teoria da elasticidade

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Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.1 
2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA TEORIA DA ELASTICIDADE 
 
 
2.1 - Introdução 
 
No presente capítulo são apresentados de um modo sucinto os conceitos básicos da teoria da 
elasticidade, nomeadamente, de elasticidade, homogeneidade, isotropia, tensão e extensão. É 
definido o tensor das tensões e o correspondente tensor das extensões. Com base nas equações 
de equilíbrio definido e indefinido são estabelecidas relações entre as componentes do tensor 
das tensões . As equações de compatibilidade são definidas a partir das componentes do 
tensor das extensões. Finalmente são estabelecidas as relações tensão-extensão (leis 
constitutivas do material) para os materiais com elasticidade linear, homogéneos e 
isotrópicos. 
 
 
2.2 - Conceitos de elasticidade, homogeneidade e isotropia 
 
Um corpo tem comportamento elástico se após a retirada das acções que sobre ele actuam 
retomar a sua forma inicial (ver Figura 2.1). 
 
 
ll l
∆l
Forma inicial Forma final
F=F
u
1F
Deslocamento u∆l
Força F
α
α
u =
Comp.
linear
Comp.
não-linear
1
 
Figura 2.1 - Relação força-deslocamento numa barra à tracção. 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.2 
 
Nesta publicação a matéria que constitui um corpo considera-se sempre homogénea, de tal 
forma que o menor elemento retirado do corpo possui as propriedades físicas específicas 
desse corpo. Um corpo será também considerado isotrópico, isto é, as suas propriedades 
elásticas são consideradas iguais em todas as direcções. 
 
Quando as propriedades elásticas do material são diferentes em direcções distintas, de que são 
exemplo a maior parte dos materiais compósitos (Barros 1989), o material pode apresentar 
comportamento ortotrópico ou anisotrópico. Os materiais têm comportamento ortotrópico 
quando as propriedades num plano são iguais, mas distintas das que ocorrem numa direcção 
ortogonal a esse plano. Terá comportamento anisotrópico quando as propriedades diferem 
com a direcção considerada. 
 
 
2.3 - Conceito de tensão num ponto e de tensor das tensões 
 
A noção intuitiva de tensão é a de força por unidade de área. A tensão pode variar de ponto 
para ponto no interior de um corpo, e ainda com a orientação do plano que passa por esse 
ponto. Trata-se de um conceito matemático que permite determinar se esse corpo satisfaz os 
critérios de segurança exigidos, isto é, se a tensão máxima instalada é inferior à que o material 
resiste. 
 
Se ao corpo em equilíbrio representado na Figura 2.2 for aplicado um sistema de forças 
exteriores iQ c/ i=1,…7 desenvolvem-se forças internas entre as possíveis partes em que o 
corpo se pode dividir. 
 
3x
2x
x1
O
1Q
Q2
Q4
Q3
Q5
Q6
Q7
δA
σ C2
C1
S1
 
Figura 2.2 - Corpo submetido a um conjunto de forças exteriores Qi . 
 
 
Considere-se o corpo dividido em duas partes, C1 e C2 , por intermédio da secção S1 que 
contém o ponto O. Tomando-se, por exemplo, a parte C1 do corpo, pode-se afirmar que ela 
está em equilíbrio sob a acção das forças externas 5Q , 6Q e Q7 e das forças internas 
distribuídas na secção transversal S1 , que representam as acções que o material da parte C2 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.3 
do corpo exercia sobre o material da parte C1 . Admite-se que as forças internas distribuem-se 
continuamente na área S1 , pelo que se trata de um conceito de tensão, isto é, 
 
Tensão = t
Q
A
= 
 
em que A é a área da secção transversal S1 do corpo e Q é a resultante das forças internas 
distribuídas em S1 . 
 
No caso geral da Figura 2.2, a tensão não se distribui uniformemente em S1 . Admita-se que o 
objectivo é determinar o valor da tensão que actua numa pequena área δA , pertencente à 
secção transversal S1 e contendo o ponto O. As forças que actuam nessa área elementar, 
devidas à acção do material da parte C2 sobre o material da parte C1 , podem ser reduzidas a 
uma resultante δQ . Se agora se contrair continuamente a área elementar δA , o valor limite da 
relação δ δQ A/ dará o valor da tensão que actua na secção transversal S1 no ponto O, isto é, 
 
 
t im
A
Q
A
=
→
l
δ
δ
δ0 . (2.1) 
 
A direcção de t é a direcção de δQ . No caso geral, a direcção da tensão é inclinada em 
relação ao plano sobre o qual actua, podendo, por isso, ser decomposta em duas componentes: 
uma tensão normal, σ , ortogonal ao plano, e uma tensão de corte, τ , tangencial ao plano, tal 
como se representa na Figura 2.3. 
 
 
direcção perpendicular ao plano S1
σ
τ
χ
S1
 
Figura 2.3 - Decomposição da tensão t numa componente normal, σ , e numa componente tangencial, τ , ao 
plano S1 . 
 
 
Considere-se o corpo de volume infinitesimal (muito pequeno) dV , com forma de um 
paralelipípedo de lados 1dx , 2dx e 3dx e em equilíbrio, representado na Figura 2.4. A tensão 
resultante, t , no ponto A pode ser decomposta nas tensões que actuam nas faces do referido 
elemento de volume e que está orientado segundo o sistema ortogonal ox x x1 2 3 . A notação 
para as componentes de tensão que actuam nas faces deste elemento e os sentidos tomados 
como positivos são os indicados na Figura 2.4. 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.4 
 
 
A
B
D
C
H
G
E
F
σ
τ
3
σ1 σ2
32τ31
τ23
τ21
12τ
τ13
dx2
dx1
x3
dv = dx1 dx2 dx3× ×
1σ
2σ
σ3
τ
τ31
32
21τ
τ23
12τ
13τ
σ
σ
σ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
x
1 1 2x x
2x
3x
1 3x x
2x x1
x x2 3
x x3 1
x x3 2
dx3
2x
1x
 
Figura 2.4 - Tensões que actuam num paralelepípedo de volume infinitesimal. 
 
