Prova 1 - Cáculo III

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
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T
1a Prova de MAT 157 - CA´LCULO III - 2a Chamada Turma D - 05/04/2013
Profa. Lucy Tiemi Takahashi
Nome: Matr´ıcula:
Importante
Justifique com argumentos matema´ticos cada resposta dada.
1. (a)(15 pontos) Considere a integral dupla I =
∫ a
−a
∫ b√1−x2
a2
0
dydx, onde a, b > 0.
(i) O que esta integral representa?
(ii) Calcule a integral.
(b)(15 pontos) Calcule I =
∫ 2pi
0
∫ pi/4
0
∫ 2
0
(ρ cosφ)ρ2senφ dρdφdθ. Esboce a regia˜o B, em R3,
e identifique a func¸a˜o f tal que
∫∫∫
B
f(ρ, θ, φ) dxdydz corresponde a` integral I.
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2. Considere S e´ o so´lido interno a` superf´ıcie x2 + y2 + z2 = 2z e acima da superf´ıcie z = x2 + y2.
(a)(05 pontos) Fac¸a um esboc¸o de S.
(b)(25 pontos) Determine o volume do so´lido S.
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3. (20 pontos) Considere a transformac¸a˜o definida por
x = u2 − v2 , y = 2uv.
(a) Determine a imagem R no plano xy do quadrado, R′ = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1},
no plano uv.
(b) Utilizando a transformac¸a˜o dada, calcule a a´rea de R
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4. (20 pontos) Encontre k de modo que o volume dentro do hemisfe´rio z =
√
16− x2 − y2 e fora
do cilindro x2 + y2 = k2 seja a metado do volume do hemisfe´rio.