Eletromagnetismo aula 3

Prévia do material em texto

CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Elétrica 
Eletromagnetismo 
 
 
 
 
 
 
Aula 3 
 
 
Professor Frank Coelho de Alcantara 
 
 
 
 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
2 
Conversa Inicial 
Você está no terceiro encontro da disciplina Eletromagnetismo, que bom 
te ver novamente! 
O potencial elétrico e a corrente são as duas grandezas fundamentais da 
eletricidade e eletrônica. Nas aulas anteriores estivemos preocupados com o 
potencial elétrico, ou tensão, cargas e campos. Neste encontro, nos 
preocuparemos com a corrente elétrica, os campos, fluxos e densidades de 
cargas em materiais condutores, semicondutores e isolantes. Trabalharemos os 
fenômenos que suportam a primeira Lei de Kirchhoff ou lei dos nós e porque a 
corrente total que chega a um determinado nó em um circuito é igual soma 
algébrica das correntes que deixam este nó. 
Veremos também o comportamento dos materiais condutores e dielétricos 
sobre o efeito de campos elétricos para isso. Finalmente, teremos que olhar o 
átomo, não a nível quântico, mas considerando apenas o elétron como carga 
elétrica que pode ser deslocado por um campo elétrico. 
Ao estudarmos os condutores, conheceremos a teoria eletromagnética 
que suporta a Lei de Ohm, talvez a mais importante lei de todo o estudo da 
eletricidade. Ohm formulou sua lei estudando circuitos, correntes, tensões e 
resistências. Nós a encontraremos por meio do estudo dos campos elétricos e 
da diferença de potencial em condutores. 
 
Ansioso? Então encontre um local confortável para estudar e vamos lá! 
 
Terminaremos estudando o comportamento de cargas e campos elétricos 
aplicados a dielétricos entre condutores, a própria definição de 
capacitância. Confira a aula com o professor Frank no conteúdo online! 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
3 
 
Contextualizando 
Vivemos em um momento onde há uma necessidade crescente de 
energia, seja para manter as cidades funcionando ou para manter seus 
dispositivos pessoais. Neste cenário, em que está cada vez mais difícil produzir 
energia limpa na quantidade necessária. 
Talvez, uma forma de reduzir os efeitos da poluição no mundo seja a 
produção e armazenamento de energia elétrica de fontes limpas como a solar e 
a eólica. Já temos a tecnologia para produzir esta energia, mas ainda não temos 
a solução ideal para seu armazenamento. Imagine, por exemplo, que seu carro 
seja excitado pela mesma tecnologia de armazenamento do seu celular, você 
precisaria deixar o carro na tomada por seis ou sete horas antes de andar 
durante o dia. 
Esta solução é possível hoje, mas não é prática. Considere, por exemplo 
que precise andar mais do que o previsto. Teria que deixar o carro carregar por 
horas antes de voltar para casa. 
Surgem os supercapacitores. No final do século XIX já tínhamos a 
tecnologia para produzir capacitores na ordem de microfarads. Isso só foi 
possível com o desenvolvimento de novas topologias e novos dielétricos. Hoje 
estamos no limiar de uma nova tecnologia de supercapacitores. Capacitores da 
ordem de dezenas de milhares de farads. Este progresso só aconteceu graças 
ao surgimento de novos dielétricos. 
Imagine seu carro novamente, desta vez, mantido por um destes novos 
capacitores. Neste caso, em vez de horas para armazenar a energia necessária 
você gastaria minutos. Nada diferente do que temos hoje. E, é claro, esta 
tecnologia vai se espalhar por todos os nossos dispositivos tornando as cargas 
quase instantâneas e estes dispositivos ainda mais flexíveis e úteis. 
Mas, como foi possível, usando os dielétricos existentes no século XIX, 
criar capacitores mais eficientes? 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
4 
Como foi possível criar a primeira geração de supercapacitores? Esta que 
permitiu, por exemplo, a invenção do computador pessoal? 
 
Vamos estudar todas essas questões, quer saber como? Assista o 
professor Frank contextualizando a aula de hoje no conteúdo online! 
 
