Aula 9 Concreto Armado 1 Dimensionamento às Solicitações Normais (parte 3) (1)

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Estruturas de Concreto Armado 1
Aula 09Aula 09
Ponte Estaiada Juscelino Kubitschek - Brasília
Aula 09Aula 09
Dimensionamento Dimensionamento 
às Solicitações às Solicitações 
Normais (parte 3)Normais (parte 3)
Dimensionamento à flexão Dimensionamento à flexão 
simples simples –– Armadura Dupla Armadura Dupla 
e Vigas Te Vigas T
Universidade de Brasília:
Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Departamento de Engenharia Civil e Ambiental -- ENCENC
Estruturas de Concreto Armado 1
Como visto nas aulas anteriores o aumento do momento fletor solicitante exige, para que a segurança da
viga submetida a flexão simples fique garantida, que o momento resistente também aumente quando não
há limitação na altura da viga.
O i i d d j t d difí i há t i ã lt d i dOcorre que na maioria dos casos de projetos de edifícios há restrição na altura de vigas por causa das
condições do projeto arquitetônico.
Quando a altura útil resulta em uma condição de deformações compatível com as de domínio 4, o concreto
está com deformação limite de 3,5‰ e as deformações nas barras das armaduras ficam menores que a
deformação de escoamento (εyd).
É possível adotar barras posicionadas próximas da borda comprimida submetidas a uma força resultante de
compressão que, junto com a resultante de compressão no concreto, alteram a capacidade resistente da
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seção transversal. Essa alteração se dá pelo aumento da resultante total de compressão, agora constituída
por duas forças e pelo aumento da força nas barras da armadura de tração por conta do aumento das
deformações e, conseqüentemente, pelo aumento da tensão. O braço de alavanca, que é neste caso a
distância entre o centro geométrico das barras da armadura de tração e o ponto da seção que contém a
resultante das forças resultantes de compressão no concreto e de compressão nas barras junto a face
comprimida da viga, também aumenta.
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Estruturas de Concreto Armado 1
CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA (ARMADURA DE COMPRESSÃO)
Podem ocorrer situações em que, por imposições de projeto, seja necessário utilizar em vigas
uma altura menor que a altura mínima exigida pelo momento fletor atuante de cálculo Md .
Nesse caso, determina-se o momento que a seção consegue resistir com sua altura real e
armadura apenas tracionada ; a diferença entre o momento atuante Md e o momento Mlim , que
será chamada de M2 (M2 = Md – Mlim ), será resistida por uma armadura de compressão.
Nessa situação, a viga terá uma armadura inferior tracionada e uma armadura superior
comprimida (armadura dupla).
A posição da linha neutra é adotada igual ao limite de ductilidade estabelecido pela NBR
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(xlim/d =0,45) para que as barras da armadura de tração fiquem com deformações iguais as
deformações de início de escoamento (εyd). Assim há melhor aproveitamento das capacidades
resistentes dos materiais.
A rotina de projeto quando é necessário usar armadura dupla é mostrada a seguir.
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Viga submetida à flexão normal simples e duplamente armada
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 limlimcdw 0,4.x-d x.f0,68.b limM
dx c  

lim dx  53
5,3
lim
Fazendo x = xlim , temos :
A posição da Linha Neutra corresponde ao limite xlim/d =0,45
→
sc  
)"()"( 222 ddfAddFM ydss 
yd
Sd
yd
s fdd
MM
fdd
MA 
 )"()"(
lim2
2
yd 5,3
ydyd
s fxd
M
fz
MA  )4,0( lim
limlim
limA armadura As,lim é obtida com Mlim :
Fazendo o equilíbrio da seção com M2 (não há mais colaboração do concreto), obtemos As2 :
→
Chamando As o total da armadura tracionada, ou seja, As = As lim+ As2’ , temos:
Aula 09 5
Chamando As o total da armadura tracionada, ou seja, As As,lim+ As2’ , temos:
Fazendo o equilíbrio dos momentos em relação ao C.G da armadura tracionada na seção com
M2 , obtemos A’s :
yd
Sd
yd
s fdd
MM
fxd
MA 
 )"()4,0(
limlim
sc
Sd
sc
s fdd
MM
fdd
MA ')"(')"('
lim2


