Material de Cálculo PUC - Unidade 02

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Cálculo I 
Funções lineares 
 
Notas de aula 2 
Introdução 
 
Nesta unidade, estudaremos as funções lineares. Elas aparecem com bastante 
freqüência no dia-a-dia, como, por exemplo, no cálculo do custo de uma corrida de táxi, 
que é proporcional à distância percorrida, e na conta de telefone, cujo valor é proporcional 
ao tempo utilizado nas ligações. 
 
As funções lineares são usadas para descrever situações nas quais o crescimento ou o 
decrescimento da variável dependente é proporcional ao crescimento da variável 
independente. Assim, dizemos que uma função é linear se qualquer variação na variável 
independente provoca uma variação proporcional na variável dependente. 
 
 
 
 
 
Título: Unidade 02 
Autor: Jonas Lachini 
 
• Estude atentamente as Notas de Aula 2. Analise com bastante cuidado os 
exemplos apresentados e os exercícios resolvidos. 
• Estude este assunto em um livro de Cálculo. O Questionário 2 pode ajudá-lo 
nessa tarefa. 
• Resolva os Exercícios 2. As questões neles propostas servem para você fixar 
conceitos e melhorar sua habilidade em lidar com conceitos do Cálculo. 
• Não deixe de esclarecer suas dúvidas. Para isso, recorra ao correio acadêmico, 
fórum de discussão, aos chats ou, melhor ainda, a seu grupo de estudos de 
Cálculo. 
 
Leia sempre o quadro de avisos! 
 
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2.1 Como crescem os adolescentes 
 
Em geral, as meninas crescem de 6 a 8 centímetros por ano entre os 12 e os 16 anos, 
enquanto os meninos crescem de 8 a 10 centímetros por ano, entre os 13 e os 18 anos. A 
Tabela 2.1 mostra a evolução da altura de certo adolescente dos treze aos dezoito anos. 
 
 
Idade 13 14 15 16 17 18 
Altura (em centímetros) 131 140 149 158 167 176 
Tabela 2.1 
 
Como, a cada ano, a altura aumentou 9 cm, podemos afirmar que a altura desse adolescente 
é uma função linear de sua idade, na fase dos 13 aos 18 anos. 
A fração 
1
9
1314
131140
=
−
−
 indica que a altura aumenta 9 cm quando a idade aumenta 1 ano. 
Essa fração é chamada de taxa de variação da altura em relação ao tempo. 
 
 
Figura 2.1 
 
Em matemática, costuma-se representar a taxa de variação de uma função por meio da 
fração 
x
y
∆
∆
, em que o numerador y∆ representa o incremento da variável dependente e o 
denominador x∆ representa o incremento da variável independente. O símbolo ∆ é a letra 
delta do alfabeto grego, correspondente ao D do alfabeto latino, sendo usada para indicar a 
diferença entre dois valores da variável que o sucede; y∆ (leia-se “delta y”), por exemplo, 
indica a diferença 01 yy − ; pode-se, pois, escrever: 01 yyy −=∆ ou )()( 01 xfxfy −=∆ . 
Incremento significa uma variação que pode ser para mais ou para menos; existe também o 
caso em que o incremento da variável dependente é nulo, situação característica de uma 
função constante. 
 
Na função linear, a taxa de variação é sempre a mesma, quaisquer que sejam os pontos ou 
pares ordenados considerados. No exemplo que estamos estudando, indicando a altura pela 
letra h e a idade pela letra t, podemos escrever: 
1
9
2
18
1315
131149
==
−
−
=
∆
∆
t
h
. A taxa de 
variação é sempre a razão entre a variação da variável dependente (numerador) e a variação 
da variável independente (denominador). Para saber qual é a unidade de medida dessa taxa 
 
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de variação, basta verificar qual é a unidade de medida de cada uma das variáveis nela 
envolvidas. Nesse exemplo, temos: anoporscentímetro
ano
scentímetro
t
h 9
1
9
==
∆
∆
. 
Observe que por , em matemática, significa dividido por; quando dizemos 10% (dez por 
cento) estamos nos referindo à taxa ou à fração 
100
10
. 
 
2.2 O gráfico do crescimento de um adolescente 
 
A relação existente entre a idade e a altura, no exemplo que estamos estudando, é uma 
função linear que pode ser representada por meio do gráfico da Figura 2.2. 
 
