Capítulo 4 – Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos, Fluídicos e Térmicos
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Capítulo 4 – Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos, Fluídicos e Térmicos


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CapCapíítulo 4 tulo 4 \u2013\u2013 Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Eltica de Sistemas Eléétricos, Flutricos, Fluíídicos e Tdicos e Téérmicosrmicos
1
\uf071 As leis fundamentais que governam os sistemas 
elétricos são:
\uf071 - Leis de Kirchoff \uf0ae A Lei das Correntes diz 
que a soma das correntes que entram em um nó
é igual a zero 
e a das tensões diz que a soma das quedas de 
tensão dentro de uma malha é igual a zero.
\uf071 - Lei de Ohm \uf0ae Determina a relação entre 
tensão e corrente.
4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
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)(.)(
)(.)(
sIRSV
tiRtv
R
R \uf03d
\uf03d
vC(t) i(t)
i(t)
vL(t)
i(t)
vR(t)
4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
\uf071 Componentes:
Resistor (ohm): Opõe resistência à passagem da corrente elétrica por seus terminais.
Capacitor (farad): Acumula elétrons (corrente) entre suas placas.
Indutor (henry): Acumula tensão entre seus terminais em forma de campo eletromagnético. 
(4.1)
sC
sIsV
dttiCtv
C
C
.
)()(
).(.1)(
\uf03d
\uf03d \uf0f2 (4.2)
)(.)(
)(.)(
sIssV dt
tdiLtv
L
L
\uf03d
\uf03d (4.3)
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\uf071 Circuitos RLC
\uf071 Circuitos elétricos mais complexos são basicamente formados por 
\uf071 resistores de resistência R, 
\uf071 indutores de indutância L, 
\uf071 capacitores de capacitância C.
4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
\uf071 Entrada: v(t)
\uf071 Saída: vC(t)
\uf071 i(t) é a intensidade da corrente elétrica
Armazenadoresde Energia
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\uf071 v(t) é a diferença de potencial nos 
terminais do indutor:
\uf071 VR é a diferença de potencial nos terminais do resistor:
4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
\uf028 \uf029 dtdiLtv \uf03d (4.4)
)()( tRitVR \uf03d (4.5)
\uf071 VC é a diferença de potencial nos terminais do capacitor:
\uf0f2\uf03d tC dttiCtv 0 )(1)( (4.6)
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
\uf071 Substituindo:
\uf071 Pela Lei de Kichorff:
)()()()( tEtVtVtV CRL \uf03d\uf02b\uf02b (4.7)
)()(1)( 0 tEdttiCtRidt
diL t \uf03d\uf02b\uf02b \uf0f2 (4.8)
\uf071 Como: qdt
qd
dt
di
dt
dqi \uf026\uf026\uf03d\uf03d\uf0de\uf03d 22 (4.9)
qidtt \uf03d\uf0f20 (4.10)
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
)()(1)( 0 tEdttiCtRidt
diL t \uf03d\uf02b\uf02b \uf0f2 (4.8)
\uf071 A Eq. 4.8 fica:
)(1 tEqCqRqL \uf03d\uf02b\uf02b \uf026\uf026\uf026 (4.11)
L
tEqLCqL
Rq )(1 \uf03d\uf02b\uf02b \uf026\uf026\uf026 (4.12)
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
)(1 tEqCqRqL \uf03d\uf02b\uf02b \uf026\uf026\uf026 (4.11)
\uf071 Da Equação 4.11:
\uf071 Aplicando Laplace:
)()(1)()(2 sEsQCsRsQsQLs \uf03d\uf02b\uf02b (4.13)
)()(12 sEsQCRsLs \uf03d\uf0f7\uf0f8
\uf0f6\uf0e7\uf0e8
\uf0e6 \uf02b\uf02b (4.14)
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf028 \uf029 CRsLssQ
sEsG 112 \uf02b\uf02b\uf03d\uf03d (4.15)
\uf071 Representação por Laplace:
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
\uf071 Representação em Variáveis de Estados:
\uf071 x1 = tensão no capacitor , vC (t);
\uf071 x2 = corrente no indutor , iL(t).
