Guia de Estudos da Unidade 1 Cálculo Numérico

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Cálculo Numérico
UNIDADE 1
1
1ª UNIDADE
DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO
 Palavras do Professor
Olá caro aluno, hoje daremos inicio a disciplina de Cálculo Numérico e é com muito prazer que convido 
você a vir comigo a um passeio virtual, dedicado à aprendizagem da disciplina de Cálculo Numérico.
Esta disciplina, em muitas referências pode também ser chamada de matemática computacional ou análi-
ses numéricas. Como o próprio nome sugere, é a aplicação de recursos de substituição numérica por meio 
de algoritmos (sequência de etapas usadas para execução de uma tarefa) para a análise de problemas de 
natureza físico-matemática. Você também vai perceber que se trata de uma alternativa para desvendar 
algumas situações de difícil e muitas vezes impossível solução, buscada por recursos tradicionais da 
matemática.
Caro estudante, não se preocupe com os termos novos usados na definição desta disciplina, pois estuda-
remos, em momento oportuno, detalhadamente cada tópico. 
 
Lembre-se que o estudo de cálculo numérico não é algo relativamente recente. Relatos da história da 
matemática revelam o primeiro número irracional expresso pela raiz quadrada do valor dois, descoberto 
por Hispaso de Metano, cerca de 500 anos antes de Cristo. 
Outras contribuições como métodos para a determinação de raízes de funções transcendentes, resolução 
de sistemas lineares e não-lineares, integração numérica de funções (trataremos com mais detalhes mais 
adiante) foram desenvolvidas a muito tempo. Mais adiante veremos que a metodologia numérica está 
associada a iterações e tolerância admitida para o erro, entre o valor calculado e o valor real. 
Em outras palavras, todo método numérico está associado a um conjunto de etapas formadas pelos algo-
ritmos, que quando executados resultarão em uma solução aproximada do problema. Essas etapas serão 
repetidas de forma exaustiva, até que essa aproximação (ou seja, o erro) seja menor que uma tolerância 
máxima admitida. 
Perceba que a execução de cada método numérico é sempre dada por repetições, cuja quantidade será 
definida pela precisão deseja para o resultado final. Você perceberá, durante todo esse curso de cálculo 
numérico, que a obtenção de uma resposta satisfatória, com um grau de precisão apurada, também exige 
uma quantidade enorme de repetições. Daí a razão pela qual de os métodos numéricos ganharem uma 
melhor aplicabilidade com o uso de computadores. 
Prontos para o nosso passeio? Vamos em frente! 
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MoTIvos Para esTUdar CÁlCUlo NUMÉrICo 
Caro aluno, hoje existe diversas razões adicionais pelas quais devemos estudar métodos numéricos, va-
mos ver cinco razões:
 
