SÉRIES DE FOURIER

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PARTE II – SÉRIES DE FOURIER 
 
 
 
1 – NOTA HISTÓRICA 
 
 Jean-Baptiste Joseph Fourier nasceu a 21 de março de 1768 em Auxerre, 
França, filho de um alfaiate, e com apenas 10 anos de idade ficou órfão. Devido ao seu 
talento demonstrado em seus primeiros estudos, ele recebeu suporte financeiro para 
terminar sua educação. Em 1780, ingressou na École Royale Militaire onde logo 
descobriu a matemática e se dedicou a ela por longos anos. Em 1787, ele se envolveu 
com a Revolução Francesa, ocupando um cargo local no Comitê Revolucionário. 
Inicialmente, Fourier se mostrou empolgado com os propósitos da Revolução, mas 
depois se decepcionou com o regime de terror que se seguiu. Em julho de 1794 ele foi 
preso por ter proferido um discurso de protesto em Órleans, mas foi libertado por 
Napoleão quando tomou o poder na França. Em 1795, torna-se professor da École 
Polytechnique e, dois anos depois, sucede Lagrange na cadeira de Análise e Mecânica. 
Nessa época já se tornara um dos confidentes de Napoleão. Fourier era um reconhecido 
orador e foi um excelente professor. Em 1798, juntamente com outros cientistas 
famosos da França, acompanhou o exército de Napoleão na invasão do Egito como 
consultor científico. A pedido do próprio Imperador, ele ocupou o cargo de prefeito de 
Grenoble. Uma de suas obras foi o projeto e execução da drenagem de charcos por onde 
deveria ser construída uma estrada ligando Grenoble a Turim. Em 1822, ele publica seu 
trabalho Théorie analytique de la chaleur, onde introduz o que se conhece hoje como 
Séries de Fourier. 
 À época em que exercia o cargo de prefeito, Fourier estudou a condução de 
calor em sólidos e as chamadas séries de Fourier tiveram seu início nas soluções 
analíticas que ele encontrou. Elas surgiram ao considerar equações diferenciais parciais 
com dependências espacial e temporal. A idéia não era nova pois um dos Bernoulli, 
além de D’Alambert e Euler já tinham feito uso da expansão senoidal. 
Embora o livro Théorie Analytique de la Chaleur tenha aparecido em 1822, já 
em 1807 o autor surpreendeu os membros da Academia Francesa de Ciências, 
 2 
afirmando que uma função arbitrária e periódica podia ser representada por uma 
combinação linear das funções seno e cosseno. E esta função arbitrária podia não ser 
contínua. Prontamente Lagrange rejeitou, em termos definitivos, a conclusão a que 
chegara Fourier, porque percebia que a fundamentação teórica e o rigor matemático 
empregados se mostravam bastante incompletos. Por vários anos seguintes o assunto 
esteve em pauta das discussões e, ao mesmo tempo, outros matemáticos se empenharam 
em colocar as ideias de Fourier em crescente rigor analítico. O nome de Dirichlet está 
fortemente ligado a essas contribuições para o desenvolvimento e aceitação das séries 
de Fourier. 
 Nos anos finais de sua vida ele se tornou, segundo seus contemporâneos, um 
homem “totalmente maçante” com suas histórias sobre a glória de trabalhar com 
Napoleão e o trabalho maravilhoso que o imperador estava por fazer. Os anos que ele 
passou no norte da África, levaram-no a acreditar que o deserto tinha a temperatura 
ideal para se ter boa saúde; por isso, sempre se vestia com roupas pesadas e vivia em 
ambiente bastante quente. Morreu de ataque cardíaco em 16 de maio de 1830. 
 
 
2 - INTRODUÇÃO 
 
 As séries de Fourier são constituídas por uma combinação linear de seno e 
cosseno e se mostram muito convenientes para representar fenômenos periódicos. 
Funções periódicas aparecem com grande variedade em problemas físicos: oscilações de 
um sistema massa-mola; movimento de um pêndulo; vibração de uma corda de violino; 
da coluna de ar dentro de um tubo, como uma flauta; e, em geral, sons musicais (o tom 
musical percebido por nossos ouvidos é uma combinação de vibrações harmônicas 
simples). Circuitos elétricos envolvem variáveis que se comportam de forma periódica, 
como por exemplo, a corrente alternada, e esses sistemas podem ser descritos por uma 
série composta de funções oscilatórias. 
 Neste capítulo discutiremos conceitos básicos, fatos e técnicas em conexão 
com essas séries. Serão resolvidos diversos exemplos e alguns deles bastante 
importantes na área da Física Aplicada ou na de Engenharia. 
 A teoria sobre as séries de Fourier é relativamente complexa, entretanto, seu 
uso nas aplicações são relativamente simples. O que queremos tratar envolve o 
desenvolvimento de funções periódicas utilizando uma série trigonométrica. Porém, 
você poderia estar se perguntando por que escolher tal expansão se já conhecemos a 
série de Taylor e ela representa muito bem as funções. É verdade; funções como 
xsen ,xcos,e,x x2 são exemplos para os quais as séries de Taylor funcionam muito 
bem. Entretanto, para outra classe de funções que apresentam periodicidade e/ou 
descontinuidade, o desenvolvimento em série de Taylor fica comprometido. Além disso, 
a representação por série de potências exige que as funções possuam derivadas de toda 
ordem. Nesse sentido, as séries de Fourier são mais universais do que as séries de 
Taylor porque elas podem representar funções periódicas descontínuas. Para tais 
funções não existem representações em série de Taylor. 
 
 
 
 
 
 
 3 
3 – SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 Uma função real )x(f é chamada periódica se ela está definida para todo x real 
e se existe alguma constante positiva p tal que 
 
)x(f)px(f =+ , para todo x. (56) 
 
O número p é chamado período da função. Seu gráfico, para todo x, é obtido por 
repetição periódica da curva compreendida no intervalo de comprimento p. (figura 3.1). 
 
 
 
Figura 3.1 – Função periódica 
 
 A função =)x(f constante é periódica porque qualquer valor de p reproduz o 
comportamento da função. Para este caso, diz-se que não existe um período primitivo 
ou fundamental. 
 O uso da variável x é usual, porém, ela pode representar qualquer variável real, 
incluindo o tempo. Em problemas envolvendo equações diferenciais que governam o 
movimento de um sistema é comum utilizar t como variável para obter o 
desenvolvimento em séries de Fourier. Alguns autores usam t como variável muda de 
integração para determinar os coeficientes de Fourier. 
 Uma série trigonométrica é uma série do tipo 
 
L+++++ x2senbx2cosasenxbxcosa
2
a
2211
0
 (57) 
 
na qual os coeficientes KK ,b,b,a,a 2110 são constantes reais. Esta série tem período 
pi2 . Observe que desde agora reservamos os a’s para coeficientes da função cosseno, e 
os b’s para a função seno. 
 Cada termo da série trigonométrica possui período 2π: 
 
xcos)2xcos( =pi+ ; senx)2x(sen =pi+ ; x2cos)2x2cos( =pi+ ... e de forma geral, 
 
xcos)n2nxcos()]2x(ncos[ =pi+=pi+ e xsen)n2nx(sen)]2x(n[sen =pi+=pi+ . 
 
Agora surge a pergunta: se o período de, por exemplo, x3sen é 32pi , como a série pode 
ter período pi2 ? A resposta é que, além do período pi2 /3, a função x3sen possui período 
pi2 e este valor é compartilhado por todos os termos da série (é como se ele fosse o 
m.m.c dos períodos). Por exemplo, a função )]2x(ncos[ pi+ tem período pi2 
adicionalmente ao período n/2pi . 
 4 
 Podemos reescrever a série trigonométrica usando a notação de somatória; a 
inserção de parênteses é possível porque a série é convergente. 
 
( )∑
∞
=
++
1n
nn
0 nxsenbnxcosa
2
a
 (58) 
 
O fator 2/1 no primeiro termo é apenas conveniência e ao tratar de séries de Fourier 
esta convenção irá se tornar mais evidente. 
 Foi dito anteriormente que o tom musical é uma combinação de oscilações 
harmônicas simples: eles são representados por nxsenbnxcosa nn + . A amplitude dos 
coeficientes nn b e a é uma medida da importância do n-ésimo sobretom no espectro da 
onda sonora. As diferençasnos tons de diferentes instrumentos musicais podem ser 
atribuídas a pesos diferenciados dos coeficientes da série trigonométrica. 
 
 
4 – SÉRIES DE FOURIER 
 
 Quando os coeficientes da série trigonométrica satisfazem certas condições, a 
serem estabelecidas a seguir, ela é denomina série de Fourier. Precisamos encontrar a 
relação entre a função periódica )x(f (com período 2π) e os coeficientes da série. 
Vamos supor que esta função possa ser representada por uma série trigonométrica: 
 
)nxsenbnxcosa(
2
a)x(f
1n
nn
0 ∑
∞
=
++=
 (59) 
 
ou seja, estamos supondo que esta série convirja e tem como soma a função )x(f . 
 Usaremos o intervalo ],[ pipi− , porém qualquer outro intervalo de comprimento 
2π pode ser utilizado. 
Para encontrar 0a , integramos ambos os lados da igualdade de pipi− a : 
 
dx)nxsenbnxcosa(dx
2
adx)x(f
1n
nn
0
∫ ∑∫ ∫
pi
pi−
∞
=
pi
pi−
pi
pi−






++= . 
 
A integração termo a termo é justificada se a convergência é uniforme, e este fato será 
usado no processo. Então, podemos escrever 
 
∑ ∫ ∫∫ ∫
∞
=
pi
pi−
pi
pi−
pi
pi−
pi
pi−








++=
1n
nn
0 nxdxsenbnxdxcosadx
2
adx)x(f . 
 
As integrais em nxcos e nxsen se anulam como pode ser verificado facilmente 
realizando as integrações e colocando-se os extremos. Portanto, somente o primeiro 
termo “sobrevive”: 
 
 5 
⇒pi==∫ ∫
pi
pi−
pi
pi−
2
2
adx
2
adx)x(f 00 ∫
pi
pi−
pi
= dx)x(f1a 0 (60) 
 
Para os coeficientes K,a,a 21 podemos fazer algo semelhante. Multiplicam-se ambos os 
membros da igualdade por mxcos e integra-se no intervalo ],[ pipi− . 
Antes porém, vamos revisar as condições de ortogonalidade do conjunto formado pelas 
funções seno e cosseno. Estes resultados serão úteis na determinação dos coeficientes. 
 
∫
pi
pi−
piδ=






=pi
≠
= m,n
mn para 
mn para 0
mxdxcosnxcos
 
 
O símbolo m,nδ é chamado delta de Kronecker, com 



≠
=
=δ
mn para 0
mn para 1
m,n . 
 
∫
pi
pi−
piδ=






=pi
≠
= m,n
mn para 
mn para 0
mxdxsennxsen . 
 
A outra relação de que precisamos é 0mxdxcosnxsen =∫
pi
pi−
. 
 
Para demonstrar as duas primeiras condições de ortogonalidade, podem-se utilizar as 
relações: 
[ ]]x)mncos[(]x)mncos[(
2
1
mxcosnxcos −++= , quando mn ≠ 
 
[ ]]x)mncos[(]x)mncos[(
2
1
mxsennxsen +−−= , quando mn ≠ . 
 
Para a última condição de ortogonalidade, usa-se: 
 
[ ]]x)mn[(sen]x)mn[(sen
2
1
mxcosnxsen −++= , quando mn ≠ . 
 
Todas essas integrais se anulam no intervalo ],[ pipi− . 
 
