Cálculo 1 - Aplicações das Derivadas

Prévia do material em texto

Como classificar os máximos e mínimos 
Capítulo 3 - Aplicações das Derivadas 
Definição - Extremos Absolutos 
Seja f uma função de domínio D. Então f(c) é: 
(a) o máximo absoluto de f em D se e somente se f (x) f (c) para 
 qualquer que seja x em D. 

(b) o mínimo absoluto de f em D se e somente se f (x) f (c) para 
 qualquer que seja x em D. 

Exemplo 3 - Encontrando Extremos Absolutos 
Função Domínio D Extremos Absolutos em D 
(a) 
2y x ( , ) 
Ausência de máximo absoluto. 
Mínimo absoluto 0 quando x = 0. 
(b) 
2y x
[0, 2]
Máximo absoluto 4 quando x = 2. 
Mínimo absoluto 0 quando x = 0. 
(c) 
2y x
(0, 2]
Máximo absoluto 4 quando x = 2. 
Ausência de mínimo absoluto. 
(d) 
2y x
(0, 2)
Ausência de extremos absolutos. 
Teorema 1 - O Teorema de Valor Extremo para Funções Contínuas 
 Se f é contínua para todos os pontos do intervalo fechado I, então f 
assume tanto um valor máximo M como um valor mínimo m em I. 
Ou seja, há números x1 e x2 em I tais que f (x1) = m e f (x2) = M e 
m f(x) M para qualquer outro valor de x em I. (Figura abaixo) 
 
Definição - Extremos Locais 
Seja c um ponto interior do domínio da função f. Então f (c) será 
(a) um valor máximo local em c se e somente se f (x) f (c) para 
 qualquer x em um intervalo aberto que contenha c. 

(b) um valor mínimo local em c se e somente se f (x) f (c) para 
 qualquer x em um intervalo aberto que contenha c. 

Teorema 2 - Extremos Locais 
 Se uma função f possui valores máximo ou mínimo locais em um 
ponto c interior de seu domínio e se f ’ existe em c, então 
f’ (c) = 0. 
Definição - Ponto Crítico 
 Um ponto de uma função f onde f’ = 0 ou f ’ não existe é um 
ponto crítico de f. 
Exemplo 5 - Encontrando os Extremos Absolutos em um Intervalo 
 Fechado 
 Determine os valores máximo e mínimo absolutos de 
 f (x) = 10x(2 - ln x) no intervalo [1, e2]. 
Solução: A figura 3.6 (próximo slide) sugere que f tem seu valor 
máximo absoluto próximo de x = 3 e que, quando x = e2, seu valor 
mínimo absoluto é 0. 
 Os valores extremos de f (x) = 10x(2 - ln x) ocorrem quando x = e 
e x = e2. 
 Calculamos a função nos pontos críticos e nas extremidades e, 
dentre os valores obtidos, tomamos o maior e o menor. 
 A primeira derivada é 
1
'( ) 10(2 ln ) 10 10(1 ln ).f x x x x
x
 
     
 
 O único ponto crítico no domínio [1, e2] é o ponto x = e, onde 
ln x = 1. Os valores de f nesse único ponto crítico e nas extremidades 
são 
Valor no ponto crítico: 
Valores nas extremidades: 
( ) 10f e e
(1) 10(2 ln1) 20f   
2 2( ) 10 (2 2ln ) 0f e e e  
 A partir dessa lista podemos ver que o máximo absoluto dessa função 
 10e 2,72. Que ocorre no ponto crítico interior x = e. O mínimo 
 absoluto é 0 e ocorre na extremidade direita, quando x = e2. 

Como Determinar os Extremos Absolutos de uma Função 
 Contínua f em um Intervalo Fechado 
Passo 1: Calcule f em todos os pontos críticos e extremidades. 
Passo 2: Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos. 
Exemplo 6 - Determinando Extremos 
Determine os valores extremos de 
2
1
( )
4
f x
x


Solução: A função f possui um mínimo absoluto de aproximadamente 
0,5 quando x = 0. Também parece haver haver dois máximos locais 
quando x = -2 e x = 2. No entanto, nesses pontos a função não está 
definida e não parece haver nenhum outro valor máximo. 
 A função f está definida apenas para 4 - x2 > 0, portanto seu domínio 
é o intervalo aberto (-2, 2). O domínio não tem extremidades, logo 
todos os extremos da função deverá ocorrer em pontos críticos. 
Rescrevemos a fórmula de f para determinar f’. 
2 1 2
2
1
( ) (4 )
4
f x x
x
  