Pesquise 
TEMA 1: Corrente e densidade de corrente elétrica 
A corrente, medida em Amperes (𝐴), em uma determinada área é um 
escalar que pode ser definido como a quantidade de carga que atravessa esta 
área determinada em uma unidade de tempo específica. Também na forma 
infinitesimal: 
 
 
Sendo assim, podemos dizer que a corrente de 1 Ampere representa uma 
carga positiva de 1 Coulomb sendo transferida a cada segundo. 
Como trabalharemos com grandes quantidades de carga atravessando 
áreas específicas, vamos introduzir a noção, de densidade de corrente (𝐽) 
(𝐴/𝑚2 ). Para isso, usando a definição de densidade, vamos dividir um elemento 
infinitesimal de corrente por um elemento infinitesimal de área. Veja a seguir! 
 
 
 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
5 
O resultado será um vetor, 𝑱𝑛. Se a densidade de corrente não for 
perpendicular à área, teremos que recorrer ao produto escalar e podemos 
encontrar a densidade de corrente total por meio da integral: 
 
Dependendo da forma como a corrente 𝐼 é produzida, existem densidades 
de corrente diferentes: densidade de corrente de convecção e densidade de 
corrente de condução, por exemplo. 
 
Corrente elétrica de Condução: é a corrente devida a aplicação de um campo 
elétrico sobre as cargas móveis de um condutor metálico. O sentido positivo da 
corrente é o sentido do campo aplicado. 
Corrente elétrica de Convecção: é a corrente devida ao movimento de cargas 
que não está confinada aos sólidos condutores. Ocorre devido ao movimento de 
íons, negativos e positivos, na matéria líquida ou gasosa. Como por exemplo, 
em uma lâmpada fluorescente. Esta corrente não obedece a primeira lei de Ohm. 
 
Saiba mais sobre esse assunto no link: 
http://educacao.globo.com/fisica/assunto/eletromagnetismo/resistores-e-leis-de-
ohm.html 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
6 
Podemos relacionar a densidade de 
corrente com o movimento de um volume de 
cargas definido por sua densidade de cargas. 
Assim, a relação entre um elemento infinitesimal 
de carga e um volume, também infinitesimal 
determinará a densidade volumétrica de cargas. 
 
Como pode ser visto na Figura 2, ao lado. Vamos assumir que esse 
volume de cargas se movimente em um intervalo Δ𝑡, a uma distância Δ𝑥. Como 
a corrente é dada por um deslocamento de cargas no tempo, temos: 
 
Como, no limite, Δ𝑥/Δ𝑡 representa uma velocidade de deslocamento 𝑣𝑥 
sobre o eixo 𝑥, temos: 
 
Como a densidade de corrente é dada por: 
 
Teremos: 
 
Onde 𝑱 representa a densidade de corrente, de condução dada em 
amperes por metro quadrado (𝐴/𝑚2). 
Confira no material online o que o professor Frank tem a dizer sobre a 
corrente e densidade elétrica! 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
7 
TEMA 2: Equação da continuidade da corrente 
Nós sabemos que a energia não pode ser criada nem destruída, tudo que 
podemos fazer é alterar sua forma. Este, um dos princípios mais conhecidos da 
física, tem aplicação direta no eletromagnetismo e, é o pano de fundo que 
permitiu as definições das Leis de Kirchhoff. Trata-se do princípio da 
conservação das cargas. 
O princípio da conservação da carga declara que as cargas elétricas 
não podem ser criadas nem destruídas. Sendo assim, uma quantidade 
idêntica de cargas positivas e negativas devem ser criadas simultaneamente 
(HAYT e BUCK, 2012). Em termos de valores infinitesimais,dizemos que a taxa 
de redução de cargas no interior de um volume dado deve ser igual a fluxo líquido 
de corrente através da superfície fechada deste volume 𝐼. 
A corrente através de uma superfície fechada é dada por: 
 
A existência desse fluxo de cargas positivas na superfície (corrente) deve 
ser balanceada por uma redução de cargas positivas no interior do volume ou, 
se preferir, pelo aumento de cargas negativas no interior do volume. Se 
chamarmos de 𝑄𝑖 a carga englobada pela superfície podemos dizer que sua taxa 
de variação (decréscimo) deve ser dada por: 
 
Logo, teremos a forma integral da equação de continuidade de cargas 
dada por: 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
8 
Podemos utilizar o teorema da divergência para transformar a integral de 
superfície em uma integral de volume. 
 
ou substituindo teremos que: 
 
ou resolvendo temos que: 
 
 
Esta equação é conhecida como equação da continuidade da corrente. 
 