E finalmente, quando mn = , temos: 
 
∫ −= 4
x2sen
2
xdxxsen 2 e ∫ += 4
x2sen
2
xdxxcos2 . 
 
 Multiplicando-se a equação (59) por mxcos e integrando, tem-se: 
 
 6 
mxdxcos)nxsenbnxcosa(
2
a
mxdxcos)x(f
1
nn
0∫ ∫ ∑
pi
pi−
pi
pi−
∞






++= . 
 
O primeiro termo à direita, que contém 0a , anula-se porque a integral em cosseno é 
zero devido aos extremos simétricos. Considerando que podemos integrar dentro da 
somatória, então, 
 
)mxdxcosnxsenbmxdxcosnxcosa(mxdxcos)x(f n
1n
n ∫ ∫∫ ∑
pi
pi−
pi
pi−
pi
pi−
∞
=
+= . 
 
Pela relação de ortogonalidade dada acima, vemos que o segundo termo à direita, 
também se anula. Para o primeiro, a outra relação de ortogonalidade resulta em valor 
não nulo somente para nm = : 
 
∴pi==∫ ∫
pi
pi−
pi
pi−
n
2
n anxdxcosanxdxcos)x(f 
 
∫
pi
pi−
pi
= nxdxcos)x(f1a n ),3,2,1n( K= (61). 
 
 Multiplicando-se (59) por mxsen e integrando-se, podemos determinar nb : 
 
)mxdxsennxsenbmxdxsennxcosa(mxdxsen)x(f n
1n
n ∫ ∫∫ ∑
pi
pi−
pi
pi−
pi
pi−
∞
=
+= . 
 
Novamente, pelas relações de ortogonalidades entre as funções trigonométricas, tem-se: 
 
∴pi=== ∫∫∫
pi
pi−
pi
pi−
pi
pi−
n
2
nn bdxnxsenbnxdxsennxsenbnxdxsen)x(f 
 
∫
pi
pi−
pi
= nxdxsen)x(f1b n ),3,2,1n( K= (62). 
 
Esses são os coeficientes de Fourier e, quando a série trigonométrica tem seus 
coeficientes definidos desta forma, ela é chamada de série de Fourier. 
 
 O coeficiente 0a foi calculado separadamente, mas ele pode ser expresso 
utilizando-se a relação de na . Por esta razão foi que escrevemos a série trigonométrica 
com o fator ½ multiplicado 0a . Podemos, então, incorporar essas observações na 
fórmula de na : 
 
 7 
∫
pi
pi−
pi
= nxdxcos)x(f1a n ),3,2,1,0n( K= (63). 
 
 
∫
pi
pi−
pi
= nxdxsen)x(f1b n ),3,2,1n( K= (62). 
 
 Note cuidadosamente que a integração é realizada na variável contínua x, e que 
a soma corre sobre a variável discreta n. 
 
 
EXEMPLO 4.1. 
 Encontrar a série de Fourier para a “onda quadrada”, definida por 



pi≤<
<≤pi−
=
x0 se 1
0x se 1)x(f . Observe que foi dado o intervalo de comprimento 2π, porém, 
na figura representamos a extensão periódica para todo x real. 
 
 
 
Figura E 4.1 – Onda quadrada. 
 
SOLUÇÃO. 
[ ] 0]0)x(0[1xx1dx)1(1dx)1(1dx)x(f1a 000
0
0
0 =−pi+−−
pi
=+−
pi
=
pi
+−
pi
=
pi
= pi−
pi
pi−
pi
pi−
pi
pi−
∫∫∫ . 
 
∫∫∫
pi
pi−
pi
pi−
=
pi
+−
pi
=
pi
=
0
0
n nxdxcos)1(
1
nxdxcos)1(1nxdxcos)x(f1a 
 
00)n(sen)n(sen(
n
01
a
n
nxsen1
n
nxsen1
n
0
0
=



−pi+pi−−−
pi
=∴





pi
+





−
pi
=
pi
pi−
. 
 
A série não contém termos envolvendo cosseno porque todos os coeficientes que 
multiplicam esta função são nulos. 
 
=





+−
pi
=
pi
= ∫ ∫∫
pi−
pipi
pi−
0
0
n nxdxsen)1(nxdxsen)1(
1
nxdxsen)x(f1b 
 
 8 



 pi
−
pi
=



+
pi
−
pi−
−
pi
=








−
pi
=
pi
pi− n
ncos2
n
21
n
1
n
ncos
n
)(ncos
n
11
n
nxcos
n
nxcos1
0
0
. 
Neste ponto, a análise deve ser bastante cuidadosa (na última passagem usamos o fato 
que cosseno é uma função par, )cos()cos( α=α− . 
1 –se n é par, então 2ncos2 =pi e o resultado é nulo 0b n =∴ para n par. 
2 – se n é ímpar, então 
pi
=



pi
=∴−=pi
n
4
n
41b2ncos2 n para n ímpar. 
 
A série de Fourier para esta função é dada por: 
 
nxsen
n
4
x5sen
5
4
x3sen
3
4
xsen
4)x(f
,..5,3,1n
∑
∞
=
pi
=+
pi
+
pi
+
pi
= K . 
 
A somatória pode ser reescrita, observando que n sendo ímpar, ele é da forma 1k2 − 
com K,3,2,1k = . Então, a função pode ser representada por: 
 
x)1n2(sen)1n2(
4)x(f
1n
−
pi−
= ∑
∞
=
. 
 
COMENTÁRIOS: 
 Na figura E 4.1.1 representamos a função f(x) juntamente com os primeiros 
termos da série. x3sen
3
4SS ; xsen4S 121
pi
+=
pi
= . 
Todas as curvas, ,...,S ,S ,S 321 passam pelo ponto 0x = , embora a função não esteja 
definida neste ponto (veja a definição). Este é um resultado geral para séries de Fourier: 
nas descontinuidades a aproximação tende ao valor médio da função, e próximo a esses 
pontos, a amplitude de oscilação se torna maior ( chamado de fenômeno de Gibbs). 
 Na determinação dos coeficientes n0 a e a , calculamos todas as integrais. Isto 
não é necessário se considerarmos a paridade da função: é uma função ímpar (simétrica 
em relação à origem) e o produto dela com cosseno (par) resulta em uma função ímpar. 
 
 
 
Figura E 4.1.1. – A função original e alguns termos da série. 
 
Quando integrada em extremos simétricos,o resultado é zero. Portanto, não havia 
necessidade de se realizarem as integrações para na . 
 Finalmente, a série obtida permite determinar o valor de 
 9 
K+−+−
7
1
5
1
3
11 =
1n2
1)1(
1n
1n
−
−∑
∞
=
+
. 
 
Esta é uma série alternada, cujo valor de convergência foi descoberto geometricamente 
por Leibniz. Considere o ponto 1)2(f2x =pi∴pi= (veja o gráfico da função). Então, 
LL
5
14
3
1441)25(sen
5
4)23(sen
3
4)2(sen41 ×
pi
+×
pi
−
pi
=⇒+pi
pi
+pi
pi
+pi
pi
= . 




+−
pi
= K
5
1
3
1141 . Portanto, a série converge para 
4
pi
. 
 
 
EXEMPLO 4.2. 
 Encontrar a série de Fourier para a função periódica esboçada na figura E 4.2. 
 
 
 
Figura E 4.2 – Função periódica para este problema. 
 
SOLUÇÃO. 
Sempre aparecem dificuldades quando é dada a representação gráfica e precisa-se da 
forma analítica ou, dada a expressão matemática necessita-se de um gráfico. Para este 
problema, temos a primeira situação. 









pi<<
pi
pi≤≤pi−
pi
−<<pi−
=
x
2
 para 0
2
x
2
 para 1
2
x para 0
)x(f 
 
 A forma analítica da função mostra que, efetivamente, só precisamos integrar 
no intervalo [ ]2,2 pipi− . Observe que a função é par e, portanto, os coeficientes nb 
devem se anular. 
1
22
1
x
1dx)1(1a 2
2
2
2
0 =










 pi−
−
pi
pi
=
pi
=
pi
=
pi
pi−
pi
pi−
∫ . 
 
2
2
2
2
n
n
nxsen1
nxdxcos)1(1a
pi
pi−
pi
pi−






pi
=
pi
= ∫ 




 pi−
−
pi
pi
=
n
)2/n(sen
n
2/nsen1
. 
 
Como a função seno é ímpar, podemos escrever, 
 10 
 
[ ])2/n(sen
n
2
n
2/nsen
n
2/nsen1
a n pi
pi
=




 pi
+
pi
pi
= . Se n é par, o resultado se anula. 
 
Portanto, precisamos analisar somente o caso de n ser ímpar. 
 
12/5sen5n
123sen3n
12sen1n
=pi⇒=
−=pi⇒=
=pi⇒=
 
Então, a série procurada é da forma: 
 




−+−
pi
+=
−





pi
+





pi
−
pi
+=
K
K
x5cos
5
1
x3cos
3
1
xcos
2
2
1
 
x5cos
5
12
x3cos
3
12
xcos
2
2
1)x(f
 
 
( ) x)1n2cos()1n2(
21
2
1)x(f
1n
1n
−
pi−
−+= ∑
∞
=
−
. 
 
 Nesta série, só aparecem termos em cosseno; isto é de se esperar porque a 
função f(x) sendo par, o desenvolvimento deve conter termos pares. O coeficiente 
212a 0 = é uma reta horizontal passando pelo ponto ½ e representa a aproximação 
mais “pobre” da série que representa a função. 
 Se você fizer 0x = , encontrará a mesma série alternada do exemplo anterior. 
Observe que sempre a escolha recai sobre pontos para os quais a função é contínua; a 
escolha de um ponto de descontinuidade pode levar a um resultado paradoxal. Por 
exemplo, façamos 2x pi= . Então, a série é escrita como: 
 
[ ]
 !!!!!! 0
2
1
....0002
2
1
2
5
cos
2
3
cos
2
cos
2
2
11 =∴−+−
pi
=⇒



−
pi
+
pi
−
pi
pi
+= K 
 
Isto ocorre porque enquanto 1)2(f =pi , a série tem valor 21 (ponto médio da função). 
 
 
 Para os dois exemplos discutidos, consideramos uma função ímpar e outra par. 
Para a primeira encontraram-se somente os nb e, para a segunda, somente os na . 
Entretanto, existem funções que não possuem paridade definida, isto é, elas não podem 
ser caracterizadas nem como uma função ímpar e nem como uma função par. Nestes 
casos, é de se esperar que ambos os coeficientes estejam presentes na série de Fourier. 
O exemplo seguinte trata desse caso. 
 
EXEMPLO 4.3. 
 Dada a função ,2x0 para ,x)x(f 2 pi<<= 
a) esboce um gráfico da função, supondo que ela seja periódica; 
b) desenvolva f(x) em série de Fourier. 
 11 
 
SOLUÇÃO. 
a) O gráfico da função está representado na figura E 4.3. Observe que esta função não é 
par e nem ímpar: não possui simetria em relação ao eixo y e nem simetria em relação à 
origem. A única dúvida que poderia surgir seria quanto à função ser par. Se você 
observar o gráfico verá que para o ponto ε−pi= 2x o valor da função está próximo de 
24pi e, para o ponto ε+pi−=ε−pi−=− 2)2(x , o valor da função é quase nulo. Então, 
com o auxílio das curvas podemos concluir que )2x(f)2x(f ε+pi−=−≠ε−pi= . 
 
 
 
Figura E 4.3 - Gráfico da função periódica 2x)x(f = . 
 