Assim, 
2 3 2
2 3 2
1
'( ) (4 ) ( 2 )
2 (4 )
x
f x x x
x
    

O único ponto crítico no domínio (-2, 2) é x = 0. Portanto, o valor 
2
1 1
(0)
24 0
f  

É a única possibilidade de valor extremo. 
 Para determinar se 1/2 é um valor extremo de f, examinamos a fórmula 
2
1
( )
4
f x
x


 À medida que x se afasta de 0 para ambos os lados, os valores de f 
aumentam e o gráfico sobe. Temos um valor mínimo quando x = 0, 
e o mínimo é absoluto. 
 A função não possui máximos, nem locais nem absolutos. Isso não 
vai contra o Teorema 1 (Teorema do Valor Extremo), pois aqui f é 
definida em um intervalo aberto. Para que haja pontos extremos, o 
Teorema 1 exige um intervalo fechado. 
Exemplo 7 - Pontos Críticos não Precisam Gerar Valores Extremos 
 Embora os extremos de uma função possam ocorrer apenas em 
pontos críticos e extremidades, nem todo ponto crítico ou extremidade 
indica a presença de um valor extremo. 
Pontos críticos sem valores extremos: 
 
(a) y’= 3x2 é 0 quando x = 0, mas y = x3 não possui nenhum extremo 
nesse ponto. 
 
(b) y’= (1/3)x -2/3 não é definida quando x = 0, mas y = x1/3 não 
possui nenhum extremo nesse ponto. 
Teorema 3 - O Teorema de Rolle 
 Suponha que y = f(x) seja contínua em todos os pontos de [a, b] e 
derivável em todos os pontos de (a, b). Se 
( ) ( ) 0f a f b 
Então há pelo menos um número c em (a, b) onde f’(c) = 0. 
O Teorema de Rolle diz que 
uma curva derivável tem ao 
menos uma tangente 
horizontal entre dois pontos 
quaisquer onde a curva cruza 
o eixo x. Essa curva tem três. 
Teorema 4 - O Teorema do Valor Médio 
 Suponha que y = f(x) seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e 
derivável no intervalo aberto (a, b). Então há pelo menos um ponto c 
em (a, b) em que 
( ) ( )
'( )
f b f a
f c
b a



Geometricamente, 
o Teorema do Valor 
Médio diz que, em 
algum lugar entre A 
e B, a curva apresenta 
pelo menos uma 
tangente paralela à 
corda AB. 
Corolário 1 - Funções com Derivadas Nulas são Funções Constantes 
Se f ’(x) = 0 em todos os pontos de um intervalo I, então f (x) = C 
para qualquer x em I, onde C é uma constante. 
Definições - Função Crescente, Função Decrescente 
Seja f uma função definida em um intervalo I. Então, 
1. f é crescente em I se, para todos os pontos x1 e x2 em I, 
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x  
2. f é decrescente em I se, para todos os pontos x1 e x2 em I, 
1 2 2 1( ) ( )x x f x f x  
Corolário 3 - Teste da Primeira Derivada para Crescimento e 
 Decrescimento 
Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b). 
Se f ’> 0 em todos os pontos de (a, b), então f é crescente em [a, b]. 
Se f ’< 0 em todos os pontos de (a, b), então f é decrescente em [a, b]. 
O Teste da Primeira Derivada para Extremos Locais 
1. Se f ’ é negativa à esquerda de c e positiva à direita de c, então f 
 possui um mínimo local em c. 
2. Se f ’ é positiva à esquerda de c e negativa à direita de c, então f 
 possui um máximo local em c. 
3. Se f ’ possui o mesmo sinal em ambos os lados de c, então c não é 
 um extremo local de f. 
O gráfico de f (x) = x3 é côncavo para baixo em 
e côncavo para cima em 
( , 0)
(0, ).
Definição - Concavidade 
O gráfico de uma função derivável y = f (x) é 
(a) côncavo para cima em um intervalo aberto I, 
 se y’ é crescente em I. 
(b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I, 
 se y’ é decrescente em I. 
Exemplo 3 - Aplicando o Teste de Concavidade 
 A curva y = x2 é côncava para cima em qualquer intervalo, pois 
sua segunda derivada y’’ = 2 é sempre positiva. 
Definição - Ponto de Inflexão 
 Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente 
e onde há mudança de concavidadeé um ponto de inflexão. 
Teorema 5 - O Teste da Segunda Derivada para Extremos Locais 
1. Se f ’ (c) = 0 e f ’’(c) < 0, então f possui um máximo local 
 quando x = c. 
2. Se f ’(c) = 0 e f ’’(c) > 0, então f possui um mínimo local 
 quando x = c. 
Exemplo 9 - Usando o Teste da Segunda Derivada 
Determine os extremos de f (x) = x3 - 12x - 5. 
Solução: Temos que 
2 2'( ) 3 12 3( 4)
''( ) 6
f x x x
f x x
   

