Introdução ao Eletromagnetismo

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Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
Eletromagnestismo 
Aula 1 
 
 
Prof. Frank Coelho de Alcantara 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conversa inicial 
Esta é a nossa primeira aula de eletromagnetismo. Nela, vamos revisar 
álgebra vetorial e estudar os conceitos básicos de carga elétrica e campo 
elétrico. Ao longo do curso, precisaremos desses conceitos para entender como 
cargas e campos eletromagnéticos podem alterar nossos projetos, nossos 
produtos e a forma como utilizamos os dispositivos do mundo moderno. 
Em 1865 James Clerk Maxwell publicou seu artigo “A Dynamical Theory 
of the Electromagnetic Field”, um dos mais importantes estudos do século XIX. 
Ele pode ser lido no original (em inglês), no link a seguir. 
http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/155/459 
Você deve estar se perguntando: Por que, em pleno século XXI, ainda 
estudamos conceitos e fórmulas do século XIX? 
Vivemos em um tempo em que supercomputadores são capazes de 
aprender e resolver problemas com a mesma facilidade que o ser humano, em 
que carregamos no bolso um equipamento eletrônico mais potencial do que 
aqueles utilizados no tempo em que enviamos o homem à Lua (1969), e ainda 
assim, estamos limitados às leis do eletromagnetismo e da eletricidade. 
 Talvez, a pergunta correta seja: Por que ainda é relevante aprender 
eletromagnetismo? Acredite ou não, o estudo do eletromagnetismo foi 
impulsionado por necessidades militares. Primeiro para facilitar as 
comunicações, depois para determinar a localização de alvos ou inimigos. Vale 
destacar que, ainda no nosso tempo, a estruturação dos aviões invisíveis só foi 
possível graças a compreensão das características de absorção e dispersão de 
ondas eletromagnéticas. 
Neste exato momento você está aprendendo por meio da Educação a 
Distância, que funciona graças a tecnologia eletromagnética. Computadores, 
celulares e tablets também utilizam tecnologias baseadas no conhecimento do 
eletromagnetismo. Esses dispositivos, que funcionam acima de um bilhão de 
ciclos por segundo, dependem essencialmente da compreensão dos campos e 
 
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das cargas que circulam por trilhas, fios e condutores. Mesmo no interior dos 
chips, a interação entre cargas e campos define a eficiência e, em casos 
extremos, o funcionamento desses dispositivos. Nessas frequências e 
distâncias, leis básicas da eletricidade, como as leis de Kirchhoff, acabam se 
tornando inúteis. Voltando ao mundano. Você está usando uma conexão Wi-Fi? 
Então, saiba que são as leis do eletromagnetismo que explicam como as 
transmissões de rádio funcionam, inclusive o Wi-Fi e o 3G. Ou seja, nosso 
mundo moderno depende indiscutivelmente do entendimento do 
eletromagnetismo. 
 
Contextualizando 
Começaremos esta aula pelo estudo da álgebra vetorial e terminaremos 
com o estudo do campo elétrico da eletrostática. Veremos a álgebra vetorial do 
ponto de vista do engenheiro, ou seja, mais voltado à prática do conhecimento 
das cargas elétricas, campos elétricos e da Lei de Coulomb, e sem o rigor das 
provas matemáticas. 
Charles Coulomb (1736 – 1806), foi um cientista francês que estudou as 
cargas elétricas utilizando uma balança de torção. Sua lei, como veremos, define 
a força de atração entre cargas elétricas. Qualquer quantidade de carga elétrica 
em um espaço produz um campo elétrico e qualquer partícula imersa nesse 
campo está sujeito a forças provenientes dessas cargas. Esses são os princípios 
que explicam o funcionamento de máquinas fotocopiadoras, impressoras de jato 
de tinta, para-raios e filtros de ar eletrostáticos. 
Nosso objetivo comum é que, ao final desta aula, você seja capaz de 
entender e aplicar a Lei de Coulomb, calcular os efeitos de campos eletrostáticos 
e compreender os efeitos de uma distribuição de cargas no espaço. Todos os 
conceitos ensinados serão utilizados por você ao longo de sua vida profissional. 
Por exemplo: o capacitor, um dos mais importantes componentes passivos 
 
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disponíveis nos projetos de engenharia depende fundamentalmente dos 
conceitos que serão vistos neste material. 
Seu maior desafio de hoje será entender como podemos calcular o campo 
elétrico que existe entre as placas de um capacitor e porque este campo não 
influencia os outros componentes do circuito. 
Mas antes de botar a “mão na massa”, assista à contextualização 
do professor Frank Coelho de Alcantara sobre esses temas no material 
online. 
Álgebra Vetorial 
Definimos “escalar” como qualquer grandeza física que possa ser 
entendida por um número e uma unidade. Por exemplo: 15 kg de massa ou 12 
m de comprimento. 
Usamos vetores e álgebra vetorial para entender grandezas que não 
teriam sentido se fossem definidas por apenas um número. Além disso, os 
vetores definem grandezas como velocidade, aceleração e campo elétrico, isto 
é, grandezas que, além da amplitude precisam de direção e sentido. 
Nesta disciplina representaremos os vetores por um segmento de reta 
orientado ou uma letra maiúscula em negrito em que o vetor V tem origem no 
ponto a e se propaga até b. (Observe a figura a seguir). 
 
 
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 Operações com vetores 
Podemos definir três operações simples e diretas: a adição, a subtração 
e a multiplicação por um escalar. Estas operações seguem regras específicas 
da álgebra vetorial e, em alguns momentos, conflitam com as regras que usamos 
na álgebra normal, por isso atenha-se as seguintes regras: 
Adição 
Na adição, somamos vetores usando a regra do paralelogramo. Dados 
dois vetores, A e B, fazemos a soma entre eles transladando o vetor B no espaço 
até que a sua base, ou cauda, coincida com a ponta, ou cabeça, do vetor A (veja 
na figura a seguir). Assim, o vetor S está ligando a cauda de A (base do 
segmento de reta) até cabeça (ponta da seta) de B, que representa a soma entre 
A e B. 
 
 
 
É possível perceber que a ordem dos fatores não altera o resultado da 
soma. Tente isto: desenhe dois vetores e usando a trigonometria e faça as 
somas A + B e B + A. A soma vetorial é comutativa e associativa. 
 