Não esqueça que essa equação é derivada do princípio da 
conservação das cargas e, essencialmente, indica que não haverá acúmulo de 
cargas em pontos do espaço. Para correntes constantes a variação da 
densidade de carga no tempo será zero, logo: ∇ ⋅ 𝑱 = 0, mostrando o total de 
cargas que deixa o volume é igual ao total de cargas que chega ao volume. Este 
é o fundamento da primeira Lei de Kirchhoff. 
 
Entenda melhor esse assunto no link a seguir: 
http://e-
lee.ist.utl.pt/realisations/CircuitsElectriques/ApprocheCircuits/LoisKirchhoff/2_co
urs.htm 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
9 
O professor Frank esclarece sobre a equação estudada no material 
online! 
 
TEMA 3: Materiais condutores 
Podemos definir todos os materiais em termos de condutividade, 𝜎 em 
termos de mhos por metro (℧/m), ou Siemens por metro (𝑆/𝑚) entre 
condutores e não condutores ou, mais formalmente, condutores e dielétricos. 
A condutividade do material, 𝜎, é resultante dos arranjos atômicos e 
moleculares e, como tal, depende das condições de temperatura, pressão e da 
frequência a que estão submetidos. 
 
 
Dizemos que um material com alta condutividade 𝜎 ≫ 1, como metal, ou 
condutor, e materiais com baixa condutividade 𝜎 ≪ 1, como isolante, ou 
dielétrico. Muitos materiais possuirão tanto características de condutor quanto 
de dielétrico. E, existem ainda os materiais semicondutores, cujas características 
especiais permitiram a criação dos transistores e circuitos integrados. 
 
Tipicamente a condutividade de um material aumenta de forma 
diretamente proporcional a diminuição da temperatura. Em temperaturas 
próximas do zero absoluto (−273,15°𝐶), alguns metais atingem um estado de 
supercondutividade e param de oferecer oposição a passagem da corrente 
elétrica. 
 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
10 
Um condutor é uma estrutura cristalina com abundância de cargas livres 
suficientemente energizadas para permitir seu movimento quando excitadas por 
um campo elétrico. Considere um condutor exposto ao campo 𝑬. 
 
 
Em um curto espaço de tempo, os elétrons energizados, de carga – 𝑒 
sofreram uma força dada por: 
 
Fazendo com que as cargas livres positivas sejam deslocadas no sentido 
do campo e, simultaneamente, os elétrons sejam deslocados na direção oposta. 
Estas cargas, criarão um campo elétrico interno que leva a nossa primeira 
observação. 
 
 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
11 
Como o elétron não está no espaço livre, mas no interior de um cristal, 
seu movimento não será uniforme nem constante. Ele sofre os efeitos da 
estrutura atômica a sua volta passando por momentos de atrito ou desvio. 
Contudo, se um elétron de massa 𝑚 está se movendo em um campo elétrico, 
dentro de um condutor, com velocidade média 𝑣 para satisfazer as leis de 
Newton, a variação média do momento deve se igualar à força aplicada. Sendo 
assim, 
 
 
A fórmula que você viu, onde 𝜏 representa o intervalo de tempo médio 
entre colisões, indica que a velocidade de arrasto do elétron no interior do 
condutor é diretamente proporcional ao campo elétrico aplicado (SADIKU, 2014). 
Para encontrarmos a densidade de carga podemos considerar que existe, em 
um dado momento, uma quantidade 𝑛 de elétrons. Desta forma, a densidade de 
cargas será dada por: 
 
Considerando isso, podemos determinar a densidade da corrente de 
condução por: 
 
Temos 𝜎 dado por (𝑛𝑒2 𝜏)/𝑚 que representa a condutividade, em 
Siemens do condutor submetido a este campo elétrico. A equação 𝑱 = 𝜎𝑬, 
conhecida como a lei pontual de Ohm, também pode ser definida em termos da 
mobilidade do elétron 𝜇𝑒 esta mobilidade é definida em unidades de metro 
quadrado por volt-segundo e é diferente para cada material. 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
12 
Tipicamente teremos 0,0012 para o alumínio, 0,0032 para o cobre e 
0,0056 para a prata (HAYT e BUCK, 2012). Por definição a mobilidade do elétron 
terá sempre sinal positivo. De tal forma que a velocidade do elétron será dada 
por: 
𝑣 = −𝜇𝑬 
 
