1.0 Probabilidade

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Probabilidade 
1 – Introdução
Se, sob determinada hipótese (o nascimento de 98 meninas e apenas 2 meninos) a probabilidade de uma determinada amostra (100 nascimentos) é excepcionalmente pequena, concluí-se que a hipótese provavelmente não é verdadeira.
Experimento e Eventos
Um experimento é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações.
Um evento é um subconjunto de um espaço amostral.
Evento Simples
Um evento simples é um resultado, ou um evento, que não comporta mais qualquer decomposição.
Espaço Amostral
O espaço amostral de um experimento consiste em todos os eventos simples possíveis; ou seja, o espaço amostral consiste de todos os resultados que não comportam mais qualquer decomposição.
Exemplo 4.1:
O arremesso de um dado é um experimento, e o resultado 3 é um evento. 
O resultado 3 é um evento simples por que não pode ser decomposto; e 
o espaço amostral consiste nesses eventos simples: 
1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Exemplo 4.2:
Um experimento consiste em lançar uma moeda e observar a face voltada para cima. 
A face voltada para cima é anotada, e se for cara a moeda é jogada uma segunda vez e o resultado é anotado.
Mas, se a face voltada para cima for coroa, o resultado é anotado e um dado é jogado e sua face voltada para cima é anotada.
Liste o espaço amostral construindo um diagrama de árvore.
Complemento
O complemento de um evento A relacionado a S é o subconjunto de todos os elementos de S que não estão em A.
Denota-se por: A’ ou ;
Exemplo 4.3
Seja R o evento no qual uma carta vermelha é selecionada de um baralho com 52 cartas, e S o baralho inteiro. 
Então R’ é o evento no qual a carta selecionada do baralho não é vermelha, mas preta.
Intersecção
A intersecção de dois eventos A e B, denotada pelo símbolo AB, é o evento que contém todos os elementos comuns de A e B.
Exemplo 4.4:
Seja C o evento no qual uma pessoa selecionada aleatoriamente na IGREJA é um estudante de agronomia, e M o evento no qual essa pessoa seja do sexo masculino. Então, CM é o evento formado por todos os estudantes de agronomia do sexo masculino na IGREJA.
Eventos Mutuamente Exclusivos ou Disjuntos
Exemplo 4.5:
Seja A o evento que um avião chegou atrasado em seu destino;
Seja B o evento que um avião chegou adiantado em seu destino;
Seja C o evento que um avião chegou no horário em seu destino;
A ocorrência de um dos eventos exclui a possibilidade de que ocorra o outro, portanto os eventos A, B e C são mutuamente exclusivos. 
União
A união de dois eventos A e B, denotada pelo símbolo AB, é o evento que contém todos os elementos que pertencem a A ou B, ou a ambos.
Exemplo 4.6:
Se M={x|3 < x < 9} e N={y|5 < y < 12}, então MN ={z|3 <z< 12}.
Notação para Probabilidades
P denota uma probabilidade.
A, B e C denotam eventos específicos.
P(A) denota a probabilidade de ocorrência do evento A.
Probabilidade Clássica
Probabilidade Clássica ou teórica é usada quando cada resultado em um espaço amostral é igualmente possível de ocorrer. 
Então a probabilidade clássica para um evento A [P(A)] é dada por:
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 4.7:
Um dado de seis lados é lançado. Calcule a probabilidade de cada evento abaixo.
Evento A: a face voltada para cima ter número 3;
Evento B: a face voltada para cima é 7;
Evento C: a face voltada para cima é menor que 5;
Evento D: a face voltada para cima é menor ou igual a 6.
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE EMPIRICA
Probabilidade Empírica ou Estatística é baseada em observações obtidas de experimentos de probabilidade.
A probabilidade empírica de um evento A é a frequência relativa do evento A.
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 4.8:
Uma empresa está conduzindo uma pesquisa on-line com indivíduos selecionados aleatoriamente para determinar se o congestionamento no trânsito é um problema em sua comunidade.
Até agora 320 pessoas responderam à pesquisa. A distribuição de frequência mostra os resultados.
Qual é a probabilidade de que a próxima pessoa que responda a essa pesquisa diga que o congestionamento é um problema sério em sua comunidade?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta
Número de vezes,f
É um problema Sério.
123
É um problema moderado.
115
Não é um Problema.
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LEI DOS GRANDES NÚMEROS
Conforme um experimento é repetido várias vezes, a probabilidade empírica de um evento se aproxima da sua probabilidade teórica.
