Cálculo 3 - Funções de Várias Variáveis

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Funções de várias variáveis 
Funções de várias variáveis 
Derivadas Parciais de ordens superiores 
Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior computando as 
derivadas parciais das funções já derivadas. Essas derivadas são 
derivadas obtidas parcialmente e de uma ordem a menos. 
Exemplo 
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y) = 
2x3.e5y. 
Temos que: 
 
 
yexyx
x
f 52.6),( 


yexyx
y
f 53.10),( 


Funções de várias variáveis 
Portanto, a segunda derivada, em relação a x é: 
 
 
E a segunda derivada, em relação a y é: 
 
 
 
yexyx
x
f 5
2
2
.12),( 


yexyx
y
f 53
2
2
.50),( 


Funções de várias variáveis 
Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial em 
relação a y, calculada agora em relação a x: 
 
 
 
E a segunda derivada da derivada parcial em relação a x, calculada 
agora em relação a y: 
 
 
yy exex
x
yx
yx
f 5253
2
.30)10(),( 





yy exex
y
yx
xy
f 5252
2
.30)6(),( 





Funções de várias variáveis 
Derivadas Parciais de ordens superiores 
As duas primeiras derivadas parciais apresentadas acima são 
chamadas de puras ; 
 
As duas últimas são chamadas de mistas. 
 
Funções de várias variáveis 
Notação 
Se z=f(x,y), podem-se computar quatro derivadas parciais de 
segunda ordem com suas respectivas notações de acordo 
com as expressões abaixo: 
 
 ),(),(2
2
yxfyxz
x
z
xx
z
xxxx 







),(),(
2
2
yxfyxz
y
z
yy
z
yyyy 







),(),(
2
yxfyxz
x
z
xyx
z
yxyx 







),(),(
2
yxfyxz
x
z
yxy
z
xyxy 







Funções de várias variáveis 
Derivadas Parciais de ordens superiores 
Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram o 
mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre 
desde certas condições sejam satisfeitas. 
 
Funções de várias variáveis 
Derivadas Parciais de ordens superiores 
Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram o 
mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre 
desde certas condições sejam satisfeitas. 
Proposição 
Se f(x,y) está definida numa certa vizinhança de (x0,y0) e é tal que as 
derivadas existem e são contínuas nessa 
vizinhança, então . 
 
 
xy
f
e
yx
f
y
f
x
f







 22
,,
xy
f
yx
f




 22
Funções de várias variáveis 
Regra da Cadeia 
A regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o intuito de 
calcular derivadas parciais de funções compostas de várias 
variáveis. 
 
Suponha que a função P = p(x,y) com derivadas parciais contínuas 
represente a quantidade produzida de um determinado bem a 
partir de matérias-primas x e y, que por sua vez, variam com o 
tempo, ou seja, x = x(t) e y = y(t). 
 
Funções de várias variáveis 
A quantidade produzida expressa-se como função do tempo, de 
acordo com a seguinte expressão: 
 P = p(x(t) , y(t)) = P(t) 
 
A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por: 
 
 
dt
dy
x
p
dt
dx
x
p
tP ..)(' 
















Funções de várias variáveis 
Exemplo 
Considere uma firma cuja receita expressa-se através da função 
R(x,y) = xy2, onde x e y representam as quantidades de dois 
bens produzidos. Suponha que estas quantidades dependam do 
capital k e do trabalho l, de acordo com as funções x = 4k + 3l 
e y = 3k + l. Calcule as derivadas parciais da receita em relação 
ao capital e ao trabalho, como funções de tais variáveis. 
 
Antes de aplicar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as seguintes 
derivadas parciais: . 
 l
y
e
k
y
l
x
k
x
y
R
x
R












,,,,
Funções de várias variáveis 
Exemplo 
 
3


l
x
22 )13( 


ky
x
R
)13)(34(22 


klkxy
y
R
4


k
x
3


k
y
1


l
y
Funções de várias variáveis 
Exemplo 
Aplicando a Regra da Cadeia, temos: 
 
3).3)(34(24.)3( 2 lklklk
k
y
y
R
k
x
x
R
k
R













1).3)(34(23.)3( 2 lklklk
l
y
y
R
l
x
x
R
l
R













Funções de várias variáveis 
Aplicação 
A temperatura no ponto (x,y) de uma placa de metal situada no 
plano XY é dada por: T = 10.(x2 + y2)2. 
 