Gostaríamos de estender um pouco mais a discussão acima. Se pretendêssemos 
mostrar analiticamente que )x(f)x(f −≠ , deveríamos ser mais cautelosos. O primeiro 
impulso é, simplesmente, obter 2)2( ε−pi e 2)2( ε+pi− , que por simetria dos termos 
entre parênteses, dá o mesmo resultado, 22 44 ε+piε−pi . Mas isto está errado! Se não 
estivesse, a função seria par, contrariamente à conclusão obtida através da análise 
gráfica. O equívoco está em considerar o ramo, à esquerda do eixo vertical, como sendo 
a mesma função 2x)x(f = . Este ramo tem dependência em x dada por: 
22 4x4x pi+pi+ (verifique isto). Se agora você substituir ε−pi= 2x no ramo à direita 
(descrito por 2x)x(f = ), e substituir ε+pi−=− 2x no ramo à esquerda (descrito por 
22 4x4x)x(f pi+pi+= ), ambos os resultados serão bem diferentes. Isto demonstra que 
)x(f)x(f −≠ , como já tínhamos concluído. Demonstra outra coisa também: devemos 
ter cautela ao analisar a paridade de uma função. 
 
 
b) Cálculo dos coeficientes. 
 
3
8
a
3
x1
adxx1a
2
0
2
0
3
0
2
0
2
0
pi
=∴





pi
=⇒
pi
=
pipi
∫ . 
 
=




 −
+
−
−
pi
=
pi
=
pipi ∗
∫
2
0
32
2
tabela2
0
2
n
n
)nxsen(2
n
)nxcos(
x2
n
nxsen
x
1
 nxdxcosx1a 
 
 ( ) 2n2 n
4
an2cos
n
41
=∴



pi−
pi
−
pi
= . 
 
 12 
=














+
−
−
−
pi
=
pi
=
pipi
∫
2
0
32
2
2
0
tabela
2
n
n
)nx(cos2
n
)nxsen(
x2
n
)nxcos(
x
1
nxdxsenx1b 
 
 =











+





−−




 −
pi
=
pi2
0
32
2
n
nxcos2
n
nxsen
x2
n
nxcos
x
1
 
 
 ⇒





−pi+−pi
pi
++pi−
pi−
pi
= ]1n2[cos
n
2]0n2sen[
n
4]0)n2cos[(
n
41
32
2
n
4b n
pi
−= 
 
Com esses coeficientes, podemos escrever o desenvolvimento de Fourier: 
 




+++pi−



++++
pi
= KK
3
x3sen
2
x2sen
xsen4
9
x3cos
4
x2cos
xcos4
3
4)x(f
2
. 
 
∑
∞
=



 pi
−+
pi
=
1n
2
2
nxsen
n
4
nxcos
n
4
3
4)x(f . 
 
Esta representação é válida para todo x do eixo real e não somente no intervalo [0,2π], 
uma vez que a função é periódica. 
 
∗ consultar uma tabela de integrais. 
 
 
 
EXEMPLO 4.4. 
 Encontrar a série de Fourier para a função 





pi≤≤pi
pi≤<
≤≤pi
=
 x2 se 0
2x0 se 1
0x- se 0
)x(f 
 
 
 
Figura E 4.4 – Gráfico de f(x). 
 
SOLUÇÃO. 
Como de costume, estamos considerando uma função periódica e, portanto, o 
desenvolvimento em série de Fourier é válido para qualquer x do eixo real. 
 A integração só se processa no intervalo ]2,0[ pi porque fora dele a função se 
anula. Uma conclusão rápida (e errada!) é que como =)x(f 1 é uma função par, então 
×1 seno é uma função ímpar e, portanto, a integral se anula. Daí, segue-se que todos os 
 13 
coeficientes na serão nulos. Sem precipitações: a integral só se anula se o intervalo forsimétrico, e, neste caso ele NÃO é simétrico. Teremos os na e os nb na série de 
Fourier. 
[ ]
2
1
2
1
ax
1dx)1(1a 020
2
0
0 =


pi
pi
=∴
pi
=
pi
=
pi
pi
∫ . 
 
)2n(sen
n
1
n
nxsen1
nxdxcos)1(1a
2
o
2
0
n pi
pi
=
pi
=
pi
=
pipi
∫ . Se n é par, o resultado é nulo. Se 
 
n é ímpar, 



=−
=
=
pi
K
K
3,5,7, n para 1
1,5,9,n para 1
2
n
sen . 
 
[ ]12ncos(
n
1
n
nxcos1
nxdxsen)1(1b
2
o
2
0
n −pi
pi
−=


−
pi
=
pi
=
pipi
∫ . 
 
Para n ímpar, 
pi
=∴=pi
n
1b0)2ncos( n (n ímpar). 
 
Para n par, 
 
)4,8,12,(n 0b4,8,12, n para 1
)2,6,10,(n 
n
2b2,6,10,n para 1)2ncos(
n
n




==⇒=
=
pi
=⇒=−
=pi
KK
KK
 
Resumindo, os valores de nb são dados por: 



=pi
pi
2,6,10,...n para n2
ímparn para n1
. 
Representamos então a função: 
 






++++++
pi
+
+



+−+−
pi
+=
K
K
7
x7sen
6
x6sen2
5
x5sen
3
x3sen
2
x2sen2
xsen
1
7
x7cos
5
x5cos
3
x3cos
xcos
1
4
1)x(f
 
 
 
 Todos os exemplos mostraram que é possível representar funções através de 
séries de Fourier. Mas será que toda função pode ser assim desenvolvida? Infelizmente, 
a resposta é não. Na próxima seção veremos de que maneira podemos fazer essa 
triagem, especificando algumas condições sob as quais a função pode ser representada 
por uma série de Fourier. 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS – SEÇÃO 4 
 
1 – Para cada uma das funções dadas, construa um gráfico primeiramente no intervalo 
],[ pipi− , e depois, faça-a periódica. 
 14 
a) x)x(f = ; b) xsen)x(f = ; c) xe)x(f −= ; d) 



pi<<
<<pi−
=
x0 se e
0x se 0)x(f
x-
 
 
2 – Encontrar as séries de Fourier para as funções abaixo, detalhando os cálculos. 
a) 
 
b) 
 
 
 
c) ,x1)x(f += se pi<<pi− x . Esboce um gráfico desta função no intervalo dado. 
 
d) 



pi<<
<<pi−
=
x0 sex cos
0x se 0)x(f . Esboce um gráfico no intervalo dado, e depois, faça-a 
periódica. 
 
e) 



pi<<
<<pi−
=
x0 sex 
0x se 0)x(f 
 
 
5 – CONDIÇÕES DE DIRICHLET E CONVERGÊNCIA 
 
 Na seção 1 (nota histórica), dissemos que o nome de Dirichlet está ligado às 
séries de Fourier devido às suas contribuições no desenvolvimento e fundamentação 
teórica relacionadas a estas séries. Entretanto, não existem, ainda, condições 
necessárias e suficientes estabelecidas. Dirichlet elaborou as condições suficientes para 
que uma função possa ser desenvolvida em série de Fourier. Isto significa que se a 
função cumpre certos requisitos, ela tem a representação de Fourier; porém, algumas 
funções que não obedecem a esses critérios, também podem ter sua série de Fourier. 
 
ALGUMAS DEFINIÇÕES. 
 
 1 – Uma função f(x), definida em um intervalo fechado [a,b], é chamada 
contínua por partes se esse intervalo pode ser dividido em um número finito de 
subintervalos tais que, em cada um deles, 
 ► a função f(x) é contínua, 
 ► f(x) possui limites finitos à esquerda e à direita nos extremos de cada subintervalo. 
 
 15 
 2 – A função f(x) é chamada suave por partes se ela é contínua por partes e sua 
primeira derivada é contínua por partes em cada subintervalo. 
 
 3 – Uma função é dita ser bastante suave por partes se ela é suave por partes e 
sua segunda derivada é contínua por partes. 
 
 
Figura 5.1 – Função contínua por partes no intervalo [a,b] . 
 
 
 
CONDIÇÕES DE DIRICHLET. 
 
Uma função definida em um intervalo fechado [a,b] satisfaz às condições de Dirichlet 
se ela: 
a) é contínua por partes; 
b) possui um número finito de descontinuidades finitas; 
c) possui um número finito de máximos e mínimos. 
 
Se uma função obedece a essas três condições, ela pode ser desenvolvida em série de 
Fourier, e sua convergência é uniforme em intervalos fechados nos quais a função é 
contínua. Para cada ponto de descontinuidade, 0x , a série converge para o valor médio 
da função, [ ])x(f)x(f
2
1
00
−+ + . Obviamente, se a função é contínua no ponto 0x , então os 
dois limites coincidem. 
 
Todos os exemplos discutidos na seção anterior satisfazem as condições de Dirichlet; 
adicionalmente, estas funções apresentam periodicidade e, portanto, as expansões em 
séries de Fourier são válidas para qualquer ponto do eixo x, e não somente em pontos 
restritos ao intervalo [-π,π]. Quando desenvolvemos uma função em série de Fourier, 
não encontramos uma série, mas sim, a série. Isto quer dizer que, uma vez determinada 
a série, ela é única. 
As condições estabelecidas acima são suficientes. Por exemplo, a função 
( )]2xln[cos)x(f = possui série de Fourier dada por nxcos
n
)1(2ln
1n
n
∑
∞
=
−
−− . Esta 
função claramente não satisfaz às condições de Dirichlet porque existem 
descontinuidades infinitas nos pontos pi± . 
Observe agora as duas funções 
x
1)x(f1 = e 
x
1
sen)x(f2 = . A primeira 
apresenta uma descontinuidade infinita na origem (portanto, não cumpre as condições 
de Dirichlet) e NÃO possui série de Fourier associada a ela. A segunda função NÃO 
tem um número finito de máximos e mínimos quando x se aproxima de zero: ela oscila 
violentamente na proximidade deste ponto. Também NÃO possui uma série de Fourier. 
 16 
Quando dizemos que a função não possui uma série de Fourier, significa que não se 
consegue estabelecer os coeficientes nn b e a e são esses coeficientes, em última 
instância, que caracterizam a série. 
 
 Em síntese, se você verificar que sua função satisfaz as condições acima, pode 
concluir que ela possui um desenvolvimento em série de Fourier. Porém, se a função 
não satisfaz os três critérios, não conclua nada. O primeiro exemplo, )2xcos(ln)x(f = , 
mostra isso. 
 
A função )x1(sen)x(f = oscila fortemente perto da origem: ela possui infinitos 
máximos e mínimos nesta região e tende a zero quando x cresce. Neste caso, não temos 
uma série de Fourier para a função porque ela não satisfaz às condições de Dirichlet no 
intervalo ),( pipi− . 
 
SOBRE A CONVERGÊNCIA 
 
 A representação da função f(x) dada por: 
 
∑
∞
=
++=
1n
nn
0 )nxsenbnxcosa(
2
a)x(f 
 
deve ser entendida como significando que a série converge em média para função, e não 
que converge pontualmente, no sentido de que, 
 
∑
∞
=
++=
1n
0n0n
0
0 )nxsenbnxcosa(2
a)x(f para todo 0x no intervalo ],[ pipi− . Isto é fácil 
perceber porque se mudamos o valor da função no ponto 0x , os coeficientes da série 
permanecem inalterados. 
 Mas, surpreendentemente, quando a função é razoavelmente bem comportada, 
a série converge para f(x) em todo ponto do intervalo. Os exemplos resolvidos nessa 
seção poderiam convencer (erroneamente) o leitor de que toda série converge 
pontualmente para o valor da função. O critério que permite concluir sobre a 
convergência pontual é enunciado a seguir. 
 