Exemplo 4.9: Uma pesquisa com uma amostra de 1.000 funcionários de uma empresa registra a idade de cada um. Os resultados são mostrados na tabela a seguir. Caso seja selecionado, aleatoriamente, mais um funcionário, qual a probabilidade de que ele tenha entre 25 e 34 anos?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Idadedos Funcionários
Frequência,f
15 a 24
54
25 a 34
366
35 a 44
233
45 a 54
180
55 a 64
125
Acima dos 65 anos
42
Probabilidades Subjetivas
“Palpitar”, “chutar”, etc.
Estimar a probabilidade de um analfabeto passar para medicina na prova objetiva;
Estimar a probabilidade da Chapecoense ser campeã do campeonato brasileiro de futebol de 2014.
Uma probabilidade estimada com base no conhecimento de circunstâncias relevantes é chamada probabilidade subjetiva.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chances
A chance contra a ocorrência do evento A é a razão , comumente expressa na forma a:b (ou “a está para b”), com a e b inteiros e primos entre si.
A chance a favor do evento A é o inverso da chance contra aquele evento. Se a chance contra A é a:b, então a chance a favor do evento A é b:a.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Exemplo 4.10: Seu número de identificação no IFCatarinense consiste de 8 dígitos. Cada dígito pode ser de 0 a 9 e pode ser repetido. Qual é a probabilidade de obter seu número de identificação quando geramos aleatoriamente oito dígitos?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 – Regra da Adição
Um evento composto é qualquer evento que combina dois ou mais eventos simples.
Se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, a regra especial da adição estabelece que a probabilidade de que A ou B ocorram é igual a soma de suas respectivas probabilidades. 
A regra é dada pela seguinte fórmula: 
P(A ou B) = P(A) + P(B)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:
 A companhia de aviação X recentemente forneceu a seguinte informação para a Agência Nacional de Aviação Civil (ANAC) sobre os vôos da origem A ao destino B.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chegada
Frequência
Adiantada
No horário
Atrasada
Cancelado
100
800
75
25
Total
1000
Probabilidades:
Seja A o evento: o vôo chega adiantado. 
Então P(A) = 100 / 1000 = 0,1. 
Seja B o evento: o vôo chega atrasado.
Então P(B) = 75 / 1000 = 0,075. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
????:
Nota: Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Por quê? 
Qual é a probabilidade de que um vôo chegue adiantado ou atrasado?
P(A ou B) = P(A) + P(B) = 0,1 + 0,075 = 0,175
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Regra do Complemento
 Seja C o evento: o vôo chega no horário. Então
 Seja D o evento: o vôo é cancelado. Então 
 Nota: Os eventos C e D são mutuamente exclusivos? Por quê?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Regra do Complemento
Use a regra do complemento para mostrar que a probabilidade do vôo chegar adiantado (A) ou atrasado (B) é 0,175;
P(AouB)=1– P(CouD)=1– [0,8 + 0,025] = 0,175
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Regra Geral da Adição-Paramos aqui! 01.08.2014
Sejam A e B dois eventos que não são mutuamente exclusivos. 
Então P(A ou B) é dado pela seguinte fórmula: P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
O Diagrama de Venn abaixo ilustra esta regra:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:
Em uma amostra de 150 estudantes, 70 afirmaram ter somente um PC, 50 disseram ter somente um Notebook e 25 afirmaram ter ambos. 
Diagrama de Venn:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:
Seja PC o evento “o estudante temum PC” e N o evento “o estudante tem um Notebook”.
Se um estudante é selecionado ao acaso, qual é a probabilidade de que ele tenha:
Um PC? 
Um Notebook? 
Tanto um Notebook como um PC?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:
Se um estudante é selecionado ao acaso, qual é a probabilidade de que ele tenha um PC ou um Notebook?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 – Regras de Multiplicação
 Regra Especial de Multiplicação
A regra especial de multiplicação requer que dois eventos A e B sejam independentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 – Regras de Multiplicação
Definição: Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não tem efeito sobre a probabilidade da ocorrência do outro.
A regra especial é escrita simbolicamente como: 
P(A e B) = P(A). P(B)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Três Eventos Independentes
 Para três eventos independentes A, B e C, a regra especial da multiplicação usada para determinar a probabilidade de que todos os eventos ocorram é: 
P(A e B e C) = P(A).P(B).P(C)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:
 Um investidor possui duas ações. 
