Relatório 5 PÊNDULO FÍSICO E PÊNDULOS SIMPLES ACOPLADOS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE FÍSICA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA GERAL
FIS122 – FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II-E / LABORATÓRIO
TURMA P14				DATA: 24/04/2006
EQUIPE:	xxxx
	xxxx
	xxxx
	xxxx
PÊNDULO FÍSICO E PÊNDULOS SIMPLES ACOPLADOS
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INTRODUÇÃO
	
	As oscilações desempenham um papel fundamental na física, seja na mecânica, na acústica ou na eletricidade.
	Um sistema massa-mola é a realização mais simples de um oscilador harmônico: um corpo (massa), acoplado a outro corpo (mola) é mantido em sua posição de equilíbrio. Se deslocado de sua posição de equilíbrio, o sistema oscila, sofrendo a ação de uma força restauradora que tende a trazer a massa para o ponto de equilíbrio. Esta força nada mais é do que a tendência da mola em retomar seu estado original.
Pêndulo Físico
	
	A posição de equilíbrio do pêndulo físico é aquela em que o centro de gravidade do corpo está no plano vertical que passa pelo eixo de sustentação. No caso onde a gravidade é constante, o centro de gravidade coincide com o centro de massa do corpo (caso deste experimento). Quando o pêndulo é deslocado da sua posição de equilíbrio, o torque restaurador será proporcional ao produto da força (mg) pela distância s do ponto onde ela é aplicada até o centro de massa do corpo.
	
Pêndulos Acoplados
	O acoplamento de dois ou mais sistemas físicos faz com que eles se influenciem mutuamente. Isto pode ser observado experimentalmente quando acoplamos dois pêndulos simples e colocamos o sistema para oscilar. Esta influência é refletida na alteração das trajetórias de cada um dos corpos e também através da troca de energia entre eles.
	No caso dos pêndulos físicos vamos acoplá-los usando uma massa m presa num barbante, que será atado às extremidades dos fios de dois pêndulos. O experimento realizado através desta prática visa examinar sistemas em que os pêndulos podem possuir a mesma massa ou não, o mesmo comprimento do fio ou um comprimento diferente e a altura na qual o barbante que liga os dois pêndulos pode ser igual ou não. Cada arranjo diferente gerará sistemas físicos com características próprias.
Objetivos do experimento	
Os objetivos deste experimento são:
Executar medidas de freqüência de um pêndulo físico de modo a relacioná-la com a geometria e distribuição de massa que o caracteriza;
observar movimentos complexos que aparecem quando consideramos um sistema de pêndulos acoplados.
A primeira parte será realizada pelos alunos e a segunda pelo professor.
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TRATAMENTO DE DADOS
Gráfico T x s
	Coeficiente angular:
	
	
Coeficiente linear:
	
	Como o gráfico desta relação em papel log-log é uma função linear, têm-se que esta relação é exponencial.
	
	Logo, a relação entre T e s quando s→0 é:
	
Gráfico T²s/4π² X s²
	Método dos mínimos quadrados
	Para realizar o ajuste da melhor reta, utilizamos a tabela abaixo para auxiliar no cálculo dos coeficientes angular e linear. Considerando y = T²s/4π² e x = s².
	xi
	yi
	xiyi
	x2
	364,81
	0,478
	174,387
	133086,336
	292,41
	0,375
	109,545
	85503,608
	228,01
	0,315
	71,902
	51988,560
	171,61
	0,268
	45,921
	29449,992
	123,21
	0,252
	31,002
	15180,704
	82,81
	0,210
	17,409
	6857,496
	50,41
	0,180
	9,066
	2541,168
	26,01
	0,153
	3,992
	676,520
	9,61
	0,136
	1,307
	92,352
	4,41
	0,140
	0,616
	19,448
	1,21
	0,130
	0,158
	1,464
	
	
	
	
	Σxi
	Σyi
	Σxiyi
	Σx2
	1.354,51
	2,637
	465,304
	325397,649
	
		
	Substituindo os valores da tabela nas equações, temos:
	