“Seja uma função contínua por partes e com primeira derivada também contínua por 
partes no intervalo [a,b]. Então, o desenvolvimento de f(x) em série de Fourier 
converge pontualmente nesse intervalo e tem valor 
 
2
)x(f)x(f 00 −+ +
.” 
 
Este é um dos teoremas mais importantes da teoria das séries de Fourier. 
 A expressão 
2
)x(f)x(f 00 −+ +
 nada mais é do que a média dos limites à esquerda 
e à direita da função no ponto 0x . Para pontos de continuidade, esse limite é igual a 
)x(f 0 . Se a função possui uma descontinuidade (finita, obviamente), a série converge 
para o valor médio da função. Estas conclusões podem ser verificadas analisando os 
 17exemplos resolvidos da seção anterior. A figura 5.2 mostra uma função contínua por 
partes e com primeira derivada contínua. 
 
 
 
Figura 5.2 – Função mostrando a situação discutida acima. 
 
 
 
6 – FUNÇÕES COM PERÍODO ARBITRÁRIO 
 
 Todas as funções analisadas até este ponto possuíam período 2π. Seria um 
desperdício se as séries de Fourier fossem válidas somente nesse intervalo, porque 
diversas funções periódicas apresentam períodos arbitrários. Entretanto, a transição para 
tratar tais funções é bastante simples. Existem duas possibilidades: a primeira é 
transformar a função de período p ou 2L (a nomenclatura não é uniforme) em outra 
função com período 2π e obter os coeficientes da forma convencional, como fizemos até 
agora. Isso equivale a uma mudança de escala no eixo x. Ao final dos cálculos, 
retornamos a função original f(x). A segunda alternativa é preservar a função com seu 
período arbitrário, e mudar os argumentos das funções seno e cosseno. Este 
procedimento é o mais utilizado para se obter a série de Fourier. Vamos analisar ambos 
e fica a critério do leitor a escolha mais conveniente. Como alerta, fica registrado que o 
uso de ambos, simultaneamente, não funciona. 
 
1º MÉTODO. 
 Se f(x) tem período p (diferente de zero), temos )x(f)px(f =+ . Então, a 
substituição t
2
p
x
pi
=
 transforma f(x) em outra função 





pi
= t
2
pf)t(g . Esta nova 
função, g(t), tem período 2π: 






pi+
pi
=pi+ )2t(
2
pf)2t(g = 





+
pi
pt
2
pf . Como xt
2
p
=
pi
, podemos escrever: 
 






pi
==+=pi+ t
2
pf)x(f)px(f)2t(g ).t(g)2t(g =pi+⇒ 
 
 A mudança da variável x para a variável t corresponde simplesmente a uma 
mudança de escala. Desde que g(t) tem período 2π, podemos obter os coeficientes da 
série, usando o mesmo procedimento já conhecido e escrever: 
 
∑
∞
=
++=
1n
nn
0 )ntsenbntcosa(
2
a)t(g
 (64) 
 
Os coeficientes são dados, novamente, por: 
 18 
 
dtntcos)t(g1a n ∫
pi
pi−
pi
=
 ( K,2,1,0n = ) 
 
 ∫
pi
pi−
pi
= ntdtsen)t(g1b n ( K,3,2,1n = ). 
 
Se agora t é substituído por x
p
2pi
, encontramos a expansão de Fourier para 
f(x): 
 
∑
∞











 pi
+




 pi
+=
1
nn
0 x
p
n2
senbx
p
n2
cosa
2
a)x(f
 (65) 
 
A expressão é consistente: se pi= 2p , recuperamos a relação estabelecida na seção 4 
para a função f(x). 
Alguns autores usam a notação 2L para caracterizar o período, e com esta nomenclatura, 
podemos escrever a relação acima: 
 
∑
∞
=











 pi
+




 pi
+=
1n
nn
0 x
L
n
senbx
L
n
cosa
2
a)x(f
 (66) 
 
EXEMPLO 6.1. 
 Achar a representação em série de Fourier para a função 1x2)x(f += , 
definida no intervalo [0,2]. 
 
SOLUÇÃO. 
O período p vale 202xx if =−=− . 
Usando a substituição 
pi
=⇒
pi
=
t
x
2
pt
x , a função g(t) é dada por: 
 
.1t21t2)t(g +
pi
=+





pi
= 
 
 
Figura E 6.1 – As funções f(x) e g(t). 
 
 19 
O desenvolvimento que iremos obter é válido somente no intervalo dado. Se tivermos a 
informação adicional de que a função é periódica em todo eixo, então a expansão se 
torna válida para todo x no intervalo ),( ∞−∞ . 
 
6241tt1dt1t21a
22
0
22
0
0 =





pi+
pi
pi
pi
=





+
pipi
⇒





+
pipi
=
pipi
∫ . 
 
=





+
pipi
=





+
pipi
=





+
pipi
= ∫ ∫ ∫∫
pi pi pipi 2
0
2
0
2
0
2
0
n ntdtcosntdtcost
21dtntcosntcost21dtntcos1t21a 
 
= +



+
pi
pi+−
pi
pi
=
pi
+





+
pi
pipi
0
n
n2sen2
n
0cos
n
n2cos2
n
ntsen1
n
nttsen
n
ntcos2
222
2
0
2
0
22 
 
0a01
n
1
n
12
a0
n
n2sen21 n222n =∴×pi
+





−
pi
=⇒



−
pi
pi
pi
+ ( ,...3,2,1n = ). 
 
=+
pipi
=



+
pipi
= ∫∫
pipi
dt)ntsenntsent2(1ntdtsen1t21b
2
0
2
0
n =
pi
+
pi ∫∫
pipi 2
0
2
0
2 ntdtsen
1
ntdtsent2 
 
pipi
pi
−





−
pi
=
2
0
2
0
22 n
ntcos1
n
ntcost
n
ntsen2
pi
−=⇒



pi
pi
−
pi
=
n
4bn2cos
n
22
n2 . 
A função g(t) pode então ser escrita: 
 
∑
∞
=
pi
−=
1n n
ntsen43)t(g . 
 
Para escrever a f(x), basta substituir xt pi= na expressão acima. Portanto, 
 
∑
∞
=
pi
pi
−=
1n n
xnsen43)x(f . 
 
A função constante 32ay 0 == determina área nula entre ela e a função. A porção 
abaixo da reta horizontal é a mesma da porção acima. Use o gráfico da figura E 6.1 para 
 representar a situação descrita. Esta é a razão pela qual uma função ímpar tem o termo 
independente nulo. Deixamos para o leitor fazer a extensão periódica da função f(x). 
 
 
 
 2º MÉTODO. 
 Vamos supor que a função periódica tenha período L2p = . A mesma relação 
obtida no 1º MÉTODO será utilizada: 
 
 20 
∑
∞
=











 pi
+




 pi
+=
1n
nn
0 x
L
n
senbx
L
n
cosa
2
a)x(f
 (67) 
 
Entretanto, em vez de se definir uma nova função g(t) e calcular os coeficientes usando 
esta função, podemos considerar a própria f(x) e expressar os resultados: 
 
dx
L
xn
cos)x(f
L
1
a
L
L
n ∫
−
pi
=
 ,...)2,1,0n( = (68) 
 
∫
−
pi
=
L
L
n dxL
xn
sen)x(f
L
1b
 ...)3,2,1n( = (69) 
 
 A diferença fundamental entre essas relações e aquelas obtidas no 1º 
MÉTODO é que, aqui, a substituição acontece nos argumentos das funções 
trigonométricas, preservando a forma original da função f(x). A escolha do intervalo 
simétrico ]L,L[− não é essencial: para f(x) periódica com período 2L, qualquer 
intervalo )L2x,x( 00 + pode ser usado para se calcular os coeficientes: 
 
dx
L
xn
cos)x(f
L
1
a
L2x
x
n
0
0
∫
+
pi
=
 ( ...2,1,0n = ) (70) 
 
∫
+
pi
=
L2x
x
n
0
0
dx
L
xn
sen)x(f
L
1b
 ( ....3,2,1n = ) (71) 
 
 
EXEMPLO 6.2. 
 Resolver o exemplo anterior pelo 2º MÉTODO. 
 
SOLUÇÃO. 
O período 1L2L2p =∴== . Como o intervalo não é simétrico, usaremos as relações 
acima para calcular os coeficientes: 
 
624xxdx)1x2(
1
1
a
2
0
2
o
2
2
0
0 =+=+=+= ∫ . 
 
∴





pi
pi
+





pi
pi
+
pi
pi
=
pi
=
pi
+= ∫∫
2
0
2
0
22
2
0
2
0
n
n
xnsen
n
xnxsen
n
xncos2dx
1
xn
cosx2dx
L
xn
cos)1x2(
1
1
a 
 
0
n
1n2cos2a 22n =



pi
−pi
= . 
 
 21 
∴



pi
pi
−





pi
pi
−
pi
pi
=
pi
=
pi
+= ∫∫
2
0
2
0
22
2
0
2
0
n
n
xncos
n
xncosx
n
xnsen2dx
1
xn
xsen2dx
1
xn
sen)1x2(
1
1b 
pi
−=⇒
pi
pi−
=
n
4b
n
n2cos22b nn . 
 
A representação em série de Fourier de f(x) é dada por: 
 
∑
∞
=
pi
pi
−=
1n n
xnsen43)x(f . 
O mesmo resultado anterior. 
 
 
 Este último exemplo mostra que o 2º MÉTODO é capaz de gerar o resultado 
mais rapidamente, pois não há necessidade de, no final, redefinir a função f(x) a partir 
de g(t) como é feito no 1º MÉTODO. A escolha de um método ou de outro fica a 
critério do leitor. 
 No início desta seção, alertamos para que não sejamusados os dois métodos 
simultaneamente. Isto significa que muitas vezes ocorre uma justaposição no seguinte 
sentido: o estudante utiliza uma relação na qual o integrando é composto por uma 
função f(x) de período 2π, multiplicada por uma função trigonométrica cujo argumento 
é da forma Lxnpi . Este procedimento não pode funcionar. Ou transformamos a f(x) 
para outra função g(t) de período 2π e não alteramos as funções seno e cosseno (1º 
método), ou bem preservamos a f(x) em sua forma original e mudamos os argumentos 
das funções trigonométricas (2º método). A sugestão é que o leitor, ao fazer uma 
escolha por um dos MÉTODOS, resolva certo número de problemas com o objetivo de 
adquirir confiança nos cálculos e dominar a técnica escolhida. 
 
 
EXEMPLO 6.3. 
 Desenvolver a função do exemplo 4.1 (onda quadrada) no intervalo ]1,1[− . 
 
SOLUÇÃO. 
Usaremos o 2º método. Intuitivamente, podemos esperar um resultado diferente daquele 
já obtido para o intervalo ],[ pipi− ? Isto é, a série de Fourier se modifica quando muda-se 
o intervalo? Vamos efetuar os cálculos para concluir algo a respeito. 
 
1L2)xx(L2p if =⇒=−== . 
 
001)1(0xxdx)1(dx)1(dx)x(fa
1
1
0
1
1
0
1
0
0
10 =−++−=+−=+−== ∫ ∫ ∫
− −
−
. 
 
