Matematica Financeira Resumo AV2

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Concluido: 681 89% I Tópico -Aula 6: Conteúdo Online • I ~ Voltar li Avançar ,.. I 
Aula 6 
Séries de Pagamento Uniforme 
Universidade Estáclo de Sá .. Todos os Olr&itos Reservados 
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Concluido: 68189% I Tópico -Aula 6: Conteúdo Online 
SÉRIES DE PAGAMENTO UNIFORMES 
Exemplo: 
Suponha que um automóvel custe R$30.000,00 à vista. Caso o 
consumidor deseje f inanciar em 18 parcelas mensais iguais, a uma 
taxa de juros de 2% ao mês, qual será o valor da prestação mensal? 
A 
2 3 
2,02A 
20?.5 
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4 5 
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P, 
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Solução: 
Observação: quando não há referência a juros 
compostos ou simples, assume-se sempre que 
são juros compostos. 
Para uma série de pagamentos uniformes (valor 
de prestação f ixo), aplicamos a fórmula: 
A = P . (I + i)" - 1 -+ A = P . an,; 
i .(l +i)" 
20"2.2 
zo23 
2,0 2 A 
20?.5 
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9 9C)l 
,o:z.O'' 
"'o.~'o 
an~i é o fator de valor at ual de uma 
série de pagamentos uniformes (vide 
Tabela "FATOR DE VALOR ATUAL DE 
UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS". Leia-se 
"a, cantoneira i" ou simplesmente 
"a, n, i". 
No exercício, vamos calcular o valor da 
prestação mensal do automóvel. 
an~i = a18~2 = 14,992031 (obtido da Tabela 11 
FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE 
PAGAMENTOS: linha n=1 8 e coluna i = 2%) 
A= P . an"'i 
Logo: 30000 = P . 14,992031 -+ P = 2001 ,06 
A prestação será de R$2.001 ,06 
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Vamos entender melhor, observando a resolução do exercício. 
Exerclcio 1 : . . nciado em cinco prestações 
Um empréstimo fm _f ma de R$ 1 . 000 '00, sendo a 
mensais e consec_u~~~gsdias após a liberação do 
prime1ra prestaça de juros compostos do 
empréstin:'o. Se a tax.aua\ o va\or do empréstimo? 
mercado e 8% a.m. , q 
A • 
\ 3 4 5 2 1 ~ 1 l l j()(){) 
1000 tOOO 1000 1000 
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Vamos entender melhor, observando a resolução do exercício. 
i= 8% a.m. 
n = 5 .. 0 A = valor do emprestlm 
ao"i -+ a5"8 
A = p . as"s 
3 992710 (da Tabela H Fator de valor 
A= 1000 x ' , ·e de pagamentos) 
atual de uma sen 
A= R$3.992,71 
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Vamos entender melhor, observando a resolução do exercício. 
Exerclcio 2: • ico foi vendido com . 
Um equipamento eletron • restações mensaiS 
R$1 . 500,00 de entradaS:b~~~~-se que o juro cobrado 
iguais de R$1.225,48· re 0 à vista. 
foi de 2,5% a .m. , calc~l\oepas ~restações de P, temos: 
Chamando a entrada e 
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... '. 
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Vamos entender melhor, observando a resolução do exercício. 
. . ) ue é 0 valor atual 
Portanto o pnnclpal (A ' q ado à ' - data zero som das prestaçoes na . xpresso da seguinte 
entrada (E), pode sei e 
forma: 
Onde: 
E = 1500 
p: 1225.48 l 11) 
5 = 2 856o24 (da Tabe a a3-.2, , 
Logo· 
A= 15oo ... 1225,48 x 2 ,856024 
A= 1500 + 3500 
A= R$5.000,00 
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Concluido: 73,33% I Tópico -Aula 7: Conteúdo Online • I ~ Voltar li Avançar ,.. I 
Aula 7 
Planos de amortização de Dívida 
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Concluido: 73,33% I Tópico -Aula 7: Conteúdo Online 
Planos de amortização de Dívida, definições e principais conceitos. 
