VARIÁVEIS COMPLEXAS

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PARTE III 
 
 
 
 
 
 
VARIÁVEIS COMPLEXAS 
 
 
 
 
1 – INTRODUÇÃO HISTÓRICA. 
 
i é um número surpreendente: é o único número imaginário. Entretanto, quando 
você o eleva ao quadrado, ele se torna um número real. Certamente, ele não foi criado 
de forma instantânea, mas, por vários séculos foi sendo incorporado à matemática 
apesar da resistência dos matemáticos em aceitá-lo. 
Sua história começa, formalmente, na época do descobrimento do Brasil, nos 
anos de 1500, embora alguns relatos de sua pré-existência remontem aos tempos de 
Herón de Alexandria (50 DC). Em 1545, Girolamo Cardano escreveu um livro 
intitulado Ars Magna, no qual ele se refere à solução de uma equação algébrica como 
sendo 155 −± . Ele próprio se referiu a essa solução como “tão sutil quanto inútil” e 
trabalhar com ela era “uma tortura mental”. Nesta época, a maioria das pessoas 
concordou com ele e discretamente desistiram de utilizar soluções nas quais aparecia 
uma raiz quadrada de um número negativo. 
 Porém, durante décadas muitas pessoas acreditavam que números complexos 
existiam e se colocaram a trabalhar para que eles fossem entendidos e aceitos. Os nomes 
de matemáticos famosos estão ligados à tarefa de colocar os números complexos em 
forma aceitável. John Wallis foi um dos pioneiros a trabalhar com os complexos na 
forma cartesiana de representação, mas suas conclusões não foram reconhecidas e 
passaram despercebidas. Mais de um século depois, Caspar Wessel publicou um artigo 
mostrando como representar números complexos em um plano, e seu trabalho não foi 
ignorado. Em 1777, Euler usou o símbolo i para representar 1− e, em 1806, Jean 
Robert Argand escreveu como representar os números complexos em um plano, ideia 
que já tinha sido aventada por Wessel. Em 1831, Carl Friedrich Gauss tornou a 
representação de Argand mais popular e utilizou a forma de Descartes iba + e chamou-
a de número complexo. 
 2 
 
 Matemáticos continuaram trabalhando para que as ideias se tornassem cada vez 
mais difundidas, ao mesmo tempo em que buscavam colocá-las sobre fundamentos mais 
rigorosos. Entre eles estavam Karl Weierstrass, Augustin Louis Cauchy, August 
Moebius e outros. Se hoje aceitamos como fato corriqueiro o uso de números 
complexos, isto se deve a esses matemáticos que o colocaram em bases sólidas. 
 Se a introdução de números complexos se deveu a solução de uma equação 
algébrica (de grau relativamente baixo) há muitos anos, poderia ser perguntado se uma 
equação, digamos, de 12º grau não poderia introduzir números “transcomplexos”? Não, 
não poderia. Existe um teorema da álgebra, chamado de teorema fundamental da 
álgebra, que afirma que toda equação polinomial de grau N, 
0axa.........xaxa 01
1N
1N
N
N =++++
−
−
, mesmo quando os coeficientes são números 
complexos, têm exatamente N raízes que pertencem ao conjunto dos complexos. 
 
 
2 – NÚMEROS COMPLEXOS. 
 
 Você provavelmente deve se lembrar que a função 2x1
1)x(f
+
= é bem 
comportada para qualquer x real: não apresenta singularidades, não diverge quando x 
cresce sem limites ou quando x tende a qualquer valor. O gráfico desta função está 
esboçado abaixo. Enfim, se existe um prêmio por bom comportamento, essa função é 
uma potencial candidata. 
 
 
 
Figura 2.1 – A função 2x1
1)x(f
+
= . 
 
 Podemos achar a série de Taylor para esta função (ou melhor, série de McLaurin, 
pois a expansão será em torno do ponto x=0). 
 
L+′′+′+=
==
2
0x0x )x()]x(f2
1)x()]x(f)0(f)x(f
 (107) 
. 
Se você obtiver as derivadas nos ponto zero e colocar seus valores na expressão acima, 
vai verificar que o resultado é: 
 
n2
0n
n642
2 x)1(xxx1x1
1)x(f ∑
∞
=
−=+−+−=
+
= LL
 (108) 
 
É de se esperar que uma função bem comportada e definida para qualquer x real, tenha 
sua expansão válida para todo x. Isto é, a série deveria convergir, não importando o 
valor de x. 
 3 
 
 O que se espera é uma coisa e o que acontece é outra, como veremos. Para 
analisar a convergência da série (alternada), podemos usar o critério da razão. 
 
22
n2
2n2
nn2n
)1n(21n
n
n
1n
n
xx
x
xx
1
1lim
x)1(
x)1(lim
u
ulim ===
−
−
=
∞→
++
∞→
+
∞→
. 
 
Para haver convergência, este limite deve ser menor do que 1, isto é, 2x <1 e, portanto, 
1x1 <<− . Este é raio de convergência para esta série. 
Então, podemos concluir que 2
x1
1)x(f
+
= pode ser representada por uma série de 
potência somente no intervalo 1x1 <<− , pois fora deste intervalo a série diverge. 
O resultado chega a ser surpreendente, considerando que a função é bem 
comportada para todo x real, inclusive nos pontos 1± . De onde vem uma restrição tão 
severa? No campo dos números reais esta restrição não é facilmente percebida, mas ao 
estudar variáveis complexas, você será capaz de ter argumentos que permitirão 
entender e explicar essa restrição. Poderá concluir então que o comportamento de 
funções reais, f(x), é influenciado pela função complexa correspondente f(z). 
No caso presente, a função 
1z
1)z(f 2 += possui uma singularidade nos pontos 
iz ±= , fazendo com que a região de convergência para esta função seja um círculo de 
raio unitário centrado na origem, 1z < . 
 Obviamente, a circunferência corta o eixo real nos pontos 1x ±= , para os quais 
já existe a divergência da série de potências. 
 
 
Figura 2.2 – Região de convergência da função 2z1
1)z(f
+
= . 
 
 ÁLGEBRA DOS NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 O nome unidade imaginária ou número imaginário é mais uma dessas infelizes 
denominações que encontramos vez por outra dentro da ciência, mas, que perduram 
através de séculos. Ela parece denotar algo além da imaginação, ou algo que tem uma 
componente mística ou mesmo que não tenha qualquer conexão com a realidade; 
porém, seu uso está tão difundido que pouco se pode fazer a respeito. 
 A unidade imaginária é definida como sendo 1i 2 −= , ou como muitas 
encontramos, 1i −= . Por exemplo, escrevemos então 3i3 =− , i416 =− . 
Podemos escrever, 
iiii ;1iii ;iiii ;1i 1;-ii 1;i 4522423210 ====−==−==== . As conclusões: 
 4 
 
os valores das potências de i apresentam periodicidade e a relação 1i n4 = é válida para 
qualquer inteiro n. 
 
EXEMPLO 2.1 
 Encontrar os valores de (a) 13i ; (b) 1447i . 
 
SOLUÇÃO. 
O item (a) pode ser feito à força bruta: multiplique sucessivamente i por ele mesmo 13 
vezes e se tem a resposta. Fazer isto com o item b) não parece ser uma coisa razoável. 
Mas existe um meio mais racional de conseguir a mesma resposta para ambos os itens, 
usando a periodicidade. 
 Observe a relação 1i n4 = . Dividindo-se 13 por 4 podemos escrever 
ii1iii 3413 =×== × . Esta é a resposta para o item (a). 
 
 Para (b): iii1i1i ii 3 resto com e 36141447 23336141447 −=××=×==⇒= × . 
 
 
 Um número complexo tal como i32z0 += é uma soma de dois termos. O termo 
real, que não contem i, é chamado de parte real do número complexo. O coeficiente de 
i é chamado de parte imaginária do número complexo. Note que ela não é imaginária: 
ambas as partes são reais: ≡}z{real 0 2}z{ 0 =ℜ e ≡}z{imaginário 0 3}z{ 0 =ℑ (sem o 
fator i!). 
 Um número complexo pode ser representado por um par de números reais e 
colocados no plano cartesiano com o eixo-x sendo o eixo real e o eixo y como o eixo 
imaginário (plano de Argand-Gauss). Esta representação é conveniente: além de ser 
útil, é muito semelhante à representação de vetores em duas dimensões com a qual se 
tem maior familiaridade. 
 
Figura 2.1 – Representação geométrica de números complexos. 
 
 Um número complexo, representado no plano de Argand-Gauss, pode ser 
associado a um vetor bidimensional, mas sempre deve ser lembradoque ao mesmo 
tempo em que ele tem algumas características de um vetor, ele possui certas diferenças. 
Na sequência, citamos dois exemplos. Da mesma forma que não se diz A>B para dois 
vetores (pode-se comparar módulos de vetores, A>B), também não se escreve z1 >z2 
(mas pode-se escrever 21 zz > , isto é, comparam-se módulos de números complexos). 
Isto significa que o conjunto dos números complexos é não ordenado, enquanto que 
para o conjunto de números reais existe a ordenação. Porém, não se define o quociente 
 5 
 
de vetores (a operação BA não é definida), mas o quociente entre números complexos 
pode ser definido, como veremos a seguir. 
 ►Dois números complexos, 111 ibaz += e 222 ibaz += , são iguais se, e 
somente se, a1=a2 e b1=b2. 
 
 ►Define-se a soma de dois números complexos pela relação: 
)bb(i)aa()iba()iba(zzz 21212211213 +++=+++=+= . A diferença entre eles 
segue a mesma regra. 
 
 ►O produto entre complexos é dado por: 
 
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
z z a ib a ib a a i b b i a b b a
z z a a b b i a b b a
= + + = + + +
⇒ = − + +
 
 
 onde temos usado 1i2 −= . 
 
 ►Finalmente, a divisão é obtida da seguinte maneira: 
 
 





+
−
+





+
+
=⇒
−+
−+
=
+
+
= 2
2
2
2
2121
2
2
2
2
2121
2
1
2222
2211
22
11
2
1
ba
baabi
ba
bbaa
z
z
)iba)(iba(
)iba)(iba(
)iba(
)iba(
z
z
. 
 
 ►Existe uma importante quantidade associada a um número complexo, 
ibaz += , chamada complexo conjugado, definida como: 
 ibazz −=≡ ∗ . Tanto a barra sobre ele, como a estrela, são notações usuais para 
o complexo conjugado. Se você usar o plano complexo, pode mostrar facilmente que 
para obter o complexo conjugado, basta fazer uma reflexão em torno do eixo real: z e z 
são simétricos em relação ao eixo-x. 
 
 ►O módulo de um número complexo é definido de forma semelhante àquela do 
módulo de um vetor no plano: 
 
 Se ⇒+= ibaz 22 baz += . Note que se escreve b2 e não (ib)2. 
 
 
EXEMPLO 2.2 
 Dado os complexos i23z1 += e i3z2 −= , 
a) – localizá-los no plano de Argand-Gauss. 
b) – encontre a soma desses números. 
c) – obtenha o produto e a divisão entre eles. 
d) – encontrar o complexo conjugado para z1, z2, z1z2 e z1/z2. Localize-os no plano 
complexo. 
e) – qual o módulo de z1 e z2 e qual o módulo do produto? 
 