∫ ∫ ∫
− −
=pi+pi−=pi=
1
1
0
1
1
0
n xdxncos)1(xdxncos)1(xdxncos)x(fa 
 
 22 
 0a0
n
nsen
n
)(nsen0
n
xnsen
n
xnsen
n
1
0
0
1
=⇒+
pi
pi
−
pi
pi−
−=
pi
pi
−
pi
pi
=
−
. 
∫∫ ∫ =pi+pi−=pi=
− −
1
0
1
1
0
1
n xdxnsen)1(xdxnsen)1(xdxnsen)x(fb 
 
 
[ ]n1
0
0
1
)1(1
n
2
n
1
n
ncos
n
)(ncos
n
1
n
xncos
n
xncos
−−
pi
=
pi
+
pi
pi
−
pi
pi−
−
pi
=
pi
pi
−
pi
pi
=
−
. 
 
Para n par, o resultado é nulo; para n ímpar, 
pi
=
n
4b n . 
Então, f(x) pode ser desenvolvida na seguinte série de Fourier: 
 
x)1n2(sen)1n2(
14
...x5sen
5
1
x3sen
3
1
xsen
4)x(f
1n
pi−
−pi
=



+pi+pi+pi
pi
= ∑
∞
=
. 
 
Quase o mesmo resultado obtido no exemplo 4.1, exceto pelo fator xpi . Portanto, 
mudando-se o intervalo, a representação também se altera. 
 
 
 
EXEMPLO 6.4. 
 Encontrar a representação em série de Fourier da função (onda triangular): 



≤≤−
≤≤+
=
 2x0 para x2
0x2- para x2)x(f . 
 
SOLUÇÃO. 
O gráfico da função f(x), juntamente com sua extensão periódica, está esboçado na 
figura E 6.4. É sempre conveniente observar o comportamento gráfico para perceber o 
que está acontecendo com os coeficientes que devem ser calculados. 
 
 
 
Figura E 6.4 – A função f(x) com seu comportamento periódico. 
 
Período da função: 2L4)xx(L2p if =∴=−== 
 
=





−+





+=








−++==
−−−
∫ ∫∫
2
0
20
2
20
2
2
0
2
2
0 2
x
x2
2
1
2
x
x2
2
1dx)x2(dx)x2(
2
1dx)x(f
2
1
a 
 
 23 
 2a
2
4)2(2
2
1
2
4)2(2
2
1
0 =∴



−+



−−−= . 
 
A reta horizontal 12ay 0 == e a curva de f(x) determinam áreas iguais abaixo e acima 
da curva. 
 
 
Figura E 6.4.1 – Áreas compreendidas entre a reta horizontal e a função f(x). 
 





 pi
−+
pi
+=




 pi
= ∫ ∫∫
−−
dx
2
xn
cos)x2(dx
2
xn
cos)x2(
2
1dx
2
xn
cos)x(f
2
1
a
0
2
2
0
2
2
n = 
 
 




 pi
−
pi
+
pi
+
pi
= ∫ ∫ ∫ ∫
− −
0
2
0
2
2
0
2
0
dx
2
xn
cosxdx
2
xn
cos2dx
2
xn
cosxdx
2
xn
cos2
2
1
. 
 
A primeira integral e a terceira podem ser agrupadas em uma única, com os extremos 
variando de 2 a 2− . Isto corresponde a um período e, portanto, o resultado é nulo. 
Restam, então, as integrais para se obter na : 
 






pi
−
pi
pi
−





pi
pi
−
pi
=




 pi
−
pi
∫ ∫
−
2222
0
2
2
0 )2n(
1
)2n(
ncos
2
1
)2n(
ncos
)2n(
1
2
1dx
2
xn
cosxdx
2
xn
cosx
2
1
 
 
[ ]



pi
=−−+−−
pi
=∴
ímparn para n8
parn para 0)1(1)1(1)n(
2
a 22
n2
2n . 
 
dx
2
xn
sen)x(f
2
1b
2
2
n ∫
−
pi
= =




 pi
−+
pi
+= ∫ ∫
−
0
2
2
0
dx
2
xn
sen)x2(dx
2
xn
sen)x2(
2
1
 
 
 0b
2n
ncos2
4n
nsen
2n
)1(ncos2
4n
)1(nsen
2
1
n2222 =⇒





pi
pi
+
pi
pi
−
pi
−pi
−
pi
−pi−
= . 
 
A série de Fourier para a função f(x) pode, então, ser escrita: 
 
2
x)1n2(
cos)1n2(
181
2
xn
cos
n
181)x(f
1n
22
ímpar n
22
pi−
−pi
+=
pi
pi
+= ∑∑
∞
=
∞
. 
 
 24 
Note que neste caso a convergência da série é mais rápida do que nos casos anteriores, 
porque aqui se tem o fator 2n
1
 no denominador. Este fato está ligado à continuidade da 
função no intervalo (incluindo os extremos). 
Usando o resultado acima e o fato que 2)0(f = , mostre que 
∑
∞
=
=
−1n
2)1n2(
1 8251911 2pi=+++ K . 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS – SEÇÃO 6. 
 
Para cada uma das funções seguintes, representá-las graficamente no intervalo dado e 
fazer sua extensão periódica. Após, achar sua série de Fourier. 
a) 2x2 para x)x(f <<−= . 
 
b) 4x4 para x)x(f <<−= 
 
c) 



<<−
<<
=
2x1 sex 1
1x0 se x)x(f . 
 
d) 2x0 para x)x(f 2 <<= . 
 
e) 1x0 para xsen)x(f <<pi= . 
 
 
7 – FUNÇÕES PARES E ÍMPARES – EXTENSÕES 
 
 Em vários exemplos utilizamos as características das funções para obter as 
séries de Fourier correspondentes e com isso, evitamos cálculos desnecessários, fonte 
permanente de erros. Especificamente, esta economia é conseguida observando-se a 
paridade da função. Na primeira parte desta seção, estaremos relembrando os conceitos 
de funções pares e ímpares; na segunda, obteremos suas extensões quando a função é 
definida somente em um intervalo, por exemplo, na região positiva do eixo x. 
 Gostaríamos de ressaltar dois pontos muito importantes que, embora já tenham 
sido comentados, é sempre bom não serem esquecidos sobre o desenvolvimento de uma 
função em série de Fourier. 
 – Dada uma função em certo intervalo, sua representação em série de Fourier só é 
válida neste intervalo. Fora dele, nada pode ser afirmado ou concluído. Somente se 
tivermos a informação adicional de que a função é periódica, pode-se concluir que o 
desenvolvimento é válido para todo eixo real. 
– Os coeficientes (chamados de coeficientes de Euler-Fourier), para uma função 
periódica, podem ser obtidos usando-se quaisquer dois pontos cujo intervalo seja 
caracterizado por um período. Se a função é periódica com período 2π, os coeficientes 
são dados por: 
 
 25 
dxnxcos)x(f1a
2x
x
n
0
0
∫
pi+
pi
=
 ...3,2,1,0n( = ) 
 
∫
pi+
pi
=
2x
x
n
0
0
dxnxsen)x(f1b
 ,..)3,2,1n( = . 
 
Se a função é periódica com período 2L, os coeficientes podem ser determinados por: 
 
 
dx
L
xn
cos)x(f
L
1
a
L2x
x
n
0
0
∫
+
pi
=
 ...3,2,1,0n( = ) 
 
∫
+
pi
=
L2x
x
n
0
0
dx
L
xn
sen)x(f
L
1b
 ,...)3,2,1n( = . 
 
 
FUNÇÃO PAR (simétrica em relação ao eixo y). 
 Dizemos que uma função f(x) é par se )x(f)x(f =− para qualquer valor de x. 
Esta definição deixa implícito que a variável x assume qualquer valor do eixo real. 
 
FUNÇÃO ÍMPAR (simétrica em relação à origem). 
 Diz-se que uma função f(x) é ímpar se )x(f)x(f −=− para qualquervalor de 
x. Novamente, está implícito que a variável pode assumir qualquer valor do eixo real. 
 
Algumas propriedades sobre funções pares e ímpares. 
 
I – O produto de duas funções pares resulta em outra função par: 
 
)x(h)x(h)x(h)x(g)x(f)x(g)x(f)x(h)x(g)x(f)x(h =−∴==−−=−⇒≡ . 
 
II – O produto de duas funções ímpares é uma função par: 
 
)x(h)x(h)x(g)x(f)]x(g)[x(f)x(g)x(f)x(h)x(g)x(f)x(h =−∴=−−=−−=−⇒≡ . 
 
III – O produto de uma função par f(x), por uma ímpar g(x) resulta em uma função 
ímpar: 
 
)x(h)x(h)x(g)x(f)]x(g)[x(f)x(g)x(f)x(h)x(g)x(f)x(h −=−∴−=−=−−=−⇒≡ . 
 
IV – A única função que simultaneamente é par e ímpar é a função nula. 
Se f(x) é par ( por hipótese), então )x(f)x(f =− (a). 
Se f(x) é ímpar (por hipótese), então )x(f)x(f −=− (b). 
Subtraindo (b) de (a) 0)x(f0)x(f2 =∴=⇒ para qualquer x. 
 
 26 
V – Qualquer função f(x), definida para todo x, pode ser escrita como uma combinação 
linear de funções pares e ímpares, da forma: 
[ ] [ ])x(f)x(f
2
1)x(f)x(f
2
1)x(f −−+−+= , sendo o primeiro termo par, e o segundo, 
ímpar. Por exemplo, xe não é nem par e nem ímpar, mas pode ser escrita como: 
 
[ ] [ ] xsenhxcoshee
2
1
ee
2
1
e xxxxx +=−++= −− . 
 
 
 As três primeiras propriedades podem ser utilizadas para se concluir sobre a 
paridade de um produto que envolva qualquer número de funções pares e ímpares. 
 
Podemos, então, aplicar o que foi estabelecido acima para o cálculo dos coeficientes da 
série de Fourier. 
 . 
Para f(x) PAR: 
Na determinação de na , o integrando é um produto de duas funções: )x(senocos)x(f . 
Por (I), este produto é par. Considerando ainda que os extremos sejam simétricos, a 
expressão para o coeficiente na é dada por: 
 
dx
L
xn
cos)x(f
L
12adx
L
xn
cos)x(f
L
1
a
L
0
n
L
L
n ∫∫
pi
=⇒
pi
=
−
 ...)2,1,0n( = . 
 
O coeficiente nb envolve o integrando f(x)sen(x), que por (III) é ímpar, e como os 
extremos de integração são simétricos, 0b n ≡ para todo n. 
 
Então, a série de Fourier, para função f(x) PAR, é dada por: 
 
∑
∞
=
pi
+=
1n
n
0
L
xn
cosa
2
a)x(f
 (72) 
 
Este desenvolvimento é chamado de série de Fourier em cosseno. 
 
Para f(x) ÍMPAR: 
Para na , o integrando é formado pelo produto f(x) cosseno(x) que é uma função ímpar 
(relação II). Como os extremos são simétricos, a integral se anula e temos 0a n ≡ para 
todo n. 
Para nb , o integrando é composto pelo produto )x(seno)x(f , que é uma função par 
segundo a relação (II). Com os extremos de integração simétricos, temos: 
 
∫ ∫
−
pi
=⇒
pi
=
L
L
L
0
nn dxL
xn
sen)x(f2bdx
L
xn
sen)x(f
L
1b ...)3,2,1n( = . 
 
 Neste caso, a função ÍMPAR f(x) pode ser escrita: 
 
 27 
∑
∞
=
pi
=
1n
n L
xn
senb)x(f
 (73) 
 
Esta relação é conhecida como série de Fourier em seno. 
 
Se o intervalo é ],[ pipi− , basta trocar L por π em todas as expressões acima. 
 