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É importante definirmos alguns conceitos para uma melhor f ixação da aula. 
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Definição de Amortização: 
É o ato de pagar as prestações que 
foram geradas mediante uma tomada 
de emprést imo. 
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Planos de amortização de Dívida, definições e principais conceitos. 
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É importante definirmos alguns conceitos para uma melhor f ixação da aula. 
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Período de amortização: 
É o intervalo de tempo existente entre 
duas amort izações sucessivas (entre 
dois pagamentos). 
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Planos de amortização de Dívida, definições e principais conceitos. 
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É importante definirmos alguns conceitos para uma melhor f ixação da aula. 
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Prazo de amortização: 
É o intervalo de tempo durante o qual 
são pagas as amort izações. (ou seja: é 
o tempo entre a primeira e a última 
parcela de pagamento). 
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Planos de amortização de Dívida, definições e principais conceitos. 
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É importante definirmos alguns conceitos para uma melhor fixação da aula . 
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Parcelas de amortização: 
São as parcelas de devolução do 
principal (ou seja, devolução ou 
pagamento do capital emprestado). 
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Planos de amortização de Dívida, definições e principais conceitos. 
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É importante definirmos alguns conceitos para uma melhor f ixação da aula. 
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Juros nos sistemas de amortização: 
Nos sistemas de amort ização, os juros 
serão sempre cobrados sobre o saldo 
devedor, considerando a taxa de j uros 
compostos, sendo que, se não houver 
pagamento de uma parcela, levará a 
um saldo devedor maior, calculando 
j uro sobre juro. 
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Saldo devedor 
FALTA ILUSTRAÇÃO 
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- ~ ... .,_ 
É o estado da dívida, ou sej a, o débito em 
um determinado instante de tempo. 
Sistemas de amortização 
Meios pelos quais vai se pagando uma 
dívida contraída, de forma que seja 
escolhida pelo devedor a maneira mais 
conven iente para ele. 
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1 
o 
Prestações 
Juros 
I 
I I 
I 
I 
Amortização 
I I 1 1 
1 2 3 4 5 Período 
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- ~ ... .,_ 
SAC 
As parcelas de amort ização são iguais entre si. Os juros são calculados, 
a cada período, mult iplicando-se a taxa de juros contratada pelo saldo 
devedor existente no período anterior. 
Por este sistema, o credor (instituição financeira ou banco) exige a 
devolução do principal em n parcelas iguais, incidindo os juros sobre o 
saldo devedor. 
PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS 1 
- - -
.. 
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Parcela 
o 
1 10.750 750 10.000 
2 10.600 600 10.000 
3 10.450 450 10.000 
4 10.300 300 10.000 
5 10.150 150 10.000 
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.......... ~ -- ... -
Exemplo 2: 
Um valor de R$50.000,00 foi emprestado no início de 
um determinado mês e as prestações e os juros serão 
pagos no fim de cada mês, ou seja, sempre sobra o 
saldo devedor do período anterior. A amortização é 
mensal e constante (SAC}. A prestação é obtida 
somando·se ao f inal de cada período a amortização 
com os juros. 
Suponha uma taxa de juros mensal de 1,5% a.m. e o 
número de prestações 5, calcule os valores das 
prestações. 
Saldo Dev. 
50.000 E: 50.000 
i : 1, 5% a.m. 
Número de parcelas: 5 
30.000 Podemos calcular o valor da 
20.000 
amortização: 
50000 I 5 = 1 0000 
10.000 
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1. O sistema de amortização de dividas em que as parcelas de amortização 
são iguais entre si é: 
O Sistema de Amortização variável. 
O Sistema Americano. 
O Sistema da Tabela Price. 
@) sAc. 
O Sistema francês de amortização. 
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2. Nos sistemas de amortização, os juros serão sempre cobrados sobre: 
o valor do saque 
o o saldo credor 
o o valor da prestação 
o a amortização 
@ o saldo devedor 
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3. Um empréstimo bancário no valor de R$20.000,00, á taxa de juros de 1% ao mês, deverá ser 
pago em cinco parcelas pelo Sistema SAC, supondo que a primeira parcela deverá ser paga 30 
dias após a tomada do empréstimo. Calcule o valor da 3• prestação. 
