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3.1 - Teorema do Limite Central

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Teorema do Limite Central
Critérios
1 – Se n>30, então as médias amostrais tem distribuição que pode ser aproximada por uma distribuição normal;
2 – Se n<=30 e a população tem distribuição normal, então as médias amostrais tem distribuição normal;
3 – Se n<= 30 e a população não tem distribuição normal, então não se aplica o Teorema do Limite Central.
Critérios
O Teorema do Limite Central e a Distribuição Amostral de Média Amostral
1 – A variável aleatória x tem uma distribuição, normal ou não, com média µ e desvio padrão .
2 – Amostras aleatórias simples, todas de tamanho n, selecionadas da mesma população.
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Notação:
Exemplo 01: Dígitos aleatórios
Pode-se gerar 500.000 dígitos de 0 a 9 todos igualmente prováveis.
Exemplo:
Pode-se agrupar os 500.000 dígitos em 5.000 amostras com n=100 valores. Determina-se a média de cada amostra e ao se construir o histograma das 5.000 médias amostrais obtêm-se uma curva aproximadamente simétrica.
Embora os dígitos originais tenham distribuição uniforme, a distribuição das 5.000 médias amostrais é uma distribuição aproximadamente normal. 
Procedimentos para a aplicação:
1 – Ao lidar com um valor individual de uma população normalmente distribuída, usa-se:
Procedimentos para a aplicação:
2 – Ao lidar com uma média de alguma amostra (ou grupo), usa-se:
 
Exemplo 02:
Táxis Aquáticos – Admitindo-se que todos os passageiros são homens com pesos distribuídos normalmente, com média de 78kg e desvio padrão de 13kg.
A) Determine a probabilidade de um homem selecionado aleatoriamente ter peso maior que 79,3kg.
B) Determine a probabilidade de 20homens selecionados aleatoriamente terem peso médio superior a 79,3 kg(de modo que o peso total seja maior que a capacidade máxima de segurança de 1587,5kg).
Evento raro:
Se sob uma determinada hipótese, a probabilidade de um evento particular observado for excepcionalmente pequena, pode-se concluir que a hipótese provavelmente não seja correta.
Exemplo 03:
Suponha que a população de temperaturas do corpo humano tenha uma média de 37ºC. 
Considerando-se o desvio padrão populacional de 0,68ºC e uma amostra n=106 selecionada ao acaso, pede-se:
Determine a probabilidade de obter uma média de 36,78ºC ou menos.
Correção para uma população Finita
Quando tirar amostras sem reposição e o tamanho amostral n for maior que 5% do tamanho finito N da população, ou seja, n>=5%N, ajuste o desvio padrão das médias amostrais multiplicando pelo fator de correção para população finita:
A normal como Aproximação da Binomial
Se uma distribuição binomial satisfaz as exigências de np>=5 e nq>=5, então a distribuição de probabilidade binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal com média n*p e variância como n*p*q e com números inteiros discretos x ajustados pela correção de continuidade, de modo que x seja representado pelo intervalo x-0,5 a x + 0,5

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