( )1 ( )2
x v tcx i tL
\uf03d
\uf03d
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
L
tEqLCqL
Rq )(1 \uf03d\uf02b\uf02b \uf026\uf026\uf026
)(111)(1 tELqCqRLL
tEqLCqL
Rq \uf02b\uf0f7\uf0f8
\uf0f6\uf0e7\uf0e8
\uf0e6 \uf02d\uf02d\uf03d\uf02b\uf02d\uf02d\uf03d \uf026\uf026\uf026\uf026 (4.16)
\uf071 Este sistema em sua forma normal torna-se como:
\uf0ee\uf0ed
\uf0ec \uf03d
\uf03d
qx
qx
\uf0262
1
\uf0ee\uf0ed
\uf0ec \uf03d
\uf03d\uf03d
qx
xqx
\uf026\uf026\uf026
\uf026\uf026
2
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\uf071 Da Equação 4.12:
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\uf0ee\uf0ed
\uf0ec \uf03d
\uf03d\uf03d
qx
xqx
\uf026\uf026\uf026
\uf026\uf026
2
21
\uf071 Das relações entre as variáveis de estado:
\uf028 \uf029\uf0ef\uf0ee
\uf0ef\uf0ed\uf0ec \uf02b\uf0f7\uf0f8
\uf0f6\uf0e7\uf0e8
\uf0e6 \uf02d\uf02d\uf03d
\uf03d\uf03d
tELqCqRLx
xqx 111
2
21
\uf026\uf026
\uf026\uf026
4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
\uf028 \uf029\uf0ef\uf0ee
\uf0ef\uf0ed\uf0ec \uf02b\uf0f7\uf0f8
\uf0f6\uf0e7\uf0e8
\uf0e6 \uf02d\uf02d\uf03d
\uf03d\uf03d
tELxCRxLx
xqx 111
122
21
\uf026
\uf026\uf026
\uf0ee\uf0ed
\uf0ec \uf03d
\uf03d
qx
qx
\uf0262
1
\uf028 \uf029tELx
x
L
R
LCx
x
\uf0fa\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf02b\uf0fa\uf0fb
\uf0f9\uf0ea\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0ea\uf0eb
\uf0e9
\uf02d\uf02d\uf03d\uf0fa\uf0fb
\uf0f9\uf0ea\uf0eb
\uf0e9 101 10
2
1
2
1
\uf026
\uf026 (4.17)
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\uf071 Equação de Estado e de Saída Linearizados:
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
\uf0fa\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
dt
didt
dq
x\uf026
BuAxx \uf02b\uf03d\uf026
\uf0fa\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0ea\uf0eb
\uf0e9
\uf02d\uf02d\uf03d LRLCA 1
10 \uf0fa\uf0fb
\uf0f9\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf03d i
qx \uf0fa\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf03d LB 1
0 \uf028 \uf029tEu \uf03d
DuCxy \uf02b\uf03d
\uf028 \uf029tELx
x
L
R
LCx
x
\uf0fa\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf02b\uf0fa\uf0fb
\uf0f9\uf0ea\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0ea\uf0eb
\uf0e9
\uf02d\uf02d\uf03d\uf0fa\uf0fb
\uf0f9\uf0ea\uf0eb
\uf0e9 101 10
2
1
2
1
\uf026
\uf026 (4.17)
\uf05b \uf05d \uf0fa\uf0fb\uf0f9\uf0ea\uf0eb\uf0e9\uf03d 2101 xxy
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EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:
\uf071 Determinar a função de laplace Q(s) do seguinte sistema RLC: \uf071 Dados: R = 160 \uf057 (ohm)L = 1 h (henry)C = 10-4 (farad)E(t) = 20V
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EXEMPLO 1 (CONTINUAEXEMPLO 1 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
\uf071 Aplicando a 2ª lei de Kirchoff no circuito:
)()()()( tEtVtVtV CRL \uf03d\uf02b\uf02b (4.7)
)()(1)( 0 tedttiCtRidt
diL t \uf03d\uf02b\uf02b \uf0f2
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