Material de Cálculo PUC - Unidade 06

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Cálculo I 
Capítulo 6: Limite e continuidade de uma função 
 
Introdução 
 
No capítulo 5, utilizamos a idéia de limite para analisar alguns aspectos de funções. 
Respondemos às perguntas: a) O que ocorre com uma função quando x tende para um 
número arbitrariamente grande? b) Para que valor tende uma função, à medida que x se 
aproxima de um zero do denominador? 
No capítulo 6, vamos tratar do limite de uma função de modo mais detalhado. A 
idéia de limite serve de fundamento para o Cálculo Diferencial e Integral, ramo da 
Matemática que trata de derivadas e integrais. Aproveitaremos o conceito de limite para 
definir o que significa dizer que uma função é contínua, uma vez que nos capítulos 
restantes do livro-texto trabalharemos com funções contínuas. 
 
6.1 Limite de uma função 
Começamos analisando a função racional 
2
x 4f (x)
x 2
−
=
−
. Essa função não está definida 
para x 2= ; para x 2≠ , seus valores podem ser obtidos mais facilmente por meio da 
expressão simplificada: 
Unidade 06 
 
Prof. Jonas Lachini 
 
 
Orientações 
 
• Estude atentamente as Notas de aula 6. Analise com bastante cuidado os 
exemplos apresentados. 
• Estude este assunto no livro de Cálculo. O Questionário 6 pode ajudá-lo nesta 
tarefa. 
• Resolva os Exercícios 6. Eles servem para você fixar conceitos e melhorar sua 
habilidade em lidar com os mesmos. 
• Não deixe de esclarecer suas dúvidas. Para isso, recorra ao correio acadêmico, ao 
fórum de discussão, aos chats ou, melhor ainda, a seu grupo de estudos de 
Cálculo. 
2 (x 2) (x 2)x 4f (x) x 2
x 2 x 2
− +−
= = = +
− −
. 
A Tabela 6.1 mostra que, para valores de x próximos de 2, 
2x 4f (x)
x 2
−
=
−
 assume os 
mesmos valores de g(x) x 2= + que, por sua vez, fica tão próximo de 4 quanto quisermos. 
 
 
 x 2x 4f (x)
x 2
−
=
−
 
 
g(x) x 2= + 
1,900000 3,900000 3,900000 
1,990000 3,990000 3,990000 
1,999000 3,999000 3,999000 
 
↓ 
1,999900 4,000000 4,000000 
 2,000000 Não existe. 4,000000 
2,000100 4,000000 4,000000 
2,001000 4,001000 4,001000 
2,010000 4,010000 4,010000 
 
↑ 
2,100000 4,410000 4,410000 
Tabela 6.1 
 
À medida que x se aproxima de 2, as funções f e g se aproximam de 4. Em símbolos 
matemáticos, escrevemos: 
2
x 2 x 2
x 4lim lim (x 2) 4
x 2→ →
−
= + =
−
. 
(Lê-se: “limite de 
2
x 4
x 2
−
−
 quando x tende a 2 é igual ao limite de x 2+ quando x tende a - 
2...”) 
 
O limite nada nos diz sobre o que acontece com y quando x é igual a 2. De fato, para 
x 2= , teríamos 
22 4 0y f (2)
2 2 0
−
= = =
−
 , o que não tem sentido. Com o conceito de limite, 
evitamos esse problema. 
Na Figura 6.1 estão os gráficos das funções 
2x 4f (x)
x 2
−
=
−
 e 2)( −= xxg . Essas 
duas funções têm o mesmo comportamento para todos os valores de x, exceto para x 2= , 
valor para o qual f não existe, enquanto que g(2) 4= . Esse fato nos permite trocar a função 
f pela função g quando estivermos lidando com limites. 
 
 
Figura 6.1 
 
Ao escrevermos )(lim
2
xf
x −→
, queremos determinar o número do qual )(xf se 
aproxima quando x se aproxima de 2 por ambos os lados. Para isso, examinamos os valores 
de )(xf quando x tende a 2 por valores maiores do que 2 (como 2,1; 2,01; 2,001) e por 
valores menores do que 2 (como 1,009; 1,099; 1,999). Se )(xf se aproxima do mesmo 
número quando x se aproxima de 2, tanto pela direita quanto pela esquerda, então esse 
número é chamado de limite da função f quando x tende para 2. Quase sempre o limite à 
esquerda é igual ao limite à direita; se esses limites não forem iguais, dizemos que o limite 
não existe. 
 
Chamamos 
2
x 2
x 4lim 4
x 2+→
−
=
−
 de limite lateral à direta e 
2
x 2
x 4lim 4
x 2−→
−
=
−
 de limite 
lateral à esquerda. Quando escrevemos 
2
x 2
x 4lim 4
x 2→ −
−
=
−
, estamos garantindo que 
2 2
x 2 x 2
x 4 x 4lim lim 4
x 2 x 2+ −→ →
− −
= =
− −
. 
Em geral, dizer que Lxf
ax
=
→
)(lim significa afirmar que os limites laterais )(lim xf
ax +→
 
e )(lim xf
ax −→
 existem e são iguais: 
x a x a x a
lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L
+ −→ → →
= ⇔ = = 
 
6.2 Usando um código matemático 
 
A frase 
x a
lim f (x) L
→
= significa que )(xf pode ficar tão próximo do número L 
quanto desejarmos, bastando escolher x suficientemente próximo de a. Se não existir um 
número L com essa propriedade, dizemos que )(xf não tem limite quando x tende para a, 
ou que o 
x a
lim f (x)
→
 não existe. Uma outra notação usual é Lxf →)( quando ax → . (Lê-se 
“ )(xf tende a L quando x tende a a”.) 
 
Ao pensar na frase 
x a
lim f (x) L
→
= , que é equivalente à frase Lxf →)( quando 
ax → , é essencial entender que não importa o que acontece com )(xf quando x é igual a 
a; o que interessa é o comportamento ou a tendência de )(xf para x perto de a. 
É possível investigar o limite de uma função em qualquer ponto que escolhermos. 
Assim, por exemplo, 2
x 3
lim x
→
 é igual a 9 porque podemos fazer com que 2x fique tão 
próximo de 9 quanto quisermos, bastando considerar valores de x suficientemente próximos 
de 3. Ao atribuirmos a x valores cada vez mais próximos de 3, 2x vai ficando cada vez 
mais próximo de 9, conforme evidenciado nas igualdades: 
41,89,2 2 = ; 9401,899,2 2 = ; 994001,8999,2 2 = ; 
61,91,3 2 = ; 0601,901,3 2 = ; 006001,9001,3 2 = . 
Já que o limite não pergunta o que acontece quando 3=x , não basta colocar o 3 no 
lugar de x para encontrar a resposta. O limite mede o comportamento da função nas 
proximidades de um ponto e não no ponto. 
Nem sempre é fácil investigar o que ocorre com )(xfy = quando x se aproxima de 
um certo número. Seja, por exemplo, calcular de que valor se aproxima 
x
xy sen= quando x 
se aproxima de zero, ou, usando a sintaxe matemática, calcular 
x
x
x
senlim
0→
 . Observe que, ao 
substituir x por zero, encontramos 
0
0
, ou seja, a expressão fica indeterminada, de modo que 
precisamos pesquisar isso de outra maneira. Podemos fazer uma tabela numérica, usando 
valores próximos de zero, e observar qual a tendência de y; em outros termos, observar para 
que valor tende y quando x tende para zero. É necessário fazer essa investigação usando 
valores de x à esquerda e à direita de zero. 
Outra maneira de investigar esse limite é traçar o gráfico da função com uma 
calculadora ou outro aplicativo computacional e analisar o que ocorre com y quando x se 
aproxima de zero. A Figura 6.2 apresenta o gráfico da função 
x
xy sen= e nos mostra que, à 
medida que x se aproxima de zero, 
x
xy sen= fica cada vez mais próximo de 1. Daí 
podermos dizer que 
x 0
sen xlim 1
x→
= . 
 