Uma é de uma companhia de produção de petróleo;
A outra é de uma cadeia de supermercados,
Nota: Assume-se que as cotações são independentes. 
 A probabilidade de que a ação da companhia de petróleo suba no próximo ano é 0,50.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:
A probabilidade de que a ação da companhia de petróleo suba no próximo ano é 0,50.
A probabilidade de que a cotação da cadeia de supermercados aumente em valor no próximo ano é 0,70.
Qual é a probabilidade de que ambas as ações cresçam em valor no próximo ano?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução:
Seja A o evento:
a cotação da companhia de petróleo cresce no próximo ano;  
Seja B o evento: 
a cotação da cadeia de supermercados cresce no próximo ano.
Então:
P(A e B) = (0,50).(0,70) = 0,35
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:
Qual é a probabilidade de pelo menos uma das ações aumentar de valor no próximo ano?
Solução:
Isto implica que tanto uma pode aumentar (sem que a outra aumente), assim como ambas.
Portanto:
P(mínimouma)=(0,50).(0,30)+(0,50).(0,70)+(0,70).(0,50)= 0,85
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:
Um estudo recente constatou que 60 % das mães com crianças de idade de até 10 anos empregam-se em tempo integral. 
Três mães são selecionadas ao acaso. 
Assume-se que as mães são empregadas de forma independente umas das outras. 
Qual é a probabilidade de que todas sejam empregadas em período integral? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução:
P(todasempregadasperíodointegral)=(0,60).(0,60).(0,60)=0,216. 
Qual é a probabilidade de que no mínimo umas das mães sejam empregadas em período integral?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade Condicional
É a probabilidade de que um evento particular ocorra, dado que outro evento tenha ocorrido.
Notação: P(B|A) representa a probabilidade de ocorrência de B quando o evento A já ocorreu. (Pode-se ler B|A como “B dado A”).
A probabilidade conjunta, P(A e B) é dada pela seguinte fórmula:
P(A e B) = P(A) . P(B|A)
Alternativamente, pode-se também escrever: 
P(A e B) = P(B) . P(A|B)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo :
 Uma faculdade coletou a seguinte informação sobre seus estudantes de graduação:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso
Homens
Mulheres
Total
Contabilidade
120
80
200
Finanças
110
70
180
Marketing
70
50
120
Administração
110
100
210
Estatística
50
10
60
Computação
140
90
230
Total
600
400
1000
Exemplo :
Uma estudante é selecionada ao acaso. Qual é a probabilidade de que esteja cursando Contabilidade?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo :
Qual é a probabilidade de selecionar uma mulher?
Solução:
Dado que o(a) estudante é mulher, qual é a probabilidade de que esteja cursando Contabilidade?
Precisamos calcular P(A|F). Então:
P(A|F) = P(A e F)/P(F) = (80/1000)/(400/1000)=80/400= 0,20
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Roteiro para a aplicação da Regra da Multiplicação
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contagem
Diagramas em Árvore
Exemplo: Suponha que há 7 peças vermelhas e 5 peças azuis em uma sacola. 
Suponha que você selecione duas peças uma após a outra e sem reposição. 
Construa um diagrama em árvore para esta informação.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagramas em Árvore
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:
Sabe-se que um byte é definido como uma sequência de 8 bits. Calcule o número de bytes possíveis, sabendo que cada bit recebe 0 ou 1.
Solução:
Como cada bit só pode ocorrer de duas maneiras (0 ou 1), e temos uma sequência de 8 bits, o número total de possibilidades distintas é dado por:
2.2.2.2.2.2.2.2 = 256
Um byte permite 256 configurações distintas.
Exemplo:
Ao planejar pesquisas, os entrevistadores procuram minimizar o efeito causado pela ordem em que as questões são apresentadas*. 
Se Manoel planeja fazer uma pesquisa junto a consumidores formulando 5 questões aos entrevistados, quantas versões distintas da pesquisa são necessárias de modo a incluir todas as ordenações?
Solução:
Para qualquer pesquisa em particular há 5 escolhas possíveis para a primeira questão, 4 escolhas para a segunda questão, 3 escolhas para a terceira questão, 2 escolhas para a quarta questão e 1 escolha para a quinta questão. Então:
5.4.3.2.1 = 120 escolhas distintas.
Resposta: Manoel necessitaria de 120 versões da pesquisa para incluir todas as possibilidades. 
PERMUTAÇÕES E FATORIAL
Uma permutação é uma organização ordenada de objetos. 
O número de diferentes permutações de n objetos distintos é n!
