APOSTILA DE Vetores Exercícios Resolvidos 2017

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FACULDADE DE TECNOLOGIA DE
 SOROCABA
APOSTILA DE 
FÍSICA I – TEORIA – VETORES
Professor: Milton Fogaça de Almeida Filho
2017
Exercícios Resolvidos
Vetores
         Estes Exercícios estão separados por modelos e cada exemplo refere-se a uma série de exercícios contidos na página EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO, se possível imprima esta página que certamente te auxiliara na resolução dos exercícios
 
Dados os modelos dos vetores e .
|| = a = 3 cm
|| = b = 4 cm
 
MODELO 1
SOMA DE VETORES
Represente graficamente o vetor e calcule o seu módulo.
 
Exemplo I:     Vetores na mesma direção e mesmo sentido
RESOLUÇÃO
A regra dos vetores consecutivos, consiste em traçar os vetores na seqüência (Método Poligonal)
        A resultante tem origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor .
módulo: 7 cm 
Direção: horizontal 
Sentido: para a direita
OBS.: Vetores na mesma direção e mesmo sentido basta somar os valores numéricos para calcular o módulo, a direção e o sentido conserva-se .
Exemplo II: Vetores na mesma direção e sentido contrário.
RESOLUÇÃO
        Regra dos vetores consecutivos (Método Poligonal)
A resultante é o vetor com origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor .
Módulo: 1 cm
Direção: horizontal
Sentido: para a esquerda
OBS.: Vetores na mesma direção e sentido contrário: basta subtrair os valores numéricos para calcular o módulo, a direção conserva-se, porém o sentido será o do vetor de valor numérico maior.
Exemplo III: Direções ortogonais
RESOLUÇÃO
     Regra do Paralelogramo
1.      adotar um ponto O (origem);a partir do ponto O traçar os vetores;
2.      tracejar retas paralelas aos vetores e a partir da extremidade dos vetores  e ;
3.      a resultante será a diagonal do paralelogramo partindo do ponto O;
4.      Use o teorema de Pitágoras para calcular o módulo da resultante.
S² = a² + b² 
S² = 3² + 4²  
  
S = 5 cm       
Direção e sentido: conforme a figura 
Exemplo IV: Quaisquer direções
Dados: cos 60º = 0,5
 
RESOLUÇÃO
        Regra do Paralelogramo
Módulo:     S² = a² + b² + 2 · a · b · cos 60º 
                 S² = 3² + 4² + 2 · 3 · 4 · 0,5 
                 S² = 9 + 16 + 12
                 S = 6,1 cm
Direção e Sentido: de acordo com a figura
 
MODELO 2
Representação Gráfica
Dados os vetores , e , represente graficamente os vetores:
a) + 
b) + 
c) + + 
RESOLUÇÃO
 
        Regra dos Vetores Consecutivos (Método Poligonal)
a) A Resultante +  tem origem na origem do vetor  e extremidade na extremidade do vetor .
 
b) A Resultante  +  tem origem na origem do vetor  e extremidade na extremidade do vetor .
           
c) A Resultante + + tem origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor . 
           
Modelo 3
Produto de um Número Real Por um vetor
 
Módulo: 
Direção: a mesma de (com n 0)
Sentido: mesmo de , para n > 0
                 contrário de , para n < 0.
Obs.:  quando n = 0 temos p = 0
 
EXEMPLO I:
        Dados os vetores: ,  e  .
Represente graficamente : 2, -3 e 2.
RESOLUÇÃO
 
Modelo 4
Subtração Vetorial
 
Dados os vetores e conforme a figura, determine graficamente o vetor diferença = - e calcule o seu módulo.
Dados: || = 4 cm 
              || = 3 cm
                   cos 60º = 0,5
RESOLUÇÃO
1.      = -      = + (-)
2.      Trocar o sentido do vetor 
3.      Utilizar a regra do paralelogramo
4.      Calcular o Módulo
d ² = a ² + b ² - 2·a·b·cos 60º
d ² = 4 ² + 3 ² - 2·4·3·0,5
d ² = 16 + 9 -12
d ² = 13
d = 3,7 cm
 
Modelo 5
Projeção de Vetores
 
        Para cada vetor, teremos duas projeções, uma no eixo x (horizontal) e outra no eixo y (vertical).
        Projetar um vetor é determinar as componentes cartesianas desse vetor. (comprimento da "sombra" no eixo x e y)
 
EXEMPLO I: Determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos "olhar" o vetor de cima para baixo até o eixo x. Dado: || = a = 2 cm
RESOLUÇÃO
 
    a)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos "olhar" o vetor de cima para baixo até o eixo x.
Módulo: || = 2 cm
    b)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo y, devemos "olhar" o vetor de frente, da direita para a esquerda até o eixo y.
Módulo: || = 0 cm
Portanto: = 2 cm 
                = 0 cm
 
EXEMPLO II: Determinar as projeções do vetor nos eixos x e y. Considere: || = a = 2 cm.
RESOLUÇÃO
 
    a)     Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos "olhar" o vetor de cima para baixo até o eixo x.
Módulo:  || = 0 cm
    b)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo y, devemos "olhar" o vetor de frente, da direita para a esquerda até o eixo y.
Módulo: || = 2 cm
Portanto: = 0 cm 
               = 2 cm
Obs.: Vetor paralelo ao eixo medida real do vetor
         Vetor ortogonal ao eixo zero
 
EXEMPLO III: Determine as projeções do vetor nos eixos x e y. 
                                      Dados: || = a =  2 cm, cos 60º = 0,5 e sen 60 = 0,87.
RESOLUÇÃO
    a)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos traçar uma reta paralela ao eixo y, da extremidade do vetor até o eixo x.
Módulo: || = a · cos 60º
              || = 2 · 0,5 = 1 cm
              || = 1 cm
    b)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo y, devemos traçar uma reta paralela ao eixo x, da extremidade do vetor até o eixo y.
Módulo:  || = a · sen 60º
               || = 2 · 0,87 1,74 cm
               || = 1,74 cm
Portanto: = 1 cm       
               = 1,74 cm