Estruturas de Concreto Armado 1
Finalmente, é preciso conhecer a deformação específica da armadura comprimida ε’s , para
encontrar a tensão na armadura comprimida f’s . O valor de ε’sc é obtido na figura abaixo:
Aula 09 6
O valor de ε’sc é a deformação específica na armadura comprimida
)"(
'5,3
limlim dxx
sc


lim
lim )"(5,3'
x
dx
sc
→
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Estruturas de Concreto Armado 1
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE SEÇÃO T (item 14.6.2.2 )
Generalidades
Ao se analisarem as ligações entre lajes e vigas percebe-se que uma parte da laje colabora na capacidade
resistente da viga desde que as faces comprimidas das lajes e viga estejam no mesmo plano horizontalresistente da viga desde que as faces comprimidas das lajes e viga estejam no mesmo plano horizontal.
Ensaios experimentais permitem fazer essa afirmação.
Portanto, uma viga de seção T é constituída por duas partes: a primeira é a alma e a segunda é a mesa,
que correspondem às partes das lajes que se ligam à viga.
Quando ocupar uma posição de extremidade na planta do pavimento só existe laje do lado interno, permitindo
que a viga seja tratada como T, porém com mesa de um só lado. A decisão de considerar a viga como de seção
T fica a critério do projetista. Fica evidente que a viga de seção T tem maior inércia do que a viga de
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seção retangular quando se considera só a alma trabalhando. A viga T apresenta uma menor área de barras
tracionadas quando comparada com a viga retangular.
Todas as seções transversais de vigas podem ser tratadas como viga T, desde que as faces comprimidas de
lajes e vigas coincidam. A ocorrência de vigas retangulares isoladas é usual nas construções pré-fabricadas,
quando os tipos de ligações podem não permitir a consideração de viga T.
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Aula 09 9
Estruturas de Concreto Armado 1
- Na seção transversal A-A (c) da figura anterior a região comprida é em forma de T, pois a
linha neutra está contida em plano horizontal que dista (x) da borda comprimida. A seção A-A é
uma seção de meio de vão, isto é de momento fletor positivo, cuja intensidade necessita de
linha neutra mais profunda para ocorrer o equilíbrio. A respeito dessa situação de linha neutra
passando pela alma diz-se que a seção é verdadeira.
- Na seção transversal A-A (a) da figura anterior a região comprimida fica somente na
mesa e a linha neutra está contida em um plano que dista (x) da borda comprimida. Quando
isso acontece se diz que a seção é T falsa, pois há contribuição das lajes na capacidade
esistente da iga po ém pa te da laje está t acionada
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resistente da viga, porém parte da laje está tracionada.
- A seção B-B, junto ao pilar, apresenta a mesa tracionada figura (b) e, portanto, não há
contribuição das lajes na região comprimida da viga. O dimensionamento é feito considerando
viga de seção retangular.
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Normalmente, em estruturas convencionais compostas por vigas contínuas, os momentos
fletores de maior módulo são os atuantes nas seções que coincidem com os apoios, e,
geralmente tais vigas não são invertidas, então, para o dimensionamento à momento fletor não é
possível considerar a viga como de seção T.
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Ao fazer um corte transversal em um piso composto por lajes e vigas, observa-se que o piso é
composto, na verdade, de um conjunto de vigas com a forma de um “T” trabalhando lado a lado.
b – largura da mesa
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bf – largura da mesa
hf – altura da laje
d – altura útil da alma
bw – largura da alma
h – altura total da alma
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Considerações importantes para o dimensionamento:Uma viga de concreto armado, composta por uma nervura e duas abas, só será considera de
seção T quando a mesa e uma parte da alma estiverem comprimidas; caso contrário,
dependendo do sentido da atuação do momento fletor, apenas a parte superior da mesa ou