SOLUÇÃO. 
Observe que z2 é um imaginário puro (não contem a parte real). 
a) 
 6 
 
 
 
Figura E 2.2.1 – Os números complexos no plano. 
 
b) – a soma é dada por i3i3i23zz 21 −=−+=+ . 
 
c) – produto: i966i9)6(ii9)i3)(i23(zz 221 −=+−=−−−=−+= . 
 
 divisão: i
3
2
9
i96
i3
i3
i3
)i23(
z
z
2
1 +−=
+−
=
−
+
= . 
 
d) - i23zz 11 −== ∗ ; i3zz 22 == ∗ ; 2121 zzi3zz +=+=+ ; 2121 zzi96zz =+= ; 
 
2
1
2
1
z
zi
3
2
z
z
=−−=





. 
 
 
 
 Figura E 2.2.2 – Localização dos pontos no plano complexo. 
 
e) - 1349z1 =+= ; 39z 2 == ; 2121 zz1178136zz ==+= . 
 
 
 
 Quando um número complexo é escrito na forma iyxz += , dizemos que ele 
está na forma retangular. Este mesmo número pode ser representado na forma polar 
especificando as coordenadas (r,θ) ao invés de (x,y). A correspondência dessas duas 
maneiras de se escrever o complexo pode ser facilmente visualizada pela figura abaixo. 
 
θ= cosrx 
 7 
 
θ= senry 
 
 
Figura 2.3 – Representação em forma polar. 
 
θ+θ=+= irsencosriyxz → )isen(cosrz θ+θ= (forma polar de número complexo). 
Veremos mais adiante que a expressão θ+θ isencos pode ser escrita como 
θ
=θ+θ ieisencos
 e a forma polar é dada então por θ= irez . (θ é expresso em 
radianos). 
Esta forma, muitas vezes, é mais conveniente de se utilizar do que a retangular. 
O ângulo θ é chamado de argumento do número complexo e 22 yxzr +== . A 
determinação do argumento deve merecer certa atenção: ele é determinado a partir de 
eixo x, no sentido anti-horário, no intervalo π2θ0 <≤ . 
 
EXEMPLO 2.3 
 Dado o complexo i2z −−= , escreva esse número em coordenadas polares. 
 
SOLUÇÃO. 
Para iniciar, este número deve ser localizado no plano complexo para se determinar 
corretamente seu argumento. 
 
 
Fig. E 2.3 – Localização do ponto z. 
 
O módulo de z vale 514)1()2(rz 22 =+=−+−== . 
 
Note que o ponto está no 3º quadrante e o ângulo θ pode ser encontrado simplesmente 
por 
x
y
tan =θ 
x
y
arctan=θ⇒ . Se você usar os valores de x e de y, vai encontrar: 
 8 
 
o6.26ou rd 46.0
2
1
arctan
2
1
arctan ≈θ∴=
−
−
=θ . Observe que ao entrar com os dados 
em sua calculadora, você encontra um valor para o argumento que está situado no 1º 
quadrante. O ângulo correto neste caso é ).180(26.6ou rd)46.0( oo +pi+
 
 
 
 A representação na forma polar de números complexos fornece uma 
interpretação geométrica do produto de dois números. 
 
)isen(cosr)isen(cosrzz 22211121 θ+θθ+θ=
 
 
 )]cossencossen(i)sensencos[(cosrr 1221212121 θθ+θθ+θθ−θθ= 
 
 )](isen)[cos(rr 212121 θ+θ+θ+θ=
 
 
Assim, z1z2 é obtido multiplicando-se os módulos de cada um deles e adicionando seus 
argumentos. Faça um esboço desse resultado no plano complexo usando dois números 
complexos quaisquer. 
 A divisão entre dois números complexos pode ser obtida após um tedioso 
trabalho algébrico; ou pode ser feita de forma rápida e elegante usando-se a fórmula de 
Euler (a ser tratada na seqüência). De qualquer maneira, o resultado é: 
 
[ ])(isen)cos(
r
r
z
z
2121
2
1
2
1 θ−θ+θ−θ= . 
 
 
Fórmula de Euler (pronuncia-se óiler). 
 
 Escrevemos o complexo z na forma 
 
)isen(cosriyxz θ+θ=+= (109) 
 
As expansões das funções θsen e θcos em séries de Taylor dão: 
 
 
L−
θ
+
θ
−θ=θ
!5!3
sen
53
 (110) 
 
L−
θ
+
θ
−=θ
!4!2
1cos
42
 
(111) 
 
A expansão da função exponencial é dada por: 
 
∑
∞
=
=++++==
0n
n
32x
!n
x
x
!3
1
x
!2
1
x1e)x(f L ( ∞<<−∞ x ) (112) 
 
Trocando θ→ ix na relação acima, tem-se: 
 
L+
θ
+
θ
+
θ
+
θ
+θ+=θ
!5
)i(
!4
)i(
!3
)i(
!2
)i(i1e
5432
i
 
 9 
 
 
 
L+
θ
+
θ
+
θ
−
θ
−θ+=θ
!5
i
!4!3
i
!2
i1e
5432
i
 (113) 
 
Compare a parte real desta série com a expansão de θcos dada acima; compare também 
a parte imaginária com a expansão de θsen . A conclusão é que podemos escrever 
 
θ+θ=θ isencosei
 ↔ Fórmula de Euler (114) 
 
A fórmula de Euler para πθ = tem uma aparência singular: 01e πi =+ . 
Esta equação relaciona duas constantes transcendentais, (e,π), com a unidade 
imaginária, i, e com dois números muito importantes dentro da análise real, 0 e 1. 
 A fórmula de Euler é uma das relações mais importantes dentro do campo de 
Variáveis Complexas e suas aplicações são encontradas em diversos segmentos, dentro 
e fora da matemática. 
 Sua utilização permite que um número complexo qualquer seja escrito como: 
 
θ
=θ+θ=+= ire)isen(cosriyxz
 (115) 
 
A escolha de uma ou de outra forma depende do problema que estamos considerando. 
 Usando a fórmula de Euler, o quociente entre z1 e z2 é facilmente estabelecido: 
 
[ ])θθ(isen)θθcos(
r
r
e
r
r)ee(
r
r
er
er
z
z
2121
2
1)θθ(i
2
1θiθi
2
1
θi
2
θi
1
2
1 2121
2
1
−+−==== −− 
 
Fórmula de de Moivre (pronuncia-se de moavre). 
 
 Considere um número complexo de módulo unitário, isto é, 1rz == . Então,ele 
pode ser escrito como θ= iez . Portanto, )nisenn(cosez inn θ+θ== θ , mas pela fórmula 
de Euler nn )isen(cosz θ+θ= e pode-se concluir que: 
 
)nisenn(cos)isen(cos n θ+θ=θ+θ
 (de Moivre) (116) 
 
Exercício:- Verifique a relação acima para 2n = . Você deve obter as expressões para 
os arcos duplos vistos em trigonometria. 
 
 
Raízes de números complexos. 
 
 Considere dois números complexos, z e w, tais que ( )1,2,3,...n wz n == . Então 
a cada valor de w corresponde um valor de z. Veremos que para um dado z corresponde 
precisamente n valores distintos de w e cada um desses é chamado de raiz n-ésima de z: 
 
n zw = . 
 
 Vamos escrever o complexo w na forma polar. 
 
Se )isen(cosRw φ+φ= , então, como: 
 
 10 
 
 zw n ⇒= )isen(cosrz)nisenn(cosRw nn θ+θ==φ+φ= . 
 
Dois números complexos são iguais quando (1) seus módulos são iguais e (2) quando 
seus argumentos coincidem ou diferem por um múltiplo de π2 . 
Igualando os módulos, temos: 
 
 
n22n rR yxrR =∴+==
 (117) 
 
Igualando os argumentos, tem-se: 
 
 
n
2k
n
 k2n pi+θ=φ∴pi+θ=φ
 )1n,....(3,2,1k −=
 
 (118) 
 
Para nk = , retornamos à primeira raiz, pois pi=pi 2
n
k2
 e isto corresponde à raiz para 
k=0. 
 Finalmente podemos estabelecer o resultado: 
 



 pi+θ
+
pi+θ
==
n
k2isen
n
k2
cosrzw nnk K3, 2, ,1k = (119) 
 
 
EXEMPLO 2.4 
 Achar as raízes de 31)i1( + . Localize-as no plano complexo. 
 
SOLUÇÃO. 
A primeira coisa a ser feita é localizar o número i1z += no plano complexo. Isto evita 
cometer erros na determinação do argumento θ. A segunda é identificar o valor de n: 
neste caso n=3. 
O módulo de z: 2
1
2 211rz ==+== . 
O argumento de z: o ponto está no primeiro quadrante e o45411arctan =pi==θ . 
As raízes podem ser calculadas com estas informações. 
 
( )  pi+pi=
pi
+
pi
==
12
isen
12
cos2)
3
4(isen)
3
4
cos(2)0k(w 613
1
0 . 
 
( )  pi+pi=









 pi+pi
+
pi+pi
==
12
9isen
12
9
cos2
3
24isen
3
24
cos2)1k(w 613
1
1 . 
 
( )  pi+pi=
pi+pi
+
pi+pi
==
12
17isen
12
17
cos2
3
44isen
3
44
cos2)2k(w 613
1
3 . 
 
Observe que todas as raízes estão situadas sobre uma circunferência de raio 612 e 
centrada na origem. 
Se você não estiver familiarizado o suficiente para trabalhar com radianos, faça a 
conversão para graus. Isto pode ajudá-lo a visualizar as raízes no plano complexo. Outra 
 11 
 
possibilidade é expressar as raízes em coordenadas retangulares. Abaixo, faremos 
ambas as opções. 
 
29.0i08.1)259.0i966.0(12.1)259.0i966.0(2)]15(isen)15[cos(2w 61oo610 +≈+≈+≈+= . 
 
79.0i79.0)707.0i707.0(12.1)]135(isen)135[cos(2w oo611 +−≈+−≈+= . 
 
08.1i29.0)]255(isen)255[cos(2w oo613 −−≈+=
 
 
 Note que as raízes estão igualmente espaçadas de 120º entre si. 
Se você fizer k=3, deve encontrar w0; para 4k = , recupera-se w1 e assim 
sucessivamente. 
 
 
 
Figura E 2.4 - Localização de i1z += e das raízes encontradas. 
 
 
 
EXEMPLO 2.5 
Encontrar todas as raízes de 4
1
z quando i16z = . 
 
SOLUÇÃO. 
 Este ponto está sobre o eixo y e, portanto, o argumento de z é π/2; o módulo vale 
16 e 4n = .3,2,1,0k =⇒ 
As raízes são: 
 
[ ] i76.084.1i38.092.02
8
isen
8
cos2
4
2isen
4
2cos16w 4
1
0 +=+≈




 pi
+
pi
=







 pi
+
pi
=
 
 
[ ] i84.176.0i92.038.02
8
5isen
8
5
cos2
4
22isen
4
22cos2w1 +−=+−≈


 pi
+
pi
=







 pi+pi
+







 pi+pi
=
 
 
 12 
 
i76.084.1
8
9isen
8
9
cos2
4
42isen
4
42cos2w 2 −−≈


 pi
+
pi
=















 pi+pi
+







 pi+pi
=
 
 
i84.176.0
8
13isen
8
13
cos2
4
62isen
4
62cos2w 3 −≈


 pi
+
pi
=















 pi+pi
+







 pi+pi
= . 
 
