + 2)!
=> y = 1 4
Simplificando: 
_ 7 8
y y+ 2
Sustituyendo es te valor de y = 14 en (1); resulta x = 29 
SOLU CIÓN: x = 29 ; y = 14
94. RESOLUCION
Luego:
4 > y - l + y = x ^ > x = 2 y - l (1)
4 ■ (2y - 1)1
y! [2y - 1 - y]!
= 5 ■ (2y - 1)1(y - 2)! [ 2 y - l - ( y - 2)]!
y! (y - 1)1
Simplificando:
4 5
= 5 ■
(y - 2)1 (y + 1)\
y =9y - 1 y+1
Sustituyendo e s te valor en (1); resulta x = 17
SOLU CION:
95. RESOLUCION
x = 17 ; y = 9
¡x\ IX\ x (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4)
U ) \6I 5 -4 - 3 - 2 1
= 2 x (x — 1) (x - 2) (x — 3) (x — 4) (x — 5)
Simplificando: 
2 (x - 5)3 =
6 ■ 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1
=> 9 = x — 5 => x = 14
Sustituyendo e s te valor de x en la segunda ecuación, resulta: 
I 14 \ ¡14\
[y - 2 y - 2 + y = 1 4 = > 2 y = 1 6 = > y = 8
S O L U C IO N : x = 14 ; y = 8
96. RESOLUCION
5 g) =3 (*)=> s- y(y: 1) =3- y(y-»J y - 2 )
3 - 2
Simplificando: 5 = y — 2 y = 7
Sustituyendo e s te valor de y = 7 en la segunda ecuación resulta: 
= p 6 + 7 = x ^ > x = 1 3
(y - 1)1 [ 2 y + 1 — (y — 1)]!
SO LU CIO N :
97. RESOLUCION
x = 13 ; y = 7
, y + l ) \ 2 y - l l ^ y + 1 + 2 y - í = X ^ 3y = X 
Sustituyendo e s te valor en la otra ecuación, resulta:
/3y\ = _ 2 _ ( 3y 
■\y ) 3 \y + 2
(3y)t _ 2 (3y)!
y! (2y)! 3 (y + 2)1 [3y - (y + 2)1!
(3y)\ <3y)!
y! (2y)! 3 (y + 2)1 (2y - 2)!
Teniendo en cuenta:
(2y)! = (2y) (2y - 1) (2y - 2)! 
(y + 2)! = (y + 2) (y + 1) y!
resulta:
(3y)\ (3y)i
y! (2y) (2y - 1) (2y - 2 ) ! 3 (y + 2) (y + 1) y! (2y - 2)!
Simplificando:
1 2 1
<2y) (2y - 1) 3 (y + 2) (y + 1)
Efectuando operaciones: 5y2 — 13y — 6 = 0 ;
y = 3 ; y = — 2/5 no sirve 
Sustituyendo y = 3 en (1); resulta: x = 9
SO LU CIO N :
98. RESOLUCIÓN
1.a parte:
x = 9 ; y = 3
para n = 1 es: 1 = —— - 1 - 2 = 1
2.a parte:
para n = m es:
1
1 + 2 + 3 + ... + m = - ^ - m (m + 1) (1)
Sumando m + 1 a ¡os dos m iem bros de (1), resulta:
11 + 2 + 3 + ... + m + m + 1 m (m + 1) + (m + 1)
o sea :
1 + 2 + 3 + ... + m + m + l — — (m + 1) (m + 2)
24
El valor m + 1 que hem os sumado a los dos m iem bros de (1) ha 
sido de hacer n = m + 1 en la igualdad dada.
La igualdad dada s e verifica para todo n = 1 y también para 
n = m + 1, y, por tanto, es cierta para todo n.
Si la igualdad es cierta para n = 1, también es cierta para 
n = m + 1, y por tanto, para todo n.
SOLU CION:
99. RESOLUCION
para to d o n
1.a parte:
para n = 1 es : 2 — 1 - 2
2.a parte:
paran = m es : 2 + 4 + 6 + ... + 2m = m (m + 1) (1)
Sumando 2 (m + 1) a los dos m iem bros de (1), resulta:
2 + 4 + 6 + ... f- 2m -t 2 (m + 1) — m (m -t- 1) -h 2 (m ~t~ 1) 
o sea:
2 + 4 + 6 + ... ~h 2m + 2 (m -h 1) — (m + 1) (m + 2)
La igualdad dada s e verifica paran = 1, también paran = m + 1,
y, por tanto, para todo n.
SOLU CION: para to d o n
para to d o nSO LU CIO N :
102. RESOLUCIÓN 
I)
(a + 2b )2 = ^ j a32b + Q j a 2 (2b)2 + Q ja (2b)3 + g p > r =
Ja4 + 4a32b + 6a24b2 + 4a 8b3 + 1 • 16b4 = 
= a4 + 8a3b + 24a2b 2 + 32ab3 + 16b4
SO LU CIO N : (a + 2b)4 = a4 + 8a3b + 24a2b 2 + 32ab3 + 16b4
II)
(x + V 2 ) 5= y x 5 + [1 )x 4' x/2 + \2jx3(V ^)2 + \3 )x 2<V 2 )3 +
y ( V 2 ) 4 + ( j)fV Í?)5 = 1 ■ x 5 + 5x4V 2 + 10x3■2 + 10x2 - 2 V 2 +
+ 5 x - 4 + l - 4 V 2 = x 5 + 5 V 2 x 4 + 2 0 x3 + 2 0 V 2 x 2 + 
+ 20 x + 4 V 2
SO LU CIO N :
100. RESOLUCION
1.a parte:
para n = 1 e s : 1 = l 2
2.a parte:
para n = m es : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2m — 1) = m 2 (1)
(x + V 2 )5 = x5 + 5 V 2x4 + 20x3 + 20V 2x2 + 20x + 4 V 2
III)
(a„ + b ^ = [5 ) ( a ' r + ñ í a ' r (b ,/3) + { ^ ( a 1'3) 3 (b I/3) 2 +
Sumando a los dos m iem bros d e ( l ) el núm ero 2m + 1, inmediato 
número impar positivo, resulta:
1 -h 3 -f 5 -h 7 f- ... + (2m — 1) ~f~ (2m + 1) = m 2 -h 2m -h 1 
o sea:
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2m + 1) — (m + 1) z
La igualdad dada se verifica paran = 1, también paran = m + 1, 
y, por tanto, para todo n.
SOLU CION:
101. RESOLUCIÓN
1.a parte:para to d o n
para n = 1 es : 1 = —— ■ 1 ■ 2 ■ 3 = 1
2.a parte: 
para n = m es:
l 2 + 2 2 + 32 + ...m2 = —^—m (m + 1) (2m + 1)
Sumando (m + l )2 a ¡os dos m iem bros de (1), resulta:
12+ 22 + 32 + ... + m 2+ (m + l )2 =
= —-— m (m + 1) (2m + 1) + (r.n + l ) a 
6
Efectuando operaciones en el segundo miembro, resulta: 
l 2 + 22 + 32 + ... + m 2 + (m + l )2 =
(1)
(m + 1) [m (2m + 1) + 6 (m + 1)]
12 + 22 + 32 + ... + m 2 + (m + l )2 = (m + 1) [2m 2 + 7m + 6]
6
l 2 + 22 + 32 + ... + m 2 + (m + l )2 = — (m + l ) (m + 2) (2m + 3)
6
+ (® )fe1/3) 2 (b ,/3) 3 + Q ( a 1/3) (b I/3) 4 + (55)(b u3f =
= a5'3 + 5a4/3b 1/3 + 10ab2'3 + 10a2/3b + 5a1/3b 4/3 + b 5/3 
SO LU CIÓ N
(a13 + b 1'3)5 = a5* + 5a4'3b 1'3 + 10ab23 + 10a2,3b + 5a1 "b473 + b 5'
103. RESOLUCION 
I)
2 x H ~ 7 f = (o ) (2x>5+ ( i ) í 2 x / ( " T y 1 + f y (2x)J^ y J ) +
5) / 1