EXTENSÕES PARES E ÍMPARES 
 
 Nas aplicações da teoria das séries de Fourier, precisamos muitas vezes obter 
um desenvolvimento de uma função contínua por partes e definida apenas no intervalo 
).L,0( Podemos, então, estender esta função ao intervalo )L,L(− , de tal modo que esta 
nova função coincida com a antiga em ).L,0( Existem, literalmente, infinitas maneiras 
de se fazer isto; porém, duas delas se apresentam mais frequentemente nas aplicações. A 
primeira é chamada de extensão PAR da função f(x), representada por )x(Pf e definida 
por: 



<<−
<<
=
0xL para f(-x)
Lx0 para )x(f)x(Pf . 
 
A segunda é chamada extensão ÍMPAR de f(x), representada por )x(I f e definida por: 
 



<<−−−
<<
=
0xL para )x(f
Lx0 para )x(f)x(I f . 
 
 Embora a extensão gráfica seja útil para visualizar o problema, nos cálculos 
dos coeficientes precisamos da forma analítica da função. O exemplo seguinte mostra 
como obter as extensões. 
 
 
EXEMPLO 7.1. 
 Encontrar as extensões par e ímpar da função 2x)x(f = definida inicialmente 
no intervalo (0,2). Esboce os gráficos em ambos os casos. Esboce também algumas 
extensões que não são nem par e nem ímpar. 
 
SOLUÇÃO. 
Note, primeiramente, que nada foi dito sobre o período da função. Se nos ativermos a 
que o intervalo (0,2) é o período, então nada há a se fazer. O problema está 
completamente resolvido no exemplo 4.3, usando o intervalo )2,0( pi . 
Entretanto, queremos encontrar as extensões par e ímpar para f(x). Isto significa que o 
intervalo deve ser estendido a (-2,2). 
Extensão par: 
 




<<−−
<<
=
0x2 para )x(
2x0 para x)x(P
2
2
f 
2
f x)x(P =∴ , para todo x no intervalo )2,2(− . 
 
Extensão ímpar: 
 28 




<<−−−
<<
=
0x2 para )x(
2x0 para x)x(I
2
2
f 




<<−−
<<
=∴
0x2 para x
2x0 para x)x(I
2
2
f . 
 
 
 
Figura E 7.1 – Gráficos de )x(Pf , de )x(I f e de algumas outras possíveis extensões. 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 7.2 
 Construa a extensão ÍMPAR da função x)x(f −pi= , definida no intervalo 
),0( pi . Esboce um gráfico de )x(I f , considerando que ela seja periódica. Obtenha a 
representação de Fourier desta função. 
 
SOLUÇÃO. 



<<pi−−pi−=−−pi−=−−
pi<<−pi=
=
0x para x)]x([)x(f
x0 para x)x(f)x(I f . 
 
Como a função é ímpar, só teremos os coeficientes nb . 
Supondo que a função )x(I f seja periódica em todo eixo real, o gráfico fica da seguinte 
forma: 
 
 
Figura E 7.2 – Gráfico de )x(I f periódica. 
 
∫ ∫∫∫
pi pipipi
pi−
=
pi
−=−pi
pi
⇒
pi
=
0 o0
fn nxdxxsen
2
nxdxsen2nxdxsen)x(2nxdxsen)x(I1b 
 
 29 
 =
pipi
pi
+



−
pi
−=





−
pi
−



−=
pipi
n
ncos2
n
1
n
ncos2
n
xcoxnx
n
nxsen2
n
nxcos2
0
2
0
 
 
 
( )
n
2b
n
)1(2
n
2
n
12b
n
)1(2
n
1
n
)1(2 n
nn
n
nn
=∴
−
++
−
−=⇒
−
+





−
−
−= 
 
A série de Fourier pode ser escrita como 
 
∑
∞
=
=
1n
f
n
nxsen2)x(I . 
 
 
 
EXEMPLO 7.3. 
 Encontrar as séries de Fourier para as extensões par e ímpar do exemplo 7.1, 
supondo que ambas sejam periódicas com período fundamental )2,2(− . 
 
SOLUÇÃO. 
As expansões que iremos determinar são válidas para todo o eixo real. 
Para 2f x)x(P = , somente os coeficientes na devem estar presentes, enquanto todos os 
nb são nulos. 
 
∫∫ =∴==
−
2
0
0
2
2
2
2
0 3
8
adxx
2
12dxx
2
1
a . 
 
⇒
pi
=∴
pi
=
pi
= ∫∫∫
−
dx
2
xn
cosxadx
2
xn
cosx
2
12dx
2
xn
cosx
2
1
a
2
0
2
n
2
0
2
2
2
2
n 
 
∴pi
pi
=
pi






pi
−
pi
+
pi
pi
= ncos)2/n(
4
2
xn
sen)2/n(
2
2/n
x
2
xn
cos)2/n(
x2
a 2
2
0
3
22
0
2n 
22
n
n
n
16)1(a
pi
−= . 
 
Para a extensão par de f(x) podemos, então, escrever a série: 
 
2
xn
cos
n
)1(16
3
4
2
xn
cosa
2
a)x(P
1n
2
n
2
1n
n
0
f
pi−
pi
+=
pi
+= ∑∑
∞
=
∞
=
. 
 
Observe que a expansão converge rapidamente devido ao fator 2n1 . 
 30 
Qual é o valor de ....
25
1
9
1
4
11 +−+− ? Para responder a esta questão, devemos nos 
lembrar de que a série passa pelo ponto 0x = porque a função é contínua neste ponto e 
tem valor nulo. Para 1
2
xn
cos ,0x =pi= Então, 
 
∴





+−+−
pi
−=−⇒





+−+−
pi
+= LL
25
1
9
1
4
1116
3
4
25
19
1
4
1116
3
40 22 
 
1225
1
9
1
4
11
2pi
=





+−+− L . 
 
Para )x(I f , somente os coeficientes nb devem constar na série. 
 
=
















−+=⇒= ∫
2
0
2
3
2
0
2n
2
0
2
n 2
xπn
cos
2/πn
x
)2/πn(
2
2
xπn
sen
)2/πn(
x2bdx
2
xπn
senx
2
12b 
 
 ⇒−−





−=−





−= 3
n
333 )2/πn(
2)1()2/πn(
4
)2/πn(
2
)2/πn(
2
πncos)2/πn(
4
)2/πn(
2
 
 
3
n
3n )πn(
16)1(
πn
8
)πn(
16b −−





−= . 
 
Para n par: 
πn
8b n −= ),6,4,2n( K= . 
 
Para n ímpar: 3n )πn(
32
πn
8b −= ),5,3,1n( K= . 
 
A extensão ímpar pode ser escrita como: 
 
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−+−=
..5,3,1n
33
..5,3,1n..6,4,2n
f 2
xπn
sen
n
1
π
32
 
2
xπn
sen
n
1
π
8
 
2
xπn
sen
n
1
π
8)x(I . 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS – SEÇÃO 7. 
 
1 – Determine quais das funções são pares, quais são ímpares e quais não possuem 
paridade. Esboce um gráfico para as pares e para as ímpares. 
a) x2senx 2 b) xx 2 − c) 2x2ex − d) xe e) xsenx 2 − f) xsenhx − . 
 
2 – Calcule a integral ∫
−
−
3
3
x5 dxx2cosex
2
. 
 31 
 
3 – Determine as extensões pares e ímpares das funções definidas em [0,L): 
a) x2 exsenx + b) 1x3xx 23 −++ c) xcosx
x
xsen
+ d) xxsenh + . 
 
4 – Represente as funções como a soma de uma função par e uma ímpar. 
a) x2e− b) 
x1
x
−
 c) 
x1
x1
−
+
. 
 
5 – Desenvolva a função x)x(f +pi= ( pi<< x0 ) em série de Fourier em cossenos. 
 
6 – Expresse a função 



−
=
x2
x)x(f )2x1(
)1x0(
<<
<<
 em série de Fourier em senos. 
 
7 – Representar a função xe)x(f = para Lx0 << em série de Fourier em cossenos. 
 
 
8 – FORMA COMPLEXA DA SÉRIE DE FOURIER 
 
 Séries de Fourier podem ser escritas em forma complexa que, em certos casos, 
pode simplificar os cálculos. Usando a fórmula de Euler, com x sendo substituído por 
nx, podemos escrever: 
 
nxisennxcose inx +=
 (74) 
 
nxisennxcose inx −=−
 (75) 
 
Somando-se essas duas expressões, obtém-se nxcos em termos de exponenciais 
complexas: 
 
)ee(
2
1
nxcos inxinx −+= (76) 
 
Subtraindo-se as duas obtém-se a função nxsen em termos de exponenciais complexas: 
 
)ee(
2
i)ee(
i2
1
nxsen inxinxinxinx −− −−=−= (77) 
 
Substituindo-se essas duas relações na expressão nxsenbnxcosa nn + obtemos: 
 
)ee(ib
2
1)ee(a
2
1
nxsenbnxcosa inxinxn
inxinx
nnn
−− +−+=+ 
 
nxsenbnxcosa nn +
inx
nn
inx
nn e)iba(2
1
e)iba(
2
1
−++−= . 
 
 32 
A série de Fourier pode, então, ser escrita na forma complexa: 
 
)edec(c)x(f
1n
inx
n
inx
n0 ∑
∞
=
−++=
 (78) 
 
na qual 
2
a
c 00 = , )iba(2
1
c nnn −= e )iba(2
1d nnn += . 
 
 Os coeficientes nn d e c são dados por: 
 
[ ] ⇒−
pi
=−= ∫
pi
pi−
dxnxisennxcos)x(f
2
1)iba(
2
1
c nnn 
 
∫
pi
pi−
−
pi
= .dxe)x(f
2
1
c inxn (79) 
 
[ ] ⇒+
pi
=+= ∫
pi
pi−
dxnxisennxcos)x(f
2
1)iba(
2
1d nnn 
 
∫
pi
pi−
pi
= dxe)x(f
2
1d inxn (80) 
 
Podemos combinar as duas expressões dos coeficientes em uma única: trocando-se n 
por n− na expressão de nc , temos os coeficientes nd . Ou seja, escrevendo nn cd −= , a 
série de Fourier pode ser escrita de forma compacta: 
 
∫
∑
pi
pi−
−
∞
∞−
pi
=
=
dxe)x(f
2
1
c
ec)x(f
inx
n
inx
n
 , com K,2,1,0n ±±= . (81) 
 
 Estabelecida a forma complexa, podemos expressar a série de Fourier em 
termos das funções trigonométrica reais seno e cosseno. Para isto, precisamos obter os 
coeficientes na e nb a partir dos nc . O Exemplo 8.1 mostra duas maneiras de como é 
possível obter os coeficientes reais, usando o coeficiente complexo nc . 
 
A soma de a ∞+∞− que aparece na representação de f(x) é para ser entendida como a 
soma de duas séries: 
∑ ∑∑
∞
=
∞
=
−
−
∞
∞−
+=
0n 1n
inx
n
inx
n
inx
n ececec (82) 
 
 33 
Esta é a forma complexa das séries de Fourier para a função real f(x). Se a função tiver 
período L2p = , as expressões ficam modificadas da seguinte maneira: 
 
∫
∑
−
pi
∞
∞−
pi
=
=
L
L
Lxin
n
Lxin
n
dxe)x(f
L2
1
c
ec)x(f
 (83) 
 
 
EXEMPLO 8.1 
 Encontrar a série de Fourier para a função real xe)x(f = no intervalo ( )pipi− , . 
A partir desta expressão, obtenha a forma usual da série de Fourier. 
 