 
Figura E 2.5 – Localização das raízes. 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS – SEÇÃO 2 
 
1) – É dado o número complexo i1z += . 
a) – Localize z, z− e z* no plano complexo. 
b) – Escreva cada um deles na forma polar. 
 
c) – Usando o complexo i1z += , mostre que *)zz(
2
1}z{}z{real +=ℜ≡ e que 
*)zz(
i2
1}z{}z{imaginário −=ℑ≡ . Estas duas relações são válidas para qualquer número 
complexo e seu conjugado. 
 
2) – Dados os números complexos na forma polar, pede-se escrevê-los na forma 
retangular. 
a) 




 pi
+
pi
4
isen
4
cos2 b) 




 pi
+
pi
3
2isen
3
2
cos3 
3) – É verdade que 
z
1
z
1
= ? 
 
4) – Verifique se é verdadeira a igualdade 
zIm
1
z
1Im =





 
 13 
 
 
5) – Que curva corresponde a 22z =− ? E para 31z1z =−++ ? 
Sugestão. iy)ax(aiyxaz +−=−+=− e use a definição do módulo. 
 
6) – Sabemos que 1i2 −= . Mas podemos “provar” que 1i2 = !! 
Descubra onde se cometeu um pequeno deslize nesta “demonstração”. 
11)1)(1(11i2 ==−−=−−= . 
 
7) – Encontre todas as raízes de ( ) i2z b) 8;z a) quando z 31 +−== . Expresse suas 
respostas na forma polar e na forma retangular. Localize-as no plano complexo. 
 
 
 
3 – FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA 
 
 
INTRODUÇÃO 
 Muitas propriedades de função de variável complexa são bastante semelhantes à 
da função real estudada em Cálculo. Entretanto, elas podem possuir diferenças 
marcantes e, às vezes, surpreendentes. Por exemplo, a variação de sen(z) não está 
restrita ao intervalo ]1,1[− , mas pode ter qualquer valor, incluindo ),( ∞−∞ . Dentro do 
campo complexo é possível se ter logaritmo de números negativos; e a função 
exponencial, que para variável real é monótona, para variáveis complexas ela se 
comporta como periódica. 
 Quando se trata de função, obviamente, é necessário que se tenha uma variável. 
Em cálculo você estudou função de uma variável real, x, e sua representação gráfica 
requeria duas dimensões para se visualizar o comportamento da função. No estudo que 
estamos iniciando, a variável é rotulada z. Porém, aqui já se introduz uma pequena 
complicação: a variável z, ela própria, é função de x e de y, iyxz += . Variando-se uma 
delas, ou ambas, a variável z também irá variar e possuir diversos valores. Observe que 
até então tínhamos usado z como um número complexo, mas agora z passa a ser uma 
variável. A pequena complicação a que me referi é sobre a representação gráfica: 
necessitamos de um espaço quadridimensional. Duas dimensões para x e y e mais duas 
para a função. A visualização em tal espaço de quatro dimensões não é uma tarefa 
trivial por que nossa mente provinciana ocorre de não ir além de três dimensões... 
 
 
GRÁFICOS E LIMITES 
 
 Um exemplo pode ajudar e servirá também para uma rota alternativa na 
representação gráfica. 
Considere uma função bastante simples como 2z)z(f = . Alguns autores preferem 
escrever 2zw = . Usaremos ambas indistintamente. 
Ora, xy2iyx)iyx(z)z(f 2222 +−=+== , e esta função é claramente composta por duas 
partes, sendo uma real, e a outra imaginária. 
Então, podemos escrever )y,x(iv)y,x(u)z(f += onde, neste caso, 
2xyy) v(x,e yx)y,x(u 22 =−= (sendo ambas reais!). Percebeu agora a necessidade de 
quatro dimensões? Isso é contornável: usamos duas dimensões para x e y (plano z) e, ao 
 14 
 
lado, construímos um plano w, cujos eixos são u e v. Muito bem: a parte gráfica está 
determinada, porém, o que representa essafunção? Ou seja, o que se tem no plano w? 
Como a função é quadrática, é de se esperar que nos contemple com parábolas. Para não 
sermos demasiados ambiciosos, vamos eleger alguns pontos do plano z e construir sua 
imagem no plano w (isto é chamado de uma transformação). Na figura à esquerda, 
escolhemos os pontos das retas 1 xe 1y == . 
 
 
 
Figura 3.1 – Os planos z e w para estudo de 2z)z(f = . 
 
Para 2xy) v(x,e 1x)y,x(u)horizontal (reta 1y 2 =−=⇒= . Podemos construir uma 
tabela: 
 
 
x y u v 
0 1 -1 0 
1 1 0 2 
 2 1 3 4 
-1 1 0 -2 
 
Para a reta horizontal 2yy) v(x,e y1y)u(x, 1x 2 =−=⇒=
 
e outra tabela é 
construída. 
 
 
x y u v 
1 0 1 0 
1 1 0 2 
1 2 -3 4 
1 -1 0 -2 
 
 À direita da figura 3.1 representamos as curvas (parábolas) obtidas usando as 
tabelas acima. A região hachurada entre as curvas representa os pontos da região 
quadrada no plano z. Isso mostra que pontos do plano z são levados a pontos em w e 
que regiões do plano z são transformadas em regiões no plano w. 
Se você considerar a variação de x no intervalo )x( ∞<<−∞ e )y( ∞<<−∞ , as 
funções u(x,y) e v(x,y) variam sobre todo plano w, isto é, a imagem é todo plano w. 
 15 
 
Tente construir a imagem dessa função considerando )x0( ∞<< e )y0( ∞<< (pontos 
do primeiro quadrante). 
 Antes de continuar a análise de funções, precisamos definir alguns conceitos e 
tratar de uma operação fundamental, a derivada. A justificativa é que pouco se avança 
no estudo de funções sem a noção de derivada; e isto é verdadeiro tanto para a análise 
real como para análise complexa. O estudo de derivadas requer o conceito de limite e de 
continuidade. 
► Lembre-se de que na disciplina de Cálculo, uma função real f foi definida em 
um conjunto S de números reais (geralmente um intervalo), atribuindo a cada valor de x 
nesse intervalo, um número real f(x), chamado de valor de f no ponto x. 
► No campo dos complexos, S é um conjunto de números complexos, e a função f 
definida em S é uma regra que atribui a cada valor de z em S, um número complexo 
)z(fw = . O conjunto S é chamado de domínio de definição de f. 
 ► LIMITE: Diz-se que uma função f(z) tem um limite l quando z se aproxima de 
um ponto z0, escrita como =
→
)z(flim
0zz
 l, se para cada real positivo ε, podemos encontrar 
um real positivo δ tal que, para todo 0zz ≠ dentro do disco <− 0zz δ, tem-se 
<− l)z(f ε. 
 
► CONTINUIDADE: Uma função f(z) é chamada de contínua em z0 se f(z0) é definida 
(= finita) e )z(f)z(flim 0
zz 0
=
→
. 
A prescrição do cálculo de limites, estudados em funções de diversas variáveis reais, é 
praticamente a mesma que temos sobre as funções de uma variável complexa. 
 
 
 
Figura 3.2 – Ilustração do limite de uma função. À esquerda é mostrada uma δ- 
vizinhança de z0, e, à direita, uma ε-vizinhança de l. 
 
 Os dois exemplos seguintes ilustram situações para as quais os limites não 
existem. Não porque eles divirjam, mas por apresentarem valores diferentes dependendo 
de como as variáveis tendem a z0 . 
 
 
EXEMPLO 3.1. 
 Vamos considerar o limite da função ,
z
*z)z(f = para z→0. 
SOLUÇÃO. 
Podemos fazer z→0 ao longo do eixo x colocando y=0 e então fazer x →0. 
 
1
0ix
0ixlim
z
*zlim
oxoz
=
+
−
=
→→
. 
 16 
 
 
Mas podemos também calcular este limite fazendo x=0 (ao longo do eixo y): 
 
1
iy0
iy0lim
z
*zlim
0yzz 0
−=
+
−
=
→→
 
 
Obtivemos dois limites diferentes dependendo de como foi escolhido o caminho e 
dizemos que este limite não existe. Lembre-se de que, para existir o limite, ele deve ser 
único não importando a maneira de como z0 se aproxima de z. Esta conclusão foi 
também obtida para funções reais de diversas variáveis. 
 
 
 
EXEMPLO 3.2 
 
 Verifique se existe 








+
+→
3
x
10z
iy
e1
1lim . 
 
SOLUÇÃO. 
Neste caso a função é dada em termos de u(x,y) e v(x,y). 
O limite de 3y)y,x(v = certamente existe quando (x,y)→(0,0). 
 
A análise mais cuidadosa recai sobre 
1e
1)y,x(u
x
1
+
= . Mais precisamente, sobre o 
termo x
1
e . Quando +→ 0x , ∞→x1e e quando −→ 0x , 0e x1 → . 
 
Portanto, 0)y,x(ulim
0x
→
+→
 e 1)y,x(ulim
0x
→
−→
. Novamente, o limite não é único e 
dizemos que ele não existe. 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS – SEÇÃO 3 
 
1) – Baseado no exemplo de 2z)z(f = , discutido no texto, analisar a função 
iz)z(fw == . 
 
2) – Mostre que a) i4
i2z
4zlim
2
i2z
=
−
+
→
; b) i1
iz
z2lim
1z
−=
+→
. 
3) – Determine 





++
+→ 2
yπisenyxlim 32
i21z
. 
 
 
 
4 – DERIVADA DE FUNÇÕES COMPLEXAS E AS EQUAÇÕES DE CAUCHY-
RIEMANN. 
 
 
 17 
 
 Vimos acima que algumas funções não apresentam limites, pois não se consegue 
um único valor deste processo. Como a derivada está fundamentada no conceito de 
limite, é de se esperar que algumas funções não apresentem derivadas. 
 A derivada de uma função complexa w)z(f = é definida como: 
 
z
)z(f)zz(flimw)z(f
dz
df
0z ∆
−∆+
=′=′=
→∆
 (120) 
 
Esta definição é formalmente idêntica àquela usada para funções de uma variável real. 
 
Para funções de uma variável real, a interpretação geométrica da derivada é um 
processo limite de retas secantes tendendo à reta tangente em certo ponto. Para funções 
de variável complexa, a interpretação da derivada está esboçada abaixo. 
 Existem infinitas maneiras de fazer ∆z→ 0 no plano complexo (para funções de 
uma variável real, somente duas possibilidades acontecem: ou limite à esquerda ou 
limite à direita; para funções de mais de uma variável, voltamos à infinidade de 
maneiras possíveis). 
 
 
 
Figura 4.1 – Interpretação geométrica da derivada no ponto P ( 0z= ). 
 
 Um exemplo pode mostrar sobre o que estamos falando. 
 
EXEMPLO 4.1 
 Considere a função iyx*zz)z(f −=≡= . Ela é derivável? 
 
SOLUÇÃO. 
Dado incremento yixz ∆+∆=∆ para a função, podemos escrever 
 
[ ]
yix
yix
yix
)iyx(yy(i)xx(
z
)z(f)zz(f
∆+∆
∆−∆
=
∆+∆
−−∆+−∆+
=
∆
−∆+
 
 
Se ∆z é real (∆y=0) temos: 1
x
xlim
yix
yixlim
0x0z
=
∆
∆
=
∆+∆
∆−∆
→∆→∆
. 
 