+ \ J ( 2 x ) \ ^ y \ + r J 2 x) \ - ^ r y ) + r5 j [ - f y
o o 5 . 4 3 , r- 3 6 , 5 2 9 , 5 12 , 1 1.= 32x + 20x y + 5x y -t x y i -------------x y -I---------------y
y 8 128 y 1 024 y
SOLUCION:
II)
(x + y ) = [ 0 ) (x ) + [ 1) ( x T ( y f + [ 2 j ( x T ( y T +
+ Q t x Y t y 2) 3 + (® ) (x2)(y 2) 4 + (y2) 5 =
= x '° + 5 x By 2 + 10 xey 4 + 7 0x4y6 + 5 x 2y ñ + y 10 
SO LU CIO N :
| ( i1 + yY = x'° + 5x*ya + 1 Q V + lQ x4y* i 5xJy* t "y"
25
(2xy + y 3) 4 = Q j(2xy )4 + (J j (2xy)3(y3) + (J j (2xy f (y3)2 +
III)
+ (J| Í2xy) (y3)3 + i^ j(y3)4 =
= 16x4y 4 + 32x3y e + 24x2y 8 + 8 xy10 + y 12
SOLU CION:
(2xy + y3)* = 16x*y* + 32x3y6 + 24x2ya + 8xy'° + y12
104. RESOLUCION 
I)
(3x2 + 2 y 3) 4 = i^ j(3x2) 4 + Q ( 3 x 2) 3(2y3) + (^ j(3x2) 2(2y3) 2 +
+ Q t f x 2) ^ 3) 3 + (44 j(2 y3) 4 =
= 81x8 + 216x6y 3 + 216x4y 6 + 96x2y 9 + 16y'-
SO LU CIO N :
(3x2 + 2y3)4 = 81x8 + 261x6y 3 + 2 1 6 x V + 96x2y 9 + 16y ’
II)
¡10) ¡ I V" ¡10) ( 1
\ 0 l \ V 2 ) \ l l \ V I
V2
10\ ( 1 ) 8 ( V I
2) \vl
¡10) / i Y i V i 
l 4 / \Vl
10\ i 1
1 ) 7 ( V I ) 2 
31 \vl) \ x l
10\ / 1 \ 5 ¡ V I V
6 ' \VI
10\ I 1
V I V ¡10) ( I_
x \7 I \ V 2
5 ! \ v l ! ' x '
V I
V i \® (10 \
8 1 [ V i l \ x ! \ 9 l \ V I
X
1 ) (V2
10\¡Vl 1 + 5 45 + 30 + 105 +
101 \ x 32 8x 8x-
, 252 , 420 , 480 360 160 , 32
c ' c ’-y + n -tr,
SOLU CION:
III)
\2x +
y I3 , 14 \ ¡y \+r3)<2* n f f +\4)itr=i6xí + - f - * y+ ír +
, 8 3 , 1 4i r^r xy + y
27 7 81
SOLU CIÓN:
105. RESOLUCION
I)
( a - l ) s = Q a s + Q a 7( -1 ) + Q a e( - 1 ) 2 + Q a 5( - 1 ) 3 +
+ ( V m A ( % 3( -v 5+ (% 2( - d6+ (®V - d7+ ( !)m /=\4/ \5/ \6/ \7j \8)
= a8 - 8a7 + 28a6 - 56a5 + 70a4 - 56a3 + 28a2 - 8a + 1
SO LU CIO N :
(a - l ) 8 = a8 - 8a7 + 28a8 - 56a8 + 70a4 - 56a3 + 28a2 - 8a + 1
II)
(3x - 2y )4 = ^ J(3x) “ + |^ j (3 x )3( - 2 y ) + {^j(3x)2( -2 y ) 2 +
+ Q ( 3 x ) ( - 2 y f + Q ( - 2 y ) 4 =
= 81x4 - 216x3y + 216x2y 2 — 96xy3 + 16y4
SO LU CIÓ N :
(3x - 2y)4 = 81x4 - 216x3y + 216x2y 2 - 96xy3 + 16y4
III)
2_ 
x
16 3 2 r - 2 4 r~-----------------------y x H---------------- 8 V x + .