 
As tensões estão representadas por um conjunto de dois índices, em que o primeiro índice 
indica a direcção da normal ao plano em que actua a tensão e o segundo índice indica o eixo 
segundo o qual a tensão se exerce (notação de Von Karman). Assim, por exemplo, a tensão 
que actua perpendicularmente às faces BDHF e ACGE será indicada por σ11 (tensão 
segundo o eixo dos x1 actuando num plano ortogonal a esse eixo). As componentes normais, 
σ11 , σ22 e σ33 serão consideradas positivas quando produzem tracção e negativas quando 
produzem compressão. 
 
Em cada plano, além da tensão normal, também actuam duas componentes de tensão de corte. 
Na notação adoptada, a tensão de corte, τ ij , é a tensão na direcção de x j actuando num plano 
perpendicular ao eixo dos xi . Assim, a superfície BDHF está submetida às componentes de 
tensão 11σ , 12τ e 13τ , enquanto as superfícies DCGH e EFHG estão submetidas às 
componentes 22σ , 21τ , 23τ e 33σ , 31τ , 32τ , respectivamente, pelo que o estado de tensão no 
ponto A pode ser obtido a partir da entidade seguinte: 
 
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
11 12 13
21 22 23
31 32 33
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
 (2.2) 
 
que se denomina de tensor das tensões. 
 
2.4 - Equações de equilíbrio definido e indefinido 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.5 
Considere-se o elemento de volume infinitesimal dV, de forma paralelepipédica representado 
na Figura 2.5. As tensões que actuam nas faces deste corpo estão ilustradas na figura. O 
operador genérico jij x∂∂σ representa a variação da componente de tensão ijσ com o 
incremento segundo o eixo jx . Para que o elemento de volume se mantenha em equilíbrio é 
necessário que cumpra as condições de equilíbrio de forças segundo os eixos 1x , 2x e 3x : 
 Σ
Σ
Σ
Q
Q
Q
1
2
3
0
0
0
=
=
=
, (2.3) 
 
e as equações de equilíbrio de momentos segundo os eixos x x1 2, e x3 . Assim,considerando, 
por exemplo, a rotação do elemento de volume em relação ao eixo baricêntrico paralelo ao 
eixo dos x3 e calculando o momento em relação a esse eixo obtém-se (ver Figura 2.5), 
 
 
2112
2
312
2
21
21
2
3121
1
321
1
12
12
1
3212 02222
ττ
ττττττ
=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++ dxdxdxdx
dx
ddxdxdxdxdxdxdx
dx
ddxdxdx
 (2.4a) 
 
tendo-se desprezado as parcelas com infinitésimos de quarta ordem em face das parcelas com 
infinitésimos de ordem inferior. 
 
 
σ1
σ2
τ23
τ21
dx2
dx1
dx3
x3
2x
x1
τ
31τ
32
3∂σ∂x3 dx33
σ +
32
3
+ ∂τ∂x dx3
3∂x3
∂τ+ 31 dx
2∂x
∂τ+ dx23 2
1∂x
∂τ+ dx12 112τ
3dx
∂τ31∂x313τ +
+ 1dx∂x1
1∂σ
2
21∂τ+ ∂x dx2
+ dx∂x2
∂σ
2
2
τ 13
σ1
τ12τ21
τ23
2σ
31ττ32
3σ
 
Figura 2.5 - Elemento de volume com dimensões infinitesimais 1dx , 2dx e dx3 . 
 
 
Procedendo-se de forma análoga em relação a eixos baricêntricos paralelos aos eixos dos x2 e 
dos x1 obtém-se: 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.6 
 
τ τ13 31= (2.4b) 
τ τ23 32= (2.4c) 
 
respectivamente. Assim, das nove componentes do tensor das tensões, apenas seis 
componentes são distintas. 
 
As forças exteriores que actuam sobre um corpo podem ser agrupadas nas denominadas 
forças de superfície, QS , e nas forças de massa ou de volume QV . As forças generalizadas 
(forças e momentos) aplicadas em pontos do contorno corpo ou distribuídas na sua superfície 
fazem parte das forças de superfície. As forças exercidas por outros corpos, a pressão 
hidrostática e a pressão do vento são exemplos de forças de superfície actuando sobre 
determinado corpo. 
 
Conforme o nome sugere, as forças de massa ou de volume, QV , são proporcionais à massa 
ou ao volume do corpo. As forças que se exercem num determinado corpo devidas à 
aceleração da gravidade, as forças magnéticas e as forças de inércia (no caso do corpo estar 
em movimento) são exemplos de forças de massa ou de volume. 
 
Considere-se então que o elemento de volume representado na Figura 2.5 está também sujeito 
às forças de volume com componentes 1,VQ , 2,VQ e QV ,3 segundo os eixos 1x , 2x e x3 , 
respectivamente. Assim, a equação de projecção das forças exteriores na direcção do eixo x1 
conduz à seguinte expressão: 
 
 
03211,2131213
3
31
31
3121312
2
21
213211321
1
11
11
=+−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
dxdxdxQdxdxdxdxdx
dx
d
dxdxdxdxdx
dx
ddxdxdxdxdx
dx
d
Vτττ
τττσσσ
 (2.5) 
 
resultando: 
 
d
dx
d
dx
d
dx
QV
σ τ τ11
1
21
2
31
3
1 0+ + + =, . (2.6a) 
 
Estabelecendo as equações de projecção das forças exteriores na direcção dos eixos x2 e x3 
obtém-se, 
 
d
dx
d
dx dx
QV
τ σ ∂τ12
1
22
2
32
3
2 0+ + + =, (2.6b) 
e 
d
dx
d
dx
d
dx
QV
τ τ σ13
1
23
2
33
3
3 0+ + + =, , (2.6c) 
 
respectivamente. As relações (2.6) denominam-se de equações de equilíbrio indefinido do 
corpo, também conhecidas por equações de Cauchy, que devem ser satisfeitas em cada ponto 
do interior do corpo. Em notação indicial estas equações resumem-se na seguinte: 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.7 
d
dx
Qji
j
V i
σ + =, 0 (2.7) 
 
em que iVQ , c/ i=1,…,3 representa as componentes das forças de volume por unidade de 
volume. Segundo a notação indicial a repetição de um índice num termo significa um 
somatório. Assim, em (2.7) d dx d dx d dx d dxji j i i iσ σ σ σ/ / / /= + +1 1 2 2 3 3 . Note-se que se 
i = 1 então σ21 e σ31 representam tensões de corte, passando a representarem-se por τ21 e 
τ31 , respectivamente. 
 