Se ∆z é imaginário (∆x=0), 1
yi
yilim
yix
yixlim
0y0z
−=
∆
∆−
=
∆+∆
∆−∆
→∆→∆
. 
 18 
 
Mais uma vez os limites não coincidem, e, portanto, a função não é derivável. 
 A figura seguinte mostra os dois caminhos escolhidos na resolução analítica do 
problema. 
 
 
Figura E 4.1 – Caminhos no plano complexo para mostrar que os limites não coincidem. 
 
 
 Parece um pouco desencorajador o fato de que uma função tão simples como z* 
não possua derivada. Entretanto, existem diversas funções de z que possuem derivadas e 
que são de grande importância e aplicabilidade. 
 Se você se lembra de derivadas direcionais para variáveis reais, deve ter notado 
que uma função de variável complexa só possui derivada, em algum domínio, se todas 
as derivadas direcionais são iguais. 
 
 
►DEFINIÇÃO de FUNÇÃO ANALÍTICA. 
 Diz-se que uma função f(z) é analítica em um domínio D se f(z) é definida e 
derivável em todos os pontos desse domínio. Uma função é analítica em um ponto z0 em 
D, se ela é analítica em uma δ-vizinhança de z0. 
 
 
EXEMPLO 4.2 
 Se uma função é derivável em um ponto isolado, ela NÃO é analítica: 
analiticidade envolve um domínio, uma região bidimensional. Pontos e curvas NÃO 
formam um domínio. 
 Mostrar que a função 2z)z(f = só é derivável na origem e, portanto, ela não é 
analítica. 
22
2
22 yxyx)z(f +=



 += . 
 Podemos identificar as funções 0v(x,y)eyx)y,x(u 22 =+= . Precisamos nos preocupar 
apenas com u(x,y). 
 
yix)yx()yy()xx(lim
yix
)x(u)xx(ulim
z
)z(f)zz(flim
2222
0y
0x
0y
0x0z ∆+∆
+−∆++∆+
=
∆+∆
−∆+
=
∆
−∆+
→∆
→∆
→∆
→∆→∆
. 
 
yix
)y(yy2)x(xx2lim
22
0y
0x ∆+∆
∆+∆+∆+∆
→∆
→∆
. 
Agora fazemos 0y =∆ e o resultado é x2
x
)x(xx2lim
2
0x
=
∆
∆+∆
→∆
. 
 19 
 
 
Com 0x =∆ , temos y2i
i
y2
yi
)y(yy2lim
2
0y
−==
∆
∆+∆+
→∆
. 
 
Estes dois resultados são iguais somente se 0yx == . Isto significa que a função só é 
derivável no ponto (0,0) e, portanto, ela NÃO é analítica. 
 
 
 Estamos, então, em uma posição muito parecida com aquela de decidir se uma 
força é conservativa ou não. Isto porque a definição de força conservativa implica em 
que o trabalho realizado por ela independe do caminho. Para concluir que a força é 
conservativa não precisamos integrar por todos os caminhos ligando dois pontos 
quaisquer (na verdade, em duas e três dimensões existem infinitas escolhas). Desde que 
a força esteja definida em um domínio simplesmente conexo e com derivadas primeiras 
contínuas, o rotacional de uma força conservativa se anula. 
 Para funções de variável complexa, existe um teorema que permite decidir se 
uma função é analítica ou não, dentro de um domínio D. 
 
 
TEOREMA de CAUCHY-RIEMANN. 
 Se )y,x(iv)y,x(u)z(f += é analítica em um domínio D, então u(x,y) e v(x,y) têm 
primeiras derivadas parciais contínuas em D e satisfazem às equações de Cauchy-
Riemann neste domínio: 
 
y
v
x
u
∂
∂
=
∂
∂
 e 
x
v
y
u
∂
∂
−=
∂
∂
 Equações de Cauchy-Riemann (C.R.) (121) 
 
 E também, a derivada da função pode ser escrita de uma das formas abaixo: 
 
y
ui
y
v
y
ui
x
u
x
vi
y
v
x
vi
x
u
dz
)z(df
dz
dw
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=≡
 (122) 
 
Inversamente, se u e v têm primeiras derivadas parciais contínuas em D e satisfazem as 
equações de Cauchy-Riemann (C.R.), então )y,x(iv)y,x(u)z(f += é analítica em D. 
 
 
 
EXEMPLO 4.3 
 Quando analisamos função iyx*z)z(f −== concluímos que ela não era 
analítica. Verifique se as condições (ou eqs. de C.R.) também dão o mesmo resultado. 
 
SOLUÇÃO. 
 Para esta função identificamos y)y,x(v e x)y,x(u −== . 
 1
y
v
 e 1
x
u
⇒−=
∂
∂
=
∂
∂
as derivadas não são iguais e, portanto, a função não é analítica. 
Observe que nem utilizamos a segunda condição, pois a primeira é suficiente para a 
conclusão. 
 
 
 20 
 
 
EXEMPLO 4.4 
 A função 2z)z(f = é analítica? Se for, determine o domínio no qual isto 
acontece. 
 
SOLUÇÃO. 
 A função f(z) escrita como u(x,y) e v(x,y) é: 
 
xy2iyx)iyx(z)z(f 2222 +−=+== , e, portanto, podemos identificar u e v. 
 
2xyy) v(x,e yx)y,x(u 22 =−= . 
 
x2
y
v
 ;x2
x
u
=
∂
∂
=
∂
∂
. y2
x
v
 ; y2
y
u
=
∂
∂
−=
∂
∂
. 
 
Os resultados indicam que as condições de C.R. são satisfeitas e, portanto, f(z) é 
analítica. Como as igualdades valem para quaisquer x e y, conclui-se que o domínio é 
todo o plano complexo. 
 
 
 
FUNÇÕES HARMÔNICAS 
 
 DEFINIÇÃO: Uma função Φ(x,y) é chamada de harmônica se ela satisfaz a 
equação bidimensional (de Laplace): 
 
0
yx 2
2
2
2
2
=
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
=Φ∇
 (123) 
 
A parte real e a parte imaginária de uma função analítica, )y,x(iv)y,x(u)z(f += , 
satisfazem, separadamente, a equação de Laplace, isto é, u e v são harmônicas. E uma 
delas é chamada de harmônica conjugada da outra. 
 
 
EXEMPLO 4.5 
 Dada a função xyx)y,x(u 22 −−= , verifique se ela é harmônica em todo plano 
complexo. Se for, encontre a conjugada (este termo não tem nada a ver com complexo 
conjugado!) e escreva a f(z). Obtenha sua derivada. 
 
SOLUÇÃO. 
2
x
u
 1x2
x
u
2
2
=
∂
∂
⇒−=
∂
∂
 2
y
uy2
y
u
2
2
−=
∂
∂
⇒−=
∂
∂
 
 
Somando-se os dois resultados acima, conclui-se que u(x,y) é harmônica. 
 Para encontrar a conjugada v(x,y) usamos as equações C.R. 
 21 
 
Como 
y
v
x
u
∂
∂
=
∂
∂
 e sabemos que isto é igual a 1x2 − 1x2
y
v
−=
∂
∂
⇒ . Precisamos integrar 
para encontrar v(x,y). A integração é realizada mantendo-se x constante. NÃO EXISTE 
INTEGRAÇÃO PARCIAL; portanto, jamais escreva ∫ ∫ ∂−=∂ y)1x2(v . 
Escrevemos a forma correta: ∫ ∫ −= dy)1x2(dv com x sendo mantido constante 
)x(gyxy2)y,x(v +−=∴ . Adicionamos a função g(x) por dois motivos: 1) se você 
derivar parcialmente em relação a y, ela se anula; 2) se você não colocá-la, pode perder 
informação sobre a v(x,y). 
Utilizamos agora a outra relação de C.R. 
 






+−=−⇒
∂
∂
−=
∂
∂
dx
dgy2y2 
x
v
 
y
u
. Desta igualdade obtemos, 
 
 constanteAg(x) 0
dx
dg
==∴= . 
 
Finalmente, a função v(x,y) pode ser escrita: Ayxy2)y,x(v +−= . Verifique se ela 
realmente é harmônica. 
 
A função analítica que procuramos é: 
 
)Ayxy2(ixyx)y,x(iv)y,x(u)z(f 22 +−+−−=+= . 
 
x
vi
x
u)z(f
dz
df
∂
∂
+
∂
∂
=′≡ )y2(i1x2 +−⇒ . 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS – SEÇÃO 4 
 
1) – Verifique quais das funções são analíticas. 
(a) )xy3yx3(iyx)z(f 2233 +++= ; 
(b) xcosisenyycossenx)z(f += ; 
(c) )x5y3(iy5x3)z(f −++= ; 
(d) iz)z(f = ; e) zi)z(f = ; f) *zz)z(f = 
 
2) – É dada a função yyx)y,x(u 22 −−= . 
a) – verifique se ela é harmônica. 
b) – encontre a conjugada v(x,y). 
c) – escreva a função analítica f(z) e calcule sua derivada. 
 
3) – Dada a função 23 xy3x)y,x(v −= , 
a) – verifique se ela é harmônica; 
b) – encontre sua conjugada; 
c) – escreva a função analítica f(z) e ache sua derivada. 
 
 22 
 
4) – Encontre o valor da constante a para que a função y2cose)y,x(u ax= seja 
harmônica e determine sua conjugada. 
 
 
 
 
5 - FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
 Denominamos funções elementares como sendo potências, raízes, funções 
trigonométricas e suas inversas, logaritmo, exponencial e suas combinações. 
 Com a derivada e as condições de C.R. sob controle, podemos iniciar o estudo de 
funções elementares. 
 
 
 A função exponencial. 
 
 É uma das importantes funções analíticas dentro do campo complexo e sua 
definição é muito semelhante àquela introduzida para números reais. 
 
)isenyy(coseezexpe)z(f xiyxz +==== +
 (124) 
 
Esta definição é motivada por algumas propriedades, tais como, 
I ► ze se torna xe quando z é real. 
II ► ze deve ser uma função analítica em todo plano complexo. 
III ► z
z
e
dz
de
=
 como no caso de variável real. 
IV ► 2121 zzzz eee =+ . 
 
 Além dessas características, a função exponencial apresenta outras propriedades 
bastante importantes. 
 Todas estas propriedades são demonstráveis. Por exemplo, para mostrar que III é 
verdadeira, escrevemos: 
)y,x(iv)y,x(usenyieycosee xxz +=+= e, então, usamos uma das relações para a 
derivada, estabelecidas no teorema de C.R.: 
Com senye
x
v
 e ycose
x
u xx
=
∂
∂
=
∂
∂
, tem-se: 
 
 
zxx esenyei ycose
x
vi
x
u)z(f =+=
∂
∂
+
∂
∂
=′
.
 
 
Módulo de :ez
 
( ) x2122xxxz eysenycoseisenyycose)isenyy(cosee =+=+=+= 
 
No início deste capítulo, falamos que a função exponencial, ze , apresenta uma 
diferença marcante em relação à sua contra partida real xe (que é monótona): a forma 
complexa apresenta periodicidade. Isto não é difícil de perceber por que sua definição 
envolve funções as periódicas seno e cosseno. 
Matematicamente, escreve-se zn2iz ee =pi+ . 
 
 23 
 
[ ]∴pi++pi+=pi+ )n2y(isen)n2ycos(ee xn2izzx e)isenyy(cose =+ (com n inteiro) (125) 
 
 O que se deve esperar do “gráfico” desta aplicação? Simplesmente isto: uma 
faixa horizontal de largura igual a 2π, por exemplo, de (-π,π] gera todo plano w. 
Qualquer outro valor de z, fora desta faixa, leva a pontos já assinalados no plano w. 
 