 
Figura 2.2 
 
Quando o domínio e o contradomínio de uma função f são subconjuntos do conjunto de 
números reais R, dizemos que f é uma função real de variável real ou, simplesmente, uma 
função real. Nesse caso, podemos fazer uma representação geométrica da função f num 
sistema de coordenadas cartesianas: no eixo horizontal, assinalamos os valores da variável 
independente e por eles traçamos retas paralelas ao eixo vertical; no eixo vertical, 
assinalamos os valores da variável dependente e por eles traçamos retas paralelas ao eixo 
horizontal; as interseções dessas retas são os pares ordenados que constituem o gráfico da 
função. Observe que cada ponto do gráfico da função f é um par ordenado de números 
reais. 
 
Podemos considerar o gráfico de uma função como sendo a trajetória de um ponto no plano 
cartesiano. No exemplo que estamos estudando, a variável independente t se desloca ao 
longo do eixo horizontal da esquerda para a direita, fazendo com que a variável dependente 
h se mova para cima no eixo vertical. Esse duplo movimento faz com que o par ordenado 
(t, h) descreva a linha que é o gráfico da função th 9131+= . 
 
2.3 Como achar uma fórmula para o crescimento de um adolescente 
 
Podemos estabelecer uma fórmula que nos dá a altura h, em centímetros, como função da 
idade t, em anos, contados a partir de 13 (a idade de 13 anos correspondendo ao zero, ou 
seja, 13 é o início da contagem da idade): 
 
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th 9131+= 
 
A altura, que inicialmente é de 131cm e aumenta 9cm a cada ano. O coeficiente 9 nos 
informa a taxa de crescimento da altura; geometricamente, essa é a inclinação da reta 
th 9131+= ; fisicamente, é a taxa de variação da altura em relação à idade, ou seja, 9 
centímetros por ano. 
 
Figura 2.3 
 
9
5
45
05
131176
==
−
−
=
∆
∆
t
h
 
 
2.3 A equação de uma reta 
 
Encontrar a equação de uma reta ou a fórmula da função linear é uma questão que aparece 
com muita freqüência em problemas de Cálculo. Vale a pena dominar bem esse assunto. 
 
Uma função linear é dada pela fórmula bmxy += , sendo m e b números reais. Nessa 
igualdade, y é a variável dependente e x é a variável independente; m é a inclinação da reta 
ou o coeficiente angular da reta ou a taxa de variação de y em relação à variação de x; b é o 
valor de y quando x é zero ou a interseção vertical. Observe que, se 0=m , a equação da 
reta fica sendo by = , que é uma reta horizontal. 
 
Para chegarmos à fórmula ou à equação de uma reta, precisamos determinar o valor de m e 
o valor de b. Vamos considerar três maneiras de resolver esse problema. 
 
Exemplo 1 
 
Determinar a equação da reta que passa pelos pontos )7,2(−=A e )4,1( −=B . 
 
a) Cálculo de m (o coeficiente angular ou a taxa de variação): 
3
11
3
11
12
)4(7
−=
−
=
−−
−−
=m 
b) Cálculo de b (interseção vertical ou coeficiente linear): 
 
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Sabendo que 
3
11
−=m , podemos escrever que a equação da reta é bxy +−=
3
11
. 
Como o ponto )4,1( −=B pertence a essa reta, temos a igualdade b+−=− 1.
3
114 , 
obtida substituindo, na equação da reta, x por 1 e y por – 4. Dessa igualdade, 
podemos concluir que 
3
1
−=b . 
c) Equação da reta ou fórmula da função linear: 
Com os valores de m e de b calculados anteriormente, a equação da reta fica sendo: 
3
1
3
11
−−= xy . 
 
Exemplo 2 
 
Determinar a equação da reta que passa pelos pontos )5,2(=M e )7,3(−P . 
Outra maneira de resolver esse problema é considerar que os pontos )5,2(=M e 
)7,3(−=P pertencem à reta bmxy += e que, portanto, suas coordenadas verificam essa 
equação. Assim, temos:a) Se )5,2(=M pertence à reta bmxy += , então, bm += 2.5 , ou seja, 52 =+ bm . 
b) Se )7,3(−=P pertence à reta bmxy += , então, bm +−= )3(.7 , ou seja, 
73 =+− bm . 
c) Os valores de m e de b são a solução do sistema de equações



=+−
=+
73
52
bm
bm
, ou seja, 
5
2
−=m e 
5
29
=b . 
d) Equação da reta ou fórmula da função linear: 
Com os valores de m e de b calculados anteriormente, a equação da reta fica sendo 
5
29
5
2
+−= xy . 
 
Exemplo 3 
 
Determinar a equação da reta que passa pelos pontos )3,2(=R e )7,4( −−=S . 
Podemos resolver esse problema utilizando a igualdade )( 11 xxmyy −=− , que é a equação 
da reta com inclinação m e que passa pelo ponto ),( 11 yx . Para isso, procedemos do seguinte 
modo: 
 
a) Cálculo do coeficiente angular m: 
 
3
5
6
10
42
73
==
+
+
=m 
b) Equação da reta que passa pelo ponto )3,2(=R e tem inclinação 
3
5
=m : 
 
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6 
 )2(
3
53 −=− xy ou, explicitando y, 
3
1
3
5
−= xy . 
Se ao invés do ponto )3,2(=R , utilizarmos as coordenadas do ponto )7,4( −−=S e 
3
5
=m , chegaremos à equação )4(
3
57 +=+ xy ou 
3
1
3
5
−= xy , a mesma equação 
obtida com as coordenadas de R. 
 
Tal resultado tem por base a idéia da geometria plana de que por dois pontos passa uma 
única reta, ou seja, dois pontos sempre são colineares. 
 
2.4 Depreciação das uvas 
 
O custo de uma caixa de uvas frescas, numa viticultura, é de R$15,00, mas o preço cai 
R$0,30 a cada dia. Obtenha o custo de uma caixa que já foi colhida há t dias. 
 
O preço da caixa, em função do número de dias passados depois de colhidas as uvas pode 
ser expresso por meio da Tabela 2.2: 
 
t (dias) 0 1 2 3 ... ? ? 
C(t) (reais) 15,00 14.70 14,40 14,10 ... 0,30 0 
Tabela 2.2 
 
Essa é uma função linear porque o preço diminui a uma taxa constante. Podemos 
determinar a lei de associação dessa função: 
 
a) Cálculo do coeficiente angular ou da taxa de variação: 
 
 30,0
2
60,0
13
70,1410,14
−=
−
=
−
−
=m 
 
b) Equação da reta que passa pelo ponto (0, 15) e tem coeficiente angular 30,0−=m : 
 
 )0(30,015 −−=− xy ou, explicitando y, 1530,0 +−= xy 
 
No problema que estamos resolvendo, a variável dependente é o custo C e a variável 
independente é o tempo t. Assim a função custo é dada pela equação 
 
1530,0)( +−= ttC 
 
O gráfico dessa função está na Figura 2.4. 
 
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Figura 2.4 
 
Por meio da fórmula 1530,0)( +−= ttC fica fácil determinar em quantos dias a caixa 
de uvas perde completamente seu valor. Basta fazer 0)( =tC , condição que leva à 
igualdade 1530,00 +−= t . Resolvendo essa equação, obtemos 50
30,0
15
=⇒= tt . 
Assim, podemos afirmar que, depois de 50 dias de colhidas as uvas, a caixa dessas 
frutas perde completamente seu valor. 
 
2.5 Famílias de funções lineares 
 
As funções lineares podem ser descritas pelas fórmulas bmxy += , mxy = ou by = . 
Nessas fórmulas, as constantes m e b são chamadas de parâmetros. Atribuindo a esses 
parâmetros diversos valores, podemos gerar famílias de funções. 
 
O gráfico da Figura 2.5 representa o que acontece com uma reta mxy = à medida que 
fazemos o parâmetro m assumir diferentes valores. Essas retas formam uma família de 
funções que têm uma característica comum: todas elas passam pelo ponto (0, 0). 
 
 
Figura 2.5 
 
O parâmetro m é a taxa de variação da função linear. Se m for positivo, a função será 
crescente e seu gráfico será uma reta inclinada para a direita (forma um ângulo agudo com 
 
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o semi-eixo horizontal positivo); se m for negativo, a função será decrescente e seu gráfico 
será uma reta inclinada para a esquerda. 
 
Na Figura 2.6, está representada outra família de retas, obtida por meio da variação do 
parâmetro b. São retas paralelas, ou seja, retas que têm a mesma inclinação 1=m . 
 
Figura 2.6 
 
Retas paralelas não verticais representam funções lineares que têm mesma taxa de variação. 
 