1. Os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas na resolução de problemas. 
Eles são capazes de lidar com um grande número de equações, não linearidades e geometrias 
complicadas que não são incomuns na prática da engenharia e, em geral, são impossíveis de 
resolver analiticamente. Dessa forma, eles aumentam enormemente a capacidade de resolver 
problemas.
2. Os profissionais das diversas áreas das ciências exatas frequentemente terão a necessidade 
de usar alguns pacotes comerciais disponíveis, ou programas de computador que envolve mé-
todos numéricos. O uso inteligente desses programas depende, com frequência, do conheci-
mento da teoria básica fundamental dos métodos.
3. Embora haja uma quantidade muito grande de pacotes de programas e softwares disponíveis 
no mercado, para muitos casos eles são escritos de forma generalizadas, sendo necessário um 
conhecimento prévio de cálculo numérico para torná-lo aceitável, em alguns casos criar um 
novo programa que seja possível a devida implementação e solução do caso específico.
4. Os métodos numéricos são um veículo eficiente para o aprendizado do uso de computadores. 
É bem conhecido que uma forma eficiente de aprender a programar é realmente escrever um 
programa de computador. Como os métodos numéricos são, na maior parte, projetados para 
implementação em computadores, eles se mostram ideais para esse propósito. Além disso, 
são especialmente adequados para ilustrar o poder e as limitações dos computadores. Quando 
se implementam com sucesso método numéricos em um computador e, então, eles são apli-
cados para resolver problemas intratáveis de outra forma, tem-se acesso a uma demonstração 
dramática de como os computadores podem ajudar o desenvolvimento profissional. Ao mesmo 
tempo, aprende-se a identificar e a controlar os erros das aproximações, que são parte essen-
cial de cálculos numéricos em grande escala.
5. Os métodos numéricos fornecem um veículo para o profissional reforçar seu entendimento da 
matemática. Como uma função dos métodos numéricos é reduzir a matemática mais avançada 
a operações aritméticas básicas, eles chegam aos detalhes práticos de alguns tópicos que, de 
outra forma, seriam obscuros. Aprimoramento do entendimento e da percepção pode resultar 
dessa perspectiva alternativa.
CoNCeITos INICIaIs lIGados ao CÁlCUlo NUMÉrICo
Continuando nosso passeio, para que possamos iniciar propriamente nossos estudos, é necessário en-
tendermos alguns conceitos ligados às análises numéricas, tais como: modelo matemático, algoritmos, 
estrutura de repetição. Vamos ver cada um a partir de agora:
Modelo matemático: são relações matemáticas que mostram a dependência entre variáveis de um pro-
cesso ou fenômeno físico, químico, biológico ou econômico. Elas podem se apresentar como uma ou mais 
funções algébricas envolvidas por um conjunto de variáveis, assim como, por um conjunto de equações 
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diferenciais. Em muitos, problemas ligados à modelagem, nos deparamos com funções e equações dife-
renciais de natureza não lineares. Preste atenção, pois nesses casos, na grande maioria das vezes, não 
é possível a solução por recursos algébricos, ou seja, não encontramos um método direto, que gere uma 
solução exata. Dessa forma, temos como alternativa o uso do cálculo numérico (método indireto), que nos 
leva a solução aproximada, mas que poderá ser tão aproximada quanto for maior o número de repetições 
usadas.
exeMPlo
Como exemplos de modelos podemos ter desde casos mais simples em que a solução 
é obtida facilmente, até casos mais complexos como as equações de Navier Stokes da 
mecânica dos fluidos. 
ex 1: Os modelos seguintes descrevem a velocidade e o período de um satélite numa 
órbita circular em torno de um planeta hipoteticamente esférico.
ex 2: Na mecânica dos fluidos, um dos modelos utilizados para descrição do escoa-
mento de fluidos é a equação de Navier Stokes:
Algoritmos: é o conjunto de etapas envolvidas por operações matemáticas, que se repetem gerando uma 
sequência de valores limitados por uma determinada condição numérica. O algoritmo fornece uma descri-
ção das operações pelas quais o conjunto de dados numéricos de entrada é transformado e um conjunto 
de dados de saída. Estas operações são inseridas de modo que o computador possa entender e executar 
os cálculos dentro em uma estrutura lógica. 
PraTICaNdo
exemplo:
Vamos lá, dado um conjunto numérico formado pelos números inteiros de um a cinco, 
desejamos somar cada elemento, o valor três e em seguida dividir o resultado por dois. 
Assim, podemos construir um algoritmo representado por:
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onde: x representa as variáveis dadas na questão, neste caso, o conjunto numérico de um até cinco. k 
representa um ordem na iteração, é um índice que caracteriza a contagem das repetições.
estrutura de repetição (Iteração ou aproximação sucessiva) – Esta estrutura representa uma se-
quência lógica computacional, em que resulta ao final de cada execução, em uma nova estimativa para a 
solução de um problema de forma aproximada. Essa aproximação será minimizada a depender do número 
de iteração (repetição) executada. Fique atento, pois todo método iterativo se caracteriza pela presença 
dos seguintes elementos:
a)Tentativa inicial: primeira aproximação como estimativa para a solução do problema;
b)Equação de recorrência: é a equação típicade cada método, que partindo-se da tentativa inicial, 
realiza-se as iterações para atingir a solução desejada;
c)Teste de parada: é o elemento de comparação, é um valor numérico que quando atingido faz com 
que o método seja finalizado. 
 