Figura 6.2 
 
Exemplo 1 
Calcular os limites: a) 
2
52lim
3 +
−
→ x
x
x
; b)
2
4lim
4
−
−
→ x
x
x
; c) 
2811
56lim 2
2
7 +−
−+
=
→ xx
xx
x
. 
Solução 
a) A função 
2
52)(
+
−
=
x
x
xf é racional e está definida para 3=x . Assim, não 
precisamos trocar a função e podemos escrever: 
5
1
23
56
2
52lim
3
=
+
−
=
+
−
→ x
x
x
. 
O gráfico da função 
2
52)(
+
−
=
x
x
xf está na Figura 6.3. 
 
 
Figura 6.3 
b) Ao substituir x por 4 na função 
2
4)(
−
−
=
x
x
xg , encontramos 
0
0
, que não tem 
significado. Então, trocamos essa função por outra que se comporte como a função 
g para valores de x próximos de 4: 
4)2(lim
2
)2()2(lim
2
4lim
444
=+=
−
+−
=
−
−
→→→
x
x
xx
x
x
xxx
. 
 Na Figura 6.4 está o gráfico da função 
2
4)(
−
−
=
x
x
xg . 
 
 
Figura 6.4 
 
c) Também, na função 
2811
56)( 2
2
+−
−+
=
xx
xx
xh , representada na Figura 6.5, ao fazer 
7=x , encontramos 
0
0
, sinal de que h não está definida em 7=x . Fazendo uma 
troca de funções, temos: 
5
3
15
4
8lim)4()7(
)8()7(lim
2811
56lim
772
2
7
==
−
+
=
−−
+−
=
+−
−+
=
→→→ x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
 
 
 
Figura 6.5 
Exemplo 2 
a) A função 
x
xy = pode ser redefinida: 



<−
>
== 01
01
xse
xse
x
xy . 
 Assim, podemos calcular os limites laterais: 
1limlim
00
==
++ →→ x
x
x
x
xx
 e 1limlim
00
−=
−
=
−− →→ x
x
x
x
xx
. 
Como os limites laterais são diferentes, não existe 
x
x
x 0
lim
→
. 
Podemos observar esses limites no gráfico de
x
xy = , apresentado na Figura 6.6. 
 
Figura 6.6 
b) Na função 
1
2
+
=
x
y , representada na Figura 6.7, temos: 
+∞=
++−→ 1
2lim
1 xx
 e −∞=
+−−→ 1
2lim
1 xx
. 
Os limites laterais se tornam arbitrariamente grandes quando x tende a 1; então, 
1
2lim
1 +−→ xx
 não existe. 
 
 
Figura 6.7 
c) Na função 2
1
x
y = , temos: ∞=
→ 20
1lim
xx
. A função torna-se arbitrariamente grande 
 quando x tende a 0 e o limite não existe. 
 O gráfico da função 2
1
x
y = está na Figura 6.8. 
 
 
Figura 6.8 
 
6.3 Continuidade de uma função 
 
No linguajar do dia-a-dia, um processo contínuo é aquele que ocorre sem falhas ou 
interrupções ou mudanças repentinas, como o crescimento de uma planta, o fluxo das águas 
de um rio ou o aumento do volume de um balão que está sendo inflado. Numericamente, 
uma função é contínua se valores da variável independente, próximos entre si, geram 
valores da variável dependente tão próximos um do outro quanto desejarmos. 
Graficamente, uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta furos e nem 
quebras ou saltos. 
Com a idéia de limite, podemos definir com maior precisão o que significa dizer que 
)(xfy = é contínua em ax = . Suponha que )(xfy = seja contínua em algum intervalo e 
que ax = esteja nesse intervalo. Então, se x está próximo de a, sabemos que )(xf está 
próximo de )(af ; quanto mais x se aproxima de a, mais )(xf se aproxima de )(af . 
Assim, quando ax → , )()( afxf → . Usando essa idéia, definimos continuidade : 
Uma função )(xfy = é contínua em ax = se )()(lim afxf
ax
=
→
. 
Para calcular )3(lim 2
5
xx
x
−
→
 podemos substituir x por 5 e escrever: 
105.35)3(lim 22
5
=−=−
→
xx
x
. 
Isso deve-se ao fato de a função xxy 32 −= ser contínua em 5=x e, como conseqüência, 
)5()(lim
5
fxf
x
=
→
. 
A definição dada aqui nos diz o que significa uma função ser contínua em um ponto 
de seu domínio. Dizemos que uma função é contínua se ela é contínua em cada ponto de 
seu domínio. Com freqüência essas funções são descritas como aquelas cujos gráficos 
podem ser desenhados sem tirar o lápis do papel As funções polinomiais e as funções 
racionais estudadas anteriormente são exemplos de funções contínuas. 
 
Exemplo 3 
 
Observe o cálculo de limites de funções racionais quando x se torna arbitrariamente 
grande em valor absoluto: 
a) 
2
5
2
5lim
72
35lim ==
−
+
∞→∞→ x
x
x
x
xx
 
b) 04lim4lim
127
524lim 3
2
23
2
===
−++
+−
∞→∞→∞→ xx
x
xxx
xx
xxx
 
 
Nas funções polinomiais, quando x se torna arbitrariamente grande, o termo de 
maior grau prevalece sobre os demais. Nesse caso, o comportamento do polinômio é 
praticamente igual ao comportamento do termo de maior grau. Assim podemos escrever, 
por exemplo: 
323 lim)127(lim xxxx
xx ∞→∞→
=−++ = ∞ 
 
Exemplo 4 
 
Verifique se a função xy = é contínua em .0=x 
 
Solução 
 
Consideremos os limites laterais: 
0limlim
00
==
++ →→
xx
xx
 e 0)(limlim
00
=−=
−
−
→→
xx
xx
 
Então, 0lim
0
=
→
x
x
. Além disso, .0)0( =f Como )0(lim
0
fx
x
=
→
, a função xy = é contínua 
em .0=x A Figura 6.9 apresenta o gráfico de xy = . 
 
 
Figura 6.9 
Exemplo 5 
 
Qual(is) funções abaixo são contínuas em x = 0? 
 
Figura 6.10 
 
Solução 
 
De acordo com os gráficos apresentados na Figura 6.10, podemos concluir que a função do 
item (a) é contínua no ponto 0=x . Todas as outras são descontínuas em 0=x . 
 
Questionário 6 
 
Ao estudar seu livro de cálculo, você encontrará aplicações dos conceitos de limite e de 
continuidade. As questões a seguir podem ajudá-lo nessa tarefa. 
 
1) Explique com suas palavras o significado da equação 5)(lim
2
=
→
xf
x
. 
É possível, diante da equação acima, que se tenha 5)2( =f ? Explique. 
 
2) Explique com suas palavras o significado de cada uma das equações: 
3)(lim
1
=
+→
xf
x
 e 7)(lim
1
=
−→
xf
x
. 
 Nessa situação, é possível que exista )(lim
1
xf
x→
? Explique. 
3) Explique com suas palavras o significado de cada uma das frases: 
−∞=
→
)(lim xf
ax
, bxf
x
=
∞→
)(lim e −∞=
+∞→
)(lim xf
x
 
4) Escreva uma frase usando símbolos matemáticos que expresse o fato de que uma 
função f é contínua no número 4. Dê um exemplo. 
5) Se f é contínua em ] [∞+∞− , , o que você pode dizer a respeito de seu gráfico? Dê 
um exemplo. 
 
 
Exercícios 6 
 
1) Para a função f cujo gráfico é dado, determine o valor da quantidade indicada, se ela 
existir. Se não existir, explique por quê. 
 
 
 
a) 
x 0
lim f (x)
→
 
b) 
x 3
lim f (x)
+→
 
c) 
x 3
lim f (x)
−→
 
d) 
x 3
lim f (x)
→
 
e) f (3) 
 
 
 
2) Para a função f cujo gráfico é dado, determine o valor da quantidade indicada, se ela 
existir. Se não existir, explique por quê. 
 
 
 
a) 
x 1
lim f (x)
→
 
b) 
x 3
lim f (x)
−→
 
c) 
x 3
lim f (x)
+→
 
d) 
x 3
lim f (x)
→
 
e) f (3) 
f) 
x 2
lim f (x)
−→−
 
g) 
x 2
lim f (x)
+→−
 
h) 
x 2
lim f (x)
→−
 
i) f ( 2)− 
 
3) Para a função g cujo gráfico é dado, determine o valor da quantidade indicada, se ela 
existir. Se não existir, explique por quê. 
 
 
 
a) 
x 2
lim g(x)
−→−
 
b) 
x 2
lim g(x)
+→−
 
c) 
x 2
lim g(x)
→−
 
d) g( 2)− 
e) 
x 2
lim g(x)
−→
 
f) 
x 2
lim g(x)
+→
 
g) 
x 2
lim g(x)
→
 
h) g(2) 
i) 
x 4
lim g(x)
+→
 
j) 
x 4
lim g(x)
−→
 
k) g(0) 
l) 
x 0
lim g(x)
→
 
 
4) Determine, a partir do gráfico dado, o valor do limite. Se não existir, explique por quê. 
 
 
 
a) 
x 3
limf (x)
→
 
b) 
x 1
limf (x)
→
 
c) 
x 3
lim f (x)
→−
 
d) 
x 2
lim f (x)
−→
 
e) 
x 2
lim f (x)
+→
 
f) 
x 2
lim f (x)
→
 
 
5) Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as seguintes condições: 
a) 
x 0
lim f (x) 1
−→
= 
b) 
x 0
lim f (x) 1
+→
= − 
c) 
x 2
lim f (x) 0
−→
= 
d) 
x 2
lim f (x) 1
+→
= 
e) f (2) 1= 
f) f (0) não está definida 
 
6) Os gráficos de f e de g são dados. Use-os para calcular cada limite. Caso não exista o 
limite, explique por quê. 
 
 
 
a) [ ]
x 2
lim f (x) g(x)
→
+ 
b) [ ]
x 1
lim f (x) g(x)
→
+ 
c) [ ]
x 0
lim f (x).g(x)
→
 
d) 
x 1
f (x)lim
g(x)→− 
e) 3
x 2
lim x .f (x)
→
 
f) 
x 1
lim 3 f (x)
→
+ 
7) Determine os limites: 
 
a) 
x 5
6lim
x 5+→ −
 b) 2x 0
x 1lim
x (x 2)→
−
+
 
 
8) Calcule o limite, se existir: 
 
a) 
2
x 3
x x 12lim
x 3→−
− +
+
 
b) 
2
2x 1
x x 2lim
x 3x 2→
+ −
− +
 
c) 
3
2x 1
x 1lim
x 1→
−
−
 
d) 
x 0
2 x 2lim
x→
− −
 
e) 
2
x 9
x 81lim
x 3→
−
−
 
f) 
2
x 1
x xlim
1 x→
−
−
 
 
9) A partir do gráfico, estabeleça os números nos quais f é descontínua e explique por quê. 
 
 
 
10) A partir do gráfico, estabeleça os intervalos nos quais a função g é contínua. 
 
 
 
11) Estude a continuidade de cada uma das funções no intervalo [ ]1,1− : 
a) xxf =)( 
b) 
x
x
xg =)( 
 
12) Utilize uma calculadora ou um aplicativo computacional para estimar o limite 
x
x
x /1
0
)1(lim +
→
. 
 
13) Um estacionamento cobra R$4,00 pela primeira hora, ou parte dela, e R$3,00 por 
hora sucessiva, até o máximo de R$16,00. 
a) Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma função do tempo 
decorrido. 
b) Estude a descontinuidade dessa função. 
 
14) Um tanque contém 5000 litros de água pura. Salmoura com 30g de sal por litro é 
bombeada para dentro do tanque a uma taxa de min/25l . A concentração de sal 
após t minutos, em gramas por litro, é dada pela função 
t
t
tC
+
=
200
30)( . O que 
acontece com a concentração quando ∞→t ? 
 
15) Explique por que cada função é contínua ou descontínua: 
a) A temperatura em determinado local como função do tempo. 
b) A temperatura em determinado instante como função da distância a partir de 
Belo Horizonte, seguindo em direção ao Norte. 
c) A altitude acima do nível do mar como função da distância a Belo 
Horizonte, seguindo em direção ao Leste. 
d) O custo de uma corrida de táxi como função da distância percorrida. 
e) A corrente no circuito para luzes de uma sala como uma função do tempo.