lista 1 limites

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Lista I de Cálculo I — 19/03/2018 — DM/UFSCar
QUESTÕES
1. Resolva as inequações:
(a)
2x− 1
x− 3 > 5.
(b) 3x2 + x− 2 > 0.
(c) x3 + 3x2 − 4x− 12 ≥ 0.
(e) |3x− 1| < x− 2.
(f) |x− 1|− |x+ 2| > x.
2. Estude o sinal da expressão:
(a) (2x− 1)(3− 2x).
(b) ax+ b, onde a < 0 e b são dois reais dados.
3. Verifique as identidades:
(a) x3 − a3 = (x− a)(x2 + ax+ a2).
(b) xn − an = (x− a)(xn−1 + axn−2 + a2xn−3 + · · · + an−2x+ an−1) onde n �= 0 é um natural.
4. Simplifique:
(a)
1
x
− 1
5
x− 5 .
(b)
1
x
− 1
p
x− p
(c)
(x+ h)3 − x3
h
5. Suponha que P (x) = a0xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an seja um polinômio de grau n, com coeficientes
inteiros, isto é, a0 �= 0, a1, a2, . . . , an são números inteiros. Seja α um número inteiro. Prove que se α for
raiz de P (x), então α será um divisor do termo independente an.
6. Prove: |x+ y| = |x| + |y| ⇔ xy ≥ 0.
7. Determine r > 0 de modo que ]4− r, 4 + r[⊂]2, 5[.
8. Sejam a < b dois reais e p ∈]a, b[. Determine r > 0 de modo que ]p− r, p+ r[⊂]a, b[.
9. Prove: se para todo r > 0, r real, |a− b| < r, então a = b.
10. Dê o domínio e esboce o gráfico:
(a) h(x) =
x2 − 1
x− 1
(b) f(x) =
|2x+ 1|
2x+ 1
11. Esboce o gráfico:
(a) y =
�
x2 se x ≤ 1
2− (x− 2)2 se x > 1.
(b) y =
√
x+ 2
(c) f(x) = x sen x
(d) y = x2 sen 1
x
12. Uma arame de 10 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um dos quais será torcido de modo
a formar um quadrado e o outro, a formar uma circunferência. De que modo deverá ser cortado para que a
soma das áreas das regiões limitadas pelas figuras seja mímina?
13. Verifique que Im(f) ⊂ Dg e determine a composta h(x) = g(f(x)).
(a) g(x) =
x+ 1
x− 2 e f(x) = x
2 + 3.
(b) g(x) =
√
x e f(x) = x2 − x, x ≤ 0 ou x ≥ 1.
Lista II de Cálculo I
QUESTÕES
1. Utilizando a idéia intuitiva de limite, calcule:
(a) lim
x→1+
(x+ 4).
(b) lim
x→0−
sen x.
(c) lim
x→0
√
x+ |x|.
(d) lim
x→2+
f(x) onde f(x) =
�
x2 se x > 1
1 se x ≤ 1. .
(e) lim
x→3+
x2−9
x−3
(f) lim
x→0−
x3−x
x
2. Determine, caso exista. Se não existir, justifique.
(a) lim
x→2
|x−2|
x−2 .
(b) lim
x→π−
f(x) onde f(x) =
�
sen x se x > π
cos x se x ≤ π. .
(c) lim
x→π+
f(x) onde f(x) é a função do item (c).
3. Dada a função f(x) = x
2+2x−3
x+3
definida em R \ {−3}. Qual deveria ser o valor de f(−3) para que f seja
contínua a esquerda no ponto x = −3? Se a continuidade fosse a direita esse valor mudaria?
4. Dê exemplo de uma função f : R→ R tal que
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x)
mas f não é contínua x = 1.
5. Prove que existe δ > 0 tal que
1− δ < x < 1 + δ ⇒ 2− 1
3
< x2 + x < 2 +
1
3
.
6. Prove pela definição que a função f(x) = 4x− 3 é contínua em p = 2.
Lista III de Cálculo I — 26/03/2018 — DM/UFSCar
QUESTÕES
1. Calcule e justifique:
(a) lim
x→ 1
2
4x2 − 1
2x− 1 .
(b) lim
x→3
3
√
x− 3√3
x− 3 .
(c) lim
x→1
x3 − 1
x4 + 3x− 4 .
(d) lim
x→p
x3 − p3
x− p .
2. Prove, pela definição, que a função f(x) = x3 é contínua em p = 2.
3. Dê o valor (caso exista) que a função dada deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justi-
fique.
(a) f(x) =
x2 − x
x
em p = 0.
(b) g(x) =
�
x se x < 1
1
x
se x > 1.
em p = 1.
4. Sabe-se que f é contínua em 2 e que f(2) = 8. Mostre que existe um δ > 0 tal que para todo x ∈ Df
2− δ < x < 2 + δ ⇒ f(x) > 7.
5. Seja f uma função definida em R e suponha que existeM > 0 tal que |f(x)− f(p)| ≤M |x− p| para todo
x. Prove que f é contínua em p.
6. Prove que existe δ > 0 tal que
1− δ < x < 1 + δ ⇒ 2− 1
2
<
x5 + 3x
x2 + 1
< 2 +
1
2
Lista IV de Cálculo I
QUESTÕES
1. Calcule lim
x→1
3√3x+5−2
x2−1 .
2. Seja f : R→ R e p ∈ R. Suponha que lim
x→p
f(x)−f(p)
x−p = L. Calcule:
(a) lim
h→0
f(p+h)−f(p)
h
.
(b) lim
h→0
f(p+3h)−f(p)
h
.
3. Seja f : R→ R tal que ∀x, |f(x)− 3| ≤ 2|x− 1|. Calcule lim
x→1
f(x) e justifique.
4. Justifique a existência e calcule o limite lim
x→0
x sen 1
x
.
5. Seja f : R → R.Suponha que existe M > 0 tal que para todo x ∈ R, |f(x) − f(p)| ≤ M |x − p|2. Mostre
que f é contínua em x = p e calcule, caso exista lim
x→p
f(x)−f(p)
x−p .
6. Prove que a equação
x3 − 1
x4 + 1
= 0,
admite ao menos uma raiz real.
7. Seja f : [−1, 1]→ R dada por f(x) = x2+x
1+x2
. Prove que f(1) é o valor máximo de f e que existe x1 ∈ (−1, 0)
tal que f(x1) é o valor mínimo de f .
8. Seja f : [0, 1]→ R contínua, tal que para todo x ∈ [0, 1], 0 ≤ f(x) ≤ 1. Prove que existe c ∈ [0, 1] tal que
f(c) = c.
9. Considere a função f : [0,+∞)→ R dada por
f(x) = 2x3 −
√
x2 + 3x.
(a) Mostre que f é contínua
(b) Mostre que 1 é a única raiz de f em (0,+∞), que f(2) > 0 e que f �1
2
�
< 0.
(c) Conclua que f(x) > 0 em (1,+∞) e que f(x) < 0 em (0, 1).