veja o vídeo!
Para que você tenha um melhor aproveitamento, indico um vídeo de 9 minutos e 32 
segundos, do Professor German Suazo da Universidade Federal de Pelotas intitulado 
“Vídeo aula 02 Métodos Numéricos”
Disponível no endereço.
Neste vídeo o professor comenta sobre o surgimento dos principais tipos de erros na matemática.
Vamos lá, agora pegue seu livro texto de Cálculo e faça uma leitura da página 3 até a página 5, para ter 
uma noção geral sobre os conceitos ligados ao cálculo numérico.
Como está o entendimento? Alguma dúvida? Lembre-se de procurar seu tutor para lhe auxiliar. É muito 
importante.
 
Vamos então, dar continuidade ao nosso guia de estudo!
CoNversÃo de Base NUMÉrICa
(sistema de base decimal e sistema de base binária)
Antes de nos aprofundarmos no estudo do cálculo numérico, é interessante que você saiba converter 
números de uma base decimal para uma base binária. Na realidade existem outros tipos de bases, mas a 
maioria das máquinas atuais trabalha com o sistema binário. Além disso, como o nosso propósito é enten-
der as limitações e os erros provenientes desta conversão, iremos dar um enfoque apenas em conversão 
binária e decimal. Isso servirá como base lógica, para o entendimento de erros devidos a conversão de 
qualquer outra base utilizada por computadores. Vamos ver a diferença entre Base decimal e binária, 
vamos lá!
https://www.youtube.com/watch?v=ZoJOeUaA5e4
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A base decimal é a base real, que nós usamos normalmente para representar qualquer número. Ela é 
definida pelo conjunto de dez símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 que quando combinados define um valor 
numérico. Por exemplo, para representar o valor duzentos e setenta e três usamos a combinação dos 
símbolos 2 (dois), 7 (sete) e 3 (três), resultando no valor 273.
A base binária é a base usada pelo computador, ela é composta apenas por dois símbolos 0 e 1, o qual 
quando combinados podem representar qualquer número real (dentro de sua limitação).
 
Palavra do Professor
Meu caro aluno, normalmente quando estamos trabalhando com a conversão de bases 
de sistemas empregamos um subscrito para indicar a que base o número pertence. 
Por exemplo, o valor (37)10 é um número que está escrito no sistema de base decimal, 
pois o subscrito é 10. Já o valor (110)2 é um número que está escrito no sistema de base 
binária, isso pelo fato do subscrito ser 2. A razão pela qual adotamos esta simbologia 
é para que não haja ambiguidade do tipo: se considerarmos simplesmente o valor 101, 
não sabemos se representa o número cento e um ou se está se referindo a um número 
binário. 
Conversão da base decimal para a base binária 
Este tipo de conversão é apresentada em duas etapas, a primeira se refere a parte inteira, a segunda se 
refere a parte fracionaria. 
 
dICa!
Fique atento, pois para converter um número inteiro é necessário fazer sucessivas divi-
sões por dois de modo o resultado seja sempre inteiro. Ou seja, dividir o valor por dois 
que poderá resultar em um quociente exato ou restar o valor um, em seguida dividir 
novamente o valor do quociente por dois que poderá resultar em um novo quociente 
exato ou restar um. 
Devemos fazer esta tarefa quantas vezes forem necessárias, para que o quociente da última divisão seja 
um. Em seguida, registramos o valor escrito em binário pela composição sequencial do último quociente 
seguida dos restos das divisões. 
Para converter a parte fracionária é necessário realizar uma multiplicação sucessiva por dois. Você deverá 
considerar apenas a parte fracionária e multiplicar por dois, a parte inteira do resultado representará o 
próximo dígito binário. Em seguida,será repetido o cálculo multiplicado exclusivamente a parte fracionária 
por dois, a parte inteira do resultado representa o próximo dígito binário. Isso será feito até que não exista 
a parte fracionária. 
 