 Determine a taxa de variação de T em relação à distância no 
ponto (-1, 2) e na direção de do eixo Y; 
 Partindo-se do ponto (-1, 2) e deslocando-se na direção do 
eixo X a temperatura aumenta ou diminui? 
Funções de várias variáveis 
Solução 
 
 
 
)(402)(20 2222 yxyyyx
y
T



)(402)(20 2222 yxxxyx
x
T



400)21(2.402.2)21(20)2,1( 2222 


y
T
200)1.(2]2)1[(20)2,1( 22 


x
T
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Curvas de nível 
Para traduzir um gráfico de z = f(x,y) em curvas de nível, basta 
esboçar as curvas-intersecção de f(x,y) com z = c, para 
diferentes valores de c. 
Exemplo-1 
Reconhecer e representar graficamente o gráfico da função 
z = f(x,y) = x2 + y2. 
Fazendo z=c, desde que c > 0, obtemos a equação: x2+y2=c. Isto 
significa que a projeção no plano xy da curva-intersecção do 
plano horizontal z = c com o gráfico da função possui tal 
equação. Essa projeção é a circunferência de centro na origem e 
raio . 
Como o corte z = c é um círculo, o gráfico desta função é um 
parabolóide de revolução obtido pela rotação da parábola z = x2 
em torno do eixo z. 
Funções de várias variáveis 
Exemplo 1 
Funções de várias variáveis 
Exemplo 1 
Funções de várias variáveis 
Exemplos de outras curvas 
Funções de várias variáveis 
Exemplos de outras curvas 
Funções de várias variáveis 
Gradiente de uma função 
O gradiente de uma função f(x,y) num ponto (x0,y0), designado por 
f(x0,y0) ou grad f(x0,y0), é o vetor livre cujas coordenadas são: 
 
 
 
 
 
),( 00 yx
x
f


),( 00 yx
y
f

e 
Funções de várias variáveis 
Simbolicamente: 
 
 
 
Exemplo 2 
Calcule o gradiente da função f(x,y) = 3x2y-x2/3.y2 no ponto (1,3). 










 ),(),,(),( 000000 yx
y
f
yx
x
f
yxf
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Resolução 
Calculemos a derivada parcial da função f(x,y) em relação a x e y: 
 
 
 
No ponto (1,3): 
23
1
00
3
2
6),( yxxyyx
x
f



 yxxyx
y
f
3
2
2
00 23),( 












 )3,1(),3,1()3,1(
y
f
x
f
f
12618)3()1(
3
2
3.1.6)3,1( 23
1




x
f
3)3()1(2)1(3)3,1( 3
2
2 


y
f
Portanto, o gradiente da função f(x,y) no ponto (1,3) 
é o vetor f(1,3)=[12,-3]. 
Funções de várias variáveis 
Gradiente de uma função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Convenciona-se representar este vetor com origem no ponto em relação 
ao qual se calcula o gradiente. 
 
Funções de várias variáveis 
Gradiente de uma função 
Dessas considerações é possível pensarnum campo de vetores 
gradiente de uma função, que podem ser representados 
geometricamente por um conjunto de vetores que fornecem em 
cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da função. 
Funções de várias variáveis 
Relação entre Gradiente Curvas de Nível 
Dizemos que um vetor u é ortogonal a uma curva plana, dada pelas 
equações paramétricas x = x(t) e y = y(t), se ele é ortogonal ao 
vetor [x’(t), y’(t)], que é o vetor tangente à curva. 
 
Teorema 
O gradiente de uma função f(x,y) no ponto (x0,y0) é ortogonal à 
curva de nível da função que passa por esse ponto. 
 
Funções de várias variáveis 
Prova 
Os pontos (x,y) sobre uma curva de nível podem ser parametrizados 
por uma variável t: x = x(t) e y = y(t); 
Como f(x0,y0) = C, então, f(x(t),y(t)) = C; 
Derivando ambos os membros da igualdade em relação a t, obtemos, 
pela regra da cadeia: 
 
 
0)(')].(),([)(')].(),([ 





tytytx
y
f
txtytx
x
f
Funções de várias variáveis 
Prova 
O primeiro membro dessa igualdade é o produto escalar dos vetores 
f(x(t),y(t)) e [x’(t),y’(t)]; 
Mas, [x’(t),y’(t)] é o vetor tangente à curva de nível no ponto 
(x(t),y(t)); 
Portanto, o gradiente da função f no ponto (x,y) é ortogonal ao vetor 
tangente à curva de nível no ponto (x,y).