	
	Ajustando os valores de s² e T²s/4π²:
	s²
	T²s/4π²
	364,81
	0,4539
	292,41
	0,3898
	228,01
	0,3327
	171,61
	0,2827
	123,21
	0,2398
	82,81
	0,2040
	50,41
	0,1753
	26,01
	0,1536
	9,61
	0,1391
	4,41
	0,1345
	1,21
	0,1316
Encontrando uma relação entre I e s temos:
 (I)
 (II)
Substituindo (II) em (I):
Satisfazendo o teorema dos eixos paralelos:
Encontrando uma relação entre k e s:
	
 (III)
	Substituindo (II) em (III):
	
 (IV)
	Substituindo (IV) em (I)
	
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RESPOSTAS DA FOLHA DE QUESTÕES
1 – O enunciado diz “O momento de inércia de um corpo em torno de um eixo qualquer pode ser expresso pela soma do momento de inércia em torno de um eixo, paralelo ao original, passando pelo centro de massa, e de um termo que é o produto da massa total do corpo pelo quadrado da distância entre os dois eixos”.
O pêndulo físico tem movimento harmônico, mas não tão simples. O corpo é suspenso por um ponto interno a ele, e efetua pequenas rotações em torno de um eixo que passa pelo ponto.
	A grandeza física responsável pelas rotações é o torque.
	O formato geométrico do corpo e a posição do eixo de rotação em relação ao centro de massa influenciam o momento de inércia. Assim, o momento de inércia reflete a liberdade que o pêndulo físico tem para oscilar. Daí a importância do teorema dos eixos paralelos no pêndulo físico, um método que permite calcular o momento de inércia em função da forma geométrica do corpo e da posição do eixo de rotação.
2 – 
Sabendo que o cálculo do raio pode ser dado pela fórmula:
		K=(I/m)1/2
		K=((Icm+ms2)/m) 1/2
		K=(m(L2/12+s2)/m) 1/2
		K=(L2/12+s2) 1/2
Utilizando K em função de s, temos a seguinte tabela:
	s [cm]
	k [cm]
	log k [cm[
	19,10
	22,32
	1,28103
	17,10
	20,63
	1,23300
	15,10
	19,01
	1,17898
	13,10
	17,46
	1,11727
	11,10
	16,02
	1,04532
	9,10
	14,70
	0,95904
	7,10
	13,56
	0,85126
	5,10
	12,62
	0,70757
	3,10
	11,96
	0,49136
	2,10
	11,74
	0,32222
	1,10
	11,60
	0,04139
	Σ=103,10
	Σ=171,61
	Σ=9,22844
Ver gráficos em anexo.
Ao analisarmos os gráficos foi possível verificar sua linearização ao aplicar os dados no papel mono-log, portanto usando os métodos dos mínimos quadrados e o da melhor reta, obteremos a relação seguinte:
Y=ax+b ( logK=log10ax +logKo ( logK= ax+ logKo, onde: 
	
Y=logK, b=logKo, x=s
Aplicando o método dos mínimos quadrados obtemos o seguinte:
	coeficiente angular a:
	coeficiente linear b
	0,016416026
	1,02805462
	
	
	Somatório de s
	103,1
	Somatório dos 2 de s
	1354,51
	Somatório de log k
	13,00109306
	Somatório de s*log k
	128,2281021
Substituindo os valores de a e b na equação y=ax+b, temos:
	y=0,16416026x+1,02805402
	Como b=logKo, teremos : logKo= 1,02805402 
					Ko=101,02805402 = 10,66730273
Utilizando valores da tabela e substituindo na expressão, obteremos:
		K=100,16416026x7.1 . Ko ( K= 13,95109839
Comparando com o valor experimental temos: 
	Discrep= (|13,56 – K|)*100/K = 2,837787911%
Como a discrepância foi inferior a 10%, concluímos que a equação encontrada é válida.
	K(s)= 100,16416026s . Ko
3 – A restrição de θ para valores menores que 25º se deve ao fato de que sen(θ) ≈ θ neste intervalo. Podemos, assim, aproximar a equação: Τ = -m.g.s.sen(θ) para T = -m.g.s.θ e assim resolver mais facilmente a equação diferencial do movimento.
4 – Sim, pois a depender da geometria do pêndulo, o momento de inércia em relação ao centro de massa seria diferente. Isso implicaria em valores de K (raio de giração) e ho (comprimento do pêndulo simples equivalente) diferentes, uma vez que, ambos dependem do momento de inércia do pêndulo físico usado no experimento.
	Essas ocorrências são expressas pelas fórmulas:
	
	
	Assim, em termos quantitativos, ou seja, no que se refere aos danos numéricos, eles são diferentes. Portanto, ainda que mudemos a geometria do pêndulo físico, o comportamento do mesmo não se altera, ou seja, a tendência dos valores obtidos foi a mesma.
5 – a) Ao ser solto o pêndulo, A inicia seu movimento oscilatório linear com uma determinada energia mecânica. Com o passar do tempo, o pênduloB começa a se movimentar, roubando a energia do pêndulo A. Após determinado tempo, o pêndulo A pára de oscilar enquanto que o pêndulo B assume um comportamento semelhante ao de A no início do experimento. Daí, então, o pêndulo B começa a transferir a energia recebida do pêndulo A, fazendo com que esse adquira um movimento muito parecido com o inicial (perdas de energia por atrito).
	b) De forma semelhante ao caso anterior, o pêndulo A inicia um movimento circular e em seguida o pêndulo B começa a “roubar” energia e assumir o mesmo movimento enquanto A pára. Revertendo-se o processo, o pêndulo B transfere sua energia para o pêndulo A e assim sucessivamente.
	c) Quando o sistema começa a se movimentar, o pêndulo A e o pêndulo B têm movimento em apenas uma direção, perpendicular entre si. Em certo tempo, cada pêndulo adquire movimento, formando assim uma trajetória curva. Após determinado período de tempo, observamos que o pêndulo A passou a se movimentar na direção do movimento inicial de B, e B com o de A. Semelhante ao processo dos sistemas anteriores, o ciclo se repete.
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CONCLUSÃO
Foi traçado, em papel milimetrado, um gráfico de T (período de oscilações), em função da distância s (distância entre o ponto até o centro de massa do corpo). Observou-se, como esperado, que este gráfico possui um valor mínimo e que cresce quando s varia de tendendo a zero até L/2. (Ver gráfico em anexo).
Foi traçado outro gráfico T X s, em papel log-log, com os dados para os quatro menores valores de s. Valores estes, bem próximos de s tendendo a zero. Esperava-se encontrar uma dependência em uma lei de potência com o expoente negativo. Isto foi verificado. 
. A dependência funcional entre T e s neste limite é inversamente proporcional, já que a dependência é uma potência com expoente negativo.
Os possíveis erros que poderiam ser encontrados neste experimento se devem a: dissipação de energia, através do atrito entre a régua que oscilava na haste e erro humano, ao medir o tempo das oscilações.
Foi traçado também, em papel milimetrado, o valor de T 2s / 4
2 em função de s2 . Esperava-se encontrar uma dependência linear entre estas duas grandezas. Foi feito o ajuste da melhor reta através do método dos mínimos quadrados. (Ver gráficos em anexo). A partir dos valores obtidos para o coeficiente angular e termo constante, observou-se que a dependência entre o momento de inércia e a distância s é diretamente proporcional. 
Por último, referente aos pêndulos acoplados, observou-se experimentalmente que quando colocamos apenas o pêndulo1 para oscilar na direção X, por exemplo, a energia do sistema é transferida para o outro pêndulo2 que passa a oscilar também no eixo X. Neste caso, o pêndulo1 fica parado no final.
Já quando colocamos do pêndulo1 para oscilar na direção X e o pêndulo2 para oscilar na direção Y, observamos no final que a tendência do sistema é o pêndulo1 oscilar na direção Y e o pêndulo2 oscilar na direção X.
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