A família de retas representadas na Figura 2.7 é de retas horizontais. Também essa família 
é obtida por meio da variação do parâmetro b; as retas são paralelas e têm inclinação 
0=m . 
 
Figura 2.7 
 
Funções que têm taxa de variação 0=m são funções constantes. 
 
Na Figura 2.8, estão representadas retas verticais. Apesar de constituírem uma família de 
retas, elas não são funções. 
 
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9 
 
Figura 2.8 
 
Agrupar em famílias funções com características comuns é um processo utilizado na 
modelagem matemática. Modelar um fenômeno, no Cálculo, significa descrever esse 
fenômeno por meio de uma função matemática. Para modelar um fenômeno ou uma 
situação, escolhe-se uma família de funções e, depois, por meio de dados experimentais, 
ajustam-se os parâmetros. 
 
2.6 Exercícios resolvidos e comentados 
 
 
1) Para animar uma festa de formatura, o conjunto A cobra uma taxa fixa de R$400,00, 
mais R$90,00 por hora. Pelo mesmo serviço, o conjunto B cobra R$600,00, mais 
R$60,00 por hora. Com base nessas informações: (a) escreva a fórmula do preço a ser 
pago ao conjunto A e a fórmula do preço a ser pago ao conjunto B em função do tempo 
de duração da festa; (b) esboce o gráfico de cada uma dessas funções e (c) observando 
os gráficos, descreva o significado do ponto em que eles se interceptam. 
 
Solução 
 
a) Sendo t o tempo em horas e AC o preço em reais a ser pago ao conjunto A, podemos 
escrever: 
t90400)t(CA += . 
Orientações: 
A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos 
estudados na Capitulo 2 e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como 
sugestões para a resolução das questões das atividades. 
Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, você deverá 
procurar esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação pelo 
correio acadêmico. 
Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode 
fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos 
detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema 
 
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De modo semelhante, sendo t o tempo em horas e BC o preço em reais a ser pago ao 
conjunto B, temos: 
t60600)t(CB += 
Essas duas funções são lineares e o gráfico de cada uma delas é uma reta e ambas estão 
definidas para 0t ≥ . 
 
b) Um esboço do gráfico de cada uma dessas funções está a seguir: 
 
 
 
c) O ponto de interseção dos gráficos corresponde ao tempo t de duração da festa para o 
qual o preço a ser pago a cada conjunto é o mesmo, ou seja, BA CC = . Assim, 
t60600t90400 +=+ ; resolvendo essa equação, temos: min40h6t = . Se a festa durar 
mais de 6h 40 min, será mais barato contratar o conjunto B; caso a festa dure menos de 
6h 40 min, contratar o conjunto A será mais barato. 
 
2) Um carro parte do ponto P no instante 0t = e viaja a hkm80 . 
a) Escreva uma função )t(dy = para a distância que o carro percorre em t horas 
saindo do ponto P. 
b) Faça o gráfico de )t(dy = . 
c) Qual é o coeficiente angular do gráfico feito em (b) e qual sua relação com o carro? 
d) Crie uma situação em que o coeficiente linear de )t(dy = valha 30. 
 
Solução 
 
a) A distância percorrida pelo carro em t horas é uma função linear, dada por t80y = , 
onde y é a distância medida em quilômetros e t é o tempo, em horas. 
 
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b) O gráfico é uma semi-reta com origem no ponto (0, 0) e está representado a seguir:c) O coeficiente angular da reta t80y = é 80 e corresponde à velocidade do carro, que 
é a taxa de variação da distância em relação ao tempo. 
 
d) Podemos considerar a função t30y = que fornece a distância, y, percorrida por um 
carro que parte do ponto P no instante 0t = e anda a uma velocidade de hkm30 
 
3) Um círculo tem centro na origem e raio 5. Determine a equação da reta tangente a este 
círculo no ponto (3, 4). 
 
Solução 
 
A figura abaixo representa a situação considerada no problema. 
 
 
 
 
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Sejam m o coeficiente angular da reta tangente e 1m o coeficiente angular da reta que 
contém o raio do círculo. Como a reta tangente a um círculo é perpendicular ao raio que 
termina no ponto de tangência, o coeficiente angular da reta tangente é: 
1m
1
m −= , onde 
3
4
03
04
m1 =
−
−
= . Assim, 
4
3
m −= e a equação da reta tangente ao círculo 
no ponto (4,3) , é 
025y4x3ou)3x(
4
34y =−+−−=− . 
 