@ R$4.120,00 
0 R$4.160,00 
0 R$6. 120,00 
0 R$6.240,00 
0 R$4.240,00 
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Concluído: 77, 78% I Tópico -Aula 8: Conteúdo Online • I ~ Voltar li Avançar ,. I 
I' Aula 8 
Sistema Francês de Amortização 
(Tabela Price) 
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Concluido: n~78% I Tópico -Aula 8: Conteúdo Online • I ~ Voltar li Avançar ,. I 
Tabela Price (Sistema Francês) 
O Sistema Francês é uma forma de amortização que é representada por uma série de pagamentos uniformes e periódicos, ou 
seja, tem as prestações fixas. 
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- ~ ... .,_ 
Por este sistema o mutuário obriga -se a 
devolver o principal mais os juros em 
prestações iguais entre si. A dívida fica 
completamente saldada na últ ima prestação. 
Prestação 
Amortização 
Períodos 
.. 
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Concluido: n~78% I Tópico -Aula 8: Conteúdo Online • I ~ Voltar li Avançar ,. I 
Em uma dada situação precisamos calcular a prestação e separar a amortização dos j uros. 
Um emprést imo de R$10.000,00 deverá ser 
pago pela Tabela Price em cinco prestações 
mensais à taxa de 3% ao mês. Determine o 
valor da prestação e a planilha de 
pagamentos. 
c: 10000 
i : 3%a.m. 
Amortizações mensais: 5 (prestações iguais 
por ser Tabela Price) 
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- ~ ... .,_ 
Chamamos de planilha de pagamento à 
tabela que discrimina em cada instante 
o valor da prestação, os juros, a 
amort ização e o saldo devedor. 
... '. 
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Concluido: n~78% I Tópico -Aula 8: Conteúdo Online • I ~ Voltar li Avançar ,. I 
Nos cálculos que realizamos no emprego da Tabela Price usamos a seguinte fórmula: 
Onde C = valor do empréstimo 
C = P . an"' i 
é o fator onde se lê: n cantoneira i, fator esse que é obtido na 
Tabela FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS. 
P = valor da prestação 
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- ~ ... .,_ 
.. 
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Concluido: n~78% I Tópico -Aula 8: Conteúdo Online • I ~ Voltar li Avançar ,. I 
A partir da tabela abaixo vejamos como utilizar a fórmula para calcular a prestação: 
FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS 
~ 1% 2% 3% 4% 
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 
2 1,970395 1,941561 1,913470 1,886095 
3 2,940985 2,883883 2,82861 1 2,775091 
4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 
5 4,853431 4,713460 ~ 4,451822 
10.000 
1 2 3 4 5 
p p p p p 
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5% 
0,952381 
1,85941 0 
2,723248 
3,545951 
4,329477 
6% 7% 8% 9% 
0,943396 0,934579 0,925926 o, 917431 
1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 
2,673012 2,624316 2,577097 1,759111 
3,465106 3,387211 3,312127 3,239720 
4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 
C= P. an~i 
10000 = P. a5~3 
10000 = P . 4,579707 (da tabela) 
Logo: P = 10000 I 4,579707 = 2.183,55 
(esse é o valor da prestação) 
... '. 
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Concluido: n~78% I Tópico -Aula 8: Conteúdo Online • I ~ Voltar li Avançar ,. I 
Vejamos agora como realizar o cálculo da amortização e do saldo devedor: 
Mês Prestação Juros Amortização Saldo devedor 
o 10.000,00 
1 2.183,55 300,00 1.883,55 8.116,45 
2 2.183,55 243,49 1. 940,06 6.176,39 
3 2.183,55 185,31 1.998,24 4.178,15 
4 2.183,55 125,34 2.058,21 2.119,94 
5 2.183,55 63,60 2.119,94 0,00 
Total 10.917,75 917,74 10.000,00 
1• parcela: 
J = 3% do saldo devedor .. j = 300,00 
A= P- J .. A= 1.883,55 
SD = 10.000- 1.883,55 = 8.116,45 
E assim por diante. Repetimos esta operação para as demais parcelas 
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Concluído:82, 22% I Tópico -Aula 9: Conteúdo Online • I ~ Voltar li Avançar ,. I 
~·~ ..... llR "' 
Aula 9 
Sistema de Amortização 
Americano - Misto - Variável 
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Concluido: 82122% I Tópico -Aula 9: Conteúdo Online • I ~ Voltar li Avançar ,. I 
Sistema Americano de Amortização 
O Sistema de Amorti zação Americano é uma forma de pagamento de emprést imos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos 
j uros da dívida, deixando o valor da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento. 
