AULA 3 Est e Prob

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AULA 3
Medidas de Posição ou Tendência Central
São medidas que têm por objetivo resumir um conjunto de dados. As medidas mais importantes são: média, moda, mediana e ponto médio.
Média Aritmética
Conjunto de dados simples (não agrupados):
 
Conjunto de dados agrupados:
 
Exercícios:
1) A Tabela abaixo fornece o peso ao nascer em kg de 10 RN.
Tabela: Peso ao nascer em kg de 10 RN 
	2,5
	2,0
	3,0
	4,0
	3,0
	1,0
	1,5
	-
	3,5
	1,5
	2,5
	-
2) Consideremos os mesmos dados do exercício 1 dispostos em uma distribuição por frequência. Calcule a média aritmética?
	
	X
	F
	18
	1
	17
	2
	16
	2
	15
	3
	14
	2
	13
	5
	12
	3
	11
	2
	Total
	20
Exercícios:
1) Responda as questões abaixo:
Média, Mediana e Moda são medidas de:
a) ( ) Dispersão	b) ( ) posição	
c) ( ) assimetria	d) ( ) curtose
 2- Calcule para cada caso abaixo a respectiva média.
7, 8, 9, 12, 14
Os dados abaixo referem se ao índice de IMC de vencedoras do concurso Miss América em 1999. Calcule a taxa média?
	19,5
	20,3
	19,6
	17,8
	19,1
	16,8
	22,1
	18,3
Conjunto de dados agrupados com intervalos de classe.
Para dados agrupados em classe, a média resulta de uma ponderação dos pontos médios pelas frequências.
 Onde PM é o ponto médio de cada classe.
PM = (Li + Ls) / 2
Exemplo: Você recebeu uma proposta de trabalho, em que poderá optar pela empresa que irá atuar. Os dados abaixo representam os salários dos funcionários destas duas empresas.
Empresa A
Salário (R$): 	 900	650	700	520	3600	680
Empresa B
	Classes Salariais (R$)
	Nº de empregados
	600 |---760
	2
	760 |---920
	3
	920 |---1080
	1
Pede-se:
O salário médio de cada empresa.
Com base nos resultados acima, que empresa você escolheria para trabalhar?
1.2 Mediana
	A mediana é o valor central de um conjunto de dados ordenados. Uma distribuição terá 50% dos seus valores antes e 50% dos valores depois da mediana.
Cálculo da mediana:
Tendo um nº ímpar de observações – a mediana será exatamente o valor central dos dados ordenados
Tendo um nº par de observações – a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais, estando o conjunto de dados ordenados.
Exemplo:
Idades: 53 55 48 46 50
Idades: 22 24 18 27
Exercícios:
Calcular a Mediana do seguinte dado:
a) 
	7,2
	7,4
	8,2
	9,3
	7,2
	8,8
	7,9
Calcule o valor da mediana.
82, 86, 88, 84, 91, 93 
OBS: Qual é a diferença entre média e mediana?
Embora sejam duas medidas de tendência central, a média e a mediana possuem conceitos diferentes. Observe o conjunto de dados abaixo:
2, 3, 4, 5, 9, 15, 35, 98.
Calculando a média obtemos:
Calculando a mediana obtemos:
O que podemos perceber nesse caso é que o cálculo da média levou em consideração todos os valores do conjunto de dados numéricos, sendo assim infl uenciada pelos maiores valores. A mediana levou apenas em consideração os seus dois valores centrais.
Embora a média aritmética seja bastante utilizada, há casos em que a mediana descreve melhor a situação. Cabe ao pesquisador procurar a medida mais conveniente.
1.3 Moda
a) É o valor mais frequente de um conjunto de dados.
A distribuição pode ser:
Unimodal 1 moda
Bimodal 2 modas
Multimodal 3 ou mais modas
Amodal sem moda
Exercícios:
Calcule e classifique a Moda das distribuições abaixo:
a) 17 23 17 25 38
b) 43 49 51 57 60 49
c) 43 56 43 79 56 80 92
d) 3 4 7 7 7 8 9 10 4
e)
	Xi
	Fi
	35
	3
	40
	3
	45
	5
	50
	2
f)
 
Para dados agrupados em classes, há diversas fórmulas para o cálculo da Moda:
Fórmula de Czuber: para calcular a moda com base nesta fórmula, devem ser seguidos alguns passos:
1 Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior freqüência).
2 Passo: Aplica-se a fórmula.
Em que:
l = limite inferior da classe modal
1 = diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente anterior
2 = diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente posterior
h = amplitude da classe
 
Exemplo: Determinar a moda para a distribuição.
	Classes
	F
	0 |- 1
	3
	1 |- 2
	10
	2 |- 3
	17
	3 |- 4
	8
	4 |- 5
	5
	Total
	43
1 Passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3 classe 2 |- 3.
2 Passo: Aplica-se a fórmula.
l = 2
1 = 17 – 10 = 7
2 = 17 – 8 = 9
h = 1
Portanto:
Exemplo;
A distribuição das idades de um grupo de alunos matriculados em Teoria da Administração pode ser vista na tabela seguinte. Pede-se cacule a moda dos alunos?
	Idade em anos
	Freqüência simples
	17 |- 19
	1
	19 |- 21
	4
	21 |- 23
	8
	23 |- 25
	6
	25 |- 27
	4
1.4 Ponto Médio: é encontrado somando-se o maior valor e o menor valor dos dados e, a seguir, dividindo-se a soma por 2.
Exemplo: 51 63 36 73 79 53
Exercícios complementares:
1) Os resultados de alguns exames de composição química do plasma, em pacientes com insuficiência hepática aguda, mostraram os seguintes níveis de Uréia, em mg/100ml.
	85
	98
	59
	143
	97
	59
	100
	88
	90
	143
Calcular a taxa média de Uréia.
Calcular a mediana da taxa de Uréia.
Calcular a moda da taxa de Uréia.
Calcular o ponto médio da taxa de Úreia.
2) Um administrador foi contratado por uma empresa de RH para analisar os tempos de espera de clientes no Banco Bradesco (onde todos os clientes formam uma fila única) e no Banco Real (onde os clientes entram em três filas de guichês diferentes). A tabela a seguir fornece os dados.
	Banco Bradesco
	Banco Real
	6,5
	4,2
	6,7
	5,4
	7,1
	6,2
	7,4
	5,8
	6,7
	8,5
	7,7
	7,7
Com base nesses dados, avalie as afirmações seguintes.
A taxa média do Banco Bradesco foi 7,01 e a taxa média do Banco Real foi 6,3.
O ponto médio do Banco Bradesco foi 5,1 e o valor máximo do Banco Real foi 8,5.
O valor mínimo do Banco Bradesco foi 6,5 e a ponto médio do Banco Real foi 5,2.
A moda do Banco Bradesco foi 6,7 e o valor mínimo do Banco Real foi 5,4.
A moda do Banco Bradesco foi 6,7 e a moda para o Banco Real não existe.
É correto apenas o que se afirma em:
 I e IV.
I e V.
II e IV.
II e V.
III e V.
O cálculo da média, mediana e moda do conjunto de dados: 33, 25, 42, 29, 37, 21, 27, 31 e 25, evidência que:
Média = mediana.
Mediana = moda.
Mediana < moda.
Média > mediana.
Moda > média.
A tabela a seguir apresenta a distribuição das importações de uma empresa de plásticos. Pede-se calcular a Média.
	Volume importado
	Frequência absoluta
	50 |- 60
	6
	60 |- 70
	9
	70 |- 80
	20
	80 |- 90
	10
	Total
	50