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exeMPlo: 
Dado valor real (23,1875)10, escreve-lo na forma de base binária.
Primeira etapa – conversão da parte inteira
Portanto (23)10 corresponde a (10111)2
segunda etapa – conversão da parte fracionária
 
0,1875 x 2 = 0,375
0,375 x 2 = 0,75
0,75 x 2 = 1,5
0,5 x 2 = 1,0
Portanto (0,1875)10 corresponde a (0,0011)2
Sendo assim, o valor (23,1875)10 é igual a (10111,0011)2
Conversão da base binária para a base decimal 
A princípio você viu como converter da base decimal para a base binária, agora para converter de um 
numero escrito na base binária para a base decimal é simples. A operação é a seguinte: subtrair uma 
unidade da quantidade de dígitos que possui a parte inteira – o resultado dessa subtração representa o 
primeiro expoente da potencia de dois; as potências de dois seguintes serão obtidas atribuindo os valores 
regressivos inteiros aos expoentes; será multiplicado cada digito binário por uma potencia de dois corres-
pondentes, em seguida serão somadas todas as parcelas. 
exeMPlo: 
Dado valor real (1011,0101)2, escreve-lo na forma de base decimal. 
(101,0101)2 = 1×2
2 + 0×21 + 1×20 + 0×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 + 0 + 
0,0625 = (5,3125)10
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arITMÉTICa de PoNTo flUTUaNTe
Caro aluno, como o propósito do cálculo numérico é resolver problemas matemáticos por meio de recursos 
numéricos. É de fundamental importância que saibamos como os números reais são inseridos, proces-
sados e armazenados em um computador, para que possamos entender melhor as causas que podem 
influenciar na geração de erros numéricos.
A princípio, devemos notar que, quando falamos em um conjunto de números reais, há duas visões dife-
rentes na forma de representação: 
a) A primeira diz respeito à forma natural que enxergamos os números, ou seja, é um conjunto 
infinito de valores contendo uma parte inteira, uma vírgula e uma parte decimal, podendo conter 
infinitos dígitos;
b) Já em outra visão, temos que considerar as limitações impostas pelas máquinas. Neste sentido, 
um conjunto numérico é finito e cada valor também possui um número finito de dígitos. Vamos 
explicar melhor esta parte! 
Veja só, toda máquina que executa cálculos, seja ela uma simples calculadora ou um computador, possui 
um espaço físico destinado ao armazenamento de número, cujo valor será “adaptado” conforme a quan-
tidade de dígitos que esta mesma máquina possa receber. Estamos querendo dizer que existe espaço 
interno no processador que damos o nome de mantissa, cuja finalidade é receber os números de tal forma 
que a quantidade de dígitos seja sempre a mesma. 
Por exemplo, digamos que uma máquina tenha uma mantissa que comporta cinco dígi-
tos. Desejamos inserir os valores 23,417293439 e 356. No primeiro caso, esta máquina 
preencherá a mantissa com os primeiros dígitos significativos:
No segundo caso, acrescenta-se um zero para completar o número de dígitos da man-
tissa:
Como você já deve ter notado, uma vez que a mantissa representa uma quantidade de limitada dígitos, 
concluímos que o conjunto numérico que uma máquina pode representar também será limitado. 
Sendo dessa maneira, se faz necessário o uso de padrões de armazenamentos dos números para que as 
máquinas possam trabalhar com um conjunto máximo de valores. 
Padrão de aritmética de ponto flutuante 
Os valores numéricos, quando inseridos em uma máquina serão tratados por um padrão, para que ela pos-
sa suportar um grande conjunto numérico. De modo geral, um número x, em aritmética de ponto flutuante, 
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representado na base β é escrito na forma:
x = ±0,d1 d2 d3 … dt × β 
E
Onde: β – representa a base do sistema 
d – dígitos (como regra, o primeiro após a vírgula não pode ser zero) 
t – quantidade de dígitos que contém a mantissa
E – expoente obtido pelo deslocamento da vírgula, de modo a obter um zero como valor inteiro e logo após 
a vírgula um dígito significativo. Esteexpoente indica se o número poderá ser representado ou não pela 
referida máquina. Para que a maquina passa representar o valor e assim fazer as operações de cálculos é 
necessário que este valor esteja compreendido no intervalo [m, M];
sistema de ponto flutuante 
Vamos prestar atenção neste sistema, pois toda máquina de cálculo possui um sistema próprio, que 
define as variáveis que compõe a forma numérica e os limites de operação. Assim, um valor numérico é 
função da seguinte notação:
Dessa maneira, para que um número seja processado na máquina, ele terá que ser convertido para a base 
, a mantissa deverá conter t dígitos e o expoente deverá está compreendido entre [m, M].
Fique atento, quando o expoente ultrapassa os limites [m, M] recebem nomes específicos. Se o expoente 
é menor que m, o valor numérico estará na região de underflow (nesta região os valores são tão pequenos 
que a máquina admitirá com zero). Caso o expoente seja maior que M, o valor numérico estará na região 
de overflow (nesta região os valores são tão altos que a máquina não consegue executar). 
Assim, nesta abordagem, o número será expresso com uma parte fracionária, chamada de mantissa ou 
significando, precedida de um dígito indicativo do sinal (quando igual a 1, representa sinal negativo, 
quando igual a 0 representa sinal positivo) ; e uma parte inteira, chamada de expoente ou característica, 
também precedida de um dígito indicativo do sinal. Podemos, conforme a figura, visualizar a forma es-
quemática da estrutura de um número em aritmética de ponto flutuante.
 