A + B = B + A (Propriedade comutativa) 
A + (B + C) = (A + B) + C (Propriedade associativa) 
 
 
 
 
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Subtração 
Antes de definir subtração, definimos o vetor - A, vetor oposição. Trata-se 
de um vetor com a mesma intensidade e direção de A, mas de sentido oposto, 
observe a figura a seguir: 
 
Com este vetor definido, a subtração se resume a uma adição. 
A – B = A + (-B) 
Este processo é equivalente a girar um dos vetores e proceder com a 
regra do paralelogramo. Se A – B = 0, então A = B. Analiticamente, tanto a 
adição quanto a subtração de vetores pode ser realizada por meio dos seus 
componentes. Veremos esses componentes e as regras dessa soma ainda 
neste material. 
Multiplicação por escalar 
Podemos multiplicar qualquer vetor por qualquer escalar. Se o escalar 
multiplicador for positivo, o vetor será multiplicado e terá seu módulo (ou 
amplitude) alterado, porém manterá seu sentido. Se o escalar for negativo o vetor 
resultante terá seu sentido invertido. 
Sendo assim, são válidas as seguintes propriedades: 
a) 
𝑨
𝑵
=
1
𝑛
𝑨 
b) n(A + B) = nA + nB(Propriedade distributiva) 
c) (n+ m)A = nA + mA (Propriedade distributiva) 
d) 1A= A 
e) -1A = - A 
f) 0A = 0 
 
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Tente confirmar as propriedades anteriores, usando seus conhecimentos 
de álgebra vetorial! 
Vetor unitário 
Um vetor unitário (v) é um vetor cujo módulo ou grandeza é 1 e está na 
mesma direção de um vetor dado V cuja amplitude, ou módulo, seja diferente de 
zero. O vetor unitário v pode ser encontrado por: 
𝒗 = 
𝑽
|𝑽|
 
 
Em que |V| representa o módulo, amplitude ou comprimento do vetor. 
O módulo de um vetor é uma grandeza escalar não negativa que pode ser 
calculada de forma analítica. Observe que o vetor unitário v não pode ser 
definido se a amplitude do vetor V for igual a zero. 
Sistemas de coordenadas 
Para definir um vetor de forma completa precisamos definir seu módulo 
(ou magnitude) e sua direção. No espaço, o uso de um sistema de coordenadas 
se torna indispensável. Em eletromagnetismo utilizamos com frequência os 
sistemas cartesiano, esférico e cilíndrico. Mas, não se assustem, existem outros 
e, se necessário, você pode criar o seu próprio. 
Sistemas de coordenadas cartesiano 
Neste sistema, qualquer ponto no espaço ℝ3(espaço tridimensional) é 
definido pela interseção de três eixos ortogonais x, y, z. A origem do sistema se 
dá na interseção destes três eixos no ponto x = 0, y = 0 e z = 0, como pode ser 
visto na figura a seguir. A este ponto, de interseção, em álgebra vetorial damos 
o nome de origem e representamos pelo zero em negrito. 
 
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Fonte: HAYT e BUCK, 2012 
Regra da mão direita 
Para a definição do sentido positivo dos eixos no sistema de coordenadas 
cartesiano, por definição, os eixos obedecem a regra da mão direita que utiliza 
os dedos polegar, indicador e médio. 
 
Fonte: HAYT e BUCK, 2012 
Observe que a escolha da regra da mão direita é uma convenção 
totalmente arbitrária, cujo objetivo é garantir que todos os estudos e medidas 
tenham as mesmas referências e que você possa colocar os eixos em qualquer 
posição, garantindo as relações de ortogonalidade entre eles. 
Vetores unitários no sistema de coordenadas cartesiano 
No sistema de coordenadas cartesiano, qualquer vetor pode ser definido 
como produto de um escalar (módulo, amplitude) por cada um dos vetores 
unitários dos eixos cartesianos (ax, ay, az). De forma que a base, ou cauda, do 
 
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vetor esteja na origem e sua cabeça, ou ponta, esteja em um ponto qualquer do 
espaço, como pode ser visto na figura a seguir. 
 
 
De forma algébrica podemos representar qualquer vetor no espaço 
cartesiano tridimensional por meio do produto de um escalar pelos vetores 
unitários de cada eixo e, desta forma, encontrar seu módulo. 
𝑨 = 𝑖𝒂𝑥 + 𝑗𝒂𝑦 + 𝑘𝒂𝑧 
|𝑨| = √𝑖 2 + 𝑗2 + 𝑘2 = (𝑖2 + 𝑗2 + 𝑘2)
1
2⁄ 
 
O que implica que o vetor unitário a, referente ao vetor A, pode ser 
calculado no espaço cartesiano por: 
 
Exemplo: Dados os pontos A (-1,2,1) e B (3, -3,0), encontre o vetor Vab e o vetor 
unitário vAB. 
Solução: 
 
 
 
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Operações analíticas com vetores 
Definido o sistema de coordenadas, as operações com os vetores podem 
ser realizadas utilizando os componentes de projeção dos vetores neste sistema 
de coordenadas. Neste caso, se tomarmos um vetor A = ai ax + aj ay + ak az e B 
= bi bx + bj by + bk bz, teremos um vetor C de tal forma que: 
 
Um ponto no sistema cartesiano é dado por P (x, y z). O vetor posição, ou 
vetor raio, indica a distância entre a origem e este ponto e pode ser dado por: R 
= iax + jay + kaz. Desta forma a distância entre dois pontos no espaço pode ser 
calculada pelo módulo da subtração de dois vetores raio direcionados a esses 
pontos. 
Sistema de coordenadas cilíndricas 
Podemos imaginar um espaço cilíndrico como sendo o resultado da 
rotação de um semiplano y, z em torno do eixo z a uma determinada distância 
no plano x. 
Representaremos um ponto neste espaço por três parâmetros: 
 ρ (rho): a distância entre a origem e a projeção do ponto no plano x, 
y, p; representa o raio do cilindro. 
 ϕ (phi) ou ângulo azimutal: representa o desvio angular do vetor 
projeção no plano x, y relativo ao eixo x. 
 z: a coordenada axial do ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
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Observe essa representação nas figuras a seguir. Qualquer vetor neste 
sistema de coordenadas pode ser definido pelos vetores unitários aρ, aϕ, az. 
 
Fonte: HAYT e BUCK, 2012 
 
Sistema de coordenadas esféricas 
Um ponto qualquer em um sistema de coordenadas esféricas também 
pode ser definido por meio do uso de três parâmetros: 
 r: distância entre o ponto e a origem; o raio da esfera. 
 θ (theta) ou ângulo polar, que representa o desvio angular do vetor 
posição em relação ao eixo z. 
 ϕ (phi) ou ângulo azimutal, que representa o desvio angular do vetor 
posição em relação ao eixo x. 
Neste caso, observe as figuras a seguir. 
Qualquer vetor em um sistema de coordenadas esféricas poderá ser 
representado por meio dos vetores unitários: ar, aθ, aϕ. E existirá um espaço 
esférico e tridimensional se, e somente se, as seguintes condições foram 
obedecidas: 𝑟 ≥ 0, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 e 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋. 
 
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Fonte: HAYT e BUCK, 2012 
 
Conversões entre sistemas de coordenadas 
A tabela indicada a seguir apresenta as relações entre os três sistemas 
de coordenadas para a conversão entre sistemas. 
 
Já a tabela indicada a seguir apresenta as relações trigonométricas 
necessárias para a conversão entre os três sistemas de coordenadas dos 
respectivos vetores unitários. 
 
 
 
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Elementos infinitesimais em sistemas de coordenadas 
Vamos voltar aos sistemas de coordenadas para entender a composição 
de elementos infinitesimais necessários para a integração e derivação. 
Sistema de Coordenadas Cartesianas: 
 
Fonte: HAYT e BUCK, 2012 
 Unidades diferenciais de superfície: 
 dx.dy 
 dy.dz 
 dx.dz 
 Unidade diferencial de volume: 
 dx.dy.dz 
 Sistema de Coordenadas Cilíndricas: 
 
Fonte: HAYT e BUCK, 2012 
 
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 Unidades diferenciais de superfície: 
dp.dz 
pdϕ.dz 
dp.pdϕ 
 
 Unidade diferencial de volume: 
 dp.pdϕ.dz 
 
 Sistema de Coordenadas Esféricas: 
 
Fonte: HAYT e BUCK, 2012 
 
 Unidades diferenciais de superfície: 
 dr.rdθ 
 dr.rsenθdϕ 
 rdθ.rsenθdϕ 
 
 Unidade diferencial de volume: 
 dr.rdθ.rsenθdϕ 
 
Agora é com o professor Frank Coelho de Alcantara. Veja o que ele 
tem a dizer sobre a álgebra vetorial no material online. 
 
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Que tal relembrar os principais aspectos das coordenadas cilíndricas e 
esféricas? O vídeo indicado a seguir aborda este assunto de modo bem didático. 
Aproveite! 
https://www.youtube.com/watch?v=hc_rLtkqi6k 
 
Campo Vetorial, Produto Escalar e Produto Vetorial 
 Um conceito importante do estudo do eletromagnetismo é o campo. Na 
maioria das situações de interesse, o campo é uma forma conveniente para a 
representação do efeito produzido poruma fonte física em cada ponto do 
espaço, a cada instante de tempo. O campo será escalar ou vetorial se a 
grandeza física a ele associada for de natureza escalar ou vetorial. 
Definimos o campo vetorial como sendo a função de um vetor que liga a 
origem do campo a um determinado ponto do espaço. 
Exemplo 1: Um campo vetorial G é definido pela função: G = 24xyαx + 12(x2 + 
2)αy + 18z2αz . Dados dois pontos, P (1,2, -1) e Q (-2,1,3), encontre: 
a) A intensidade do campo G no ponto P; 
Solução: para resolver a intensidade do campo G no ponto P, tudo que 
precisamos é substituir as coordenadas do ponto na equação: 
 
 
b) O vetor unitário na direção de G no ponto Q; 
Solução: para encontrar o vetor unitário de G em Q, precisamos encontrar o 
vetor G (-2,1,3): 
 
 
 
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Assim, o vetor unitário será dado por: 
 
 
c) O vetor unitário dirigido de Q até P; 
Solução: o vetor unitário de Q até P e dado pelo vetor unitário αPQ da subtração 
entre os vetores de raios P e Q: 
𝑎𝑃𝑄 =
𝑷 − 𝑸
|𝑷 − 𝑸|
=
((1 − (−2),2 − 1,3 − (−1))
√(1 − (−2))2 + (2 − 1)2 + (3 − (−1))2
 
𝒂𝑷𝑸 =
(𝟑,𝟏, 𝟒)
√𝟐𝟔
= (𝟎,𝟓𝟗 ,𝟎,𝟐𝟎 ,−𝟎,𝟕𝟖 
 
d) A equação da superfície na qual a intensidade de G é igual a 60. 
Para calcular a equação da superfície em que |G|= 60, simplesmente 
escrevemos: 
 
E resolvemos: 
60 = √(24𝑥𝑦)2 + (12(𝑥2 + 2))2 + (18𝑧2)2 
602 = (24𝑥𝑦)2 + (12(𝑥2 + 2))2 + (18𝑧2)2 
602 = 242𝑥 2𝑦2 + (12𝑥 2 + 24)2 + 182𝑧4 
602 = 242𝑥 2𝑦2 + 122𝑥 4 + 242𝑥 2 + 242 + 182𝑧4 
602 = 242𝑥 2𝑦2 + 122𝑥 4 + 242𝑥 2 + 242 + 182𝑧4 
3600 = 576𝑥2𝑦2 + 144𝑥4 + 576𝑥2 + 576 + 324𝑧4 
600 = 96𝑥 2𝑦2 + 24𝑥4 + 96𝑥2 + 96 + 54𝑧4 
100 = 16𝑥 2𝑦2 + 4𝑥4 + 16𝑥2 + 16 + 9𝑧4 
 16𝑥 2𝑦2 + 4𝑥 4 + 16𝑥 2 + 9𝑧4 − 84 = 
 
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Produto escalar 
Definimos produto escalar, ou produto interno, a operação em um espaço 
definido entre dois vetores A e B que resulta em um número real. Na forma 
algébrica o produto escalar é definido por: 
 
Geometricamente, o produto escalar é dado por: 
𝑨 ∙ 𝑩 = |𝑨||𝑩|𝑐𝑜𝑠𝜃 
Em que θ é o ângulo formado entre os dois vetores. A partir da definição 
geométrica podemos determinar uma fórmula para o cálculo do ângulo θ: 
𝜽 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑨 ∙ 𝑩
|𝑨||𝑩|
) 
 
Dica: você pode tentar provar estas propriedades para relembrar os 
conceitos básicos de álgebra vetorial. 
 