Testando os pontos críticos (não há extremidades), temos que 
2x  
''( 2) 12 0f f    
possui um máximo local quando x = -2 
e 
''(2) 12 0f f  
possui um mínimo local quando x = 2. 
Estratégias para Resolver Problemas de Máximo e Mínimo 
Passo 1. Compreendendo o Problema 
 Leia o problema atentamente. Identifique as informações 
 necessárias para resolvê-lo. O que é desconhecido? 
 O que é dado? O que é pedido? 
Passo 2. Desenvolva um Modelo Matemático para o Problema 
 Desenhe figuras e indique as partes que são importantes 
 para o problema. Introduza uma variável para representar 
 a quantidade a ser maximizada ou minimizada. 
 Utilizando essa variável, escreva uma função cujo valor 
 extremo forneça a informação pedida. 
Passo 3. Determine o Domínio da Função 
 Determine quais valores da variável têm sentido no 
 problema. Se possível, esboce o gráfico da função. 
Passo 4. Identifique os Pontos Críticos e as Extremidades 
 Determine onde a derivada é zero ou não existe. Utilize 
 aquilo que você sabe sobre a forma do gráfico de uma 
 função e sobre a física do problema. Use a primeira e a 
 segunda derivada para identificar e classificar pontos 
 críticos (onde f ’ = 0 ou não existe). 
Passo 5. Resolva o Modelo Matemático 
 Se não estiver seguro sobre o resultado, utilize outro 
 método para embasar ou confirmar sua solução. 
Passo 6. Interprete a solução 
 Traduza seu resultado matemático de volta para a 
 linguagem original do problema e decida se o resultado 
 tem sentido ou não. 
Exemplo 3 - Inscrevendo Retângulos 
Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio 2. 
Qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais são suas 
 dimensões? 
Solução: 
Modelo 
Sejam as coordenadas do vértice do retângulo obtidas 
colocando-se o retângulo e a semicircunferência no plano cartesiano. 
O comprimento, a altura e a área do retângulo podem ser expressos 
em termos da posição x, no canto inferior direito da figura. 
2( , 4 )x x
24 xAltura: Comprimento: 
2x 22 4x x 
Área: 
 Observe que o valor x deve estar no intervalo , onde está 
o vértice escolhido para o retângulo. 
 Agora nosso objetivo matemático é determinar o valor máximo 
absoluto da função contínua 
0 2x 
2( ) 2 4A x x x 
no domínio [0, 2]. 
Identificando os Pontos Críticos e as Extremidades 
A derivada 
2
2
2
2
2 4
4
dA x
x
dx x

  

Não é definida quando x = 2 e é igual a zero quando 
2
2
2
2
2 4 0
4
x
x
x

  

2 22 2(4 ) 0x x   
28 4 0x 
2 2x 
2x  
Multiplique ambos os lados 
por 
24 x
Das duas raízes, e , apenas a primeira está no domínio 
de A e faz parte da lista de pontos críticos. 
2x  2x  
Os valores de A nas extremidades e no único ponto crítico são 
Valor no ponto crítico: 
( 2) 2 2 4 2 4A   
Valores nas extremidades: 
(0) 0, (2) 0.A A 
Interpretação 
A área máxima que o retângulo pode ter é 4 quando este tem 
 unidades de altura e unidades de 
comprimento. 
24 2x 
2 2 2x 