 
 
Figura 5.1 – Periodicidade da função exponencial. 
 
 
EXEMPLO 5.1 
 Encontre todos os valores de z para os quais i43e z += . 
SOLUÇÃO. 
609.15lnx5169i43ee xz ≈=∴=+=+== . Esta é a parte real da solução. 
Mas 927.0y5
3ycos3ycose x =∴=⇒= . A resposta final e completa com todas as 
soluções possíveis é então dada por: 
 
)πn2927.0(i609.1πn2i927.0i609.1z ±+=±+= . (n=1,2,3...) 
 
 
 
Figura E 5.1 – Localização das soluções da equação. 
 
 
 
 24 
 
EXEMPLO 5.2 
 Encontre as raízes de ie z = . 
 
SOLUÇÃO. 
0x1ee xz =∴== ; πn22
πy 0ycos0ycose x ±=∴=⇒= . Aqui você poderia 
escrever a solução πn2
πy ±= , que é correta também porque ycos se anula nesses 
pontos. Porém, quando analisar 
 a situação abaixo, verá que nπ não satisfaz e somente 
o valor 2nπ pode ser escolhido. 
πn22
πy1senysenye x ±=∴== . 
Se você insistir com nπ, a função ysen alterna 
valores +1, -1 e a raiz negativa deve ser descartada 
 pelas condições do problema. 
 
A resposta completa é ).πn22π(iz ±=
 
 
Figura E 5.2 – Raízes da equação 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS – SEÇÃO 5 – FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
1 – Mostre que a função zexp é analítica em todo plano complexo. 
 
2 – Prove que zexp não é analítica. 
 
3 – Seja θirez = . Escreva z e z ,z −− . 
 
4 – Determine todos os valores de z para 1e )1z2( =− . 
 
5 – Encontre todos os valores de z tais que zz ee = . 
 
6 – Verifique se zexp é harmônica. 
 
 
 AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E AS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
 
Funções Trigonométricas 
 
 A definição da função exponencial de uma variável complexa nos levou a uma 
propriedade que a função de variável real não possui: a periodicidade de exp(z). 
Veremos que as funções trigonométricas apresentam características muito semelhantes 
às das funções reais correspondentes, porém, uma diferença marcante entre elas é que, 
para a variável complexa, estas funções não estão limitadas ao intervalo [-1,1]. 
 A ideia para se definir as funções trigonométricas é partir da fórmula de Euler: 
 
 isenxxcose ix += (126) 
 25 
 
 
isenxxcose ix −=− (127) 
 
Somando-se (126) e (127), temos 
 
 
)ee(
2
1
xcos ixix −+=
 (128) 
 
Subtraindo-se (126) e (127), obtém-se 
 
 
)ee(
i2
1
senx ixix −−=
 (129) 
 
 Estas relações sugerem a seguinte definição para valores complexos: 
 
)ee(
2
1
zcos iziz −+=
 
 (130) 
 
)ee(
i2
1
zsen iziz −−=
 (131) 
 
Como a função exponencial é analítica em todo plano complexo, as funções zsen e 
zcos também são analíticas para qualquer z. Entretanto, as funções definidas abaixo 
não são analíticas para todo z. Elas deixam de ser analíticas nos pontos para os quais o 
denominador se anula. Esses pontos são chamados de singularidades. 
 
zcos
zsen
ztan =
 
zsen
zcos
zancot =
 
zcos
1
zsec =
 
zsen
1
zseccos =
 
 
 As definições de senz e cosz permitem uma conclusão sobre a fórmula de Euler: 
 
)ee(
2
1
zisen iziz −−= e )ee(
2
1
zcos iziz −+= . Somando-se as duas igualdades 
obtém-se 
 
zisenzcose iz +=
 (132) 
 
A conclusão é que a fórmula de Euler é válida para números complexos z. 
 
 Quando se define uma função, como fizemos acima, o mínimo que se pode 
esperar é que ela apresente as mesmas propriedades das funções reais e talvez possua 
uma abrangência maior. 
 Por exemplo, sobre a paridade dessas funções: 
 
zcos)zcos( =−
,
 pois cosseno é uma função par. 
 
zsen)z(sen −=−
,
 porque seno é uma função ímpar. 
 
 As derivadas são estabelecidas como: 
 26 
 
 
zcoszsen
dz
d
=
 
 (133) 
 
zsenzcos
dz
d
−=
 (134) 
 
Estas quatro propriedades são facilmente demonstradas, usando-se as respectivas 
definições. 
 Outro aspecto importante sobre essas novas funções é que elas são analíticas, e, 
portanto, obedecem as condições de C.R.. Também é fácil mostrar que senz e cosz são 
periódicas, como no caso de variável real. De fato, 
 
zsen)2z(sen =pi+
 e zcos)π2zcos( =+ . 
 
 Antes de prosseguir, precisamos definir as funções hiperbólicas para variável 
real. Temos dois bons motivos para fazê-lo: primeiro porque as funções trigonométricas 
complexas podem ser expressas fazendo-se uso delas (não existe similaridade para as 
funções trigonométricas de variáveis reais). Segundo, definiremos as funções 
hiperbólicas de variável complexa. 
 Para uma variável real, θ (ou x ou y...) definem-se: 
 
 
)ee(
2
1
θcosh θθ −+=
 (cosseno hiperbólico de θ) (135) 
 
 
)ee(
2
1
senh θ−θ −=θ
 (seno hiperbólico de θ) (136) 
 
Note que em nenhum deles aparece o fator imaginário, i. O comportamento gráfico 
dessas duas funções está esboçado abaixo, mostrando as suas paridades. 
 
 
 
Figura 5.2 – As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico (θ real). 
 
Voltando às funções trigonométricas. 
 
senhyisenxycoshxcos)iyxcos(zcos −=+=
 (137) 
 
 
 27 
 
senhyxcosiycoshsenx)iyx(senzsen +=+=
 (138) 
 
Vamos demonstrar que a primeira relação acima é verdadeira. Para demonstrar a 
segunda, o procedimento é semelhante. 
 
 
[ ] )xisenx(cose
2
1)xisenx(cose
2
1
ee
2
1)ee(
2
1
zcos yy)iyx(i)iyx(iiziz −++=+=+= −+−+− . 
 
 Rearranjando os termos e em seguida usando a definição das funções 
hiperbólicas, obtemos: 
 




−−



+= −− )ee(
2
1
xisen)ee(
2
1
xcoszcos yyyy ⇒
 
ysenhxisenycoshxcoszcos −=
 
. 
Não se esqueça de que os argumentos das funções trigonométricas são dados em 
radianos. 
 Estas relações são bastante convenientes. Elas são claras para se identificar 
rapidamente as funções u(x,y) e v(x,y) que podem ser utilizadas para se mostrar que 
senz e cosz são analíticas. Adicionalmente, a evidência de que o período de ambas vale 
2π é imediata. 
 Observe que, embora xsen e xcos sejam funções limitadas, cosh(y) e senh(y) 
não possuem limites para z tendendo a infinito: isto significa que nem sen(z) e nem 
cos(z) estão restritas a qualquer intervalo finito, como no caso de funções de variáveis 
reais. 
 Existe ainda outro aspecto a ser abordado. Considere a função senz. 
 
xcos)iy(sen)iycos(xsen)iyx(senzsen +=+= . 
 
Se compararmos esta expressão com aquela estabelecida anteriormente, 
 
ysenhxcosiycoshxsen)iyx(senzsen +=+= , podemos concluir que: 
 
ycoshcos(iy) =
 (139) 
 
 
yisenh)iy(sen =
 
 (140) 
 
 
EXEMPLO 5.3 
 Encontre todos os valores de z tais que i3zsen = . Note que 
realser pode não z1zsen ⇒> . 
 
SOLUÇÃO. 
 Apresentaremos dois métodos de resolução e, comparando-os, você pode decidir 
a qual deles se adapta melhor. E esperamos também que, no final ambas, as soluções 
coincidam. 
 
1º MÉTODO. 
 28 
 
 i30ysenhxcosiycoshxseni3zsen +=+⇒= . Comparamos as partes real e 
imaginária: 
.)0,1,2,3...(n nx 0y cosh como ; 0ycoshxsen =pi=⇒≠= . Pode-se também 
considerar valores negativos para n, mas isto significa descrever o círculo 
trigonométrico no sentido inverso e, portanto, usaremos somente os valores positivos. 
.n xque sabemos já mas ; 3ysenhxcos pi== Agora devemos ter um pouco de cuidado 
pois senh(y) pode ser positivo e negativo. 
♦ Se n é par, cosnπ épositivo (=1) e portanto senh(y) também deve ser positivo para que 
o produto seja um número positivo (=3). 
1.82y3ysenh1 :parn Para ≈⇒=×
 
(este valor você obter diretamente de sua 
calculadora). 
 Temos a primeira conclusão: i82.1πnz1 += para n par. Este resultado pode ser 
reescrito como 1,2,3...,0n com i82.1πn2z1 =+= . 
♦ Se n é ímpar, cos(nπ) é negativo ( 1−= ) e, portanto, senh(y) deve ser negativo também 
para que o produto seja positivo (=3). 
1.82y 3senhy3ysenh1)( :ímparn Para −≈∴−=⇒=×− . 
 
 Temos a segunda conclusão: i82.1πnz 2 −= para n ímpar. Isto pode ser escrito 
como: 0,1,2,...n com i82.1π)1n2(z 2 =−+= . 
 
Alguns autores escrevem a solução mais geral considerando valores positivos e 
negativos para n. Neste caso, nossas respostas seriam: 
 
0,1,2...n com i82.1πn2z1 =+±= e 0,1,2,...n com i82.1π)1n2(z 2 =−+±= . 
 
 
2º MÉTODO. 
 Usaremos a definição da função senz. 
6)i3)(i2(eei30)ee(
i2
13zsen iziziziz −==−∴+=−⇒= −− . Multiplicando por eiz, temos: 
( ) 016ee61e iz2iziziz2 =−+⇒−=− . Definindo uma nova variável izeα ≡ , podemos 
escrever: 
01α6α 2 =−+ , que é uma equação do 2º grau e pode ser facilmente solucionada. 
 
162.6α e 162.0α
2
406
α 21 −==∴
±−
= . 
 
 1111 iyxzα +=→ ; mas 162.0eee162.0eα 1111111
ixyixy)iyx(iiz
1 =∴==⇒=
+−+−+
 
 
 




=
=
⇒+=+
−
−
−
(2) 162.0xcose
(1) 0xsene
i0162.0)xisenx(cose
1
y
1
y
11
y
1
1
1
. 
 
De (1): como a exponencial nunca se anula para valores finitos, então 
 )0,1,2,3...n (com nx0xsen 11 =pi=⇒= . 
De (2): 
sitivo.op seja produto o que para voipositser deve xcospositivo sempre é e 1y1 ∴− Com 
 29 
 
isto, precisamos reavaliar os valores de n encontrados de (1): a restrição impõe que n 
seja par (da forma 2n). 
 
 
82.1y)162.0ln(y162.0e1 11y1 =∴=−⇒=× − . 
 
 A primeira conclusão: 0,1,2..n com i82.1πn2z1 =+±= . 
 
Para a outra raiz, α2, podemos fazer algo semelhante. 
 
2222 iyxzα +=→ . 162.6ee162.6α
)iyx(iiz
2
222
−=⇒=−= + . 
 




−=
=
⇒+−=+=
−
−
−+−
(4) 162.6xcose
(3) 0xsene
i0162.6)xisenx(cosee
2
y
2
y
22
yixy
2
2
222
 
 
De (3): a única possibilidade é que senx2 se anule porque a exponencial é sempre 
positiva. Isto nos dá 0,1,2,3...n com πnx 2 == 
De (4): como a exponencial é sempre positiva, o valor de cosx2 deve ser negativo para 
se ter um produto negativo )162.6( −= . Isto limita os valores de n encontrados em (3): 
somente valores ímpares de n são aceitáveis (da forma 2n+1). 
 
 Temos então 82.1y)162.6ln(y162.6e1 22y2 −=∴=−⇒−=×− − . 
 
Podemos finalmente escrever as soluções. 
 
0,1,2...n com i82.1πn2z1 =+±= e 0,1,2,3...n com i82.1π)1n2(z 2 =−+±= . 
 
Felizmente, encontramos os mesmos resultados obtidos pelo 1º método. 
 
 Na figura a seguir localizamos as raízes da equação i3zsen = . 
 
 
 
Figura E 5.3 – Raízes da equação i3zsen = . 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS – SEÇÃO 5 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. 
 
7 – Encontre o valor de )i1cos( + e de )i2(sen − . Qual o módulo de cada um? 
 
8 – Verifique se zcoszcos = e .zsenzsen = 
 30 
 
 
9 – Partindo das definições de senz e cosz, mostre que 1zcoszsen 22 =+ 
 
10 – Usando as definições de zsen (130) e zcos (131), mostre que 
122121 zcossenzzcossenz)zz(sen +=+
 
e 212121 zsenzsenzcoszcos)zzcos( −=+ . 
 
11 – As partes reais e imaginárias das funções senz e cosz são harmônicas? 
 
12 – Encontre todas as raízes (isto é, todos os valores de z) para os quais 5zcos = . 
 
13 – Mostre que os zeros de 0zsen = e 0zcos = são todos reais. O que está se pedindo 
é encontrar todos os valores de z tais que 0zsen = e 0zcos = . 
 
Funções Hiperbólicas. 
 
 O nome “função hiperbólica” se deve ao fato que as funções senh(t) e cosh(t) 
desempenham na representação paramétrica da hipérbole, 1yx 22 =− , o mesmo papel 
que as funções trigonométricas, sen(t) e cos(t), desempenham na representação 
paramétrica da circunferência, 1yx 22 =+ . 
 
 As funções hiperbólicas de variável real já foram definidas acima e novamente elas são 
expressas: 
 
)ee(
2
1
θcosh θθ −+=
 
 (135) 
 
 
)ee(
2
1
θsenh θθ −−=
 (136) 
 
Para variáveis complexas, substituímos θ por z: 
 
)ee(
2
1
zcosh zz −+=
 
 (141) 
 
)ee(
2
1
zsenh zz −−=
 
 (142) 
 
Uma observação: na expressão da função senhz não existe o fator i no denominador, 
como acontece com a função senz. 
 Ambas são funções analíticas em todo plano complexo e tem derivadas dadas 
por: 
 
zsenh)ee(
2
1)ee(
2
1
dz
d
zcosh
dz
d zzzz
=−=



+= −−
 (e não – senhz) (143) 
 
 
zcosh)ee(
2
1)ee(
2
1
dz
d
senhz
dz
d zzzz
=+=



−=
−−
 (144) 
 
 31 
 
De forma semelhante à análise real, para funções hiperbólicas se cumpre a relação 
(observe o sinal negativo entre as duas funções): 
 
1zsenhzcosh 22 =−
 (145) 
 
As funções trigonométricas complexas e as funções hiperbólicas estão relacionadas. Se 
nas definições de coshz e senhz substituirmos z por iz, obteremos: 
 
zcos)ee(
2
1izcosh iziz =+= −
 (146) 
 
 
zisen)ee(
2
1izsenh iziz =−= −
 
 (147) 
 
O problema 16 mostra outras duas relações importantes envolvendo funções 
hiperbólicas e funções trigonométricas: 
 
[ ] zcoshee
2
1)izcos( )iz(i)iz(i =+= −
 (146A) 
 
[ ] zisenhee
i2
1)iz(sen )iz(i)iz(i =−= −
 (147A) 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS – SEÇÃO 5 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
 
14 – Verifique se zcosh e zsenh são analíticas em todo plano complexo. 
 
15 – Mostre que a relação 1zsenhzcosh 22 =−
 
é verdadeira. 
 
16 – Usando as definições de zcos [eq. 130] e zsen [eq. 131], faça izz → para mostrar 
que zcosh)izcos( = (146A) e zisenh)iz(sen = (147A). 
 
17 – Usando as relações obtidas no problema anterior, [eq. 146A] e [eq. 147A], 
demonstre que 212121 senhzsenhzzcoshzcosh)zzcosh( +=+ (note o sinal +). 
 
18 – Encontre todos os possíveis valores de z para os quais se tem 2zcosh = . Localize 
no plano complexo esses valores. 
 
 
Função Logaritmo 
 
 Muito provavelmente quando você estudou a função logarítmica, foi falado que 
não existia logaritmo de números negativos. Também deve ter notado, pela 
representação gráfica, que a função era unívoca: para cada valor de x existia somente 
um valor de lnx. Tudo isto é verdade para números reais, porém, para números 
complexos, ambas as propriedades precisam ser reavaliadas. Veremos na sequência que, 
para complexos, existem logaritmos de números negativos e a função não é unívoca. Da 
mesma forma como acontece no campo real, não se define logaritmo para 0z = . 
 
 32 
 
 DEFINIÇÃO: Se wez = , então se define a função logarítmica como sendo 
a inversa da exponencial: 
 
zlnw)z(f ==
 para z não nulo. (148) 
 
 A forma polar de números complexos é bastante adequada para ser utilizada com 
a função logarítmica: 
 Com θθ == ii reezz a função zln fica: 
 
θirlnzln += .(definição provisória) 
 
Mas isto não está completo: observe que argz θ= tem uma infinidade de valores, todos 
diferindo por um múltiplo de 2π. Portanto, um número complexo tem infinitos valores, 
todos eles diferindo por um múltiplo de 2πi. Foi a este fato que me referi na introdução, 
dizendo que a função é plurívoca, contrariamente ao que ocorre para números reais. 
 A definição completa da função zln é: 
 
)πn2θ(irlnzln ±+=
.(definição completa) (149) 
 
 Para torná-la unívoca, deve-se restringir a variação do ângulo θ: em geral, usa-se 
o intervalo π2θ0 <≤ , mas isso não éconsensual e alguns autores preferem usar o 
intervalo πθπ ≤<− . Quando fazemos 0n = , tem-se o que se chama de valor principal 
da função logarítmica. 
 
 
SOBRE A NOTAÇÃO: 
 Alguns autores usam a notação Lnz para ficar claro que ele está trabalhando com 
o valor principal da função: 
θirlnLnz += (valor principal) 
e com esta notação, escreve-se: 
 
i)πn2(Lnzzln ±= com ...3,2,1n = . 
 
A advertência aqui é clara: quando encontrar esta notação, já sabe a que o autor está se 
referindo. 
 
 Damos abaixo uma pequena tabela com alguns os valores de logaritmos. 
 
 
Logaritmos naturais(ln) Valor principal (Ln) 
,...iπ4,iπ2,01ln ±±=
 01Ln = 
iπ2386.14ln ±= 386.14Ln = 
,...iπ5,iπ3,iπ)1ln( ±±±=− iπ)1(Ln =− 
( ) iπ)1n2(386.14ln +±=− iπ386.1)4(Ln +=− 
,...2iπ5,2iπ3,2iπiln −= 2πLni = 
iπn22iπ386.1i4ln ±+= 2iπ386.1i4Ln += 
iπn22iπ386.1)i4ln( ±−=− 2iπ386.1)i4(Ln −=− 
 
 
EXEMPLO 5.4 
 33 
 
 Qual o valor de )i1ln( + ? 
 
SOLUÇÃO. 
O que se pede é calcular todos os valores que correspondem a )i1ln( + . (logaritmo 
natural). 
211zr 22 =+==
 ; o argumento do número complexo vale 
41
1
arctan
pi
= (o ponto 
está no primeiro quadrante). 
 
Então 4
πi
e2i1z =+= )iπn2(
4
πi2ln)i1ln( ±+=+⇒ 




 ±+≈+∴ πn2
4
πi347.0)i1ln( . 
 
 
 
 Da definição da função ln, podemos escrever as funções reais u(x,y) e v(x,y). Por 
comodidade usaremos a definição do valor principal por que queremos demonstrar que 
1- lnz é analítica em todo o plano com exceção do ponto zero; 2- queremos mostrar que 
a derivada de lnz é 1/z. Para ambos os casos uma constante aditiva é irrelevante. 
 
x
y
arctanθy) v(x,e yxlnrln)y,x(uivuθirlnzln 22 ==+==∴+=+=
 
 
[ ] 2222 yx xyxlnxxu +=+∂∂=∂∂ 222 yx xx1
x
y1
1
x
y
arctan
yy
v
+
=





+
=





∂
∂
=
∂
∂
 
 
As duas derivadas sendo iguais, a primeira relação de C.R. se cumpre. 
 
[ ] 2222 yx yyxlnyyu +=+∂∂=∂∂ −




+
=





∂
∂
=
∂
∂
22 x
y
x
y1
1
x
y
arctan
xx
v
 
Deste resultado, conclui-se que 
x
v
y
u
∂
∂
−=
∂
∂
. 
 
Como as relações de C.R. são satisfeitas pela função, provamos que lnz é analítica, 
exceto em i00z += onde a função não está definida. 
 
 Para mostrar que a derivada vale 1/z, usamos as relações estabelecidas acima: 
 
222222 yx
iyx
yx
yi
yx
x
x
vi
x
u
zln
dz
d
+
−
=





+
−+
+
=
∂
∂
+
∂
∂
= 
 
Se compararmos este resultado com 22 yx
iyx
*zz
*z1
z
1
+
−
=
×
= , vemos que 
 
z
1
 zln
dz
d)z(f
dz
d
==
 (150) 
 
 34 
 
A distributividade da aplicação do ln em produto e o quociente de números complexos 
seguem a mesma regra de números reais: 
1121 zlnzln)zzln( += 21
2
1 zlnzln
z
z
ln −=





 
 
As demonstrações são bem simples. 
 [ ] { } { } 21222111)n2(i2)n2(i121 zlnzln)n2(irln)n2(irlnererln)zzln( 2211 +=pi+θ++pi+θ+== pi+θpi+θ
. 
Para o quociente, basta escrever 
2
1
r
r
 e trocar o sinal da parte imaginária em θ2. 
 
 
EXEMPLO 5.5 
 Qual o valor de ii ? 
 
SOLUÇÃO. 
 Nomeamos ilniαlniα i =⇒≡ . Mas iln já é conhecido (veja tabela acima) e 
escrevemos: 
 
2
)1n2(
e
2
)1n2(
2
i)1n2(iln
pi
+−
=α∴
pi
+−=


 pi
+=α
 
e, como ii=α , então 2
)1n2(i ei
pi
+−
= 
 
...)3,2,1,0n( = . Para 0n =
 
temos o valor principal. 
 