Exemplo 2: Encontre o ângulo agudo θ entre os vetores A = 2ax + ay + 3az e B 
= ax – 3ay + 2az. 
Solução: trata-se de uma aplicação direta do produto escalar na sua forma 
trigonométrica. Sendo assim: 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑨 ∙ 𝑩
|𝑨||𝑩|
) = 𝑐𝑜𝑠−1 (
2.1 − 3.1 + 3.2
(√22 + 12 + 32)(√12 + 32 + 22)
) 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
5
(√14)(√14)
) = 𝑐𝑜𝑠−1 (
5
14
) = 69,075º 
 
 
 
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Exemplo 3: dados os vetores definidos pelos pontos: A (-2, 3, 8), B (0, 2, -1) e 
C (1, -2, 1), determine o produto escalar A.B e se existe ortogonalidade entre 
A.C. 
Solução: o produto escalar pode ser calculado diretamente da sua forma 
analítica: A.B = axbx + ayby + azbz, sendo assim: 
𝑨 ∙ 𝑩 = 0 + 6 − 8 = −2 
Já a ortogonalidade pode ser encontrada pela propriedade que afirma que 
quando dois vetores são ortogonais seu produto escalar é zero. Desta forma, 
precisamos calcular o produto escalar A.C: 
𝑨 ∙ 𝑪 = −2 − 6 + 8 = 0 
O que mostra que A e C são ortogonais entre si. 
Produto Vetorial 
O produto vetorial é uma operação entre vetores A e B que fornece 
como resultado um terceiro vetor V. De tal forma que, se utilizarmos a forma 
analítica no sistema de coordenadas cartesianas em 3 dimensões teremos: 
 
O resultado do produto vetorial é um vetor perpendicular ao plano formado 
pelos dois vetores operandos. Cuja direção é determinada pela regra da mão 
direita, com polegar apontando na direção do vetor resultante e com os dedos 
se movendo de A para B, como você pode ver na figura a seguir. 
 
Fonte: HAYT e BUCK, 2012 
 
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É possível demonstrar que o módulo do produto vetorial entre dois vetores 
A e B pode ser determinado pelo produto de um vetor unitário e a relação 
trigonométrica entre os módulos dos vetores: 
 
Em que αN é o vetor unitário normal ao plano contendo A e B, sendo que 
a direção de α é dada pela regra da mão direita. Por outro lado, o ângulo entre 
dois vetores pode ser calculado usando o produto vetorial: 
|𝑨 × 𝑩| = |𝑨||𝑩|𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
De tal forma que: 
𝜃 = 𝑠𝑒𝑛−1
|𝑨 × 𝑩|
|𝑨||𝑩|
 
Propriedades do produto vetorial 
1. Anticomutativa: 𝑨 × 𝑩 = −𝑩 × 𝑨. 
2. Distributiva: 𝑨 × (𝑩 + 𝑪) = 𝑨 × 𝑩 + 𝑨 × 𝑪. 
3. Não associativo: 𝑨 × (𝑩 × 𝑪) ≠ (𝑨 × 𝑩) × 𝑪. 
4. 𝑛𝑨 × 𝑩 = 𝑛(𝑨 × 𝑩) = 𝑨 × 𝑩𝑛. 
5. (𝑨 + 𝑩) × 𝑪 = 𝑨 × 𝑪 + 𝑩 × 𝑪. 
6. 𝑨 ∙ (𝑩 × 𝑪) = (𝑨 × 𝑩) ∙ 𝑪. 
7. 𝑨 × (𝑩 × 𝑪) = (𝑨 ∙ 𝑪)𝑩 − (𝑨 ∙ 𝑩)𝑪. 
8. 𝑨 × 𝑩 = 𝟎 ⟹ 𝑨 𝑒 𝑩 𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠. 
9. 𝑨 × 𝑨 = 𝟎, o vetor 𝑨 é sempre paralelo a ele mesmo. 
Observe que se os vetores forem paralelos, estarão na mesma direção e 
sentido ou na mesma direção e sentido oposto, e o produto vetorial será zero. 
Isso também ocorrerá se um dos vetores for zero. Fora essas duas situações, o 
produto vetorial definirá um vetor ortogonal aos operados cujo módulo será 
equivalente a área de um paralelogramo formado pela translação dos dois 
vetores. 
 
 
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Exemplo 4: Dados os vetores A= 2ax -3ay + az e B= -4ax -2ay + 5az, calcule o 
produto vetorial A X B: 
A solução está na dica do professor Frank Coelho de Alcantara: 
Se você não tem disposição para memorizar fórmulas, a forma mais 
interessante de encontrar o vetor resultante de um produto vetorial é montar uma 
matriz e resolver o determinante pela regra de Cramer. Eu, pessoalmente, prefiro 
utilizar a regra de Cramer expandindo a matriz em uma operação de submatrizes 
e resolver cada determinante, veja: 
 
No material online, o professor Frank Coelho de Alcantara explica 
um pouco mais sobre o campo vetorial, o produto escalar e produto 
vetorial. Não perca! 
Lei de Coulomb 
No começo do século XVII o oficial inglês Charles Coulomb, em pesquisas 
bélicas, formulou a lei que mostra a atração exercida por duas cargas elétricas: 
“A força, mútua, que atua sobre duas cargas é proporcional ao valor das 
cargas e inversamente proporcional a distância que as separa”. (COULOMB) 
Para chegar a tanto, o oficial desenvolveu um equipamento específico 
para a medida desta força, a balança de torção, e realizou milhares de 
observações. Na sua forma vetorial, a Lei de Coulomb é dada por: 
𝑭 = 
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖𝑅2
𝒂𝟐𝟏 
Em que a força é medida em Newtons (N), a distância em metros (m) e a 
carga em Coulombs (C). Um Coulomb é uma quantidade muito grande de 
 
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21 
energia, na verdade, a força que existiria entre duas cargas de um Coulomb, 
separadas por 1m é de 9x109 N, praticamente o equivalente a 1 milhão de 
toneladas (HAYT e BUCK, 2012). Por esta razão, comumente, usamos frações 
do Coulomb. 
O fator 4𝜋 foi introduzido a posteriori, para que não apareça nas 
equações de Maxwell (que estudaremos em outras lições). O Є, chamado de 
constante de permissividade, representa capacidade do meio de permitir a 
existência de campos elétricos e, no vácuo (ou espaço livre)é chamada de Є0 
e tem o valor de 8,854 x 10-12 C2/N.m2 ou de forma equivalente, e mais prática, 
8,854 x 10-12 F/m. (Lê-se: Farads por metro). 
 