Indicando que a velocidade é diretamente proporcional a mobilidade e ao 
campo elétrico 𝑬. Assim podemos definir a densidade da corrente de 
condução por: 
 
Como: 
 
 
Temos que 𝜎, a condutividade pode ser definida em termos da mobilidade 
ou: 
 
 
 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
13 
LEI DE OHN 
 
Considere a Figura 4, onde, por conveniência, estamos aplicando um 
campo elétrico 𝑬, uniforme e constante que dá origem a uma densidade de 
corrente de condução 𝑱 também uniforme e constante. Sendo assim, a corrente 
será dada por: 
 
 
Figura 4 
 
A definição de diferença de potencial nos permite afirmar que: 
𝑉𝑎𝑏 = − ∫ 𝑬 ⋅ 𝑑𝐿
𝑎
𝑏
= −𝑬 ∫ 𝑑𝐿
𝑎
𝑏
= −𝑬 ⋅ 𝑳𝑏𝑎 = 𝑬 ⋅ 𝑳𝑎𝑏 
 
Observe que para alterar o sentido do campo 𝑬, na determinação do 
potencial, precisamos alterar o sentido do vetor 𝑳. Sendo assim, desprezando os 
índices apenas para facilitar o entendimento, podemos dizer que o potencial será 
dado por: 
𝑰 = ∫𝑱 ⋅ 𝑑𝑆
𝑠
= 𝑱𝑆 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
14 
𝑉 = 𝐸𝐿 ∴ 𝐸 =
𝑉
𝐿
 
 
Tomando agora as definições de densidade de corrente de forma 
genérica: 
 
 
E a densidade de corrente de condução: 
 
Podemos dizer que: 
 
Onde, 𝐿/𝜎𝑆 representa a resistência 𝑅 que o material opõe à passagem 
da corrente elétrica. Neste caso, o potencial entre dois extremos de um condutor 
será dado, na sua forma mais conhecida, a Lei de Ohm, por: 
 
A resistência 𝑅 é medida em Ohms Ω. Se o campo não for uniforme teremos que 
recorrer às integrais para definir a forma completa da Lei de Ohm através da 
definição do potencial elétrico. 
𝑅 =
𝑉𝑎𝑏
𝐼
=
− ∫ 𝐸 ⋅ 𝑑𝑳
𝑎
𝑏
∫ 𝜎𝑬 ⋅ 𝑑𝑺
𝑠
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
15 
CONDUTORES NAS REGIÕES DE FRONTEIRA 
 
Tomemos um condutor, isolado, no vácuo, submetido a um campo elétrico 
estático, uniforme e constante. Ainda estamos preocupados com o estudo da 
eletrostática, mas para entender o que acontece na fronteira entre o condutor e 
o vácuo, precisamos entender o que acontece nos primeiros nano segundos de 
exposição ao campo. 
Assim que o condutor é imerso no campo elétrons ou cargas perfeitas, 
as camadas mais energizadas da matéria começam a se deslocar na direção 
oposta ao sentido do campo de forma a se afastarem uns dos outros. Aomesmo 
tempo, cargas positivas, são deslocadas na direção e sentido do campo, mas se 
afastando umas das outras. Isto acontece até que os elétrons e cargas positivas 
atinjam a superfície do material e parem. 
Como o vácuo é isolante não há camada de energia disponível para o 
movimento de cargas. Não restará uma única carga no interior do condutor por 
isso: 
 
Se o campo elétrico na superfície externa do condutor for decomposto em 
dois componentes, um normal e outro tangencial, apenas para análise 
poderíamos deduzir que o componente tangencial é obrigatoriamente zero. Se o 
componente tangencial for diferente de zero, as cargas estarão em 
movimento. Não podemos ter cargas em movimento por que estamos 
analisando condições eletrostáticas. 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
16 
A consequência mais importante do fato que o componente tangencial é 
zero, que não há deslocamento de cargas na superfície é que a superfície de 
um condutor perfeito, isolado no vácuo, é equipotencial. Não há trabalho e, 
o valor da diferença de potencial entre quaisquer dois pontos da superfície é 
zero. 
 