inferior da alma estarão comprimidas, e como regiões tracionadas de concreto não oferecem
resistência à flexão, a viga será calculada como tendo uma seção retangular.
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- Como conseqüência, nos trechos de momentos negativos juntos aos apoios, para vigas
contínuas e na grande maioria dos casos, a viga será dimensionada com seção retangular.
- Outra conseqüência é que, no caso dos momentos positivos, a viga só será considerada T se a
linha neutra estiver passando pela alma; caso contrario, a região de concreto comprimido será
retangular, com largura igual a bf , e não haverá colaboração da alma e de parte da mesa, que
estarão tracionadas.
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- Nas situações em que a L.N passa pela alma da seção, é possível fazer o cálculo em duas etapas:
1a Etapa – Calcula-se inicialmente o momento resistido pelas abas;
2a Etapa – O momento restante é resistido pela alma (nervura).
O determinação da largura colaborante da laje (bf ) é feita integrando-se a distribuição de tensões na altura
h e em uma largura em que as tensões tendem a zero a fim de encontrar a resultante. Essa resultante atua
na altura hf e largura bf : dffd fhbfAF  85,085,0
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na altura hf e largura bf : cdffcdcc fhbfAF 85,085,0
Estruturas de Concreto Armado 1
O procedimento mencionado anteriormente, resulta em um cálculo relativamente complexo, e por essa
razão desenvolveu-se soluções simplificadas a favor da segurança, mas com base nos mesmos princípios; A
NBR 6118:2003 indica critérios para a determinação da largura colaborante de vigas de seção calculada em
função das dimensões das lajes que se apoiam na viga em análise. Esses critérios são descritos a seguir:função das dimensões das lajes que se apoiam na viga em análise. Esses critérios são descritos a seguir:
A largura colaborante bf é igual a largura da alma da viga (bw) acrescida de no máximo 10% da distância
“a” entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante.
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Deverão ser respeitados os limites 
de b1 e b3 , da figura:
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a = distância entre pontos de momento nulo ao longo 
sem 
viga
lateral
com 
viga
lateral
Viga simplesmente apoiada: a = L
d â a po o d o o u o ao o go
do eixo de cada vão L , obtida do diagrama ou 
pela NBR 6118:2014.
Viga com momento em uma extremidade: a = 0,75.L•
Momento nas duas extremidades: a = 0,60.L
Viga em balanço: a = 2.L
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Dimensionamento de vigas de seção retangular 
mediante o uso de 
fórmulas adimensionais e tabelas
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Armadura Simples – (kc e ks )
Os procedimentos de dimensionamento de seções transversais de elementos estruturais
lineares construídos em concreto armado, considerando as hipóteses do estado limite último,
são repetitivos. As verificações se repetem sempre, ou sejam, faz-se a verificação da
resistência da região de concreto comprimido e se calcula(m) a(s) área(s) das barras da(s)
armadura(s).
Para facilitar a rotina de projeto é conveniente organizar as expressões de verificação da
segurança já deduzidas preparando-as para permitirem a montagem de tabelas que facilitem o
cálculo que é repetitivo.
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Tendo em mente as expressões de equilíbrio, usam-se as tabelas resolvendo os problemas de
dimensionamento de modo prático e expedito.
Para facilitar o entendimento a organização das tabelas será separada em casos de flexão
simples com armadura simples e com armadura dupla.
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MM
Lembrando que para os problemas de vigas submetidas à flexão simples adota-se solução de
dimensionamento com armadura simples quando o momento fletor solicitante de cálculo for menor ou
igual ao momento resistente de cálculo limite, isto é, nas situações de deformações que a posição da linha
lim,RdSd MM 
]4,01[68,0 2 xxcdwSd fdbM  
c
Sd
w
xxcd
k
M
db
f