SO LU CIO N :
T 2 r- - - Vi
' X
16 3 2 2 4----------------------- Vx h---------------- 8 / 1 + x2
106. RESOLUCION 
I)
v x _ \ / 2 ) 5 = I /1Z\5 , í^ \ / 4 / Z I \ 4 / , ( 5o r / x F + [~ ) (V x)4 ( - V I ) + Q ( V l ) 3( - V I ) 2 +
[3j ( V x ) 2 ( - V 2 ) 3 + Q ( W ) ( ~ V 2 ) 4 + [ ^ j ( - V 2 ) 5 =
= x 2 V x - 5x2 V 2 + 20x V x - 20x V 2 + 20 V x - 4 V 2
S O LU CIO N :
(V x - V 2)5- x2 V x - 5x2 V 2 + 20x V x - 20x V 2 
+ 20 V x - 4 V 2
II)
(xj,b- xr = ’ (x r + ; ) ( xf ( - x2) + r\(x3/5)2( -x2)2 +
/ 4 \ / 3/ 5» / 2x3 , ( 4 \ / 2\4
í \(x ) ( ~ X ) + I \ ( ~ X ) =
— 2^12/5 £^19/5 Q^26/5 33/5 _j_
SO LU CIÓ N : (x3/5 - X 2)4 = X ,2/5 - 4x19/5 + 6x28/5 - 4x33/5 + X 8
26
III)
X'
— - 3 y f = ñ ( ^ 2 y ) \0)\ 2 + (í) HH ( ~ 3 y ) +
+ (6) (_*!.) V3y;a+ (®H—
\ 2 ) \ 2 ) y \ 3 ) \ 2
( - 3 y f + ( f ) ( -4 H (-3y)* +
1 6
IV i
- x y +
1 3 5 8 2 1 3 5 6 3 , 1 2 1 5 4 4 ~ o c ¡ 2 5 , 7QQr 6
 x v -------------------- x y -I----------------------x y — 7 2 9 x y + 7 2 9 y
1 6 y 2 4
SOLU CION:
107. RESOLUCION 
II)
( x + y ) 5 - ( x - y ) 5 = g ) x 6 + { f j x 4y + ( f V 7 * + +
1 5 ) 4 í 5\ 5
u r + s)7
+ c k - n y
¡ 5 ) 5 ¡ 5 ) 4 ¡ 5 \ 3 2 ( 5 ) 2 3 ^
x — x y + { x y - x y +
\ 0 \1 \ 2 ) y \3J
= 2 Q x 4 y + 2 Q x V + 2 {55)yS:
= 1 O x 4y + 2 0 x 2y 3 + 2 y s
SOLU CIÓN: (x + y)5 - (x - y )5 = 10x4y + 20x2y3 + 2y5 SO LU CIÓ N I): T6 = 10 206 a4b 5
108. RESOLUCIÓN II)
(1 + \ y ) 3 + (1 - V y )6 =
+ U j ' V) +
(® )rV*)s + [ l ) ( V y ) 4 -
4 = 2 + 2 0 y + l O y 2
SOLUCION: (1 + V y )5 + (1 - V y )5 = 2 + 20y + 10y2
109. RESOLUCION
( 3 - 2 V 3 ) 3 - ( 3 + 2 V 3 ) 3 =
[o]33 ~ (j )3¡ (2 ^ + {l)3 (2 ^ ~ (f)(2 ^ ~ 
(o)3' + (l)3" <2 ^ + [l)3 (Z V3/P + {t)(2 ^
= - 2 ( 2 V 3 ) - 2 ( 3 j ( 2 V 3 ) 3 = - 1 5 6 V 3
SOLU CION: ( 3 - 2 V 3 )3 - (3 + 2 V 3 )3 = - 156 V 3
110. RESOLUCION
I)
(0,99)3 = (1 - 0 , 0 l f = ( l — ')3= (3')— ( ? )— — + (? ) (——
V 102 1 \o! \1¡ 102 \2/ \ 10
I 3 ) i J - Y = 1 - J - + -1_____ L .
\3 I \ 102! 102 104 i o e
= 1 - 0 , 0 3 + 0 , 0 0 0 3 - 0 , 0 0 0 0 0 1 = 1 , 0 0 0 3 - 0 , 0 3 0 0 0 1 = 
= 0 , 9 7 0 2 9 9 = 0 , 9 7 0
SO LU CIO N I): (0,99)3 - 0,970
II)
( 3 , O I ) 4 = ( 3 + 0 , 0 1 ) 4 =
=(3+—y=(íV+ (fV—+ (fV(—y2+1^)3
1 0 2 ) \ 0 J \ 1 ) 1 0 2 \ 2 ) \ 1 0 I \ 3 )
+ ( y f ) ( — Y = 8 2 , 0 8 5\4l \io2)
102 !