Nesse sistema de amortização, não há incidência 
de j uros sobre juros. Eles sempre incidem sobre o 
valor original da dívida. Com isso, o devedor pode 
quitar sua dívida quando quiser. 
A desvantagem desse sistema é que o pagamento 
de j uros pode, em tese, ser perpét uo mesmo 
quando já se pagou o equivalente a dívida em si. 
Para isso, basta que o número de prestações 
exceda 100% quando soma em juros simples. 
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~Estácio 
Concluido: 82122% I Tópico -Aula 9: Conteúdo Online 
Veja abaixo um exemplo da aplicação do Sistema 
Americano de amortização. 
Um empréstimo de R$50. 000,00 a juros de 1, 5% ao mês deverá 
ser pago em cinco parcelas pelo Sistema Americano de 
amortização. 
c= 50.000 
i: 1,5% a.m. 
Amortização no 5° mês 
Os j uros são calculados sobre o saldo devedor, pagos no final. 
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• I ~ Voltar li Avançar ,.. I 
.. 
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Mês. 
o 
1 
2 
3 
4 
5 
Total 
Concluido: 82122% I Tópico -Aula 9: Conteúdo Online 
Veja abaixo um exemplo da aplicação do Sistema 
Americano de amortização. 
. Saldo devedor. Amorti zação Juros 
50.000,00 - -
50.000 00 - 750 00 
50.000 00 - 761 25 
50.000' 00 - 750,00 
50.000,00 - 750,00 
50 o 000' 00 750,00 
50 o 000.00 3. 750,00 
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.. ........ ~ -- ... -
• I ~ Voltar li Avançar ,.. I 
Prestação , 
-
750 00 
750,00 
750,00 
750,00 
50.750,00 
53.750,00 
.. 
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Sistema de Amortizações Mistas (SAM) 
A prestação do sistema do Sistema de Amortizações Mistas (SAM) é obtida pela média aritmética entre as prestações do Sistema 
de Amortizações Constantes (SAC) e do Sistema Price. 
Vamos considerar um financiamento em que: 
C = valor do empréstimo 
n = número de prestações 
i = taxa de juros 
Então, temos a fórmula : 
P (Price) 
P (SAM) 
P (SAC) 
p (SACJ = P(Price) + P(SAC) 
2 
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4 ~ ... .,_ 
prestação do SAM 
prestação do SAM 
prestação do SAC 
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( TES 
Veja agora um exemplo da aplicação do 
Sistema de Amortizações Mistas. 
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- ~ ... .,_ 
Calcule o valor de cada prestação de um SAM 
em um financiamento em que: 
C= R$10.000,00 
n = 5 meses 
i= 3% a.m. 
Solução: 
a) Prestação do Sistema Price: 
C = P . a5• 3 
10000 = P . 4,579707 (da tabela) 
Logo: P = 10000 I 4,579707 = 2.183,55 (esse é o 
valor da prestação, que é igual para todos os 
cinco meses). 
... '. 
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OTES 
Veja agora um exemplo da aplicação do 
Sistema de Amorti zações Mistas. 
Universidade Estácio de Sá ·Todos os Olr&itos Reservados 
- ~ ... .,_ 
b) Prestação do SAC: 
Amortização = 10000 I 5 = 2000 
Cálculo dos juros na primeira parcela : 
J, = 3% de 10000 = 300 
Logo, a primeira prestação será R$2.300,00 
(Juros + Amortização) e o saldo devedor passa 
para R$8.000,00 (os juros não são abatidos do 
saldo devedor). 