SOLUÇÃO 
Precisamos calcular os coeficientes nc , porém vamos observar primeiramente que: 
nxisennxcose inx ±=± e para n inteiro, nin )1(ncose0nsen −=pi=∴=pi pi± . 
 
Então, 
pi
pi−
−
pi
pi−
−
pi
pi−
−
−pi
=
pi
=
pi
= ∫∫
x)in1(x)in1(inxx
n ein1
1
2
1dxe
2
1dxee
2
1
c 
 
 
ninxx )1)(ee()in1(
1
2
1
ee
in1
1
2
1
−−
−pi
=
−pi
=
pi−pipi
pi−
−
. 
 
Mas, pi=− pi−pi senh2ee e 2n1
in1
)in1)(in1(
in1
in1
1
+
+
=
+−
+
=
−
. Portanto, a expressão para 
nc é dada por: 
 
pi
pi
+
+
−=
senh
n1
in1)1(c 2nn . 
 
Este coeficiente permite escrever a série de Fourier para a função f(x): 
 
inx
2
nx e
n1
in1)1(senhe)x(f
+
+
−
pi
pi
== ∑
∞
∞−
. 
 
Queremos, agora, obter o desenvolvimento usual: isto significa transformar a expressão 
acima em uma série de termos reais. 
 
[ ] ).nxsennxcosn(i)nxnsennx(cosnxisennxcos)in1(e)in1( inx ++−=++=+ 
Não basta considerar somente a parte real desta expressão e escrever a série de Fourier: 
lembre-se de que n varia no intervalo ),( ∞−∞ e, portanto, temos também valores 
negativos para n. 
 
 34 
[ ] )nxsennxcosn(i)nxsennnx(cos)nx(seni)nxcos()in1(e)in1( inx +−−=−+−−=− − . 
 
 Quando somarmos essas duas relações, a parte imaginaria se cancela e temos: 
 
).nxsennnx(cos2e)in1(e)in1( inxinx −=−++ − 
 
Agora, os valores de n são somente os valores positivos: ,...3,2,1n = porque já trocamos 
n por .n− Para 0n = , pode-se utilizar diretamente a série complexa: 
 
2
asenh
c
01
i01)1(senh0n para 000 =
pi
pi
=∴



+
+
−
pi
pi
⇒= 
 
A série real para esta função pode ser escrita como: 
 
=−−
+pi
pi
+−
+pi
pi
−
pi
pi
= ....)x2sen2x2(cos
21
1senh2)xsenx(cos
11
1senh2senhe 22
x
 
 




−−+−−
pi
pi
= Lx2sen2x2(cos
5
1)xsenx(cos
2
1
2
1senh2ex . 
 
FORMA ALTERNATIVA PARA SE DETERMINAR A SÉRIE REAL 
Sabemos que )iba(
2
1
c nnn −= e )iba(2
1d nnn += . Somando-se e subtraindo-se as 
duas expressões, temos: 
nnn dca += e i
cdb nnn
−
= . 
Mas nn cd −= , de modo que as relações acima podem ser rescritas como: 
 
nnn cca −+= e i
ccb nnn
−
=
−
. 
 
Como o coeficiente nc já foi calculado, pi
+
+
−= senh
n1
in1)1(c 2nn , então, trocando-se n 
por n− , obtemos :c n− 
 
pi
pi
+
−
−=⇒
pi
pi
−+
−
−=
−
−
−
senh
n1
in1)1(csenh)n(1
in1)1(c 2nn2nn . 
 
Conhecendo-se nc e nc− , os coeficientes reais na e nb podem ser obtidos: 
 
)n1(
senh)1(2
acca 2
n
nnnn
+pi
pi−
=⇒+=
−
 e 
pi
pi
=
senh2
a 0 . 
 
)n1(
senh)1(n2b
i
ccb 2
n
n
nn
n
+pi
pi−
−=⇒
−
=
−
. 
 35 
 
A série de Fourier em coeficientes reais é entãoescrita como: 
 






+
−
−
+
−
+
pi
pi
== ∑ ∑
∞
=
∞
=1n 1n
2
n
2
n
x nxsen
n1
n)1(
nxcos
n1
)1(
2
1senh2
e)x(f . 
 
O mesmo valor obtido anteriormente. 
 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS – SEÇÃO 8 
 
1 – Encontre a série de Fourier complexa para a função 



pi<<
<<pi−−
=
x0 1
0x 1)x(f . 
A partir do resultado obtido, encontre a série real de Fourier usando qualquer um dos 
métodos discutidos no exemplo 8.1. Compare sua resposta com aquela obtida no 
exemplo 4.1. 
 
2 – Qual a série complexa de Fourier para a função xe)x(f −= no intervalo ),( pipi− ? 
 
 
 
9 – INTEGRAIS DE FOURIER 
 
 Nas seções precedentes tratamos das séries de Fourier para funções periódicas. 
A representação em série de Fourier foi usada para funções limitadas em certo intervalo 
finito ou no intervalo ),( ∞−∞ desde que a função fosse periódica. Entretanto, em 
diversos problemas práticos a periodicidade não está presente e a expansão da função 
para todo intervalo real ),( ∞−∞ , não é válida. Surge, então, a seguinte pergunta: o que 
pode ser feito para estender o método para essas funções não periódicas e cuja 
representação seja válida para todo eixo real? O propósito desta seção é examinar essa 
possibilidade. 
 Na discussão que segue, usamos uma função bastante simples para entender o 
que acontece. Considere a função periódica dada por: 
 





<<
<<−
−<<−
=
 Lx1 para 0
1x1 para 1
1xL para 0
)x(fL 
 
A sequência na figura 9.1 representa graficamente esta função de período 16 8, ,4L2 = 
até para o limite de ∞→L : 
 


 <<−
==
∞→
 intervalo. deste fora x para 0
1x1 para 1)x(flim)x(f LL 
 
 36 
O exemplo 9.1 resolve esta função usando a integral de Fourier. 
 
Se você considerar que a variável x pode ser entendida como uma variável temporal, 
então o que fizemos foi simplesmente transformar um pulso periódico em um único 
pulso limitado no tempo e centrado em 0t = . 
 
 Queremos analisar uma função periódica )x(fL (período 2L), representada por 
uma série de Fourier: 
 
)x
L
n
senbx
L
n
cosa(
2
a)x(f n
1n
n
0
L
pi
+
pi
+= ∑
∞
=
. 
 
Usaremos a notação 
L
n
n
pi
=ω para escrever a série na forma: 
 
)xsenbxcosa(
2
a)x(f nn
1n
nn
0
L ω+ω+= ∑
∞
=
 (84) 
 
Perguntamos, então, o que deve acontecer com esta série se ∞→L . 
 Vamos mudar a variável de integração, de x para t, para reescrever os 
coeficientes: 
 
∫
−
ω=
L
L
nn dt)tcos()t(fL
1
a (85) 
 
∫
−
ω=
L
L
nn dt)t(sen)t(fL
1b (86) 
 
 
 
Figura 9.1 – A função periódica fL(x) e o limite de L→∞. 
 
Substituindo-se esses coeficientes na série de Fourier, tem-se: 
 37 
 
∑ ∫ ∫∑∫
∞
=
− −
∞
=
−
ωω+ωω+=
1n
L
L
L
L
n
1n
nnn
L
L
L )t(sen)t(fL
1)x(sendt)tcos()t(f
L
1)xcos(dt)t(f
L2
1)x(f . 
 
Usando a relação )xsen)(tsen()x(cos)t(cos)]xt(cos[ nnnnn ωω+ωω=−ω a expressão 
acima pode ser escrita de forma mais compacta: 
 
∫ ∑ ∫
−
∞
=
−
−ω+=
L
L 1n
L
L
nL dt)]xt(cos[)t(fL
1dt)t(f
L2
1)x(f
 (87) 
 
Agora já estamos em condições de responder à pergunta sobre o que deve acontecer 
com a série quando L→∞. 
 O primeiro termo à direita da igualdade se anula porque a integral é finita 
(lembre-se de que f(x) é limitada) e para L→∞, o resultado tende a zero. Este termo 
correspondia ao conhecido 2a 0 . 
 
 Como 
LL
n
L
)1n(
L
n
n1nn
pi
=ω∆∴pi−pi+=ω−ω≡ω∆⇒pi=ω + . 
 
 Então, 
pi
ω∆
=
L
1
 e substituímos na expressão da série para obter, quando L→∞, 
 
dt)]xt(cos[)t(f1)x(f
1n
n∑ ∫
∞
=
∞
∞−
−ωω∆
pi
→ . 
 
Quando L→∞, a variação ω→ω∆ d (quase-contínuo) e neste caso trocamos a 
somatória por uma integral: 
 
∫ ∫
∞ ∞
∞−
−ωω
pi
=
0
dt)]xt(cos[)t(fd1)x(f
 (88) 
 
Esta é a integral de Fourier para a função f(x). Sua obtenção não é, de forma alguma, 
uma demonstração rigorosa: ela apenas sugere que esta representação seja adequada 
para uma função não-periódica. A integral de Fourier está sujeita às condições: (1) f(x) 
deve ser contínua por partes, (2) diferenciável e (3) absolutamente integrável – isto é, 
∫
∞
∞−
dx)x(f é finita. 
 Note cuidadosamente a sequência imposta para calcular a integral de Fourier. 
Primeiramente, é feita uma integração na variável t resultando uma função )x,(F ω . A 
expressão ∫
∞
ωω
pi 0
d)x,(F1 representa o desenvolvimento da função f(x): ela é o 
correspondente contínuo das séries de Fourier quando n era uma variável discreta. 
 
 38 
 A integral de Fourier pode ser escrita de várias formas e uma delas é dada 
abaixo, que traz maior semelhança com a expressão das séries de Fourier: 
 
∫
∞
ωωω+ωω=
0
d]xsen)(Bxcos)(A[)x(f
 (89) 
 
na qual os coeficientes são dados por: 
 
∫
∞
∞−
ω
pi
=ω dttcos)t(f1)(A
 (90) 
 
∫
∞
∞−
ω
pi
=ω dttsen)t(f1)(B
 (91) 
 
Ambas as formas, (88) e (89), são equivalentes e a escolha de uma ou de outra, depende 
do problema analisado. Particularmente, prefiro usar esta última forma por estar mais 
próxima àquela correspondente à série de Fourier. 
 
 
EXEMPLO 9.1 
 Encontrar a integral de Fourier para a função 




>
<
=
1x para 0
1x para 1)x(f . 
 
SOLUÇÃO 
O gráfico desta função está esboçado na figura E 9.1 
 
Figura E 9.1 – Gráfico da função f(x) para este problema. 
 
Vamos resolver este problema pelos dois métodos citados na teoria. 
1º MÉTODO: uso da relação ∫ ∫
∞ ∞
∞−
−ωω
pi
=
0
dt)]xt(cos[)t(fd1)x(f . 
A integral na variável t, no intervalo ∞<<∞− t , na verdade se restringe ao intervalo 
]1,1[− , porque fora dele a função se anula. 
⇒−ω×ω
pi
= ∫ ∫
∞
−0
1
1
dt)]xt(cos[1d1)x(f ∴−ωω
pi
= ∫ ∫
∞
−0
1
1
dt)]xt(cos[d1)x(f 
 
 39 
=



ω
ω−ω−
−
ω
ω−ω
ω
pi
=
ω
−ω
ω
pi
= ∫∫
∞
−
∞ )x(sen)x(send1)]xt([send1)x(f
0
1
10
 
 
 =



ω
ω+ω
+
ω
ω−ω
ω
pi
= ∫
∞
0
)x(sen)x(send1 
 
 ∴





ω
ωω+ωω+ωω−ωω
ω
pi
= ∫
∞
0
xsencosxcossenxsencosxcossend1 
 
ω
ω
ωω
pi
= ∫
∞
dxcossen2)x(f
0
. 
 
