AV1 - Calculo Numerico - 2018.1

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AVALIAÇÃO 1 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
Mariana Araujo 
09/03/2018 
 
 
 
 
Arquivo referente a Avaliação 1 da disciplina online Cálculo Numérico 
1 
 
Arquivo referente a Avaliação 1 da disciplina online Cálculo Numérico 
 
Situação problema 
Analise o sistema linear abaixo: o discente, deverá resolver utilizando os seguintes métodos: Método de Gauss 
- Jacobi e o Método de Gauss - Seidel. 
3𝑥1 − 0,1𝑥2 − 0,2𝑥3 = 7,85 
0,1𝑥1 + 7𝑥2 − 0,3𝑥3 = −19,3 
0,3𝑥1 − 0,2𝑥2 + 10𝑥3 = 71,4 
Resolva o sistema linear utilizando os seguintes métodos: Método de Gauss - Jacobi e o Método de Gauss – 
Seidel. Para ambos os métodos, os valores iniciais são: x(0) = (0,0,0) e o erro ε ≤ 0.001. Os resultados devem ter 
no máximo 3 casas decimais. 
Em ambos os Métodos, considerar os seguintes passos: 
1. Verificar o Critério de Convergência (Critério de Linhas). 
2. Isolar as variáveis 
3. Verificar o Critério de Parada (Cálculo do Erro). 
Solução 
Método 1 – Gauss-Jacobi 
 
1) Conferir critério de convergência 
 
|a11 |≥|a12 |+|a13| 
|3| ≥ |-0,1| + |0,2| 
 
|a22 |≥|a21 |+|a23| 
|7| ≥ |0,1| + |-0,3| 
 
|a33 |≥|a31 |+|a32| 
|10| ≥ |0,3| + |-0,2| 
 
 Primeiro passo – Condição da diagonal dominante satisfeita! 
 
2) Isolar variáveis 
 
𝑥1 =
7,85 + 0,2𝑥2 + 0,2𝑥3
3
 
 
𝑥2 =
−19,3 − 0,1𝑥1 + 0,3𝑥3
7
 
 
𝑥3 =
71,4 + 0,2𝑥2 − 0,3𝑥1
10
 
 Segundo passo – Variáveis isoladas! 
 
3) Verificar cálculo do erro 
 
 
2 
 
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𝑥1
(1) =
7,85 + 0,1𝑥2
(0) + 0,2𝑥3
(0)
3
= 2,617 
𝑥2
(1) =
−19,3 − 0,1𝑥1
(0) + 0,3𝑋3
(0)
7
= −2,757 
𝑥3
(1) =
71,4 + 0,2𝑥2
(0) − 0,3𝑥1
(0)
10
= 7,140 
 
𝑥1
(2) =
7,85 + 0,1𝑥2
(1) + 0,2𝑥3
(1)
3
=
7,85 + 0,1(−2,757) + 0,2(7,140)
3
= 3,001 
𝑥2
(2) =
−19,3 − 0,1𝑥1
(1) + 0,3𝑋3
(1)
7
=
−19,3 − 0,1(2,617) + 0,3(7,140)
7
= −2,489 
𝑥3
(2) =
71,4 + 0,2𝑥2
(1) − 0,3𝑥1
(1)
10
=
71,4 + 0,2(−2,757) − 0,3(2,617)
10
= 7,006 
 
ε= 0,384; 0,268; -0,134 
 
𝑥1
(3) = 
7,85 + 0,1(−2,489) + 0,2(7,006)
3
= 3,001 
𝑥2
(3) =
−19,3 − 0,1(3,001) + 0,3(7,006)
7
= −2,500 
𝑥3
(3) =
71,4 + 0,2(−2,489) − 0,3(3,001)
10
= 7,006 
 
ε= 0; -0,011; 0 
𝑥1
(4) = 
7,85 + 0,1(−2,5) + 0,2(7)
3
= 3,000 
𝑥2
(4) =
−19,3 − 0,1(3,001) + 0,3(7)
7
= −2,500 
𝑥3
(4) =
71,4 + 0,2(−2,5) − 0,3(3,001)
10
= 7,000 
ε= 0.001; 0; -0.006 
 
 
 Terceiro passo – Cálculo do erro! 
 
 
Método 2 – Gauss-Seidel 
1) Conferir critério de convergência 
 
|a11 |≥|a12 |+|a13| 
|3| ≥ |-0,1| + |0,2| 
 
|a22 |≥|a21 |+|a23| 
|7| ≥ |0,1| + |-0,3| 
 
|a33 |≥|a31 |+|a32| 
|10| ≥ |0,3| + |-0,2| 
 
 Primeiro passo – Condição da diagonal dominante satisfeita! 
3 
 
Arquivo referente a Avaliação 1 da disciplina online Cálculo Numérico 
 
2) Isolar variáveis 
 
𝑥1 =
7,85 + 0,2𝑥2 + 0,2𝑥3
3
 
 
𝑥2 =
−19,3 − 0,1𝑥1 + 0,3𝑥3
7
 
 
𝑥3 =
71,4 + 0,2𝑥2 − 0,3𝑥1
10
 
 Segundo passo – Variáveis isoladas! 
 
3) Verificar cálculo do erro 
A diferença entre os métodos é no cálculo do erro, pois os índices utilizados são diferentes. 
𝑥1
(1) =
7,85 + 0,1𝑥2
(0) + 0,2𝑥3
(0)
3
= 2,617 
𝑥2
(1) =
−19,3 − 0,1𝑥1
(1) + 0,3𝑥3
(0)
7
= −2,795 
𝑥3
(1) =
71,4 + 0,2𝑥2
(1) − 0,3𝑥1
(1)
10
= 7,006 
 
𝑥1
(2) =
7,85 + 0,1𝑥2
(1) + 0,2𝑥3
(1)
3
= 2,991 
𝑥2
(2) =
−19,3 − 0,1𝑥1
(2) + 0,3𝑥3
(1)
7
= −2,500 
𝑥3
(2) =
71,4 + 0,2𝑥2
(2) − 0,3𝑥1
(2)
10
= 7,000 
ε= 0,374; 0,295; -0,006 
𝑥1
(3) =
7,85 + 0,1𝑥2
(2) + 0,2𝑥3
(2)
3
= 3,000 
𝑥2
(3) =
−19,3 − 0,1𝑥1
(3) + 0,3𝑥3
(2)
7
= −2,500 
𝑥3
(3) =
71,4 + 0,2𝑥2
(3) − 0,3𝑥1
(3)
10
= 7,000 
ε= 0,009; 0; 0 
𝑥1
(4) =
7,85 + 0,1𝑥2
(3) + 0,2𝑥3
(3)
3
= 3,000 
𝑥2
(4) =
−19,3 − 0,1𝑥1
(4) + 0,3𝑥3
(3)
7
= −2,500 
𝑥3
(4) =
71,4 + 0,2𝑥2
(4) − 0,3𝑥1
(4)
10
= 7,000 
ε= 0; 0; 0 
 Terceiro passo – Cálculo do erro!