Só para lembrar: a constante de permissividade Є0, para todos os efeitos, 
tem o mesmo valor no vácuo e no ar. 
 
Exemplo 5: 
Duas cargas, sendo que uma é duas vezes maior que a outra, estão 
separadas por uma distância de 15 cm e experimentam uma força repulsiva de 
95 N em um meio cuja permissividade (Є0) tem o valor aproximado de 
1
36𝜋
×
10−9𝐹/𝑚. 
Utilizando a lei de Coulomb, e desprezando o sentido da força exercida 
entre as partículas, determine qual destas cargas tem a maior intensidade? 
A lei de Coulomb é dada por: 
𝑭 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜀0 𝑅
2
 
Solução: 
Sabemos que segundo a Lei de Coulomb, a força entre duas cargas é 
dada por: 
𝑭 = 
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖𝑅2
𝒂𝟐𝟏 
 
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Se podemos desprezar o sentido da força, podemos desconsiderar o vetor 
unitário α21. Dos dados do problema podemos tirar Q1 = 2Q2, ficando com: 
𝑭 =
2𝑄2 𝑄2
4𝜋𝜀0𝑅
2
=
2𝑄2
2
4𝜋𝜀0 𝑅
2
=
𝑄2
2
2𝜋𝜀0𝑅
2
 
 
Em que podemos tirar: 
𝐹 × 2𝜋𝜀0 𝑅
2 = 𝑄2
2 ∴ 𝑄2 = √𝐹2𝜋𝜀0𝑅
2 
Ou: 
𝑄2 = √95.2𝜋
1
36𝜋
× 10−9. (0,15)2 = √95.
1
18
× 10−9. 0,0225 = 10,897 × 10−6𝐶 
𝑄1 = 2𝑄2 = 2.10,897 × 10
−6𝐶 = 21,794 × 10−6𝐶 
 
Resposta: A maior carga tem intensidade de 21,794 x 10-6 C. 
Com o rigor vetorial, temos que considerar que a força F deve agir sobre 
a linha que une as duas cargas. Esta força é repulsiva se as cargas são do 
mesmo sinal e atrativa se forem de sinais contrários. 
Consideremos o vetor r1 que localiza Q1
 
e o vetor r2 que localiza Q2. Então, 
o vetor R12 = r2 – r1 representa o segmento de reta que vai de Q1 a Q2, como 
mostra a figura a seguir. O vetor F2 é a força que age em Q2 e está representado 
o caso em que Q1 e Q2 têm o mesmo sinal (HAYT,2015). 
 
Fonte: HAYT e BUCK, 2012 
 
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23 
Exemplo 6: 
Considere uma carga de 3 X 10-4 C, no ponto P (1,2,3) e uma carga de -
10-4C localizada no ponto P2 (2,0,5). Considere também que essas cargas estão 
no vácuo e determine a forma vetorial da força que existe entre elas. 
Solução: Sabemos que a forma vetorial da Lei de Coulomb é: 
𝑭𝟏𝟐 = 
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖𝑅2
𝒂𝟏𝟐 
 
Também sabemos que: 
𝑄1 = 3 × 10
−4 𝑄2 = −10
−4 
 
 
 
Falta calcular o vetor unitário a12: 
 
 
Substituindo na equação da Lei de Coulomb, teremos: 
 
Algebrismos a parte, chegaremos a: 
 
 
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24 
É muito importante lembrar que, caso uma carga de prova esteja sobre 
efeito de um conjunto de cargas, a força resultante será dada pelo somatório das 
forças devidas a cada uma das cargas. Este é o princípio da superposição. 
Para duas cargas, atuando sobre uma única carga de testes a intensidade 
do campo elétrico será dado por: 
 
 
Ou, com os vetores unitários expandidos: 
𝑬𝒓 = 
𝑄1(𝑟 − 𝑟1
′)
4𝜋𝜖0 |𝑟 − 𝑟′1|
3
+
𝑄1(𝑟 − 𝑟2
′)
4𝜋𝜖0 |𝑟 − 𝑟′2|
3
 
 
Podemos extrapolar este conceito para n cargas, neste caso: 
 
 
Fique por dentro das principais aplicações da Lei de Coulomb 
assistindo à explicação do professor Frank Coelho de Alcantara, no 
material online. 
 
Intensidade do Campo Elétrico 
Se mantivermos uma carga qualquer Q1 fixa em um ponto do espaço e a 
movimentarmos nas suas proximidades, uma outra carga de testes Qp sofrerá a 
influência da primeira em qualquer ponto do espaço. A percepção desta força, 
em qualquer ponto, pela carga de testes Qp evidencia a existência de um campo 
elétrico, que se origina em Q1 e se propaga até o infinito. 
 