Vamos entender melhor este assunto por meio do exemplo seguinte:
9
exeMPlo
exemplo 1: Em uma máquina que opera conforme o sistema de ponto flutuante F(10,3,-5,5), desejamos 
escrever o valor (34,7824)10. 
solução – primeiro notamos, conforme primeiro termo do sistema, que a máquina opera na base deci-
mal, portanto não precisamos fazer a devida conversão de base, pois o valor também está escrito em base 
decimal. O segundo termo indica que a mantissa é composta por três dígitos, assim teremos que deslocar 
a vírgula para deixar o numero no padrão de aritmética de ponto flutuante.
34,7824 = 0,347824 x 102
Preste atenção, como o sistema possui uma mantissa com apenas três dígitos, este valor será truncado 
na terceira casa:
0,347 x 102
Por fim, afirmamos que tal valor poderá ser representado na máquina devido ao fato de que o expoente 
resultante está compreendido entre os limites [-5, 5] dados conforme sistema F(10,3,-5,5).
exemplo 2: Em uma máquina que opera conforme o sistema de ponto flutuante F(2,8,-4,4), desejamos 
escrever o valor (17,6)10. 
solução – primeiro notamos, conforme primeiro termo do sistema, que a máquina opera na base binária, 
daí a necessidade de converter o valor para a referida base.
 