Na superfície de um corpo actuam forças de superfície QS com componentes QS ,1 , QS ,2 e 
QS ,3 segundo os eixos 1x , 2x e x3 , conforme se representa na Figura 2.6a. 
x1
x
b)
2
x3
dA
1σ
τ
12τ
13
τ21
τ31τ32
3σ
σ2
τ23 QS,2
S,3Q
QS,1
 
(a) 
dA
dA cosα
3
2x
x1
n
dA cosβ
^
β
α
γ
dA cosγ
dh
 
(b) 
Figura 2.6 - Corpo sujeito a forças de superfície. 
 
 
Efectuando a projecção na direcção do eixo dos x1 das forças exteriores que actuam no 
tetraedro representado na Figura 2.6 obtém-se a seguinte equação: 
 
Q dA dA dA dA dh dA QS V, ,cos cos cos .1 11 21 31 1
1
3
0− − − + =σ α τ β τ γ (2.8) 
 
Diminuindo continuamente a altura dh do tetraedo obtém-se no limite ( )dh → 0 : 
 
QS , cos cos cos1 11 21 31 0− − − =σ α τ β τ γ 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.8 
ou 
 
σ α τ β τ γ11 21 31 1cos cos cos .,+ + = QS (2.9a) 
 
As equações de projecção das forças exteriores (segundo os eixos 2x e 3x ) obtém-se de 
maneira semelhante: 
 
2,322212 coscoscos SQ=++ γτβσατ (2.9b) 
3,332313 coscoscos SQ=++ γσβτατ . (2.9c) 
 
As equações (2.9) são as de equilíbrio defenido do corpo, também conhecidas por equações 
de contorno. Estas equações devem ser satisfeitas em cada um dos pontos do contorno do 
corpo. Em notação indicial, as equações (2.8) reduzem-se à seguinte: 
 
 isjji Qn ,=σ . (2.10) 
 
em que [ ]γβα coscoscos=jn define a direcção (em relação ao referencial 321 xxOx ) do 
versor normal à faceta em que actuam as forças exteriores de superfície .
S
Q 
 
As equações (2.7) e (2.10) definem completamente o estado de tensão do corpo. Significa isto 
que, conhecidas as componentes da tensão num ponto, é possível, em função delas, 
determinar a tensão em qualquer elemento de superfície considerado nesse ponto, seja qual 
for a sua orientação. 
 
 
2.5 - Deslocamento correspondente e deslocamentos generalizados 
 
Os deslocamentos que ocorrem na maior parte das estruturas sob condições de serviço são 
pequenos quando comparados com as dimensões das estruturas. Neste trabalho 
considerar-se-á que as estruturas sofrem deslocamentos pequenos, i.e., infinitesimais. 
 
Na Figura 2.7 representa-se um corpo submetido a um conjunto de forças Qm . Em geral estas 
forças causam deslocamentos em todos os pontos do corpo, excepto nos que estão impedidos 
de se deslocar, por se encontrarem ligados ao exterior, como é o caso dos pontos A, B e C. 
 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.9 
3u
2u
u1
Q j
Q1 Q3
Q4
Q2u
2x
x3
x1
A
B
C u j
Q
u j
j
α
 
Figura 2.7 - Deslocamentos num corpo submetido a um conjunto de forças Qm . 
 
 
O deslocamento num determinado ponto i, de coordenadas ix ,1 , ix ,2 , ix ,3 denotar-se-á por iu 
e é constituído pelas seguintes componentes no sistema de eixos 0x1x2x3: 
 
{ }Tiii
i
i
i
i uuu
u
u
u
u ,3,2,1
,3
,2
,1
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= (2.11) 
 
que é usualmente denominado de vector dos deslocamentos do ponto i. Note-se que o vector 
deslocamento do ponto j , ju , não tem, em geral, a direcção de Qj (força aplicada no 
ponto j ). A componente de ju na direcção de Qj (
Q
ju ) obtém-se por intermédio da seguinte 
equação: 
 
αcosjQj uu = , (2.12) 
 
sendo correntemente denominado de deslocamento correspondente. Em qualquer ponto do 
corpo existe, em geral, além dos deslocamentos u , também rotações θ . No caso de um corpo 
tridimensional o vector da rotação de determinado ponto tem três componentes de rotação, 
uma segundo cada eixo do referencial 0 1 2 3x x x : 
 
{ }θ θ θ θ= 1 2 3 T . (2.13) 
 
Assim, no caso geral, em determinado ponto de um corpo desenvolvem-se três deslocamentos 
e três rotações: 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.10 
U u u u
u
T=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1 2 3 1 2 3124 34 124 34θ θ θθ
 (2.14) 
 
{ }U u u T= ⎧⎨⎩
⎫⎬⎭ =θ θ (2.15) 
 
em que U é correntemente denominado de vector dos deslocamentos generalizados. 
 
 
2.6 - Extensões 
 
2.6.1 - Extensões normais 
 
Considere-se um corpo com comportamento unidimensional, como é o caso da barra 
representada na Figura 2.8. 
 
Secção
Transversal
x1 Q1
A A' B B'
1dx u1B = u1A + 1
du
1dx
( ) dx1
l
l' 
Figura 2.8 - Barra sujeita a tracção uniaxial. 
 