E assim sucessivamente: 
J2 = 3% de 8000 = 240 
J3 = 3% de 6000 = 180 
J4 = 3% de 4000 = 120 
Js = 3% de 2000 = 60 
<D 
... '. 
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TES 
Veja agora um exemplo da aplicação do 
Sistema c;le Amortizações Mist_as. 
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- ~ ... .,_ 
c) Prestações doSAM 
Parcela 
p 
(Price) 
p 
(SAC) 
• I ~ Voltar li Avançar ,. I 
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Aula 10 
Taxa de Retorno - Valor! Presente Líquido 
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4. Payback Descontado 
No payback do fluxo de caixa descontado, o período de tempo necessário ao repagamento do invest imento vai depender da taxa 
de desconto considerada. 
A diferença entre o valor de mercado de um invest imento e seu custo é denominada VPL (Valor Presente Líquido) do 
investimento. O VPL representa quanto de valor foi adicionado, real izando-se determinado investimento. 
A princípio, estima-se que o recebimento gerado pelo 
empreendimento seria de R$20.000 por ano, os custos 
envolvidos, incluindo imposto, serão de R$14.000 por ano. 
Encerrando-se o negócio após 8 anos, entende-se que a 
Sof twarehouse, as instalações e os equipamentos valerão 
R$2.000. O projeto inicial custa R$30.000, usando·se uma taxa 
de desconto de 15%. Pergunta-se: seria um bom investimento? 
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Fluxos de Caixa projetados em R$ Mil 
Tempo (anos) o 1 2 3 4 5 6 7 8 
Custo Inicial R$30 
Entradas R$20 R$20 R$20 R$20 R$20 R$20 R$20 R$20 
Saídas R$14 R$14 R$14 R$14 R$14 R$14 R$14 R$14 
Entrada RS6 R$6 R$6 R$6 R$6 R$6 R$6 RS6 
Líquida 
Valor Residual R$2 
Fluxo Líquido R$30 R$6 RS6 RS6 R$6 R$6 RS6 RS6 R$8 
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I 
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Calcula-se o valor presente dos fluxos de cai xa futuros a uma taxa de 15%. Temos uma anuidade de: 
R$20.000 - R$14.000 = R$6.000 por oi to anos, somando-se a i sso o valor de R$2.000 daqui a oito anos. 
Assim, o valor presente total é de: 
V = c, FC1 FC2 FC, 
PL F 0 + (1 +i)l + (1 +i)2 + ... (1 + i)" 
Onde: 
FC .. fluxo de caixa em cada período 
.. taxa 
Logo, teremos: 
VPL = -30000 + 5217 + 4537 + 3945 + 3430 + 2980 + 2594 + 2256 + 2615 
VPL = -30.000 + 27.574 
Valor Presente Liquido VPL = -R$2.426 
Universidade Estáclo de Sá .. Todos os Olr&itos Reservados 
.......... ~ -- ... -
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TO= 0 30.0001 (1,1 5)o 
T1 = (20.000 o 14.000) I (1,1 5)1 = 6000/1 ,15 
T2 = (20.000 o 14.000) I (1,15)2 = 6000 11,3225 
T3 = (20.000 o 14.000) I (1,15)3 = 6000 /1,5209 
T4 = (20.000 o 14.000) I (1,1 5)4 = 6000 11,7490 
T5 = (20.000 o 14.000) I (1,15)5 = 6000 /2,0114 
T6 = (20.000 o 14.000) I (1,1 5)6 = 6000 / 2,3131 
T7 = (20.000 o 14.000) I (1,15)1 = 6000 /2,6600 
T8 = (20.000 o $14.000 + 2.000) I (1,15)8 
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- ~ ... .,_ 
= 0 30000 
= 5.217 
= 4.537 
= 3.945 
= 3.430 
= 2. 980 
= 2.594 
= 2.256 
= 800013,0590 = 2.615 
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