SO LU CIO N II):
III)
( 1 , 9 8 ) 5 = ( 2 - 0 , 0 2 ) 5 =
- (3 - J U ’ - L V - í f i j
(3,OI)4 = 82,085
102 ! \o) , r 102
3 0 , 4 3 2
(1,98)5 - 30,432SO LU CIÓ N III):
111. RESOLUCIÓN 
I)
T 3 * , = T e = ^ ) ( 3 a ) 9 ~ s( b ) 5 = ^ J ( 3 a ) 4(b)5 = 1 0 2 0 6 a 4b 5
T2+1 —T3 — 5 \ ¡ a V x \ s ~ 2 I 1 \ 2 ¡ 5 ) í a V x V I 1 \ 2
2 \ 3
10
a x V x
2 7
SO LU CIÓ N II):
10 . /— T3 = ^ a x v x
III)
T ? + 1 = T S = { 1 2 ) ( 2 a ) 1 2 - 7( - y ) 7 = ¡ 1rf j ( 2 a ) 5( - y ) 7 = - 2 5 3 4 4 a V
T„ = - 25 344 a 5y 7SO LU CIÓ N III):
112. RESOLUCIÓN 
I)
T 5 + I = T e = l ° J ( x ) 8 ~ s( - 2 y ) s = “ ) x 3( - 2 y ) = ~ 1 7 9 2 x 3y
SO LU CIÓ N I): T6 - — 1 792 x 3y 5
II)
T 1 3 4 i = T l4 = { l l \ ( x ) ' ? - Í3( 3 y ) 13 = { 1 l\ x 4( 3 y ) 13 = 2 3 8 0 x 4( 3 y ) 13
\ 1 3 , 1 3
SO LU CIÓ N I):
III)
T 14 = 2 380 x 4(3y)’
2 5
T22 i 1 —T23 — ^ 2 '
SOLU CIÓN I): T „ = 2 300
27
Es el 6 .a término
113. RESOLUCION
I)
jiO j x 10-5y 5 = 2 s 2 x 6yS
SOLU CIÓN I): | Te = 252 x5 y “ |
II)
Es el 6 . ° término: — l*®\xw 5 (— \ = —
\5 / \ 2 1
63 .
SOLU CIÓN II): T6 = - — x5 y 5
63 5 5 x y
8
III)
Es el 8.° término:
/14\ / a - 2 \14 7 / 2
7 / \ 3 / I b - 2
14 6 4 3 2 (a - 2 )7
7 2 9 (b - 2 )7
SOLUCIÓN III): 146 432 (a 2)7 
729 (b 2)7 El térm in o es: (—l ) 1 ( ^ )3e x 5 = —7 ■ 36 • x 5 = - 5 103x5
114. RESOLUCION 
I)
Son el 3.° y 4 ° términos:
3x2y f 2 (b 2) 2 ^ (^ ) (3 x 2 y )3b 4 = 2 7 0 b 4x 6y 3 
'S) (3x2y) 5 3 (b2) 3 = (S) (3x2y)2b 6= 9 0 b 6x 4y 2
SOLU CIÓN I): T3 = 270 b 4 x6 y 3 
T a = 90 b “ x4 y2
II)
Son el 3.a y 4 ° términos:
| 2 ) 26 2 (\f3)2 = ( ^ ) 23 3 = 240 
||2 S 3 (V 3 ) 3 = - [ ^ ] 2 2 3 V 3 = - 120 V 3
SOLU CION II):
115. RESOLUCIÓN
T3 = 240 
Ta = 120 V 3
' 10 
i n
10
3W " • 4” x'° ” Luego: x w " = x4 =>30 - n = 4=>n = 6
10J (3x)'° e (4)6 = y “ 13t -4e - x ’ = 69 672 960 x*
SO LU CIÓ N I): Su coeficiente es: 6 9 6 7 2 9 6 0
II)
[ > > ' T t - 0 " - 5 V
Luego:
x 7 2“ = x => 7 — 2n