 
Esta barra tem um comprimento inicial l e está submetida a uma força Q na sua extremidade 
direita e encontra-se fixa na sua extremidade esquerda. Como a força Q está dirigida segundo 
o eixo da barra, denominado de eixo 0 1x , atribui-se a designação de Q1 à força aplicada. 
Devido à actuação da carga Q1 , a barra sofre um alongamento segundo o seu eixo. Por 
exemplo, a secção A move-se para A’ ocorrendo um deslocamento 11 uu A = e a secção B 
move-se para B’ desenvolvendo um deslocamento ( ) 11111 / dxdxduuu B += . Desta forma, a 
coordenada atribuída à secção A’ ( '1Ax ) será igual à coordenada atribuída à secção A ( Ax1 ) 
mais o deslocamento u1 , isto é, 11'1 uxx AA += , enquanto a coordenada atribuída à secção B’ 
( '1Bx ) será igual à coordenada atribuída à secção B ( Bx1 ) mais o deslocamento que B sofre ao 
deslocar-se para B’, isto é, ( ) 11111'1 / dxdxduuxx BB ++= . 
 
O comprimento do elemento de barra entre A' e B' , A B' ' , será obtido efectuando a 
diferença entre '1Bx e '1Ax : 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.11 
 
( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) 1111
11111111
'111
'1'1
/
/
''
dxdxdudx
uxdxdxduudxx
xux
xxBA
AA
ABB
AB
+=
+−+++=
−+=
−=
. (2.16) 
 
Assim, a extensão normal que a barra sofre segundo o seu eixo, ε11 , obtém-se por intermédio 
da seguinte relação: 
 
 ( )[ ]
1
1
1
11111
11
/''
dx
du
dx
dxdxdxdudx
AB
ABBA
ABsegmentodoinicialocompriment
ABsegmentodoocomprimentdeaumento
=−+=−=
=ε
. (2.17a) 
 
Se du dx1 1 for constante ao longo do comprimento da barra, então, 
 
 ( )
l
ll
l
ll
l
−=−−=
−=
'0'
11
1
1 fixaeextremidadnaulivreeextremidadnau
dx
du
 
 
em que l' é o comprimento da barra após a sua deformação. Sendo ε11 a extensão segundo o 
eixo x1 , que é o eixo da barra, atribui-se a esta extensão a designação de extensão axial, 
longitudinal, ou normal. 
 
As componentes de extensão segundo o eixo x2 , 22ε , e segundo o eixo x3 , 33ε , 
determinam-se efectuando procedimento semelhante ao descrito, obtendo-se, 
 
ε22 2
2
= du
dx
 (2.17b) 
e 
ε33 3
3
= du
dx
. (2.17c) 
 
As extensões ε ε11 22, e ε33 designam-se correntemente por extensões normais. 
 
 
2.6.2 - Extensões de corte 
 
Considere-se três pontos OAB do corpo descarregado representado na Figura 2.9a. Admita-se 
que esses três pontos definem dois segmentos de recta ortogonais, tal como se representa na 
Figura 2.9a. Solicite-se agora esse corpo com um conjunto de forças exteriores. Sob estas 
acções o corpo deforma-se, passando os pontos OAB para O’’A’’B’’. Da configuração 
indeformada OAB para a configuração deformada final O’’A’’B’’ pode existir uma 
configuração deformada intermédia O’A’B’ (ver Figura 2.9b). Nesta configuração deformada 
intermédia podem ocorrer extensões dos segmentos OA e OB mas não haverão distorções, 
dado que o segmento O A' ' mantém-se ortogonal ao segmento O B' ' . Assim, o 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.12 
desenvolvimento de distorções ou extensões de corte realiza-se durante a passagem da 
configuração O’A’B’ para a configuração O’’A’’B’’. 
 
 
O A
B
a)
Configuração indeformada
O
B
A
O' A'
B'
O''
B''
A''
1Q
Q3
2Q
Configuração deformada
b) 
Figura 2.9 - Corpo descarregado (configuração indeformada), (a), e corpo carregado (configuração deformada) 
(b). 
 
 
Pode-se então definir como extensão de corte num ponto a variação do valor do coseno do 
ângulo realizado por dois segmentos de recta que, no estado do corpo indeformado, formam 
um ângulo recto entre si. 
 
Se os pontos O, A e B estiverem inscritos no plano x x1 2 (ver Figura 2.10), então γ 12 
representa a extensão de corte no ponto O do plano x x1 2 . 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.13 
B
O A
dx 2
1dx
A'
B'
O' O''
A''
B''
 θ1
 θ2 π
2
 __ _γ 12
du
dx 1
2
1dx
dxdu
dx
1
2
2
dx + (du / dx ) dx11u 1 1 1
dx
 +
 (
du
 /
 d
x 
 ) 
dx
u 2
2 
 
 
 
 
 
 
 2
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 2
X1
2X
 
Figura 2.10 - Extensão de corte no plano x x1 2 . 
 
 
Assim, 
 
 ( ) 1212 sin2cos''''''cos γγ
π =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=BOA . (2.18a) 
 
Como se admite pequenos deslocamentos e pequenas deformações então sinγ γ12 12≅ , pelo 
que: 
 ( )cos ' ' ' ' ' ' .A O B ≅ γ 12 (2.18b) 
 
Além disto sabe-se que: 
 
 ( ) ''3'3''3'3 cossinsincos''''''cos θθθθ +=BOA (2.19a) 
 
e 
 
 
( ) ( )
''''
/sin;
''''
/1cos 112'3111
'
3 AO
dxxu
AO
dxxu ∂∂θ∂∂θ =+= 
 (2.19b) 
 
( ) ( )
''''
/1cos;
''''
/sin 222''3221
''
3 BO
dxxu
BO
dxxu ∂∂θ∂∂θ +== 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.14 
pelo que: 
 
 ( )( )γ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂12 11 12 21 22 1 21 1= +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
u
x
u
x
u
x
u
x
dx dx
O A O B' ' ' ' ' ' ' '
. (2.20) 
 
Sabe-se ainda que: 
 