2º MÉTODO: uso dos coeficientes )B( e )(A ωω . 
 
piω
ω
=ω⇒
ω
ω
pi
=ω
pi
=ω
−
−
∫
sen2)(Atsen1dttcos1)(A
1
1
1
1
. 
 
)(B ω é nulo porque o integrando é ímpar e os extremos de integração são simétricos. 
 Então, a representação de f(x) pela integral de Fourier é dada por: 
 
ω
ω
ωω
pi
=∴ωωω= ∫∫
∞∞
dxcossen2)x(fdxcos)(A)x(f
00
. 
 
 Os resultados obtidos pelos dois métodos são iguais, como deveria ser. A facilidade de 
se utilizar um método ou outro depende da habilidade do usuário na manipulação das 
integrais. 
 
 
 
EXEMPLO 9.2 
 Discuta a representação obtida no exemplo 9.1. 
 
SOLUÇÃO 
No caso das séries de Fourier a representação gráfica da soma parcial de alguns termos 
são curvas que se aproximam da função periódica f(x) desenvolvida pela série. 
Similarmente, para as integrais de Fourier, essas curvas envolvendo aproximação são 
obtidas trocando o extremo superior de integração ∞, por um número finito a. Por 
exemplo, a figura 9.2.1 são as curvas de aproximação para três valores de a. Se você se 
lembrar de que a variável ω está ligada à variável discreta n através da relação 
L
n
n
pi
=ω , a escolha de um valor finito a para ω corresponderiaa fixar um valor para n. 
Outro aspecto que queremos discutir é sobre alguns valores da integral de Fourier para 
este caso. 
 40 
 
 
Figura 9.2.1 – A integral de Fourier para alguns valores de a. 
 
 Sabemos que o desenvolvimento de uma função f(x) converge para o valor 
desta função em pontos de continuidade e para a média do valor da função em pontos de 
descontinuidade. Então, 
1)x(f = para 0x = e 
2
1
2
)1(f)1(f)x(f =+=
+−
 para 1x = . 
 
Assim, temos para a integral de Fourier: 
 





>
=
=
=ω
ω
ωω
pi
= ∫
∞
1 xpara 0
1 xpara 2/1
0 xpara 1
dxcossen2)x(f
0
. 
 





>
=pi
=pi
=ω
ω
ωω
∫
∞
1 xpara 0
1 xpara 4
0 xpara 2
dxcossen
0
. 
 
 O valor para 0x = é particularmente interessante. Neste caso, 
 
2
dsen
0
pi
=ω
ω
ω
∫
∞
. 
 
Esta integral é o limite da função chamada integral-seno: 
 
∫ ωω
ω
=
u
0
dsen)u(Si quando u→∞. 
 
 41 
 
 
Figura 9.2.2 – O integrando 
ω
ω
=ω
sen)(F e a função Si(u). Observe que, quando u→∞, 
a função tende ao valor π/2. 
 
 
 
EXEMPLO 9.3 
 Encontre a integral de Fourier da função 



pi<<
<<pi−−
=
 x0 para 1
0x para 1)x(f . 
SOLUÇÃO 
A função f(x) é ímpar e se decidirmos usar a prescrição dada no segundo método, 
precisamos calcular somente os coeficientes B(ω) porque A(ω) é zero. 
 Vamos utilizar o segundo método: 
 
∫
∞
ωωω+ωω=
0
d]xsen)(Bxcos)(A[)x(f . 
 
∫∫
pi
pi−
∞
∞−
ω
pi
=ω⇒ω
pi
=ω dttsen)t(f1)(Bdttsen)t(f1)(B . 
 
∫∫∫
pipi
pi−
ω
pi
=ω
pi
+ω−
pi
=ω
00
0
dttsen)1(2dttsen)1(1dttsen)1(1)(B , porque tsen)x(f ω é uma 
função par e os extremos são simétricos. Então temos, 
 
⇒



ω
ω
−
pi
=ω∴ω
pi
=ω
pipi
∫
00
tcos2)(Bdttsen)1(2)(B 
 
⇒



ω
+
ω
ωpi
−
pi
=ω
1cos2)(B 



ω
ωpi−
pi
=ω
cos12)(B . 
 
A função f(x) é, então, representada pela integral de Fourier: 
 
 42 
ω



ω
ω
ωpi−
pi
= ∫
∞
dxsencos12)x(f
0
. 
 Os exemplos 9.1 e 9.3 consideraram uma função par e uma função ímpar, 
respectivamente. No primeiro caso, somente o coeficiente A(ω) aparece no 
desenvolvimento da integral de Fourier; no segundo caso, somente o coeficiente B(ω) 
está presente no desenvolvimento. A situação é semelhante àquela encontrada para 
séries de Fourier quando a função tem paridade definida. 
 Podemos escrever para as integrais de Fourier: 
 
1º) Se f(x) é par, então, 
 
∫
∞
ωωω=
0
dxcos)(A)x(f
 (92) 
onde ∫
∞
ω
pi
=ω
0
dttcos)t(f2)(A . 
 
Esta representação de f(x) é chamada de integral de Fourier em cosseno. 
 
2º) Se f(x) é ímpar, temos, 
 
∫
∞
ωωω=
0
dxsen)(B)x(f
 (93) 
onde ∫
∞
ω
pi
=ω
0
dttsen)t(f2)(B . 
 
Esta representação de f(x) é conhecida como integral de Fourier em seno. 
 
 Quando a função f(x) não possui paridade definida, em geral, ambos os 
coeficientes aparecem na representação. 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS – SEÇÃO 9 
 
1 – Dada a função 



>pi
<
=
− 0 xse e
0 xse 0)x(f
x
, 
mostrar que ela tem a integral de Fourier dada por: ω
ω+
ωω+ω
∫
∞
d
1
xsenxcos
0
2 . 
 
2 – Mostre que as integrais de Fourier em cosseno e em seno da função kxe)x(f −= 
( 0k e 0x >> ) são dadas, respectivamente, por: 
 
 43 
ω
ω+
ω
pi
== ∫
∞
− d
k
xcosk2
e)x(f
0
22
kx
 e ω
ω+
ωω
pi
== ∫
∞
− d
k
xsen2
e)x(f
0
22
kx
. 
 
3 – Para a função 



>
<≤pi
=
1 xse 0
1x0 se 2)x(f , 
a) – Faça um gráfico da função. 
b) – Mostre que a integral de Fourier é ωdxωsen
ω
ωcos1
2
1
ωd
ω
xωcosωsen
2
1
00
∫∫
∞∞
−
+ . 
 
Para calcular algumas integrais é conveniente utilizar uma tabela de integrais, como por 
exemplo, a tabela da coleção Schaum. 
 
 
10 – INTEGRAIS DE FOURIER COM NOTAÇÃO COMPLEXA 
 
 Na seção 8, representamos uma série de Fourier, dada inicialmente em termos 
de seno e cosseno, por uma série com notação complexa. Seria, então, imediato 
conjeturar sobre a possibilidade de expressar uma integral de Fourier usando a notação 
complexa. Nesta seção veremos que a representação complexa para essas integrais não 
só é possível, mas também introduz ao estudo da transformada de Fourier. 
 A notação complexa, entretanto, difere por pequenos detalhes, entre os 
diversos autores. A mais significativa se refere ao sinal da exponencial complexa. A 
diferença tem sua origem em como se escreve a integral real: por exemplo, na seção 9, a 
relação, 
 
dt)t(sen)t(f
L
1)x(sendt)tcos()t(f
L
1)xcos(dt)t(f
L2
1)x(f
1n
L
L
L
L
n
1n
nnn
L
L
L ∑ ∫ ∫∑∫
∞
=
− −
∞
=
−
ωω+ωω+=
 
foi escrita de forma compacta como, 
 
∫ ∑ ∫
−
∞
=
−
−ω+=
L
L 1n
L
L
nL dt)]xt(cos[)t(fL
1dt)t(f
L2
1)x(f . 
 
O integrando da segunda expressão à direita poderia ser também escrito como, 
)]tx(cos[)t(f n −ω , porque a função cosseno é par, e, portanto, 
)]tx(cos[)]xt(cos[ nn −ω=−ω . 
É exatamente por este detalhe que, às vezes, um sinal negativo na exponencial 
está presente. Nosso desenvolvimento segue a maioria dos livros textos, sendo o livro 
do Arfken (Mathematical Methods for Physicists), uma exceção a ser mencionada. 
 
 A integral de Fourier que representa uma função f(x) é dada por: 
 
∫
∞
ωωω+ωω=
0
d]xsen)(Bxcos)(A[)x(f
 (94) 
 44 
 
 na qual os coeficientes são calculados pelas relações: 
 
∫
∞
∞−
ω
pi
=ω dttcos)t(f1)(A
 (95) 
 
∫
∞
∞−
ω
pi
=ω dttsen)t(f1)(B
 (96) 
 
Substituindo estas expressões na de f(x), obtemos: 
 
{ }∫ ∫
∞ ∞
∞−
ω








ωω+ωω
pi
=
0
ddtxsentsenxcostcos)t(f1)x(f . 
 
Neste ponto, precisamos decidir como escrever a expressão entre chaves: ou bem 
escrevemos )]xt(cos[ −ω , ou então )]tx(cos[ −ω , conforme discutimos no início desta 
seção. Faremos a opção pela segunda forma, e, com esta escolha a representação de f(x) 
assume a forma: 
 
∫ ∫
∞ ∞
∞−
ω








ω−ω
pi
=
0
ddt]txcos[)t(f1)x(f
 (97) 
 
 Mas ainda temos um problema: nas séries de Fourier complexa, o índice n 
varia no intervalo ),( ∞−∞ e a variável contínua ω (associada a n) está definida no 
intervalo ),0[ ∞ . Para ampliar este intervalo, vamos considerar a integral 
 
∫
∞
∞−
ω−ω dt]txcos[)t(f . 
O resultado após a integração é uma outra função F(ω) porque a variável de integração é 
t. Afirmamos agora que esta função F(ω) é par não importando a paridade de f(x). Para 
ver isto, escrevemos, 
 
 ∫
∞
∞−
ω−ω=ω dt]txcos[)t(f)(F e trocamos ω por ω− : 
 
 ∫
∞
∞−
−ω−=ω− dt)]tx(cos[)t(f)(F , porém, como a função cosseno é par, 
)cos()cos( α=α− , podemos escrever: 
 
∫
∞
∞−
−ω−=ω− dt)]tx(cos[)t(f)(F = )(Fdt]txcos[)t(f ω=ω−ω∫
∞
∞−
. 
 
 45 
Isto significa que o valor da integral na variável ω no intervalo [0,∞) é a metade da 
integral no intervalo ).,( ∞−∞ Então, a função f(x) pode ser escrita como: 
 
∴ωω
pi
=ωω
pi
=ω








ω−ω
pi
= ∫∫∫ ∫
∞
∞−
∞∞ ∞
∞−
d)(F
2
11d)(F1ddt]txcos[)t(f1)x(f
00
 
 
[ ] ω








ω−ω
pi
= ∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
ddt)txcos()t(f
2
1)x(f (98) 
 
Observe que agora os intervalos para ambas as integrações são iguais. 
 Parte do problema está resolvido, porém, só temos o termo em