Conversão da parte inteira
 
(17)10 = (10001)2
Conversão da parte fracionária
Como já temos cinco dígitos significativos, precisamos apenas de mais três para completar a mantissa, 
então: 
0,6 x 2 = 1,2
0,2 x 2 = 0,4
0,4 x 2 = 0,8 
10
Dessa maneira, o valor numérico será escrito na forma: (10001, 100)2. Agora a etapa seguinte é deslocar 
a vírgula para deixar no padrão de aritmética de ponto flutuante.
0,10001100 x 25 
Por fim, afirmamos que tal valor está na região de overflow, pois ele não poderá ser representado na má-
quina devido ao fato de que o expoente resultante 5 está fora dos limites [-4, 4] dados conforme sistema 
F(2,8,-4,4).
veja o vídeo!
Sei que é muita informação, mas para lhe ajudar e com isso obter um bom 
aproveitamento deste conteúdo, indicamos um vídeo de 6 minutos e 41 segundos, do 
Professor German Suazo da Universidade Federal de Pelotas intitulado “Vídeo aula 03 
Métodos Numéricos”
Neste vídeo, o professor define um tipo de erro devido a conversão e padronização dos números na forma 
de aritmética de ponto flutuante
 
dICa! 
Em seguida, peque o seu livro texto de Cálculo e faça uma leitura do final da página 5 até 
a página 12. Lá você encontrará mais exemplos de conversão de base e padronização 
de um número em aritmética de ponto flutuante.
Outra dica que quero lhe dar, é que você pode estudar o tópico 1.2.2 localizado na página 10 do livro de 
Marcia A. Gomes Rugiero e Vera Lucia da Rocha Lopes, intitulado “Cálculo numérico – Aspectos teóricos 
e computacionais. 2ª edição.” Essa leitura também lhe ajudará no entendimento do conteúdo visto até 
agora.
TeorIa dos erros eM aNÁlIses NUMÉrICa 
No estudo envolvendo coleta de dados numéricos, nas operações aritméticas por meio de computadores, 
no tratamento de modelo matemático visando a solução, é comum nos depararmos com fontes de Erros. 
Estas fontes merecem um pouco mais de atenção, pois, do contrário, pode-se chegar a resultados longes 
do que se espera ou até mesmo obter outros que não têm nenhuma ligação com a solução procurada. 
Como principais fontes de erros, podemos citar as seguintes: Erros nos dados de entrada, Erros no esta-
belecimento do modelo matemático, Erros de arredondamentos durante a computação, Erros de trunca-
mentos, Erros humanos, Erros de máquinas, Erro absoluto e Erro relativo.
https://www.youtube.com/watch?v=rM7-uDi1pCk
https://www.youtube.com/watch?v=rM7-uDi1pCk
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•	 erros nos dados de entrada – em análise numérica, a busca por uma solução de um modelo 
matemático é iniciada por dados numéricos de entrada, os quais, a princípio, serão tomados 
como estimativa inicial da solução. Logicamente estes valores estarão muito distantes da so-
lução real e serão melhorados por meio das iterações. A diferença existente entre estes dados 
de entrada e a solução real é uma forma de erro. 
•	 erros no estabelecimento do modelo matemático – o modelo matemático para o problema 
real deve traduzir e representar o fenômeno, que está ocorrendo no mundo físico. Entretanto, 
nem sempre isso é fácil. Normalmente, são necessárias simplificações no modelo físico, para 
se obter um modelo matemático que oferecerá uma solução para o problema original. As sim-
plificações realizadas se constituem em fontes de erros, o que pode implicar a necessidade de 
reformulação do modelo físico e matemático.
•	 erros de arredondamentos durante a computação – os erros de arredondamento surgem 
devido ao fato de algumas propriedades básicas da aritmética real não valerem quando exe-
cutadas no computador, pois, enquanto na matemática alguns números são representados por 
infinitos dígitos, na máquina isso não é possível, tendo em vista que uma palavra da memória 
e a propria memória da máquina são finitas. Neste procedimento, faremos uma redução do 
número de dígitos de um número da seguinte forma: seja o valor 0,d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 que 
representa um número contendo oito dígitos depois da virgula. Suponha que desejamos fazer 
um arredondamento para que este valor fique com apenas seis casas decimais. Assim, se o 
sétimo dígito d7 for menor ou igual a quatro, simplesmente desprezamos do sétimo digito em 
diante. Caso sétimo dígito d7 for maior ou igual a cinco, teremos que acrescentar uma unidade 
ao último dígito que irá permanecer, ou seja d6. 
 