O símbolo fatorial (!) denota o produto dos números inteiros positivos em ordem crescente. 
Por exemplo: 5! = 5.4.3.2.1 = 120. 
Por definição 0! = 1
Exemplo:
Suponha que o proprietário de uma empresa de transportes terrestres deseja visitar 4 cidades distintas, denotadas por A, B, C e D.
Quantos caminhos diferentes ele pode escolher?
Solução:
Pela regra do fatorial, vemos que as 4 diferentes cidades (A, B, C e D) podem ser dispostas de 4! = 24 maneiras distintas. Ou seja, 4 escolhas para a primeira cidade, 3 escolhas para a segunda cidade, 2 escolhas para a terceira cidade e 1 escolha para a quarta cidade.
4.3.2.1 = 24 caminhos diferentes.
ARRANJOS
Arranjos de n objetos retirados r de uma vez.
O número de arranjos de n objetos distintos retirados r de uma vez é:
EXEMPLOS
01 – Encontre o número de maneiras nas quais pode-se formar códigos de três dígitos, com algarismos de 0 a 9, em que nenhum é repetido.
02 – Quarenta e três carros começam uma corrida. De quantas maneiras os carros podem terminar em primeiro, segundo e terceiro lugar?
PERMUTAÇÕES DISTINGUÍVEIS
O número de permutações distinguíveis de n objetos, onde n1 são de um tipo e n2 são de outro tipo e assim por diante, é dado por:
EXEMPLO
03 – Uma empreiteira planeja desenvolver um loteamento. O loteamento consiste em 6 casas, 4 sobrados e 2 casas com vários planos. De quantas maneiras distintas as residências podem ser organizadas?
COMBINAÇÕES
Combinações de n objetos retirados r de uma vez.
Uma combinação é uma seleção de r objetos de um grupo de n objetos sem levar em conta a ordem, e é denotada por C(n,r). O número de combinações de r objetos de um grupo de n objetos é dado por:
EXEMPLOS
04 – Um departamento de transporte planeja desenvolver uma nova rodovia interestadual e recebe 16 ofertas de concorrência para o projeto. O departamento planeja contratar quatro empresas na concorrência. Quantas combinações diferentes de quatro empresas podem ser formadas?
05 – Um comitê de estudantes tem 17 membros, sendo que três deles tem as seguintes funções: presidente, secretário e tesoureiro. Cada membro tem a mesma possibilidade de estar em qualqueruma das posições. Qual a probabilidade de selecionar aleatoriamente os três membros que tem cada posição?
EXEMPLOS
06 – Calcule o número de anagramas que podem ser formados com a palavra ESTATÍSTICA.
07 – Considerando um grupo de dez pessoas, quantas chapas diferentes podem-se ter para uma eleição de presidente, tesoureiro e secretário?
Teorema de Bayes
 Considere o seguinte diagrama com as partições A1 e A2:
						Espaço Amostral
P(A1 / B)=P(A1 e B)/P(B); P(A1 e B)=P(A1).P(B/A1)
P(B) = P(A1 e B) + P(A2 e B);
P(A2 e B) = P(A2) P(B / A2)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Bayes
A partir disto, temos a fórmula seguinte (Teorema de Bayes): 
ou
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Bayes
Nota: Este teorema pode ser estendido para diversas partições do espaço amostral (A1, A2, A3,...). Generalizando, tem-se:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:
Com referência a tabela à seguir, admita que todas as escolhas envolvam os 2.000 indivíduos e determine:
Relação entre Criminoso e Vítima.
Relação
Homicídio
Furto
Assalto
Totais
Estranho
12
379
727
1.118
Conhecidoou Parente
39
106
642
787
Ignorado
18
20
57
95
Totais
69
505
1.426
2.000
Exemplo:
a) Escolhe-se uma pessoa aleatoriamente. Qual é a probabilidade de ela ter sido vítima de um estranho, dado que foi escolhida uma vítima de furto?
b) Escolhida uma vítima de assalto, qual a probabilidade de o criminoso ser um estranho? 
Solução:
a)
b) 
Exemplo:
Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma fábrica. 
As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. 
Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B? E da máquina A?
Solução:
Tem-se que: 
P(A)=0,4; 			P(B)=0,5; 
P(C)=0,10; 			P(D/A)=0,03; 
P(D/B) = 0,05; 		P(D/C)= 0,02; 
P(B/D) = ?
Solução:
 Utilizando a Regra de Bayes temos: