Relatório 1 Mínimos Quadrados

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE FÍSICA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA GERAL
FIS122 – FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II-E / LABORATÓRIO
TURMA P14				DATA: 27/03/2006
EQUIPE:	xxxx
	xxxx
	xxxx
	xxxx
MÍNIMOS QUADRADOS
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Introdução
	Para a metodologia científica e aplicação da própria ciência, o processo de medida é essencial. O método dos mínimos quadrados visa justamente encontrar a medida mais próxima do ideal.
	Este método consiste em:
	Obtendo-se várias medidas de uma mesma quantidade física que estão sujeitas a erros aleatórios, o valor mais provável desta medida é o que torna a soma dos quadrados dos erros um mínimo.
	Realizou-se este experimento com o objetivo de verificar a eficácia deste método.
	Visto que uma das melhores maneiras de sistematizar o estudo prático da ciência é através da elaboração de gráficos, o método dos mínimos quadrados ajuda a encontrar a melhor representação gráfica com base nos dados obtidos.
Procedimento Experimental
	Com base no roteiro do laboratório referente a este experimento, utilizou-se o papel milimetrado para representar 6 círculos recortados de tamanhos diferentes com o objetivo de mensurar as respectivas áreas e raios.
	
	Resolução do exercício 4, pg. 8 do roteiro:
4.1)
Tabela Principal
	R(mm)
	A(R) (mm2)
	22,00
	1.493
	26,17
	1.995
	34,33
	3.495
	38,67
	4.628
	51,83
	8.254
	61,67
	11.965*
* Visto que estes dados foram realizados em um curto espaço de tempo, observou-se posteriormente que a última área possuía um erro considerável. Foi refeita a contagem e alterou-se o valor de 16.556 para 11.965.
4.2) EM ANEXO
4.3) EM ANEXO
Obs.: Para este experimento utilizamos o papel milimetrado conforme requisitado pelo professor.
4.4) Observando-se que a relação entre A e R é quadrática e do tipo A=KRm, a melhor forma de linearização é a linearização por logaritmo:
A = KRm (aplicando log em ambos os lados)
logA = logKRm (aplicando as propriedades de log)
logA = logK + m.logR
(equivalente a Y = aX +b)
	Ajustando os dados obtidos pelo método dos mínimos quadrados com os logaritmos aplicados a A e R, obtemos a seguinte tabela:
	
	R1
	R2
	R3
	R4
	R5
	R6
	Σ
	Xi (mm) → logR
	1,34
	1,42
	1,54
	1,59
	1,71
	1,79
	9,39
	Yi (mm2) → logA
	3,17
	3,29
	3,54
	3,66
	3,91
	4,07
	21,64
	XiYi (mm2)
	4,2478
	4,6718
	5,4516
	5,8194
	6,6861
	7,2853
	34,162
	(Xi)2 (mm2)
	1,7956
	2,0164
	2,3716
	2,5281
	2,9241
	3,2041
	14,8399
Cálculo de a:
A = (n.ΣXiYi – ΣXi. ΣYi)/(n. Σx2 – [Σx]2)
A = (6 . 34,162 – 9,39 . 21,64) / (6.14,8399 – 88,1721)
A = 1,7724/0,8673 .: A = 2,044 = m
Cálculo de b:
B = (21,64 – 2,0044*9,39)/6
B = 0,4085
Logo, k = 10B = 2,56
4.5) Pois a relação entre raio e área é uma função quadrática (A = π.R2) e o método dos mínimos quadrados é utilizado para obter um gráfico onde a relação é linear. Por isso, A e R não podem ser a plicadas diretamente nas expressões 11 e 12.
4.6) Não. Pois a relação entre o raio do círculo e a área é dada através da expressão A=π.R2. Ao linearizar esta relação esperava-se obter o coeficiente angular (m) igual a dois. Isto foi encontrado experimentalmente (m=2,04).
	Cálculo da discrepância:
	Δ = | (Vt –Ve)/Vt|*100 = |(2 – 2,04)/2|*100 .: Δ = 2%
	Já o coenficiente linear (b) que deveria satisfazer a igualdade 10b = π = 3,14, não possuiu um valor satisfatório.
	Sua discrepância relativa foi maior do que 10%, conforme observado nos cálculos abaixo.
	
	Cálculo da discrepância:
	Δ = | (Vt –Ve)/Vt|*100 = |(3,14 – 2,56)/3,14|*100 .: Δ = 18,5%
	O resultado de (b) não foi satisfatório provavelmente devido a um erro experimental na obtenção de A e R já que não foram medidos com instrumentos adequados.
	Outro possível erro seria equivocar-se com as operações matemáticas, porém como estas foram realizadas diversas vezes descartou-se esta possibilidade.
	Visando comprovar a validade do método dos mínimos quadrados, foi realizada uma nova contagem a fim de encontrar um valor mais satisfatório para (b).
	Cálculos e gráficos em anexo.
Conclusão
	Apesar de um erro ter comprometido a análise do experimento, após verifica-lo e corrigi-lo, comprovou-se a eficácia do método dos mínimos quadrados. Já que as discrepâncias relativas encontradas para as constantes foi menor que 10%.
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ANEXOS
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NOVA CONTAGEM E
NOVO GRÁFICO
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Tabela Principal
	R(mm)
	A(R) (mm2)
	22,00
	1.538
	26,17
	2.134
	34,33
	3.691
	38,67
	4.689
	51,83
	8.428
	61,67
	11.960
Tabela auxiliar
	logR(mm)
	logA(R) (mm2)
	1,34
	3,19
	1,42
	3,33
	1,54
	3,57
	1,59
	3,67
	1,71
	3,93
	1,79
	4,08
A = KRm (aplicando log em ambos os lados)
logA = logKRm (aplicando as propriedades de log)
logA = logK + m.logR
(equivalente a Y = aX +b)
Cálculo de a:
A = (n.ΣXiYi – ΣXi. ΣYi)/(n. Σx2 – [Σx]2)
A = (6 . 34,3598 – 9,39 . 21,77) / (6.14,8399 – 88,1721)
A = 1,7385/0,8673 .: A = 2,0044 = m
Cálculo de b:
B = (21,77 – 2,0044*9,39)/6
B = 0,49
Logo, k = 10B = 3,10