Apostila de Cálculo III.docx

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Direção de Graduação
	CURSO: ENGENHARIA MECATRONICA / ELÉTRICA
	
	DISCIPLINA: CÁLCULO III
	
	DOCENTE: ESP. AISLAN SILVA PRIMO
	
	Data da Avaliação
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	TURMA
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	MAPA DE NOTAS
	
	Data da Devolução
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	PC
	ME
	NOTA FINAL
	ATIVIDADE
	
	
	
	
	
	ESTUDANTE:
Exercício
29. Determine a equação vetorial da reta , que passa pelo ponto e tem a direção do vetor .
30. Determine o domínio de e o valor de , sendo ; .
30. Determine , se 
31. Determine a derivada de cada função vetorial dada
 
 
 
32. Determine as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico , no ponto onde .
33. Calcule:
Definição 10
Seja um campo escalar(função não vetorial) das variáveis x, y, y com derivadas de 1ª ordem em D. “Campo Gradiente” que se denota por ou , ao campo de vetores definido por:
Obs: representa um operador diferencial vetorial que se define como um vetor simbólico da forma 
Denominado “operador de Hamilton”.
Se é um ponto de , é usual denotar o vetor gradiente de em na forma
 = + +
Donde na representação gráfica de toma-se o ponto inicial em .
Atenção: Dado um campo vetorial do espaço 2D ou 3D, definido pelo domínio compatível E, diz-se que é um “campo conservativo” em E, se, e somente se, for o campo gradiente de alguma função escalar . A função é denominada “Função Potencial do Campo Vetorial”.
Definição 11
Dado um campo vetorial definido por , com M, N e Q dotadas de derivadas parciais de 1ª ordem em D. “Divergente de ” que se denota por div ou é dado por um escalar expresso por 
O divergente de depende do ponto onde é calculado, assim a notação adotada para o divergente do campo vetorial no ponto é div(x, y, z) ou .
Definição 12
Dado o campo vetorial definido por , diferenciável em D. “Rotacional de ” que se denota por rot ou é dado por um campo vetorial expresso pela igualdade 
rot 
donde, é possível definir também na forma de determinante
que estabelece a mesma expressão. 
Definição 13
Operador aplicado sobre si mesmo
Aplicado sobre um campo escalar , com derivadas de 2ª ordem em um certo domínio , resulta na função escalar
Atenção: Desse resultado, definiu-se 
 ou 
Denominada equação de Laplace, equação diferencial parcial de 2ª ordem, que tem importância fundamental no estudo de vários assuntos da física – matemática.
Exercício
34. Verificar se o campo escalar ,é uma função potencial do campo vetorial .
35. Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais
.
.
.
36. Dado o campo vetorial , determine .
Integrais de linha
Considerando-se uma função contínua num domínio , para uma curva C, suave [a,b] e com equação vetorial em [a,b], que é um subconjunto dos Reais, os valores funcionais de f sobre a curva são dados pela função , fazendo t variar no intervalo [a,b] considerado. A integral desta função com relação ao comprimento de arco da curva C, desde o ponto A até B, onde , representa a integral de linha ao longo da curva considerada.
Atenção: Seja um campo vetorial definido sobre uma curva suave C, dada pela função vetorial com . Então a integral de linha de ao longo da curva é dada por:
Exercício
37. Seja dado o campo vetorial . Calcule integral de ao longo da hélice , onde .
38.Determine o trabalho feito pelo campo de força ao se mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo , .
39. Calcule a integral do campo vetorial da curva cúbica retorcida dada por , , com .
Teorema de Green
Seja R uma região plana fechada e limitada cuja fronteira é a curva suave(ou suave por parte) C, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. 
Seja um campo vetorial de classe C em um domínio D, com , então
Onde a integral de linha do segundo membro corresponde à soma das integrais sobre as curvas que formam a fronteira da curva C.
Exercício
40. Calcule , onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de (0,0) a (0,1), de (1,0) a(0,1), e de (0,1) a (0,0).
41. Calcule , onde C é o círculo .