 
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
21
''''
dx
x
u
x
u
x
udx
dx
x
udx
x
udxAO
≅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛++=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 (2.21a) 
 
dado que ∂ ∂u xi j/ « 1. Pelo mesmo raciocínio, 
 
 O B dx' ' ' ' .≅ 2 (2.21b) 
 
Substituindo (2.21) em (2.20) obtém-se: 
 
 
2
2
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
12 x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂γ +++= . (2.22) 
 
Se além dos deslocamentos u1 e u2 se se considerar também o deslocamento u3 obtém-se: 
 
2
3
1
3
2
2
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
12 x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂γ ++++= . (2.23a) 
 
Desenvolvendo para os planos x x1 3 e x x2 3 procedimento análogo ao acabado de realizar 
para o plano x x1 2 obtém-se: 
 
 
3
3
1
3
3
2
1
2
3
1
1
1
1
3
3
1
13 x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂γ ++++= (2.23b) 
 
para extensão de corte no ponto O no plano x x1 3 e 
 
 
3
3
2
3
3
2
2
2
3
1
2
1
2
3
3
2
23 x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂γ ++++= (2.23c) 
 
para extensão de corte no ponto O no plano x x2 3 . 
 
 
2.6.3 - Tensor das extensões 
 
Considere-se dois pontos A e B de um corpo sólido tridimensional, sendo ds a distância entre 
estes dois pontos (ver Figura 2.11). 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.15 
X2
3X
X1
X'2
1X'X2
1X
3X
X'3
u 2
u1dx
3dx
2dx
ds
1u
B
A
ds'
3u
dx'2
1dx'
dx'3
A'
B'
Sólido indeformado Sólidodeformado
 
Figura 2.11 - Deformação de um elemento definido por dois pontos (A e B) de um corpo. 
 
 
Ao corpo é aplicado um conjunto de forças que lhe induzem um estado de deformação. Como 
resultado, o ponto A move-se para A’ e o ponto B para B’. As coordenadas iniciais dos 
pontos A e B são x x x1 2 3, , e x dx x dx x dx1 1 2 2 3 3+ + +, , , respectivamente. Após a deformação 
as coordenadas destes pontos (A’ e B’) passam a ser x x x' , ' , '1 2 3 e 
x dx x dx x dx' ' , ' ' , '1 1 2 2 3 3+ + + , respectivamente, conforme se representa na Figura 2.11. O 
comprimento ds do segmento que une os pontos A e B, no corpo indeformado, é obtido por 
intermédio da seguinte relação: 
 
 ds dx dx dx2 1
2
2
2
3
2= + + . (2.24) 
 
Durante a deformação do corpo, este segmento varia de comprimento e de inclinação. O novo 
segmento, que liga os pontos A’ e B’, no corpo deformado, tem comprimento ds' obtido por 
 
 ds dx dx dx' ' ' '2 1
2
2
2
3
2= + + . (2.25) 
 
O deslocamento do ponto A para A’ é caracterizado pelo vector u , que tem as seguintes 
componentes: 
 
 
u x x
u x x
u x x
1 1 1
2 2 2
3 3 3
= −
= −
= −
'
'
'
. (2.26) 
 
De forma similar, o deslocamento do ponto B para B’ é dado por u du+ , em que 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.16 
 
du
u
x
dx
u
x
dx
u
x
dx
du
u
x
dx
u
x
dx
u
x
dx
du
u
x
dx
u
x
dx
u
x
dx
1
1
1
1
1
2
2
1
3
3
2
2
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
1
1
3
2
2
3
3
3
= + +
= + +
= + +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 (2.27) 
 
constituem as componente do vector du . Substituindo (2.26) em (2.25) obtém-se: 
 
 ds dx dx dx du dx du dx du dx du du du' .2 1
2
2
2
3
2
1 1 2 2 3 3 1
2
2
2
3
22 2 2= + + + + + + + + (2.28) 
 
Considerando a relação (2.24), a equação (2.28) reduz-se à seguinte: 
 
 ( )ds ds du dx du dx du dx du du du' .2 2 1 1 2 2 3 3 12 22 322− = + + + + + (2.29) 
 
Substituindo (2.27) em (2.29) obtém-se: 
 
 
 
31
3
3
1
3
3
2
1
2
3
1
1
1
1
3
3
1
32
3
3
2
3
3
2
2
2
3
1
2
1
2
3
3
2
21
2
3
1
3
2
2
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
2
3
2
3
3
2
3
2
2
3
1
3
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
3
2
1
2
2
1
1
1
122
2
2
2
2
12
2
12
2
12'
dxdx
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
dxdx
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
dxdx
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
dx
x
u
x
u
x
u
x
u
dx
x
u
x
u
x
u
x
u
dx
x
u
x
u
x
u
x
u
dsds
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+++++
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+++++
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+++++
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛++
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛++
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+=−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
. (2.30a) 
 
Note-se que ds ds,2 2− é nulo se não ocorrer deslocamento relativo entre os pontos A e B 
quando estes se movem para A’ e B’ durante a deformação imposta pelas forças exteriores que 
actuam no corpo. Esta situação corresponderia a um movimento de corpo rígido. Para 
ds ds,2 2− diferente de valor nulo, o segmento AB mudou de comprimento, i.e., o sólido 
deforma-se. Assim, ds ds,2 2− pode ser escolhido como uma medida apropriada da 
deformação do sólido. Para definir as componentes de extensão, transforma-se a equação 
(2.30a) na seguinte: 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.17 
 
322331132112
2
333
2
222
2
111
22
444
222'
dxdxdxdxdxdx
dxdxdxdsds
εεε
εεε
++
+++=−
 (2.30b) 
 
em que, 
 
 ε ∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂11
1
1
1
1
2
2
1
2
3
1
2
1
2
= + ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
u
x
u
x
u
x
u
x
 (2.31a) 
 
 ε ∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂22
2
2
1
2
2
2
2
2
3
2
2
1
2
= + ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
u
x
u
x
u
x
u
x
 (2.31b) 
 