 
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25 
Você pode ver como esse efeito ocorre em um simulador online disponível 
a seguir. 
https://phet.colorado.edu/sims/charges-and-fields/charges-and-
fields_en.html 
 
A intensidade desse campo em cada ponto medido pela carga Qp é dada 
pela Lei de Coulomb. Se dividirmos esta força pelo valor de Qp teremos uma 
força por unidade de carga, dada por: 
𝑭𝑝 
𝑄𝑝
=
𝑄1
4𝜋𝜖0 𝑅1𝑝
2
𝒂1𝑝 
Definimos a intensidade de campo elétrico como um vetor força positivo 
em uma determinada unidade de carga positiva mensurado em Volts por metro 
(V/m), representado por um 𝑬. 
𝑬 = 
𝑭𝑝
𝑄𝑝
=
𝑄1
4𝜋𝜖0 𝑅1𝑝
2
𝒂1𝑝 
Desta forma, podemos afirmar que a intensidade do campo elétrico devido 
a uma carga Q colocada em um ponto arbitrário r, que será percebida em um 
ponto r` será dada por: 
𝑬 = 
𝑭𝑝
𝑄𝑝
=
𝑄
4𝜋𝜖0 𝑅
2
𝒂1𝑝 =
𝑄(𝑟 − 𝑟′ )
4𝜋𝜖0 |𝑟 − 𝑟
′|3
 
Ou, na forma dos componentes cartesianos: 
 
Campo elétrico devido a n cargas 
Graças a linearidade da Lei de Coulomb, o campo elétrico, devido a duas 
cargas pontuais no vácuo, será dado pela soma das forças originadas de Q1 e 
Q2 agindo sobre a carga de prova Qp em r2. 
𝑬𝒓 = 
𝑄1
4𝜋𝜖0 |𝑟 − 𝑟1 |
2
𝒂1 +
𝑄2
4𝜋𝜖0 |𝑟 − 𝑟2 |
2
𝒂2 
 
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26 
 
O princípio da superposição permite essa equação para qualquer número 
de cargas acrescentando novos operandos. Na forma de somatório teremos: 
𝑬𝒓 = ∑
𝑄𝑚
4𝜋𝜖0 |𝑟 − 𝑟𝑚|
3
𝒂𝑚
𝑛
𝑚=1
 
 
Exemplo 7 
Cargas pontuais de 1 mC e -2 mC estão localizadas em (3, 2, -1) e (-1, -
1, 4), respectivamente. Calcule a força sobre uma carga de 10 nC localizada no 
ponto (0, 3, 1) e a intensidade do campo elétrico neste ponto: 
Solução: 
Podemos começar calculando o somatório das forças atuando no ponto 
desejado. 
𝑭 = ∑
𝑄𝑄𝑘
4𝜋𝜖𝑅2
𝒂𝑟 =
𝑘 =1,2
∑
𝑄𝑄𝑘(𝑟 − 𝑟𝑘)
4𝜋𝜖|𝑟 − 𝑟𝑘|
3
𝑘=1,2
 
 
Neste caso, podemos colocar a carga de prova Q e o fator constante em 
evidência e teremos: 
𝑭 =
𝑄
4𝜋𝜖0
{
10−3[(0,3, 1) − (3,2, −1)]
|(0,3, 1) − (3,2, −1)|3
−
2 × 10−3[(0,3, 1) − (−1, −1,4 )]
|(0, 3, 1) − (−1, −1,4 )|3
} 
𝑭 = 
10 × 10−12
(
10−9
9 )
[
(−3,1, 2)
(14)3/2 
−
2(1, 4,−3)
(26)3/2
] 
𝑭 = 9 × 10−2[
(−3,1, 2)
14√14 
+
(−2,−8, 6)
26√26
] 
𝑭 = −6,507𝑎𝑥 − 3,817𝑎𝑦 + 7.506𝑎𝑧 𝑚𝑁 
Por sua vez a intensidade no ponto será dada por: 
𝑬 = −𝟔𝟓𝟎,𝟕𝒂𝒙 − 𝟑𝟖𝟏,𝟕𝒂𝒚 + 𝟕𝟓𝟎,𝟔𝒂𝒛 𝑲𝑽/𝒎 
 
Quer saber mais sobre a intensidade do campo elétrico? O 
professor Frank Coelho de Alcantara fala sobre ela no material online. 
 
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27 
 Cálculo do Campo Eletrostático 
Podemos visualizar qualquer volume, ou superfície, eletricamente 
carregada como sendo o conjunto resultante de um número imenso de cargas 
pontuais separadas por distâncias infinitesimais. É possível substituir este 
modelo de cargas pontuais por um modelo que considere uma densidade 
Volumétrica de Cargas. 
Representamos a densidade volumétrica de cargas pela letra grega ρ 
(rho), e usaremos ρϕ sempre que existir qualquer possibilidade de confusão 
entre a densidade volumétrica de cargas e o eixo ρ usado para as coordenadas 
cilíndricas. 
Mediremos densidade volumétrica de cargas em C/m3, Coulombs por 
metro cúbico, em que v representa o volume em questão. 
𝜌 = lim
Δ𝑣→0
Δ𝑄
Δ𝑣
∴ 𝑄 ∫ 𝑑𝑄
𝑣𝑜𝑙
= ∫ 𝜌 𝑑𝑣
𝑣𝑜𝑙
 
É necessário não esquecer que, neste caso, apesar de usar apenas um 
sinal de integração, estamos falando de integrais tríplices.No trabalho com 
volumes é comum separarmos o estudo dos campos das cargas distribuídas em 
linear, planar e volumétrica. 
Podemos ainda calcular o campo elétrico devido a um valor infinitesimal 
de cargas ΔQ usando a Lei de Coulomb: 
Δ𝑬(𝑟) =
Δ𝑄
4𝜋𝜖0 |𝑟 − 𝑟
′|2
𝑟 − 𝑟′
|𝑟 − 𝑟′|
= 
𝜌𝑣 Δ𝑣
4𝜋𝜖0 |𝑟 − 𝑟
′|2
𝑟 − 𝑟′
|𝑟 − 𝑟′|
 
 
 Considerando o efeito de todos os elementos de carga em um dado 
volume: 
𝑬(𝑟) = ∭
𝜌𝑣 (𝑟
′)𝑑𝑣 ′
4𝜋𝜖0 |𝑟 − 𝑟
′|2
𝑟 − 𝑟′
|𝑟 − 𝑟′|
 
 
 
 
 
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28 
Exemplo 8 
Calcule a carga total contida em um feixe de elétrons de 2 cm como pode 
ser visto na figura a seguir. 
 
