Tallersegundoparcial

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Notas de Clase elaboradas por L. M. González
Taller para Segundo Parcial
TALLER PARA SEGUNDO PARCIAL
1. Sean X1, X2, X3, . . . , Xn variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas. Hallé el estimador de p por el método de los momentos, si
a) La función de densidad deX1 es binomial de parámetros p y n, n conocida.
b) La función de densidad de X1 es geométrica de parámetro p.
2. Magalhães (2006)[p.351] Sean Xn, n ≥ 1, variables aleatorias independientes
tal que Xn ∼ B(n, pn). Muestre que si npn = λn −−−→
n→∞
λ para λ > 0, entonces
Xn
D−−−→ X, en que X ∼ P (λ).
3. Cepeda (2015)[p.35] Suponga que Xi tiene distribución bernoulli de parámetro
0.5, i = 1, 2, 3, . . . , 20, en que las Xi’s son variables aleatorias independientes.
Halle c tal que P (|X¯ − 0.5| < c) > 0.5.
a) Utilizando el teorema central del límite.
b) Aplicando Chebyshev.
4. Cepeda (2015)[p.36] Sea p la proporción de tornillos defectuosos en la produc-
ción de una empresa. Determine el tamaño n de la muestra tal que, para todo p,
la proporción de tornillos defectuosos en la muestra se aleje a lo más de 0.1 de
la proporción de unidades defectuosas en la producción, con una probabilidad
del 95%,
a) aplicando el teorema central del límite
b) aplicando Chebyshev
c) compare los resultados obtenidos en los dos items anteriores.
5. Magalhães (2006)[p.351] Sean Xn, n ≥ 1, variables aleatorias independientes
e idénticamente distribuidas tal que X1 ∼ Exp(λ). Muestre que la secuencia{
X2n : n ≥ 1
}
satisface la ley fuerte de los grandes números.
6. Magalhães (2006)[p.351] Sean Xn, n ≥ 1, variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas tal que X1 ∼ P (
√
n), para cada n ≥ 1. Indique las
posibles convergencias de X¯.
7. Sean X1, X2, X3, . . . , Xn variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas. Encuentre una forma de la mediana muestral que sea un estima-
dor consistente de θ y su distribución asintotica cuando es convenientemente
normalizada, para cada una de las siguientes distribuciones:
a)
p(x;α, θ) =
θαθ
xθ+1
, α < x <∞, α > 0, θ > 0
b)
p(x;β, θ) =
θ
β
xθ−1e
−xθ
β , 0 ≤ x <∞, θ > 0, β > 0
REFERENCIAS
Notas de Clase elaboradas por L. M. González
Taller para Segundo Parcial
8. Casella & Berger (2002)[p.355] Sean X1, X2, X3, . . . , Xn variables aleatorias
independientes e idénticamente distribuidas de la función de densidad de pro-
babilidad
p(x; θ) = θx−2 0 < θ ≤ x <∞.
a) Encuentre el estimador vía máxima verosimilitud para θ.
b) Encuentre un estimador por el método de los momentos para θ.
9. Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias independientes e idénticamente distri-
buidas. Para cada una de las siguientes funciones de densidad de probabilidad,
encontrar el estimador vía máxima verosimilitud.
a) α y β parámetros de interés en que α y β son desconocidos.
FX(x) =


0 si x < 0(
x
β
)α
si 0 ≤ x ≤ β
1 si x > β.
b) µ y λ parámetros de interés en que µ y λ son desconocidos.
p(x;µ, λ) =
(
λ
2pix3
) 1
2
e
−λ(x−µ)2
2µ2x para x > 0.
10. Sea X una variable aleatoria con distribución Laplace, i.e.,
fX(x) =
1
2b
exp
(
−|x− a|
b
)
, −∞ < x <∞
en que a y b son parámetros de localización y de escala, respectivamente, tal
que −∞ < a <∞ y b > 0. Asumiendo b conocido,
a) Encuentre una forma de la mediana muestral que sea un estimador con-
sistente de a y su distribucion asintotica cuando es convenientemente nor-
malizada.
b) Encuentre el estimador de momentos para a.
c) Encuentre la eficiencia asintótica del estimador encontrado en el primer
numeral con relacion al estimador de momentos de a.
Referencias
Casella, G. & Berger, R. (2002). Statistical Inference. 2nd edition. Thomspon Lear-
ning.
Cepeda, E. (2015). Estadística matemática. 1ra. edición. Bogotá: Universidad Na-
cional de Colombia.
Magalhães, M. (2006). Probabilidade e Variáveis Aleatórias. 2da. edición. São Pau-
lo:Editora da Universidade de São Paulo.