2
2 ]4,0[68,0
1

neutra fique menor que a posição limite entre os domínios de deformações 3 e 4, ou seja:
Onde, βx é tido como o valor de x/d 
A equação anterior pode ser escrita desta forma:
Em problemas onde se conhece a espessura (bw), a altura útil (d) e o módulo do momento fletor solicitante
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MSd, é possível montar uma tabela de valores de kc em função da resistência de cálculo à compressão do
concreto (fcd) e da posição relativa da linha neutra (βx).
A expressão de kc , por levar em conta as dimensões da viga e a resistência à compressão do concreto,
permite fazer a verificação de segurança da seção transversal com relação à ruptura do concreto.
Estruturas de Concreto Armado 1
É preciso verificar também a resistência da seção transversal com relação a resistência de escoamento das
barras e da armadura de tração.
Para determinar a área das barras da armadura usando tabelas é preciso deduzir outra expressão,


  2
8,0 xdAM ststSd 
observando na figura abaixo que se pode montar equação de equilíbrio do momento fletor solicitante de
cálculo com os momentos das forças resultantes internas, considerando para pólo de cálculo dos momentos o
ponto de atuação da força resultante de compressão no concreto (Rcc).
Assim procedendo pode-se escrever:
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 xststSd dAM   4,01
s
Sd
st
xst
k
M
dA  )4,01(
1

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Estruturas de Concreto Armado 1
Nos problemas de dimensionamento quando a altura útil d não puder ser determinada, o
projetista pode escolher βx = βx,lim, determinando na tabela o correspondente valor de kc em
função da resistência característica do concreto, com o valor de kc, conhecendo bw e MSd
determina-se o valor de d. Na linha de βx = βx,lim determina-se o valor de ks e, portanto,
determina-se a área das barras da armadura longitudinal de tração.
Nos problemas de dimensionamento quando a altura útil d é conhecida, por que houve definição
da altura h da viga por condição de compatibilidade com projeto arquitetônico, calcula-se kc com
a expressão da tabela e com kc, na mesma linha da tabela, determina-se o valor ks e, portanto, a
á ea das ba as da a mad a
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área das barras da armadura.
Se por acaso resultar kc > kc,lim é conveniente considerar solução com armadura dupla.
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Estruturas de Concreto Armado 1
Armadura Duplas – (ks2 e ksc )
Como já visto quando MSd > MRd,lim é possível adotar armadura dupla como solução para o equilíbrio da
seção transversal com economia de armadura, ou adotar deformações no domínio 4, exigindo alta taxa de
d i d ilíb iarmadura tracionada para manter o equilíbrio.
Para organizar tabelas que possibilitem o dimensionamento de seções submetidas à flexão simples com
armadura dupla, faz-se o artifício de considerar uma seção transversal em concreto armado submetida a um
momento fletor de cálculo igual ao momento de cálculo resistente limite - MRd,lim (seção 1) e, uma seção
fictícia constituída por barras de aço posicionadas junto as faces tracionada e comprimida
(seção 2), como mostra a figura 14.
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34lim xxx  
lim,RdSd MM 
Análise da seção 1:
Considera-se que a seção 1 contribui com o equilíbrio com valor de momento igual a:
e, portanto, com a posição relativa da linha neutra igual a:
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34,lim,xxx 
lim,
2
lim,1
c
w
RddS k
dbMM 
d
M
kA Rdsst
lim,
lim,1 
e, portanto, com a posição relativa da linha neutra igual a:
O valor do momento MS1d é dado por:
Considerando kc = kc,lim determina-se na tabela o valor de ks que possibilita o cálculo da área da
armadura Ast1 pela seguinte expressão:
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dSSddS MMM 12 
Análise da seção 2:
O valor do momento que precisa ser absorvido pela seção 2 fictícia é dado por:
)"()"( 22 ddAddAM ststscscdS  
lim,xx  
ydst f
Analisando a seção 2 da figura anterior pode-se escrever a seguinte equação de equilíbrio,
considerando as forças resultantes nas barras das armaduras de compressão e tração,
obtendo-se:
Lembrando que:
então, a tensão nas barras da armadura de tração é dada por:
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)( scsc f  
e, a tensão na armadura de compressão é calculada em função do valor da deformação, com
a expressão:
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)"(22 ddAM ststdS  
A expressão abaixo representa a equação de equilíbrio da seção transversal fictícia adotando
para pólo de cálculo dos momentos o ponto de ação da força resultante na armadura de
compressão:
)"()"(
2
2
2
2 dd
Mk
ddf
MA dSs
yd
dS
st 
O cálculo da área da armadura Ast2 de tração para equilibrar o momento fletor solicitante
atuante na seção fictícia é feito usando a expressão abaixo, considerando a tensão na
armadura (σst) igual a resistência de cálculo de escoamento da armadura (fyd):
É possível montar um quadro na tabela para valores de k 2 em função da categoria do aço
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21 ststst AAA 
)"(2 ddAM scscdS  
É possível montar um quadro na tabela para valores de ks2 em função da categoria do aço.
Com a expressão a seguir se calcula a área das barras da armadura de tração.
Para o cálculo de Asc usa-se a primeira equação de equilíbrio da seção 2 fictícia que é obtida
considerando para pólo de cálculo dos momentos o ponto de ação da força resultante da
armadura de tração, resultando:
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)"()"(
22
dd
Mk
dd
MA dSscdSsc  
A área das barras da armadura de compressão pode ser calculada por:
)()( ddddsc 
Como a tensão nas barras da armadura de compressão σsc depende da deformação destas
barras εsc que, por sua vez, depende da deformação na borda comprimida do concreto, neste
caso de limite entre domínios 3 e 4, εcc = εcu = 3,5‰ e depende também de se ter adotado
βx,lim, é possível organizar um quadro na tabela A-2 para valores ksc em função de d’/h e da
categoria das barras de aço.
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Lembrando que a NBR 6118:2003 indica que a taxa total das barras das armaduras de tração e
compressão (ρs + ρ’s) não pode ser maior do que 4%.
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Estruturas de Concreto Armado 1
Armadura Simples – (KMD, KX e KZ)