Fonte: HAYT e BUCK, 2012 
 
Observe a densidade de carga 𝜌𝑣 = −5 × 10
−6𝑒−10
5 𝜌𝑧 𝐶/𝑚2 , substituindo 
os diferenciais de volume de coordenadas cilíndricas ficamos com: 
 
Depois integramos em relação a z, e por fim p: 
𝑄 = ∫ (
−10−5𝜋
−105𝜌
𝑒−10
5 𝜌𝑧𝜌𝑑𝜌)|
𝑧=0,02 
 𝑧=0,040,01
0
 
𝑄 = ∫ −10−5𝜋(𝑒−2000𝜌 − 𝑒−4000𝜌 𝑑𝜌)𝑑𝜌
0,01
0
 
𝑄 = −10−10 𝜋 (
𝑒−2000𝜌
−2000
−
𝑒−400𝜌
−4000
)|
0
0,01
 
 
 
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29 
Campos elétricos em linhas de carga 
Tratamos distribuições volumétricas em que o raio de um cilindro é 
dispensável como sendo uma distribuição linear. Desta forma, indicamos a 
densidade volumétrica de cargas como pL dada em C/m. 
 
Para entender este problema, considere a figura a seguir, que apresenta 
uma carga linear uniforme de densidade volumétrica de cargas igual a ρL 
estendendo-se entre os pontos A e B ao longo do eixo z. 
 
Fonte: SADIKU, 2014 
Neste caso, a derivada da carga dQ será dada por: 
 
Ou seja, todas as cargas de geradoras estão localizadas em pontos sobre 
o eixo z, com coordenadas dadas por (0, 0, z), (0, 0, z’), (0, 0, z”),... Sendo assim, 
a carga será dada por: 
𝑄 = ∫ 𝜌𝐿 𝑑𝑧
𝑧𝐵
𝑧𝐴
 
 
A intensidade E em um ponto arbritário P (x, y, z) pode ser encontrada 
utilizando-se o conceito de campo elétrico expandido para levar em 
consideração as cargas infinitezimais (a integral de todas as cargas no sentido 
de um vetor unitário) como pode ser visto a seguir: 
 
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30 
 
Para uma distribuição de cargas dadas indicaremos o ponto de teste como 
(x,y,z) e o ponto de origem, como sendo (x’, y’, z’), então: dl = dz’. 
Calculando o vetor entre o ponto desejado e o ponto de origem: 
 
Só para lembrar, os componentes x e y possuem valor zero para todos os 
pontos em que estão as cargas. Vale a pena ressaltar que o eixo p se encontra 
em um plano x,y. Logo, como estamos lidando com vetores unitários: 
 
Para um dado ponto: 
 
 
Substituindo em na equação de cálculo da intensidade do campo temos: 
 
Para simplificar vamos definir os ângulos a, a1 e a2. Se considerarmos 
estes ângulos na figura podemos usar trigonomeria para simplificar a equação. 
𝑹 = [𝜌2 + (𝑧 − 𝑧 ′)2]1/2 = 𝜌 sec 𝛼 
𝑧 ′ = 𝑂𝑇 − 𝜌 tan 𝛼 𝑒 𝑑𝑧 ′ = −𝜌 sec2 𝛼 𝑑𝛼 
 
Sendo assim, temos algo mais simples para integrar: 
𝑬 = −
𝜌𝐿
4𝜋𝜖0
∫
𝜌 sec2 𝛼 (cos 𝛼 𝑎𝜌 + 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑎𝑧 )𝑑𝛼
𝜌2 sec2 𝛼
𝛼2
𝛼1
 
𝑬 = −
𝜌𝐿
4𝜋𝜖0
∫ (cos 𝛼 𝑎𝜌 + 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑎𝑧 )𝑑𝛼
𝛼2
𝛼1
 
 
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31 
Ou para encontrar uma distribuição linear e finita de cargas temos: 
 
Note que essa equação relaciona o campo elétrico com os vetores 
unitários dos diversos componentes. 
Um caso especial é o caso da linha infinita de cargas. Neste caso, os 
pontos A e B passam a ter coordenadas(0, 0, ∞) 𝑒 (0,0,−∞) respectivamente e 
a intensidade do campo elétrico passa ser dada por: 
 
Sugestão de leitura: 
O livro indicado a seguir apresenta uma demonstração um pouco diferente 
no capítulo 2.4. Caso tenha a oportunidade de estudá-lo, não deixe de dar uma 
conferida nesse material. 
HAYT, W.; BUCK, J. A. Eletromagnetism. 8º. ed. New York, NY, USA: 
McGrawHill, 2012 
Campo para uma superfície plana de cargas 
Estudaremos uma superfície infinita com uma distribuição uniforme de 
cargas elétricas com o objetivo de encontrar a intensidade do campo elétrico em 
um ponto qualquer do espaço. Observe que o estudo desta topologia é 
indispensável para o entendimento do funcionamento dos capacitores. 
Neste caso a densidade de cargas indicada por ρs e medida em C/m2. 
Considerando os elementos infinitesimais, teremos: 
𝑑𝑄 = 𝜌𝑆 𝑑𝑠 ∴ 𝑄 = ∫ 𝜌𝑆𝑑𝑠 
 
 
 
 
 
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32 
Observe a figura a seguir. Colocaremos o plano de cargas em um plano 
cartesiano y, z, na coordenada x= 0 e a carga de prova em um ponto P (x, 0, 0). 
 
Fonte: HAYT e BUCK, 2012 
 
Para que o campo seja uniforme, ele não poderá variar segundo as 
coordenadas y, z. Ou seja, só teremos o componente Ex. 
Para encontrar o componente Ex vamos dividir a superfície em linhas 
infinitas de carga de largura diferencial dy’. 
A densidade linear de cargas é dada por ρL = ρSdy, enquanto a distância 
R, pode ser calculada trigometricamente por meio de 𝑅 = √𝑥 2 + 𝑦2. 
Consequentemente, teremos: 
𝑑𝐸𝑥 = 
𝜌𝑆𝑑𝑦
2𝜋𝜖𝑜 √𝑥
2 + 𝑦2
cos 𝜃 =
𝜌𝑆
2𝜋𝜖𝑜
 
𝑥 𝑑𝑦
𝑥2 + 𝑦2
 
 Integrando para obter a colaboração de todas as linhas dy temos: 
𝑬𝑥 =
𝜌𝑆
2𝜋𝜖𝑜
∫
𝑥 𝑑𝑦
𝑥 2 + 𝑦2
∞
−∞
=
𝜌𝑆
2𝜋𝜖𝑜
tan−1
𝑦
𝑥
|
−∞
∞
= 
𝜌𝑆
2𝜖𝑜
 