Resta-nos o componente normal. Neste caso, podemos recorrer à Lei de 
Gauss e trabalhar com superfícies infinitesimais. Sendo assim, podemos afirmar 
que o fluxo elétrico nesta superfície infinitesimal será igual a carga existente 
neste mesmo espaço. O fluxo não pode penetrar no condutor onde o campo é 
obrigatoriamente nulo e não têm componente tangencial logo deve ser normal 
ou a densidade de fluxo deixando a superfície é normal a densidade de cargas 
superficiais. 
 
Devido ao fato que o campo elétrico é um campo vetorial conservativo, 
qualquer que seja o percurso escolhido na superfície, a integral de linha fechada 
sobre esta superfície será nula: 
 
 
Entenda melhor acessando o link: 
http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article&
id=718:campos-conservativos&catid=63:funcoes2 
 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
17 
 
Considere o percurso 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 na Figura 5, temos: 
∫ 𝑬 ⋅ 𝒅𝑳
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑬 ⋅ 𝒅𝑳
𝑐
𝑏
= ∫ 𝑬 ⋅ 𝒅𝑳
𝑑
𝑐
= ∫ 𝑬 ⋅ 𝒅𝑳
𝑎
𝑑
= 0 
Suponha que os trajetos 𝑏, 𝑐 e 𝑑, 𝑎 tendam a zero a segunda e quarta integrais 
são nulas. Por outro lado, o trajeto 𝑐, 𝑑 é nulo por estar no interior do condutor 
onde o campo 𝑬 é nulo. 
 
O QUE ACONTECEU ENTÃO? VEJA A SEGUIR. 
 
 Resta-nos: 
 
 
Como 𝐸𝑡 é a componente tangencial do campo elétrico sobre a superfície 
do condutor e, como supomos: 𝐸𝑡 = 𝐷𝑡 = 0. Para descobrir a componente normal 
vamos observar o pequeno cilindro, na Figura 4, colocado de forma a cruzar a 
superfície do condutor, penetrando no mesmo e no dielétrico, vácuo, que o 
envolve. 
Este pequeno cilindro é uma gaussiana, e podemos utilizar a Lei de 
Gauss para esta superfície. 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
18 
No caso visto, temos: 
 
 
Onde 𝑄𝑖𝑛𝑡 é a carga envolta pela superfície gaussiana. Ou, usando a 
densidade de cargas, de forma infinitesimal e teremos: 
 
 
A integral da lateral é nula já que 𝑬𝒕 = 0. A integral da superfície inferior 
está dentro do condutor em que, novamente o campo elétrico também é zero, 
resta a superfície superior, logo: 
 
 
A igualdade só será válida se: 
 
 
ou seja, o campo externo, mais bem próximo a um condutor perfeito é 
nulo. A não ser que exista uma distribuição superficial de cargas (EDMINISTER, 
1979). 
 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
19 
Veja agora o professor Frank explicando um pouco melhor sobre os 
materiais condutores no conteúdo online! 
 
TEMA 4: Materiais dielétricos 
Nos materiais condutores, na sua maioria metais, existe uma determinada 
quantidade de elétrons em regiões do átomo com grandes níveis de energia, são 
os chamados elétrons de valência (HAYT e BUCK, 2012) quando a camada de 
valência está em um nível específico de energia, por agitação térmica por 
exemplo, a aplicação de um campo elétrico colocará cargas perfeitas na camada 
de condução e criará uma corrente elétrica. 
Existem, no entanto, matérias onde a distância entre o elétron com maior 
energia na camada de valência e a camada de condução é tão grande que, em 
condições normais, não é possível que um elétron atinja a camada de condução. 
Materiais com esta distância entre a camada de valência e a camada de 
condução são chamados de dielétricos ou isolantes. 
 
 
Quando sujeitamos um material dielétrico aos efeitos de um campo 
elétrico 𝑬, estes materiais se tornam polarizados. Esta polarização cria as 
condições necessárias para que a densidade de fluxo elétrico 𝑫 seja maior do 
que a que existiria, no espaço livre, devido à mesma intensidade de campo. 
Não nos preocuparemos em entender exatamente o que é uma carga 
positiva em um átomo. 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
20 
Não há nenhuma relação com o próton, na verdade, o mais próximo que 
chegaremos da física quântica é a consideração que a carga positiva é apenas 
uma falta, uma lacuna, deixada por um elétron. Neste caso, podemos imaginar 
um átomo não polarizado como sendo a sobreposição de duas regiões, uma 
composta de cargas positivas e outra composta de cargas negativas. Sob a 
influência do campo elétrico, a região de carga positiva move-se na direção e 
sentido do campo enquanto a região de carga negativa move-se na mesma 
direção do campo, mas em sentido oposto. Criando, desta forma uma substância 
polarizada como pode ser visto na Figura 6, que você analisa a seguir. 
 