Questionário 2 
Procure, em um livro de Cálculo, respostas para as perguntas formuladas a seguir: 
 
1) O que é uma função linear? Dê um exemplo. 
2) Como você escreve a equação de uma reta conhecendo as coordenadas de dois de 
seus pontos? Dê um exemplo. 
3) Como você escreve a equação de uma reta da qual você conhece a inclinação e um 
ponto? Dê um exemplo. 
4) Como você escreve a equação de uma reta da qual você conhece o coeficiente 
angular e o coeficiente linear? Dê um exemplo. 
5) Como você reconhece que uma função dada por meio de uma tabela de valores, é 
linear? Dê um exemplo. 
6) Que relação existe entre as inclinações rm e sm se as retas r e s forem paralelas 
)//( sr ? E se as retas r e s forem perpendiculares )( sr ⊥ ? 
 
Exercícios 2 
 
1) Ao completar 12 anos, Ana tinha 1,25m de altura e continuou crescendo 8cm por 
ano entre os 12 e os 16 anos. Faça uma tabela de valores indicando a altura de Ana 
em função de sua idade, nessa faixa etária. A partir dessa tabela, esboce o gráfico e 
estabeleça uma fórmula para essa função. 
 
2) A lei de associação de uma função linear foi usada para gerar os valores da tabela a 
seguir: 
x 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 
y 27,8 29,2 30,6 32,0 33,4 
 
Determine a equação dessa função e esboce seu gráfico. 
 
3) Uma empresa de locação de automóveis oferece carros a R$80,00 por dia e R$0,40 
o quilômetro rodado. Os carros da concorrente estão a R$90,00 por dia e R$0,30 o 
quilômetro rodado. 
 
a) Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar um carro 
por um dia em função da distância percorrida. 
 
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b) Em um mesmo sistema de coordenadas, esboce o gráfico dessas duas 
funções. 
c) Como você deve decidir que empresa está com o aluguel mais barato? 
 
4) Você sabe que os valores F0212 e C0100 correspondem à temperatura em que a 
água ferve, respectivamente na escala Farenheit e na escala Celsius; de modo 
análogo, os valores F032 e C00 representam o ponto em que a água congela. 
 
a) Estabeleça uma fórmula que expresse a temperatura em graus Farenheit, F , 
em função da temperatura em graus Celsius, C . (A relação entre as duas 
escalas é linear.) 
b) Esboce o gráfico dessa função. 
c) Utilize a fórmula para determinar que temperatura em graus Farenheit 
corresponde a C020 . 
d) Utilize a fórmula para determinar que temperatura em graus Celsius 
corresponde a F090 . 
e) Que temperatura corresponde ao mesmo número de graus em ambas as 
escalas? 
 
5) Uma geladeira comprada por R$1050,00 sofre uma depreciação linear e perde 
completamente seu valor em sete anos. Encontre uma fórmula para o valor da 
geladeira em função do tempo. Esboce o gráfico dessa função. 
 
6) A reta que passa pelos pontos A( 2,3)− e B(4,b) tem coeficiente angular 
32m −= . Determine o valor de b. 
 
7) Mostre que os pontos A (1, 1), B (11,3), C (10, 8) e D (0,6) são vértices de um 
retângulo. 
 
8) A pressão p, em atmosferas, experimentada por um mergulhador debaixo da água 
está relacionada com sua profundidade d, em metros, por meio da fórmula 
1dkp += , em que k é uma constante. Quando d é 0 metros, a pressão é 1 
atmosfera e, a 100 metros de profundidade, a pressão é 10,94 atmosferas. Determine 
a pressão a 50 metros de profundidade. 
 
9) Um carro parte do ponto P no instante 0t = e viaja a hkm80 . 
 
a) Escreva uma função )t(dy = para a distância que o carro percorre em t 
horas saindo do ponto P. 
b) Faça o gráfico de )t(dy = . 
c) Qual é o coeficiente angular do gráfico feito em (b) e qual sua relação com o 
carro? 
d) Crie uma situação em que o coeficiente linear de )t(dy = valha 30. 
 
 
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10) Determine a equação da reta tangente ao círculo de equação 2 2(x 1) (y 3) 10− + − = 
no ponto (2,6) .