 ε ∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂33
3
3
1
3
2
2
3
2
3
3
2
1
2
= + ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
u
x
u
x
u
x
u
x
 (2.31c) 
 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++++==
2
3
1
3
2
2
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1212 2
1
2
1
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂γε (2.31d) 
 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++++==
3
3
2
3
3
2
2
2
3
1
2
1
2
3
3
2
2323 2
1
2
1
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂γε (2.31e) 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++++==
3
3
1
3
3
2
1
2
3
1
1
1
3
1
1
3
3131 2
1
2
1
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂γε (2.31f) 
 
que em notação indicial se converte para: 
 
 ( )εik i k k i i ku u u u= + +12 , , , ,l l (2.32) 
 
em que ui k, representa a derivada de ui em relação a kx , i.e., 
 
 u
u
xi k
i
k
, .= ∂∂ (2.33) 
 
Se as componentes de extensão forem conhecidas, as relações extensão-deslocamento 
estabelecidas em (2.31) ou (2.32) constituem um sistema de equações não lineares de 
derivadas parciais nas incógnitas deslocamentos. 
 
A entidade εik estabelecida em (2.32) denomina-se de tensor das extensões de Green, apesar 
de ser usualmente considerada como tendo sido introduzida por Green e Saint-Venant. Em 
engenharia utiliza-se, correntemente, em vez de ( )εik c i k/ ≠ o γ ik , em que 
 
 γ εik ik p i k= ≠2 / (2.34) 
 
são as extensões de corte. 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.18 
Em estruturas que desenvolvam deslocamentos grandes é necessário utilizar o tensor das 
extensões estabelecido nas equações (2.31). No caso de estruturas que desenvolvam 
deslocamentos pequenos, os termos infinitesimais de segunda ordem de (2.31) podem ser 
desprezados face aos termos de primeira ordem, resultando 
 
 
3,11,3
3
1
1
3
31
2,33,2
2
3
3
2
23
1,22,1
1
2
2
1
12
3,3
3
3
33
2,2
2
2
22
1,1
1
1
11
uu
x
u
x
u
uu
x
u
x
u
uu
x
u
x
u
u
x
u
u
x
u
u
x
u
+=+=
+=+=
+=+=
==
==
==
∂
∂
∂
∂γ
∂
∂
∂
∂γ
∂
∂
∂
∂γ
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
 (2.35) 
 
ou, em notação indicial, 
 
 ( )εik i k k iu u= +12 , , . (2.36) 
 
As componentes de extensão (2.31) podem ser agrupadas no denominado tensor das 
extensões de Cauchy que apresenta a constituição seguinte: 
 
 ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε ε=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
= =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
21 12 31 13c / , e ε ε32 23= . (2.37) 
 
sendo apenas seis as componentesindependentes. Note-se que as equações (2.35) são agora 
lineares. 
 
 
2.7 - Equações de compatibilidade 
 
Apesar de ser necessário conhecer o valor das seis componentes do tensor das extensões, 
(2.37), as equações (2.35) ou (2.36) contêm apenas três componentes de 
deslocamento: u u u1 2 3, , . Assim, este sistema de equações não possui uma solução única, pelo 
que as componentes independentes do tensor das extensões deverão satisfazer algumas 
condições adicionais. Considere-se, por exemplo, a derivada de γ 12 em relação a x1 e x2 : 
 
 
∂ γ
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
2
12
1 2
2
1 2
1
2
2
1 2
2
1x x x x
u
x x x
u
x
= + . (2.38) 
 
Sabe-se que se f é uma função contínua então 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.19 
 
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
2
1 2
2
2 1
f
x x
f
x x
= (2.39) 
 
pelo que, 
 
 
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
21
12
2
x
u
xx
u
xxx ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
γ∂ += . (2.40) 
 
 
Como ε ∂ ∂11 1 1= u x/ e ε ∂ ∂22 2 2= u x/ então (2.40) reduz-se à seguinte relação: 
 
 
∂ γ
∂ ∂
∂ ε
∂
∂ ε
∂
2
12
1 2
2
11
2
2
2
22
1
2x x x x
= + (2.41a) 
 
o que significa que para se obter uma solução única no campo dos deslocamentos as 
extensões não podem ser independentes entre si. Por raciocínio semelhante obter-se-iam as 
seguintes restantes equações de compatibilidade: 
 
 2
2
33
2
2
3
22
2
32
23
2
xxxx ∂
ε∂
∂
ε∂
∂∂
γ∂ += (2.41b) 
 
 2
3
11
2
2
1
33
2
13
31
2
xxxx ∂
ε∂
∂
ε∂
∂∂
γ∂ += (2.41c) 
 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−=
2
31
1
23
3
12
321
33
2
2
xxxxxx ∂
γ∂
∂
γ∂
∂
γ∂
∂
∂
∂∂
ε∂
 (2.41d) 
 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−=
3
12
2
31
1
23
132
11
2
2
xxxxxx ∂
γ∂
∂
γ∂
∂
γ∂
∂
∂
∂∂
ε∂
 (2.41e) 
 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−=
1
23
3
12
2
31
213
22
2
2
xxxxxx ∂
γ∂
∂
γ∂
∂
γ∂
∂
∂
∂∂
ε∂
 (2.41f) 
 
 
2.8 - Relações tensão-extensão para materiais com elasticidade linear, homogéneos e 
 isotrópicos 
 
Considere-se que a barra representada na Figura 2.12 é constituída por um material 
homogéneo, isotrópico, com comportamento elástico e linear. 
 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.20 
X3
X2
X1
1l
2l
3l
11
11
 
Figura 2.12 - Barra sob estado de tensão uniforme σ11 . 
 