 
 Antes de terminar esta seção, gostaria de mostrar um resultado interessante sobre 
funções analíticas. Ele pode ser estabelecido da seguinte forma: 
 
 “Toda função analítica f(z) não pode depender explicitamente de z*”. 
 
Temos dois exemplos disso no texto: z* e zz*, que não são analíticas. Mas o resultado 
acima é mais abrangente: ele estabelece que QUALQUER função analítica não pode 
depender de z*. 
DEMONSTRAÇÃO: Partimos das relações conhecidas, 
 
2
*zz
x
+
=
 e 
i2
*zzy −=
 (151) 
 
O que se quer mostrar é que 0
*z
)z(f
=
∂
∂
, que expressa o fato de f(z), sendo analítica, não 
pode depender explicitamente de z*. 
 






∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
+∂
=
∂
∂
*z
y
y
v
*z
x
x
vi
*z
y
y
u
*z
x
x
u
*z
vi
*z
u
*z
)ivu(
*z
f
 
 
onde usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. 
 
 35 
 
 Mas as relações (151) permitem obter: 
2
i
i2
1
*z
y
 e 
2
1
*z
x
=−=
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
Substituindo na expressão acima, tem-se: 
 
 





∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∗
x
v
y
u
2
i
y
v
x
u
2
1
y
v
2
i
x
v
2
1i
y
u
2
i
x
u
2
1
z
f
. 
 
Por hipótese, f(z) é analítica e deve satisfazer às condições de C.R. Isto é suficiente para 
concluir que ambas as expressões nos parênteses se anulam: 
 
0
z
f
=
∂
∂
∗
, ou, a função não deve depender explicitamente de ∗z . 
 
 Com este resultado, quando for indagado se, por exemplo, ∗zsen , ∗zexp , 
∗
zcosh ,... são analíticas, a resposta está dada usando o teorema acima. 
 
. 
PROBLEMAS PROPOSTOS – SEÇÃO 5 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
19 – Encontre o valor principal de ).7ln(− 
 
20 – Achar os valores de )2i2ln( −− . 
 
21 – Resolva a equação para z: i3zln −= . 
 
22 – Encontre o valor de z que satisfaz a equação πiezln −= . 
 
 
QUESTÕES E PROBLEMAS PARA REVISÃO (SEÇÕES 1, 2, 3, 4 e 5). 
 
1 – O que ocorre, geometricamente, quando você obtêm o complexo conjugado? 
 
2 – O que é uma função analítica? Uma função pode ser diferenciável em um ponto z0 
sem ser analítica neste ponto? 
 
3 – O que significa dizer que uma função é harmônica? 
 
4 – Qual é a diferença essencial entre logaritmo complexo e o logaritmo do cálculo real? 
 
5 – Escrever na forma retangular (x+iy) 
a) 
i
i43 −
; b) 3)i32( + ; c) 
i2
i5
+
; d) 2
πi
e . 
 
6 – Represente na forma polar: 
a) i33 +− ; b) 12)i1( − ; c) 
i26
20
+
. 
 
7 – Encontre o valor da derivada de 
2ze)z(f = no ponto 3πi. 
 36 
 
 
8 – Obtenha uma função analítica )y,x(vi)y,x(u)z(f += quando, 
 
a) )1x(y2)y,x(v += b) 4224 yyx6x)y,x(u +−= . 
 
9 – Mostre que as funções dadas abaixo são harmônicas. Para os itens (a) e (c) encontre 
sua conjugada. 
a) ycose)y,x(u x pi= pi b) 22 yx
x)y,x(u
+
= c) ycoshsenx)y,x(u = 
 
10 – Encontre todas as soluções para as equações: 
 
a) 3zcos = b) i2zcosh = . 
 
11 – O movimento de um oscilador harmônico simples, sem amortecimento, 
unidimensional, é descrito pela equação diferencial: 
 
0xx 20 =ω+&& , onde mk20 =ω . 
 
Transforme esta equação diferencial em uma algébrica supondo uma solução do tipo 
tAe)t(x α= . Determine α na forma complexa (em função de 0ω ) e mostre que a 
solução em termos de exponenciais é 
 
ti
2
ti
1
00 eCeC)t(x ω−ω +=
 
 
 
6 – INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Quando tratamos do processo de diferenciação, ficou estabelecido que as 
condições de Cauchy-Riemann eram necessárias e suficientes para que uma função 
fosse declarada analítica em certa região do plano complexo.Isto está muito próximo 
da verificação e decisão se uma força é ou não conservativa: neste caso, calcula-se o 
rotacional em um domínio simplesmente conexo, e o valor encontrado permite concluir 
sobre a natureza da força. Outra possibilidade, para este caso mecânico, era calcular o 
trabalho realizado por esta força ao longo de um caminho fechado. Se o resultado fosse 
nulo, podia-se concluir que a força é conservativa. Ambos os processos são 
equivalentes, e a escolha de um ou de outro depende, além da habilidade do usuário, das 
condições específicas do problema. 
 Pode-se fazer uma estreita analogia entre as duas coisas: as funções analíticas 
estão para a Matemática (pura ou aplicada) assim como as forças conservativas estão 
para a Física. Veremos no decorrer da seção, que ora iniciamos, propriedades que são 
muito semelhantes entre as duas conceituações. 
 A interpretação geométrica da integração de funções de uma variável real pode 
ser associada à área definida sob a curva com o eixo x. A definição de trabalho 
realizado por uma força, quando a partícula se move unidimensionalmente de um ponto 
a outro, é um bom exemplo desse fato. Para variáveis complexas, não se tem uma 
interpretação útil, geométrica ou física, para a integral curvilínea no plano complexo. 
 37 
 
Apesar disso, a teoria de integração no plano complexo é notadamente útil na Física, na 
Engenharia e na própria Matemática. 
 
 
COMENTÁRIOS E DEFINIÇÕES 
 
 Em cálculo de variáveis reais nós distinguimos dois tipos de integrais: a 
indefinida e a definida. A primeira é uma função da variável, cuja derivada nos fornece 
a função primitiva: )x(f
dx
dF(x)
 tetancons)x(Fdx)x(f =⇒+=∫ . Para variáveis 
complexas vale a mesma regra. Por exemplo, abaixo damos uma tabela com algumas 
integrais. 
 Entretanto estaremos mais interessados em integrais definidas ao longo de um 
percurso ou caminho, ou as chamadas de integrais de linha. Estas integrais na variável 
real, já foram estudadas em Cálculo. Relembramos que quando você calcula o trabalho 
de uma força (conservativa ou não), é usado o conceito de integral de linha, e, cujo 
resultado se obtém efetuando a integração ao longo da trajetória da partícula. 
 
 
Note que todas as funções são analíticas 
[1] ∫ += cte2
z
zdz
2
 [2] -1n para cte
1n
zdzz
1n
n ≠+
+
=∫
+
 
[3] ∫ +−= ctezcossenzdz [4] ctesenzzdzcos +=∫ 
[5] ∫ ≠= 0z com z1zdzln [6] cteedze
zz +=∫ 
 
 
► Uma integral definida (que é o mesmo que iterada ou com extremos) para variáveis 
complexas é realizada ao longo de uma curva C no plano complexo, chamada de 
caminho de integração (ou trajetória, ou percurso de integração). 
 Uma curva C no plano complexo pode ser representada na forma paramétrica: 
 
)t(iy)t(x)t(z +=
 bta ≤≤ (t é um no real) (152) 
 
Por exemplo, t3it)t(z += com ( 2t0 ≤≤ ), representa um segmento de reta dado por 
x3y = (verifique isto); sent4itcos4)t(z += com πtπ ≤≤− , representa uma 
circunferência de raio 4 centrada na origem. 
 
► A curva C é suave se ela tem uma derivada )t(yi)t(x
dt
dz)t(z &&& +== para cada um de 
seus pontos. Curvas suaves por partes podem ser definidas de maneira semelhante, 
considerando as derivadas em cada porção da curva. 
 
 
INTEGRAIS 
 
 O cálculo de integrais de linha (portanto, definidas) no plano complexo pode ser 
efetuado de várias maneiras. Algumas delas são dadas abaixo. 
 
 
EXEMPLO 6.1. 
 38 
 
 Suponha que se quer calcular a integral da função z)z(f = da origem até o 
ponto .i1+ 
 
SOLUÇÃO. 
● a) vamos calcular inicialmente ao longo do caminho esboçado, que consiste de duas 
retas: I - ao longo do eixo x até o ponto 1; II – ao longo do caminho vertical até o ponto 
1. 
 
 
 
Figura E 6.1.1 – Caminhos escolhidos (suaves por partes) para a integração. 
 
Caminho I: 0dx1x0 ;0dy0y ≠⇒≤≤=⇒≡ . 
 
 Assim, xf(z) a reduz se iyxz)z(f =+== . 
 
2
1
2
x
xdx)idydx)(iyx(zdz
1
0
2i1
0i0
1
o
i1
0i0
==→++= ∫ ∫∫
+
+
+
+
. 
 
Caminho II: 0.dy1y0 ;0dx1x ≠⇒≤≤=⇒= 
 
.
2
1i
2
yiyidy)iy1()idydx)(iyx(zdz
1
0
2
1
0
i1
0i0
1
o
i1
0i0
−=−=+→++= ∫ ∫∫
+
+
+
+
 
 
Somando-se os dois resultados obtém-se izdz
i1
0i0
=∫
+
+
. 
O procedimento é muito similar ao usado no cálculo de diversas variáveis, e, adiante, 
veremos uma relação mais estreita entre os dois processos. 
 
● b) escolhemos outro caminho de integração para calcular a mesma integral, com os 
mesmos extremos: a reta que une os dois pontos. 
 
 Ao longo dessa reta, temos: dydxyx =⇒= e função se reduz a 
)ixx(z)z(f +== 
 
 39 
 
 
Figura E 6.1.2 – Caminho para integração. 
 
 [ ] i
2
xi2)xdxxdx(i)xdxxdx()idxdx)(ixx(dz)z(f
1
0
21
0
1
0
i1
0i0
==++−=++= ∫∫∫
+
+
. 
 
O mesmo resultado anterior. 
 
● c) Podemos ainda escolher uma parábola que passe pelos dois pontos: 2xy = , 
conforme esboçado abaixo. 
Para a parábola, temos: xdx2dy = e 2ixxiyxz)z(f +=+== com .1x0 ≤≤ 
 
 
 
Figura E 6.1.3 – Caminho ao longo da parábola. 
 
[ ]=++−=++= ∫∫∫
+
+
1
0
223
1
0
2
i1
0i0
)dxx2dxx(i)dxx2xdx()xdx2idx)(ixx(dz)z(f 
 
ii
2
1
2
1
3
x3ix
4
2
2
x
1
0
31
0
4
1
0
=+−=+−= . Novamente o mesmo resultado se 
apresenta. 
 
 Você pode seguir criando novos caminhos para integrar esta função. E parece 
que o que se obtém, pelos resultados anteriores, sugere que o valor desta integral será 
sempre i. Estes resultados indicam que a função pode ser analítica. Realmente ela o é (e 
em todo plano complexo) e, portanto, o valor da integral independe do caminho. 
 
 Como última verificação, façamos a integral: 
 
( ) ( ) i1i21
2
1i1
2
1
2
zdz)z(f 2
i1
0i0
i1
0i0
2
=−+=+==
+
+
+
+
∫ (de novo...). 
 