exemplo: Desejamos fazer um arredondamento dos valores 45,3423423 e 3,103274821 para que sejam 
escritos com apenas quatro casas decimais. 
solução: Para o valor 45,3423253, simplesmente desprezamos a quinta casa em diante, resultando em 
45,3423, pois a quinta casa é o número 2 que por sua vez é menor que quatro. Para o valor 3,103274821 
acrescentamos uma unidade a quarta casa, resultando em 3,1033, pois a quinta casa é o número 7 que 
por sua vez é maior que cinco. 
•	 erros de truncamentos – Surge cada vez que se substitui um procedimento matemático 
infinito por um processo finito ou discreto. 
exemplo: seja a função seguinte dada pela série de Taylor:
Desejamos representar esta mesma função pelos dois primeiros termos da série. Assim, desprezamos do 
terceiro termo em diante ficando com a expressão: 
A este procedimento denominamos de truncamento, e os valores numéricos quesurgirem dessa nova 
forma, serão aproximados devido ao desprezo dos demais termos. 
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Já em termos numérico é simplesmente fixar uma quantidade de casas decimais e desprezar as demais.
Exemplo: Desejamos fazer o truncamento do valor 3,103274821 na quarta casa decimal. Para isso, sim-
plesmente desprezamos da quinta em diante, ficando com o valor 3,1032. 
Observação: diferente do procedimento de arredondamento, o truncamento é simplesmente desprezar 
os termos seguintes à ultima casa que vai permanecer, não importando se o valor é menor ou maior que 
cinco. 
 
•	 erros humanos – uma das etapas do desenvolvimento de um modelo matemático a repre-
sentação de um fenômeno físico está ligada a coleta de dados numéricos obtidos do próprio 
fenômeno. Devido as nossas limitações físicas e da própria estrutura envolvida no sistema, 
estaremos e envolvidos por erros. 
erro absoluto e erro relativo
•	 erro absoluto - Podemos definir erro absoluto com sendo a diferença entre o valor exato e o 
valor aproximado, portanto teremos a equação:
Eabsoluto = (valor exato) - (valor aproximado) 
•	 erro relativo – Podemos definir erro relativo como sendo a o próprio erro absoluto dividido 
pelo valor exato, portanto teremos a equação:
 
Propagação de erros em Máquinas 
Caro aluno, podemos mostrar, por meio de exemplos como os erros podem se propagar nas operações de 
cálculos comuns em uma máquina.
Exemplo:
 
Suponha, uma máquina opera com quatro dígitos significativos, então considerando os seguintes valores:
Se solicitarmos que esta mesma máquina execute as seguintes operações, nesta ordem:
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Perceba que os dois resultados são diferentes, quando não deveriam ser, pois a adição é uma operação 
distributiva. A causa desta diferença foi um arredondamento feito na adição (x_2+x_1 ), cujo resultado 
tem oito dígitos. Como a máquina só armazena quatro dígitos, os menos significativos foram desprezados.
Quando utilizamos a máquina de calcular, devemos estar atento a essas particularidades causadas pelo 
erro de arredondamento, não só na adição, mas também nas outras operações. 
 
veja o vídeo
Para que possamos ter um melhor aproveitamento deste assunto, indicamos um vídeo 
de 9 minutos e 7 segundos do Professor German Suazo da Universidade Federal de 
Pelotas intitulado “Vídeo aula 04 Métodos Numéricos”
Neste vídeo, o professor mostra os erros em análises numéricas, devido ao processo de arredondamento 
e truncamento
É interessante também, fazer uma leitura em seu livro texto da página 12 até a página 23, incluindo os 
exercícios de fixação da matéria. 
Caro aluno terminamos esta primeira unidade.
Fique atento em suas dúvidas, pois o seu tutor ficará aguardando a sua sinalização. Espero que tenha 
gostado. 
Até a próxima unidade.
https://www.youtube.com/watch?v=hC3a9f5L_cQ