Cálculo 1 - Limite de uma Função

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1 
LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
Nice Maria Americano costa Pinto 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
2 
INTRODUÇÃO 
Um pouco de história 
 
Cálculo Diferencial e Integral; séculos XVI e XVII, Newton e Leibniz. 
interesses de cálculos (diferenciação integração) 
O Cálculo Diferencial 
Grécia Antiga: tangentes a curvas, reta e curvas; sua intersecção 
Século XVII, as órbitas dos planetas. 
Newton: calcular as órbitas de planetas, considerar a corda de um arco, 
Curva da trajetória: limite de pequenas cordas encadeadas umas às outras. 
O Cálculo Integral 
área subtendida por curva 
limite de uma soma áreas de retângulos inseridos sob a curva. 
 
Limite de uma função 
Século XIX; 
Bolzano (1817), técnica do “epsilon” ,“” e “delta”, “”; 
Cauchy (1821),a essência da idéia; 
Weierstrass (1850 e 1860), a noção de forma rigorosa. 
3 
Vizinhança de um ponto 
Para um valor arbitrariamente pequeno >0, a vizinhança de a é o conjunto dos x 
compreendido pelo intervalo 
  axa




ax
ax
a 
a- a+ 
x 
  
0 
4 
Limite de uma variável 
a a- a+ x 
x2 x1 
x3 
Se x-a< valer para todo >0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem um 
limite e tal limite vale a. Simbolicamente, 
axax  lim,
Os valores x1, x2 e x3
 da variável x, estão na vizinha  de x=a. Isto é, os valores xi 
estão no intervalo a- < xi <a+ (i=1,2,3) 
5 
Exemplos 
1. x é a variável de valores 
n
xxxx n
1
1.....,
3
1
1,
2
1
1,1 321 
Essa variável tem um limite que é 1. 
 
 uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular , para provar 
que a inequação |x-1 < . O ponto de partida será portanto a expressão x1, 
i.e. calcular quanto ela vale; 










1
111
1
1
11
x
nou
n
para
nn
xn
6 
0,5 1 1,5 2
1o.termo 2o.termo
(n=2) x é o conjunto dos termos: x1=1, x2=1,5, 
e>1/2=0,5. e=0,51 satisfaz a condição e todos os 
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51 
0,5 1 1,5 2
1o.termo 2o.termo 3o.termo
(n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33, 
ε>1/3=0,33333. ε=0,51 satisfaz a condição e todos os 
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51 
0,5 1 1,5 2
1o.termo 2o.termo 3o.termo 4o.termo 5o.termo 6o.termo
(n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33, x4=1,25, x5=1,2, x6=1,16 
>1/6=0,166667. =0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam 
na vizinhança |x-1|<0,51 
n xn termos 
1 1 1o.termo 
2 1,5 2o.termo 
n xn termos 
1 1 1o.termo 
2 1,5 2o.termo 
3 1,333333 3o.termo 
n xn termos 
1 1 1o.termo 
2 1,5 2o.termo 
3 1,333333 3o.termo 
4 1,25 4o.termo 
5 1,2 5o.termo 
6 1,166667 6o.termo 
7 
2. x é a variável de valores 
n
n
nxxxx
2
1
)1(1.....,
2
1
1,
2
1
1,
2
1
1
33221

Essa variável tem um limite que é 1. 
 
 uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular . 














1
2log
1
log
1
log2log
1
2
2
1
2
1
1
2
1
)1(11
x
nn
aindaououparax n
nnn
n
n
8 
0,5 0,75 1 1,25 1,5
1o.termo 2o.termo 3o.termo 4o.termo 5o.termo 6o.termo
(n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875, 
x4=1,0625, x5=96875, x6=1,015625 
>1/26=0,015625. =0,26 satisfaz a condição e todos os valores 
da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26 
0,5 0,75 1 1,25 1,5
1o.termo 2o.termo
(n=2) x é o conjunto dos 2 termos: x1=1, x2=1,25, 
 >1/22=0,25. =0,26 satisfaz a condição e todos os valores da 
variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26 
0,5 0,75 1 1,25 1,5
1o.termo 2o.termo 3o.termo
(n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875, 
>1/23=0,015625. =0,26 satisfaz a condição e todos os 
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26 
n xn termos 
1 1 1o.termo 
2 1,25 2o.termo 
n xn termos 
1 1 1o.termo 
2 1,25 2o.termo 
3 0,875 3o.termo 
n xn termos 
1 1 1o.termo 
2 1,25 2o.termo 
3 0,875 3o.termo 
4 1,0625 4o.termo 
5 0,96875 5o.termo 
6 1,015625 6o.termo 
9 
3. X é uma variável de valor constante c 
Essa variável tem um limite que é c, ainda que pareça estranho. 
 
 uma vizinhança de centro em c, com raio ; devemos calcular . 




cx
paracccx 00
10 
a x 
b 
(b-a)/2 
  
  
Observações 
1. Uma variável x não pode ter dois limites diferentes, a e b. 
2
limlim
ab
paraimpossível
bxeax
bxeaxse






2. Não se imagine que toda variável tem um limite. 
11 
a variável x tende ao infinito, se, p/ cada número positivo M, pode-se Indicar um valor 
de x, a partir do qual, todos os valores subseqüentes da variável verificam : 
Mx 
VARIÁVEL INFINITAMENTE GRANDE 
Seja a variável x o { x1, x2, x3, x4, x5....xn}, mostrado na figura abaixo. 
Xn-1 
x1 
x6 x 
x4 
x3 
x2 x5 
A partir de x4, todo valor subseqüente da variável é maior que o antecedente; 
para M=x4, |xi|>M, p/ i=5,6,7....n 
12 
Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos desta 
vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou 
Limite de uma função 
bxf
ax


)(lim
se, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um δ > 0 tal que, 
para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ , a desigualdade | f(x) - b | < ε, fica satisfeita. Diz-se 
então que b é o limite de f(x). 
a 
b 
  
 
 
13 
Exemplos 
14)24(lim
3


x
x
7)13(lim
2


x
x
?
0
0
4
4
2
3
2
lim 

 x
xx
x2
3
1
4
1
lim
2


x
x
?
0
0
5
5
2
5
lim 

 xx
x
x
Os “resultados” dos limites das funções 3 e 5 demonstram que o cálculo 
do limite não se faz por uma simples substituição direta do valor para o 
qual a variável tende. Veremos que existem resultados para tais limites 
14 
 
4
4
334
34431241424
1424
14)24(lim
3











xx
xxxx
x
x
x
Cálculo pela definição 
Se 14 é o lim f(X), quando x  3, temos que ter: 
15 
3
3
223
233)2(63
713
7)13(lim
2











xx
xxx
x
x
x
Se 7 é o lim f(X), quando x  2, temos que ter: 
16 



4
422
4
1
2
4
1
)2(
4
1
2
1
4
1
2
3
1
4
1
2
3
1
4
1
2/31
4
1
lim
2






xx
xxxx
x
x
x
17 















2
22
4
)4(
2
4
4
2
4
4
2
2
2
3
2
3
2
lim
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
18 












25
255-x
25525
escrever podemos,151 e 151 mas
51
25
5
51
25
51
5
51
5
5
1
1
5
1
1
5
11
5
1
5
11
que entao temos
5
11
5
1
)5(
)5(
5
1
5
5
5
1
5
5
2
2
5
lim



























x
x
xx
x
x
xxx
x
xx
x
xx
x
x