22 )272,068,0( xxfbxdxM dSd
Dividindo ambos os membros da equação de MSd por bw.d2.fcd



  222 272,068,0
)272,068,0(
d
x
d
x
fdb
fbxdx
fdb
M
cdw
cdw
cdw
Sd
Chamando
e , 
a equação anterior torna-se: 
KMD
fdb
M
cdw
Sd  2 KXd
x 
 2272,068,0 KXKXKMD 
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Esta equação possui apenas termos adimensionais e KX só pode variar de 0 a 1 (x = 0 e x = d)
Quando x = 0 ( início do domínio 2 ) → x/d =0 → KMD = 0
Quando x = d ( fim do domínio 4 ) → x/d = 1 → KMD = 0,408
 
Estruturas de Concreto Armado 1
Armadura Simples – (KMD, KX e KZ)
d 40
A Expressão que fornece o braço de alavanca z ( z = d – 0,4.x )
Dividindo os dois termos por d temos:
d
x
d
xd
d
z  4,014,0
Chamando z/d = KZ e lembrando que KX = x/d, da equação anterior, obtemos KZ:
A Expressão que fornece a área de aço da armadura
sendo z (KZ) d temos:Sd
MA
 KXKZ  4,01
SdMA
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sendo z = (KZ).d , temos:
A Equação que relaciona as deformações com a profundidade da linha neutra
, sendo x/d = KX, então :
yd
Sd
s fz
A 
sc
c
d
x



yd
Sd
s fdKZ
A 
sc
cKX 


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Tabela para KMD, KX e KZ encontra-se no livro texto.
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Estruturas de Concreto Armado 1
O Conteúdo desta aula é referente ao:
Capítulo 3 do Livro Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de 
Concreto Armado – Roberto Chust CarvalhoConcreto Armado Roberto Chust Carvalho
Capítulo 5 do Livro Estruturas de Concreto Armado: Fundamentos de 
projeto, dimensionamento e verificação – João Clímaco Teatini
Capítulos de 4 a 13 da Apostila Concreto Armado: Dimensionamento 
considerando o Estado limite ultimo de elementos estruturais lineares 
submetidos a ação de momento fletor EESC– Samuel Giongo - 2009
Aula 09 34
Leiam os capítulos de referência e resolvam os exercícios.
Não acumulem a matéria, estudem periodicamente.