 
 
O deslocamento destas regiões cria um dipolo elétrico que pode ser 
representado por seu momento: 
 
 
Observe que durante a criação deste momento a molécula do material 
armazena energia retirada do campo elétrico. Quando este campo é retirado, 
para a maior parte dos materiais quando o campo elétrico é retirado as regiões 
positiva e negativa voltam a se sobrepor e a energia acumulada no momento é 
devolvida. 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
21 
Em um dado volume infinitesimal Δ𝑣 conterá um número 𝑁 de dipolos com 
momento 𝒑, de tal forma que poderemos determinar a polarização 𝑷 por: 
 
 
Sempre, é claro, considerando um dielétrico ideal, campo elétrico e 
temperatura constantes, o que não acontece no mundo real. Do ponto de vista 
macroscópico, poderemos associar a polarização ao aumento da densidade de 
fluxo elétrico. Confira a seguir. 
 
 
Observe que esta é a equação da densidade de fluxo elétrico acrescida 
do efeito causado pela polarização 𝑷. Esta equação permite que o campo elétrico 
e a polarização tenham direções diferentes, como ocorre em certos dielétricos 
de estrutura cristalina (EDMINISTER, 1979). 
Em um dielétrico isotrópico homogêneo 𝑬 e 𝑷 são paralelos em todos os 
pontos. A relação entre eles é linear e pode ser expressa em termos da 
susceptibilidade elétrica 𝜒𝑒. 
 
 
A susceptibilidade elétrica é característica do material e totalmente 
adimensional. Logo podemos calcular a densidade de fluxo elétrico 𝑫: 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
22 
Onde 𝜖𝑟, dado por (1 + 𝜒𝑒) é a permissividade relativa do material e 𝜖 a 
permissividade. 
𝑫 = 𝜖𝑬O uso da permissividade torna dispensável as considerações 
relacionadas a momento de dipolo, e cargas de polarização desde que utilizemos 
materiais isotrópicos. E podemos calcular a densidade de fluxo considerando 
apenas o campo elétrico e as características do material.LEMBRE-SE! 
Definimos materiais isotrópicos como sendo aqueles materiais cujas 
propriedades físicas não dependem da direção considerada. 
 
 
CONDIÇÕES DE FRONTEIRA 
 
Precisamos fazer algumas considerações importantes sobre as condições 
que existem na fronteira entre dois dielétricos e entre um dielétrico e um 
condutor. 
 
É possível provar que na região entre dois dielétricos existe a contribuição 
devida ao componente tangencial do campo elétrico na superfície de tal forma 
que esta contribuição seja idêntica nos dois dielétricos. 
 
 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
23 
Quanto ao componente normal, se usarmos a densidade de fluxo e uma 
gaussiana cilíndrica entre as duas superfícies, observaremos que: 
 
Contudo, como estamos considerando um dielétrico perfeito, não pode 
existir qualquer densidade superficial de cargas, já que não existem cargas livres 
em um dielétrico perfeito logo: 
 
Com relação à fronteira entre dielétrico e condutor, podemos partir do fato 
que tanto a densidade de fluxo elétrico 𝑫 quanto à intensidade de fluxo elétrico 
𝑬 são nulas no interior de um condutor. 
Também sabemos que a componente tangencial deve ser zero, tanto para 
que a integral de linha da superfície, dada qualquer trajetória seja zero: 
 
Quanto será 𝑫 = 𝜖𝑬? Aplicando-se à Lei de Gauss podemos ver que as 
condições de fronteira analisadas para um condutor isolado no vácuo são válidas 
para a região entre um condutor e qualquer outro dielétrico, desde que seja feita 
a substituição da constante de permissividade do vácuo 𝜖0 pela permissividade 
característica do dielétrico, logo: 
 
Todas estas considerações foram feitas com materiais ideais. No nosso 
trabalho diário tais materiais não existem, então, não existem materiais 
dielétricos sem alguns elétrons livres e a carga introduzida no interior destes 
materiais eventualmente atingirá a superfície (HAYT e BUCK, 2012). 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
24 
Aproveite e faça uma pausa para assistir à videoaula do professor 
Frank no material online! 
 