 
 
 
 
 
 
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33 
Se o ponto P escolhido fosse negativo teríamos o sinal negativo na 
intensidade do campo produzido. Para contornar esta ambiguidade de sinais 
utilizamos um vetor unitário αn (normal à superfície) segundo a regra da mão 
direita e temos: 
 
Essa demonstração parte da colocação do plano na coordenada x = 0. 
Considere que neste plano a carga seja positiva e avalie o efeito de um segundo 
plano, colocado na coordenada x = a Será possível provar que fora destes 
planos, qualquer ponto em coordenadas x > a ou x >a, o campo será zero. 
Também é possível provar que para qualquer ponto entre as placas o campo 
será dado por: 
 
 Só para lembrar: um capacitor é um elemento passivo formado por duas 
placas condutoras separadas por um dielétrico. Por isso, o estudo de 
distribuições planas de cargas é tão importante. Voltaremos a falar do capacitor 
em outras aulas. 
Aprofunde os seus conhecimentos sobre o cálculo do campo 
eletrostático assistindo à explicação do professor Frank Coelho de 
Alcantara, no material online. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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34 
Na Prática 
Vamos praticar mais? Resolva as seguintes questões! 
Questão 1 
Dados os vetores raio A = (7, 3, -2) e B = (-2, 7, -3), encontre o vetor 
unitário que seja perpendicular ao plano formado por estes vetores. 
Solução: Para achar o vetor unitário perpendicular a um determinado 
plano precisamos, primeiro, encontrar o produto vetorial a esses dois vetores e, 
só então, encontrar o vetor unitário. 
𝑨 × 𝑩 = |
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
7 3 −2
−2 7 −3
| = |
3 −2
7 −3
| 𝑎𝑥 − |
7 −2
−2 −3
| 𝑎𝑦 + |
7 3
−2 7
| 𝑎𝑧 
𝑨 × 𝑩 = [(3)(−3) − (−2)(7)]𝑎𝑥 
− [(7)(−3) − (−2)(−2)]𝑎𝑦 
+[(7)(7) − (3)(−2)]𝑎𝑧 
𝑨 × 𝑩 = [−9 + 14]𝑎𝑥− [−21 − 4]𝑎𝑦 
+[49 + 6]𝑎𝑧 
𝑨 × 𝑩 = 5𝑎𝑥 + 25𝑎𝑦 + 55𝑎𝑧 
Agora calculamos o módulo do vetor encontrado: 
|𝑨 × 𝑩| = √52 + 252 + 552 = √3675 = 60,62 
Sendo assim, o vetor unitário é: 
𝑣 = 
𝑨 × 𝑩
|𝑨 × 𝑩|
=
5𝑎𝑥 + 25𝑎𝑦 + 55𝑎𝑧
60,62
= 0,82𝑎𝑥 + 0,41𝑎𝑦 + 0,91𝑎𝑧 
 
Questão 2 
Considere uma carga pontual 𝑄1 = 25 𝑛𝐶 localizada no ponto 𝑃1(4,−2,7) 
e a carga 𝑄2 = 60 𝑛𝐶 no ponto 𝑃2(−3,4, −2) ambas no vácuo. Determine em que 
ponto do eixo 𝑦 a intensidade do campo elétrico no eixo 𝑥, 𝐸𝑥 , será zero. 
 
 
 
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35 
Se utilizarmos os vetores posição destas cargas, a intensidade do campo 
elétrico será dada por: 
𝑬 = 
10−9
4𝜋𝜖0
[
25𝑹13
|𝑹13 |
3
+
60𝑹23
|𝑹23|
3
] 
Sendo assim, o primeiro passo é calcular estes dois vetores unitários: 
𝑹13 = (1 − 4)𝑎𝑥 + (2 − (−2))𝑎𝑦 + (3 − 7)𝑎𝑧 
𝑹13 = −3𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 − 4𝑎𝑧 ∴ |𝑹13| = √3
2 + 42 + 42 = √41 
𝑹23 = (1 − (−3))𝑎𝑥 + (2 − 4)𝑎𝑦 + (3 − (−2))𝑎𝑧 
𝑹23 = 4𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 + 5𝑎𝑧 ∴ |𝑹23 | = √4
2 + 22 + 52 = √45 
Desta forma a intensidade do campo em 𝑃2 será dada por: 
𝑬 = 
10−9
4𝜋
10−9
36𝜋
[
25(−3𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 − 4𝑎𝑧)
|√41|
3
+
60(4𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 + 5𝑎𝑧)
|√45|
3
] 
𝑬 = 9[
25(−3𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 − 4𝑎𝑧)
|41|3/2
+
60(4𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 + 5𝑎𝑧)
|45|3/2
] 
𝑬 = 4,58𝑎𝑥 − 0,15𝑎𝑦 + 5,51𝑎𝑧 
 
Síntese 
Chegamos ao final desta aula. Nela, fizemos uma trajetória linear do 
conhecimento necessário para entender os campos elétricos que atuam no 
interior de um capacitor. Este conhecimento será útil, tanto no entendimento do 
componente quanto na confecção de placas de circuitos impressos. 
Observe que quaisquer dois condutores criarão entre si um campo elétrico 
e, fundamentalmente, um capacitor. Este efeito, muitas vezes indesejado, 
chamado de capacitor parasita (um capacitor que existe no circuito sem que 
tenha sido colocado ali) é um dos limitadores para o uso de sistemas eletrônicos 
de alta frequência. 
Para finalizar, assista às considerações do professor Frank Coelho 
de Alcantara sobre os temas analisados nesta rota, no material online. 
 
 
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36 
Referências 
BAKSHI, U. A.; BAKSHI, A. V. Eletromagnetic Fields. Pune: Tchenical 
Publications Pune, 2000. 
HAYT, W.; BUCK, J. A. Eletromagnetism. 8º. ed. New York, NY, USA: 
McGrawHill, 2012. 
OPENSTAX - RICE UNIVERSITY. College Physics. Houston, TX, USA: Rice 
University, 2013. 
SADIKU, M. Elements of Electromagnetics. London, UK: Oxford University 
Press, 2014. 
TAFLOVE, A. Why Study Electromagnetics: The First Unit in an 
Undergraduate Electromagnetics Course. Evanston, IL, USA. 2002.