 Convém não se esquecer de que este último o procedimento acima, só é válido 
quando a função é analítica. 
 
 
 
EXEMPLO 6.2 
 Encontre o valor da integral para a função, 
z
1)z(f = , no caminho fechado C, 
dado pela circunferência de raio unitário e centrada na origem. 
 40 
 
 
SOLUÇÃO. 
O que se quer calcular é ∫∫ =
CC
dz
z
1dz)z(f . O símbolo ao redor da integral significa um 
caminho fechado e percorrido no sentido anti-horário, exatamente igual à convenção 
usada para variáveis reais. 
 Escrevemos a variável z como ite)t(z = , onde π2t0 ≤≤ e .1r = 
 Então, dtiedz it= e a integral é escrita como iπ2dti
e
dtie
 dz
z
1dz)z(f
π2
0
π2
0
it
it
CC
==→= ∫∫∫∫ . 
 O resultado não causa surpresa porque a função não é analítica no domínio: a 
origem está envolvida pela curva e nesse ponto a função não está definida. Voltaremos a 
comentar outros aspectos deste resultado. 
 
 
 Se você se lembra, algo semelhante ocorreu no cálculo. Por isso, faremos um 
pequeno inserto para comentar a situação. 
 
Considere uma força 0ˆ
yx
x
ˆ
yx
y
ˆ)y,x( 2222 kjiF ++++−= . Calcula-se o rotacional 
desta força: 
 
0 
yx
x
 
yx
y
y y x 
 
ˆ
 
ˆ
 
ˆ
 
 rot
2222 ++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇=
k ji
FF
r
 
 
 













+∂
∂
−





+∂
∂
+













+∂
∂
−













+∂
∂
−= 22222222 yx
y
yyx
x
x
ˆ
yx
y
y
ˆ
yx
x
y
ˆ kji 
 
O resultado é nulo (verifique), isto é, 0F =×∇v . 
O teorema de Stokes estabelece que: 
 
∫∫∫ =
CS
d.d . rot rFsF onde C é a curva que envolve a área S. Pelo resultado acima, aintegral à esquerda da igualdade se anula. 
 
 Vamos calcular a integral à direita desta função ao longo da circunferência de 
raio unitário, centrada na origem. 
 
( )∫ ∫∫ +
+−
=++=
C C
22yx
C yx
xdyydxdz0dyFdxFd . rF . O cálculo desta integral pode ser feito 
usando coordenadas polares com .)π2θ0 ( ,θseny e θcosx ≤≤== 
Então θdθoscdy e θdθsendx =−= e, portanto, θseny e θcosx 2222 == , cuja soma 
é, obviamente, unitária. Com estas substituições no integrando, tem-se: 
 
 41 
 
π2θd)θcosθsen(
1
)θdθ(cosθcos)θdθsen(θsen π2
0
22
π2
0
=+=
+−−
∫∫ . 
 
Temos um resultado deveras surpreendente: O teorema de Stokes nos dá um resultado 
nulo, enquanto a integral à direita vale π2 . “Provamos”, desta forma, que ! 0π2 = 
 Note que o valor 2π, a menos do fator imaginário i, é igual ao obtido no 
exemplo 6.1 – Parte I, e isto não é mera coincidência. 
 Que existe uma inconsistência entre os dois resultados é indiscutível. Mas onde 
está o “furo”? É exatamente isto: existe um furo no domínio, e, portanto, ele não é 
simplesmente conexo (na origem a função não está definida). Aplicar o teorema de 
Stokes para domínio multiplamente conexo (como neste caso) é se envolver em 
complicações e incoerências. Da mesma forma, calcular o rotacional para a função que 
não está definida, como fizemos acima, não é uma atitude razoável. 
 
 
EXEMPLO 6.3 
 O resultado acima pode ser generalizado da seguinte forma: encontrar o valor da 
integral dz)zz(
C
m
0∫ − ao longo da circunferência de raio unitário (não necessariamente 
o raio tem que ser unitário) e centrada no ponto z0; m é um número inteiro. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
Figura E 6.2 – Caminho de integração para este exemplo. 
 
 O ponto z tem a representação it0
it
0 ezzezz =−⇒+= . Portanto, dtiedz
it
= . 
imtmitm
0 e)e()zz( ==− . Novamente, estamos usando π2t0 ≤≤ . 
 
 ∫∫∫
+
==−
π2
0
it)1m(
π2
0
itimt
C
m
0 dteidteeidz)zz( . Usando a fórmula de Euler, esta última 
integral pode ser escrita em termos de seno e cosseno. 
 
 
[ ]∫∫ +++=−
π2
0C
m
0 dtt)1m(isent)1mcos(idz)zz( . 
Quando ∴==⇒−= 0sen0 e 10cos1m .iπ2dtidz)zz(
π2
0C
m
0 ==− ∫∫ 
 42 
 
Para 1m −≠ as integrais em cosseno e em seno se anulam porque estamos integrando 
sobre um período (verifique esta informação). 
 Com estes resultados, pode-se concluir que: 
 
dz)zz(
C
m
0∫ − =



−≠
−=
inteiro. e 1m se 0
1m se iπ2
 
 
Observe que estes valores incluem o do exemplo 6.2 – 1ª parte (para ).0z e 1m 0 =−= 
 O resultado seria diferente se o raio não fosse unitário? E se ao invés da 
circunferência tivéssemos outra curva fechada, por exemplo, um quadrado? 
 
 
 
 Todas estas conclusões são casos particulares de um teorema, devido a Cauchy, 
sobre funções analíticas. 
 
 O desenvolvimento precedente de integrais de linha está estreitamente 
relacionado àqueles estudados em funções de variáveis reais. 
 
[ ][ ]∫∫ ++=
2,2
11
2
1
yx
y,x
z
z
idydx )y,x(iv)y,x(udz)z(f 
 
[ ] [ ]∫ ∫∫ ++−=
2,2
11
2,2
11
2
1
yx
y,x
yx
y,x
z
z
dx)y,x(vdy)y,x(uidy)y,x(vdx)y,x(udz)z(f
 (153) 
 
Com a trajetória de integração especificada e ligando os dois pontos ).y,(x e )y,x( 2211 
Isto reduz a integração complexa a uma soma de integrais reais. Já utilizamos esta 
relação no exemplo 6.2 e, agora, a estabelecemos definitivamente. 
 
TEOREMA INTEGRAL DE CAUCHY. 
 
 “Se uma função é analítica e suas derivadas parciais são contínuas em um 
domínio simplesmente conexo D, para todo caminho fechado C contido em D, a integral 
de linha de f(z) ao longo de C é zero.” 
 
 Matematicamente, ele é escrito na forma: 
 
 
0dz)z(f
C
=∫ (154) 
 
 43 
 
 
 
Figura 6.1 – Uma curva fechada C dentro de um domínio simplesmente conexo. 
 
Se você não se lembra, um domínio simplesmente conexo é aquele no qual 
qualquer curva pode ser reduzida a um ponto sem que saiamos dessa região. De 
maneira mais informal, é uma região que não contenha “buracos”. Abaixo 
representamos alguns domínios. 
 A demonstração deste teorema e de sua versão menos restritiva sobre a 
continuidade das derivadas parciais (devido a Goursat) podem ser encontradas nos 
livros de George Arfken (Mathematical Methods for Physicists – 6th edition) ou em R.V. 
Churchil (Varáveis Complexas e suas Aplicações). 
 
 
 
 
 a) b) c) 
 
Figura 6.2 – a) simplesmente conexo; b) duplamente conexo; c) triplamente conexo. 
 
Este teorema pode ser expresso de uma forma equivalente: 
 
 “Se f(z) é analítica em um domínio simplesmente conexo D, então a integral 
∫
2
1
z
z
dz)z(f é independente do caminho neste domínio”. 
 
EXEMPLO 6.4 
 Justifique para cada uma das integrais seu valor nulo: 
a) ∫ =
C
n 0dzz (C: circunferência de raio r). 
b) 0zdzcos
C
=∫ (C: circunferência de raio unitário). 
c) ∫ =
C
z 0dze (C: é uma curva fechada qualquer no plano). 
 44 
 
d) 0
4z
dz
C
2 =+∫
 (C: circunferência de raio unitário e centrada na origem). 
e) ∫ =
C
0zdzsec (C: a mesma do item anterior). 
 
SOLUÇÃO. 
As três funções integradas nos itens a), b) e c) são analíticas em todo plano complexo e, 
pelo teorema de Cauchy, as integrais fechadas devem se anular. 
 Para os dois itens restantes as funções apresentam singularidades: 
d) 
4z
1
2 +
 possui singularidades nos pontos i2z ±= , mas ambos estão fora do domínio 
circunscrito pela curva. 
e) 
zcos
1
zsec = tem singularidades em ,...
2
π3
,
2
π
z ±= todos fora do domínio. 
 
 
 
EXEMPLO 6.5 
 No exemplo 6.3, obtivemos para a integral dz
z
1
C
2∫ um valor nulo, mesmo 
quando o caminho envolve a origem (aqui fizemos 0z 0 = e 2m −= ). Discuta esse 
resultado. 
 
SOLUÇÃO. 
A função 2
z
1)z(f = apresenta uma singularidade na origem: a função não está definida 
neste ponto e, portanto, o domínio não é simplesmente conexo. Entretanto, o valor da 
integral de linha é zero, mas este fato NÃO decorre do teorema de Cauchy, pois ele 
supõe que f(z) seja analítica em todos os pontos de um domínio simplesmente conexo. 
O que se conclui então é que as condições do teorema são suficientes, mas não 
necessárias. 
 
 
 
EXEMPLO 6.6 
 Encontre o valor de ∫
+iaa
ia-a-
dz zcos ao longo dos caminhos A e B mostrados na 
figura (observe que ambos não são caminhos fechados; se fosse fechado, a solução seria 
imediata pelo teorema de Cauchy). 
 
 45 
 
 
 
Figura E 6.6 – Caminhos de integração para zcos . 
 
SOLUÇÃO 
Sabemos que )y,x(iv)y,x(usenhyisenxycoshxcoszcos +⇒−= e, facilmente se 
 
identificam as funções u e v: senhy.senx v(x.y)e ycoshxcos)y,x(u −== 
 
 Usaremos a relação 
 
=∫
2
1
z
z
dz)z(f [ ] [ ]∫ ∫ ++−
2,2
11
2,2
11
yx
y,x
yx
y,x
dx)y,x(vdy)y,x(uidy)y,x(vdx)y,x(u . 
 
Caminho A: 



≤≤−≠=⇒=
≤≤−≠=⇒−=
.aya e 0dy 0;dxa xfornece verticalreta a
.axa e 0dx ;0dyay dá nos horizontal reta a
 
 
Então, 
 
∫ ∫ ∫ ∫++−−−=∫
− − − −
a
a
a
a
a
a
a
aA
ydycosh)acos(isenhydysenadx)a(senhsenxidx)acosh(xcoszdzcos
 
As duas primeiras integrais à direta da igualdade correspondem a reta horizontal, e, as 
duas últimas, à reta vertical. 
 
∫∫∫∫∫
−−−−
+++=
a
a
a
a
a
a
a
aA
).ydycoshacosxdxsenasenh(idyysenhasenxdxcosacoshzdzcos 
 
 )asenhacosiacoshasen(2asenhacosi2acoshasen2 +=+= 
 
Mas sabemos que ysenhxcosiycoshsenxsenz