TEMA 5: Capacitância 
Dois corpos condutores quaisquer separados pelo vácuo ou um material 
dielétrico qualquer, quando sujeitos a uma diferença de potencial, criarão no 
material dielétrico uma distribuição de momentos dipolo de tal forma que as 
superfícies condutoras ficarão polarizadas com cargas +𝑄 𝑒 − 𝑄 
respectivamente. 
Podemos definir a relação entre o módulo da carga e a diferença de 
potencial aplicada como sendo a capacitância do sistema, medida em farads e 
dada por: 
 
Sendo 1𝑓 = 1𝐶/𝑉, como vimos anteriormente, um coulomb é uma 
quantidade enorme de energia no vácuo e o mesmo pode ser dito de um farad. 
A capacitância depende apenas da geometria dos materiais envolvidos e das 
características elétricas dos mesmos. 
A capacitância independe da densidade de carga. Se ela aumenta, 
aumentará também o fluxo elétrico e consequentemente a diferença de potencial 
entre os dois condutores. 
Até os anos 1980 não seria possível encontrar no mercado capacitores 
medidos em unidades de farads ou seus múltiplos. Contudo, com o surgimento 
de dielétricos mais eficientes, hoje estudamos o uso de supercapacitores de 
milhares de farads como solução para o armazenamento portátil de energia. 
Faça a leitura do artigo “Supercapacitores”, a seguir para entender um 
pouco mais nosso tema de estudo! 
http://www.ufjf.br/fisica/files/2013/10/FIII-04-09-Supercapacitores.pdf 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
25 
CAPACITÂNCIA EM PLACAS PLANAS 
 
Podemos aplicar à definição de capacitância a situação de duas placas 
condutoras, planas infinitas no vácuo, separadas pela distância fixa 𝑑 preenchida 
por um dielétrico com permissividade 𝜖. Colocando estas placas sobre um 
sistema de coordenadas cartesiano de tal forma que a placa inferior esteja sobre 
o eixo 𝑧 com carga positiva e a placa superior cruze o eixo 𝑧 em 𝑧 = 𝑑, como 
pode ser visto na Figura 7 a seguir. 
 
 
Considerando condições ideais a intensidade de campo elétrico será dada 
por: 
𝑬 =
𝜌𝑠
𝜖
𝒂𝑧 
Lembre-se que só há componentes normais as placas e, devido nossa 
escolha de posicionamento a componente normal e será paralela ao eixo 𝑧. 
Desta forma, teremos a densidade de fluxo 𝑫 dada por: 𝑫 = 𝜌𝑠𝑎𝑧, positiva, 
graças ao sentido do campo 𝑬, paralela ao eixo 𝑧, e de módulo igual à densidade 
de carga sobre a outra placa. Assim sendo: 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
26 
𝑫 = −𝑫𝑧=𝑑 = 𝜌𝑠 
Podemos agora calcular a diferença de potencial entre estes dois condutores: 
𝑉 = − ∫ 𝑬 ⋅ 𝑑𝑳
inf
sup
 = − ∫
𝜌𝑠
𝜖
⋅ 𝑑𝑧
0
d
=
𝜌𝑠
𝜖
𝑑 
Observe que consideramos condutores ideais e infinitos. Ou seja, a carga 
total será infinita e, dessa forma, a capacitância também será infinita. Para evitar 
estas condições podemos considerar que as placas possuem uma área finita 𝑆 
muitas vezes maior que a distância 𝑑 e desprezar as contribuições de campo 
devidas aos limites das placas. Sendo assim, teremos: 
𝐶 =
𝑄
𝑉
=
𝜌𝑠𝑆
𝜌𝑠
𝜖 𝑑 
 
Simplificando: 
𝐶 =
𝜖𝑆
𝑑 
 
 
Que relaciona a capacitância apenas a área das placas, a distância entre 
elas e a permissividade característica do dielétrico que as separa. 
 
SUPERCAPACITORES 
 
Uma das técnicas para a construção de supercapacitores é a colocação 
de dois ou mais dielétricos entre placas paralelas. Estes dielétricos podem ser 
organizados de forma a ficarem em série com o sentido do campo elétrico como 
pode ser visto na Figura 8. 
 