 
Se nas faces x1 1= l e x1 0= for aplicado um estado de tensão uniforme σ11 , sabe-se, pelas 
experiências realizadas por Robert Hooke, que a barra alongará de uma quantidade ∆l 1 , 
sofrendo assim uma extensão 
 
 ε11 1
1
= ∆ll (2.42) 
 
que se relaciona com a tensão σ11 por intermédio da denominada lei de Hooke: 
 
 σ ε11 11= E (2.43) 
 
sendo E o módulo de elasticidade longitudinal do material. Sob o estado de tensão σ11 , além 
da extensão ε11 , desenvolvem-se extensões nas direcções x2 e x3 , 
 
 
2
2
22 l
l∆=ε , 
3
3
33 l
l∆=ε (2.44) 
 
devidas à variação das dimensões da barra nas direcções x2 e x3 , conforme se representa na 
Figura 2.13. 
 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.21 
1x
l3
1
l2
l
x 3
2x
 
Figura 2.13 - Deformações na barra impostas pelo estado de tensão σ11 . 
 
As extensões ε22 e ε33 relacionam-se com a extensão ε11 por intermédio das seguintes 
relações: 
 
 
E
11
1122
συευε −=−= , 
E
11
1133
συευε −=−= (2.45) 
 
em que υ é o coeficiente de Poisson. Para os materiais mais utilizados nas estruturas de 
Engenharia Civil o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade longitudinal destes 
materiais é sensivelmente igual em tracção e em compressão. Nos betões correntes o E varia 
entre 25 a 40 GPa, enquanto o υ varia de 0.15 a 0.2. Por sua vez o aço apresenta um E 
variando de 190 a 210 GPa e um υ de aproximadamente 0.3. 
 
Se a barra representada na Figura 2.12 estiver submetida nas suas faces à acção simultânea de 
um campo de tensões uniforme 11σ , 22σ e σ33 , desenvolvem-se as seguintes extensões: 
 
 ( )[ ]33221111 1 σσυσε +−=E (2.46a) 
 
 ( )[ ]11332222 1 σσυσε +−=E (2.46b) 
 
 ( )[ ]22113333 1 σσυσε +−=E (2.46c) 
em que se aplicou o princípio da sobreposição dos efeitos dado tratar-se de um material com 
comportamento linear e elástico. Assim, as expressões (2.46) podem ser obtidas adicionando 
os efeitos produzidos pela actuação separada de σ11 , σ22 e σ33 . Sob a actuação de σ11 
desenvolvem-se as seguintes componentes de extensão: 
 
 ε σ ε υ σ ε υ σ11 11 22 11 33 11= = − = −E E E; ; . (2.47a) 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.22 
Sob a acção de σ22 ocorrem as seguintes componentes de extensão: 
 
 ε υ σ ε σ ε υ σ11 22 22 22 33 22= − = = −E E E; ; . (2.47b) 
 
Finalmente, sob a actuação de σ33 desenvolvem-se as seguintes componentes de extensão: 
 
 ε υ σ ε υ σ ε σ11 33 22 33 33 33= − = − =E E E; ; . (2.47c) 
 
Adicionando os correspondentes termos de (2.47) obtêm-se as expressões (2.46). 
 
As equações (2.46) definem completamente o estado de deformação de um corpo sujeito às 
tensões normais σ11 , σ22 e σ33 . Sob estas tensões o corpo sofre apenas extensões normais 
ε11 , ε22 e ε33 . Assim, se o corpo indeformado for um paralelepípedo, ainda o será após a 
deformação a que for submetido sob o estado de tensão constituído pelas componentes σ11 , 
σ22 e σ33 . Pode-se provar que em corpos constituídos por material isotrópico e com 
comportamento linear e elástico, as componentes de tensão normal σ11 , σ22 e σ33 apenas 
produzem extensões normais ε11 , ε22 e ε33 . Nestes mesmos corpos as componentes de 
tensão de corte τ12 , τ23 e τ31 apenas induzem extensões de corte γ 12 , γ 23 e γ 31 , que se 
relacionam por intermédio das seguintes equações: 
 
 γ τ γ τ γ τ12 12 23 23 31 31= = =G G G; ; (2.48) 
 
em que 
 
 ( )G
E= +2 1 υ (2.49) 
 
é o módulo de elasticidade transversal do material. 
 
Se o prisma representado na Figura 2.12, além de solicitado pela tensão σ11 , estiver submetido 
a uma variação de temperatura ∆t desenvolvem-se as seguintes extensões: 
 
 ε σ α11 11= +E t∆ (2.50a) 
 
 ε υ σ α22 11= − +E t∆ (2.50b) 
 
 ε υ σ α33 11= − +E t∆ (2.50c) 
 
em que α é o coeficiente de dilatação térmica do material com valor da ordem de 10-5 para os 
betões e para os aços. Se o corpo estiver submetido, simultaneamente, a tensões σ11 , σ22 e 
σ33 e à variação de temperatura ∆t desenvolver-se-ão as seguintes extensões: 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.23 
 ( )[ ] t
E
∆++−= ασσυσε 33221111 1 , (2.51a) 
 ( )[ ] t
E
∆++−= ασσυσε 11332222 1 , (2.51b) 
 ( )[ ] t
E
∆++−= ασσυσε 22113333 1 . (2.51c) 
 
Um corpo tridimensional submetido a tensões normais σ11 , σ22 e σ33 e tensões de corte 
τ12 , τ23 e τ31 desenvolve extensões normais ε11 , ε22 e ε33 e extensões de corte γ 12 , γ 23 
e γ 31 que em notação matricial se relacionam por intermédio da seguinte expressão: 
 
 ( )
( )
( )
ε
ε
ε
γ
γ
γ
ν ν
ν ν
ν ν
ν
ν
ν
σ
σ
σ
τ
τ
τ
11
22
33
12
23
31
11
22
33
12
23
31
1
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 2 1 0 0
0 0 0 0 2 1 0
0 0 0 0 0 2 1
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
=
− −
− −
− −
+
+
+
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
E
 (2.52a) 
 
ou 
 ε σ= C (2.52b) 
 
em que 
 { }T312312332211 γγγεεεε = (2.53) 
 
é o vector das componentes de extensão, 
 
 {}T312312332211 τττσσσσ = (2.54) 
 
é o vector das componentes de tensão e C é a matriz de flexibilidade do elemento. Se além de 
submetido ao estado de tensão caracterizado pelo vector σ , o corpo estiver também sujeito a 
uma variação de temperatura de valor ∆t , a expressão (2.52b) passará a apresentar a seguinte 
configuração: 
 ε σ= +C C t (2.55) 
 
em que 
 { }Tt tC 000111∆=α (2.56) 
 
é o vector correspondente à extensão de origem térmica. Invertendo a relação (2.52) 
obtém-se: 
 
 
σ ε
ε
=
=
−C
D
1
 (2.57) 
 
em que D é a matriz de elasticidade do material, apresentando a seguinte constituição: 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.24 
 ( ) ( )D
E= + −
−
−
− −
−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
1 1 2
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0
1 2
2
0 0
0 0 0 0
1 2
2
0
0 0 0 0 0
1 2
2
υ υ
υ υ υ
υ υ υ
υ υ υ υ
υ
υ
. (2.58) 
 
À relação (2.57) também é corrente atribuir-se a designação de lei constitutiva do material, 
dado que D inclui as propriedades do material, que no presente caso se admite ter 
comportamento linear e elástico. 
 
Se o corpo também estiver submetido a variação de temperatura ∆t , a sua lei constitutiva 
obtém-se invertendo a equação (2.55), resultando: 
 
 σ ε= +D Dt (2.59) 
 
em que 
 
 { }Tt tED 00011121 υ
α
−
∆−= (2.60) 
 
é o vector que fornece as componentes de tensão de origem térmica. 
 
Existem estruturas que, pelo seu modo de funcionamento, podem ser consideradas como 
estando submetidas a estado plano de tensão ou a estado plano de deformação. As vigas altas 
e as paredes são exemplos de estruturas submetidas a estado plano de tensão, dado que é nula 
a tensão normal ao plano da estrutura, 033 =σ . Por sua vez, os túneis, as barragens de 
elevado comprimento longitudinal e os muros de suporte de terras são exemplos de estruturas 
que podem ser consideradas sob estado plano de deformação, dado que é nula a extensão 
normal ao plano da estrutura, 033 =ε . 
 
 
Estado Plano de Tensão 
 
Uma estrutura é considerada em estado plano de tensão se for geometricamente plana e se for 
nula a tensão normal ao plano da estrutura. Assim, se a estrutura estiver inscrita, por exemplo, 
no plano definido pelos eixos 0 1x e 0 2x , então σ τ τ33 23 31 0= = = , dado que as acções que 
solicitam essa estrutura actuam no plano da estrutura, isto é, no plano x x1 2 . Neste caso as 
relações (2.55) e (2.59) passam a apresentar a seguinte configuração: 
 
 
( )
ε
ε
γ
υ
υ
υ
σ
σ
τ
α
11
22
12
11
22
12
1
1 0
1 0
0 0 2 1
1
1
0
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=
−
−
+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥E
t∆ , (2.61) 
 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.25 
 
σ
σ
τ υ
υ
υ υ
ε
ε
γ
α
υ
11
22
12
2
11
22
12
1
1 0
1 0
0 0
1
2
1
1
1
0
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
= − −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
E E t∆
. (2.62) 
 
Note-se que em estado plano de tensão a extensão ε33 pode ser diferente de zero, sendo o seu 
valor obtido atribuindo o valor nulo a σ33 na equação (2.46c) resultando: 
 
 
( )ε υ σ σ33 11 22= − +E . (2.63) 
 
Se a estrutura estiver submetida a uma variação de temperatura ∆t , será adicionado o termo 
α ∆t a (2.63). 
 
 
Estado Plano de Deformação 
 
Uma estrutura é considerada em estado plano de deformação se for geometricamente plana e 
se for nula a extensão normal ao plano da estrutura. Assim, se a estrutura estiver inscrita, por 
exemplo, no plano definido pelos eixos 0 1x e 0 2x , então ε γ γ33 23 31 0= = = . Neste caso, as 
relações (2.55) e (2.59) passam a apresentar a seguinte constituição: 
 
 ( )
ε
ε
γ
υ υ υυ υ
σ
σ
τ
υ α
11
22
12
11
22
12
1
1 0
1 0
0 0 2
1
1
1
0
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
= +
− −
− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
+ +
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥E
t∆ , (2.64) 
 
 ( )( )
σ
σ
τ υ υ
υ υ
υ υ υ
ε
ε
γ
α
υ
11
22
12
11
22
12
1 1 2
1 0
1 0
0 0
1 2
2
1 2
1
1
0
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
= + −
−
− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
E E t∆
. (2.65) 
 
Note-se que em estado plano de deformação σ 33 pode ser não nula. O seu valor é obtido a 
partir da equação (2.46c) tendo em conta que agora ε33 0= , pelo que: 
 
 ( )[ ]0 1 33 11 22= − +E σ υ σ σ (2.66a) 
 
resultando 
 ( )σ υ σ σ33 11 22= + . (2.66b) 
 
 
Estado de tensão e de deformação unidimensional 
 
As barras de estruturas articuladas, isto é, de estruturas constituídas por barras com rótulas 
nas suas extremidades estão submetidas ao caso mais simples de estado de tensão e de 
extensão, dado que só têm uma componente de tensão e correspondente componente de 
Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade 
Joaquim Barros 2.26 
extensão. Assim, se o eixo da barra se orientar segundo o eixo x1 e se a barra tiver um 
comprimento muito superior às dimensões de qualquer uma das possíveis secções transversais 
(de forma a desprezar as extensões ε22 e ε33 ), as barras de uma estrutura articulada estarão 
submetidas a estado unidimensional de tensão e de extensão, dado que 
σ σ τ τ τ22 33 12 23 31 0= = = = = e ε ε γ γ γ22 33 12 23 31 0= = = = = . Neste caso as equações 
(2.55) e (2.59) passam a apresentar a seguinte configuração: 
 
 ε σ α11 111= +E t∆ (2.67) 
e 
 σ ε α11 11= −E E t∆ (2.68)