Seja 𝑄 a carga na placa positiva teremos que: 
 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
27 
 
Onde 𝑎𝑛 é vetor unitário na direção normal as placas. Sendo assim 
podemos calcular as intensidades de campo por: 
 
 
Assim, o potencial de cada placa em relação ao infinito será dado por: 
 
 
Logo: 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
28 
Como: 
 
 
Dois dielétricos colocados em série também produzem uma capacitância 
equivalente ao inverso da soma dos inversos de cada capacitância. 
 
 
Da mesma forma, seria possível provar que dois dielétricos colocados em 
paralelo dentro das placas produziriam uma capacitância equivalente a soma 
das capacitâncias individuais. 
 
Tente provar esta última equação! 
Chegamos ao último tema deste encontro, confira à explicação do 
professor Frank no material online! 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
29 
Na Prática 
Alguns minerais são muito importantes para indústria eletrônica no século 
XXI. Alguns por suas características de condutância e outros por suas 
características dielétricas. O ouro, a prata, o cobre e o tântalo estão entre os 
mais importantes. 
O pentóxido de tântalo (Ta2O5) se encontra entre os melhores dielétricos 
de baixo custo e rápida produção que temos hoje. De fato, não seria pretensão 
afirmar que seu celular só existe por que existem os capacitores de tântalo. 
Agora, complemente seus estudos respondendo às perguntas a seguir. 
Pesquise! 
QUE MINERAL É ESSE? DE ONDE VÊM? QUAL A RELAÇÃO ENTRE 
O TÂNTALO, SEU SMARTPHONE E DARFUR? 
 
Síntese 
Esta foi uma longa jornada, partimos da densidade de corrente e 
chegamos às fórmulas que permitem calcular capacitâncias em série e em 
paralelo sem discutirmos as características de corrente envolvidas nas teorias 
de circuitos. Como foi prometido para você na primeira aula: podemos usar ateoria eletromagnética para explicar como tudo funciona na eletricidade e 
eletrônica. 
 
Não esqueça das equações de continuidade de corrente, elas são 
importantes não apenas por causa das Leis de Kirchhoff, mas também em 
dispositivos integrados onde grandes fenômenos ocorrem nas diversas regiões 
de fronteira. 
 
Fechamos esta aula com os conceitos necessários ao entendimento dos 
capacitores e dos resistores e vimos a demonstração da Lei de Ohm tanto na 
forma pontual como em relação macroscópica. 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
30 
Não esqueça que ainda estamos trabalhando com campos estáticos no 
tempo. Ainda assim, tivemos que observar o deslocamento de cargas em 
situações de transição. Momentos entre a aplicação do campo elétrico e a 
estabilidade das cargas em materiais condutores e dielétricos. 
Quanto à pergunta inicial: podemos dizer que o surgimento dos 
supercapacitores foi possível graças ao arranjo geométrico de dielétricos 
diferentes para a separação de condutores. Dois dielétricos em paralelo, em 
relação ao campo elétrico provocam uma capacitância que é igual a soma das 
capacitâncias provocadas por cada um deles. Mas, não podemos deixar de 
considerar que isso só foi possível graças ao surgimento de tecnologias de 
encapsulamento que permitiram a colocação de quantidades muito pequenas de 
material entre placas muito próximas. 
 
O professor Frank sintetiza esta aula no conteúdo online. Confira, para 
fechar com chave de ouro este encontro. 
 
Referências 
 
BAKSHI, U. A.; BAKSHI, A. V. Eletromagnetic Fields. Pune: Tchenical 
Publications Pune, 2000. 
CHISHOLM, H. Ohm, Georg Simon. In: ______ Encyclopædia Britannica 
Eleventh Edition. Cambridge: [s.n.], 1911. p. 34. 
EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo. [S.l.]: McGraw Hill, 1979. 
HAYT, W.; BUCK, J. A. Eletromagnetism. 8º. ed. New York, NY, USA: 
McGrawHill, 2012. 
JOHN D. KRAUS, K. R. C. Eletromagnetismo. 2º. ed. Rio de Janeiro, RJ: 
Editora Guanabara, 1990. 
OPENSTAX - RICE UNIVERSITY. College Physics. Houston, TX, USA: Rice 
University, 2013. 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
31 
SADIKU, M. Elements of Electromagnetics. London, UK: Oxford University 
Press, 2014. 
TAFLOVE, A. Why Study Electromagnetics: The First Unit in an Undergraduate 
Electromagnetics Course. Evanston, IL, USA. 2002.