Material de Cálculo PUC - Unidade 08

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Cálculo I 
Exercícios de revisão para a primeira prova 
 
Introdução 
 
Esta unidade é reservada para uma preparação imediata da prova presencial. Ela traz 
alguns exercícios contendo os conceitos que você deve dominar depois de ter estudado as 
seis primeiras unidades e realizado os correspondentes exercícios e atividades. Resolver 
estas questões serve de revisão da matéria; é claro que revisão, como sugere a própria 
palavra, só tem sentido para quem já viu o assunto alguma vez. 
 
 
QUESTÃO 1 
 
Para animar uma festa de formatura, o conjunto A cobra uma taxa fixa de R$400,00, mais 
R$90,00 por hora. Pelo mesmo serviço, o conjunto B cobra R$600,00, mais R$60,00 por 
hora. Com base nessas informações: 
 
a) Escreva a fórmula do preço a ser pago ao conjunto A e a fórmula do preço a ser 
pago ao conjunto B em função do tempo de duração da festa. 
 
Sendo t o tempo em horas e AC o preço em reais a ser pago ao conjunto A, podemos 
escrever: 
t90400)t(CA += . 
 
Título: Unidade 08 
Autor: Jonas Lachini 
 
Orientações 
 
Estude a solução sugerida para cada questão. De preferência, escreva a solução; isto 
ajuda a clarear idéias e a ter segurança naquilo que se está fazendo. Preste atenção nos 
conceitos que estão sendo utilizados; em caso de dúvida, procure as definições, ou seja, 
o significado dos termos que aparecem no enunciado. Entender o que a questão está 
perguntando é imprescindível para propor uma solução. 
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De modo semelhante, sendo t o tempo em horas e BC o preço em reais a ser pago ao 
conjunto B, temos: 
t60600)t(CB += 
 
 
Essas duas funções são lineares e o gráfico de cada uma delas é uma reta e ambas estão 
definidas para 0t ≥ . 
 
 
 
 
 
 
 
b) Esboce o gráfico de cada uma dessas funções. 
 
 
 
c) Observando o gráfico, descreva o significado do ponto em que eles se interceptam. 
 
O ponto de interseção dos gráficos corresponde ao tempo t de duração da festa para o qual 
o preço a ser pago a cada conjunto é o mesmo, ou seja, BA CC = . Assim, 
t60600t90400 +=+ ; resolvendo essa equação, temos: min40h6t = . Se a festa durar 
mais de 6h 40 min, será mais barato contratar o conjunto B; caso a festa dure menos de 6h 
40 min, contratar o conjunto A será mais barato. 
 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 2 
 
Na figura ao lado, estão os gráficos de duas 
funções polinomiais. Escreva possíveis 
fórmulas para cada uma dessas funções e 
determine o valor de . A seguir, descreva o 
que ocorre com cada uma delas quando 
+∞→x e quando −∞→x . Por fim, 
indique qual dessas funções é par e qual 
delas é ímpar, justificando a sua indicação. 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
Uma das funções, aquela cujo gráfico tem a forma de uma parábola voltada para cima, é da 
forma nx.ky = , em que k é uma constante positiva e n é um numero inteiro par e maior do 
que zero. Considerando 2ne1k == , podemos escrever que uma das possíveis fórmulas 
dessa função é 2xy = . Essa é uma função par porque seu gráfico é simétrico em relação ao 
eixo das ordenadas. Quando +∞→x , o valor dessa função tende para ∞+ ; quando 
−∞→x , o valor dessa função tende para ∞+ . 
 
A outra função, aquela cujo gráfico é uma parábola cúbica, é da forma mx.py = , em que p 
é um número positivo e m é um número ímpar e maior do que um. Fazendo 3me1p == , 
a função tem a fórmula 3xy = . Essa é uma função ímpar e seu gráfico é simétrico em 
relação à origem. Quando +∞→x , o valor dessa função tende para ∞+ ; quando 
−∞→x , o valor dessa função tende para ∞− . 
 
O valor de a corresponde ao valor de x que satisfaz ao sistema 



=
=
3
xy
xy 2
. Resolvendo esse 
sistema, temos: 32 xx = e, para 0x ≠ , 1x = . Portanto, a = 1. 
 
 
QUESTÃO 3 
 
Uma bola é atirada para cima do topo de um edifício com 40 m de altura. A distância da 
bola ao solo t segundos mais tarde é dada por 2t5t1040y −+= . Esboce o gráfico dessa 
função e calcule durante quanto tempo a bola estará no mínimo a 25 m acima do solo? 
 
a) Esboço do gráfico. 
 
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b) Cálculo do tempo durante o qual a bola estará no mínimo a 25 m acima do solo. 
 
Quando a bola estiver no mínimo a 25 m acima do solo, devemos ter: 
25t5t1040y 2 ≥−+= . Resolvendo essa desigualdade, temos: 015t10t5 2 ≥++− 
3t103t2t 2 ≤≤−⇒≤−−⇒ . Como não consideramos tempo negativo, podemos 
escrever 3t0 ≤≤ . Assim, a bola estará no mínimo a 25 m acima do solo entre 0 e 3 
segundos, ou seja, durante 3 segundos. 
 
Observação: O gráfico é o de uma parábola com concavidade voltada para baixo e está 
definido para 40 ≤≤ t . No instante 0t = , a bola está a 40 m do solo (altura do edifício) e, 
no instante 4=t , a bola bate no solo e, portanto, sua altura é igual a zero. 
 
QUESTÃO 4 
Considere uma função contínua, definida para 0x ≥ , com as seguintes propriedades: 
I. ( ) 30f = 
II. f(x) é crescente para 2x0 <≤ 
III. f(x) é decrescente para 5x2 << 
IV. f(x) é crescente para 5x > 
V. +∞→→ xquando7)x(f 
 
a) Indique o significado de cada propriedade dessa função. 
 
I. 3)0(f = significa que o ponto (0, 3) pertence ao gráfico dessa função. 
II. f(x) é crescente para 2x0 <≤ significa que, à medida que x cresce nesse 
intervalo, a função também cresce. 
III. f(x) é decrescente para 5x2 << significa que, à medida que x cresce nesse 
intervalo, a função decresce. 
IV. f(x) é crescente para 5x > significa que, à medida que x cresce para valores 
maiores do que cinco, a função também cresce. 
V. +∞→→ xquando7)x(f significa que, à medida que x vai aumentando, o 
valor dessa função vai se aproximando de sete. A reta 7y = é uma assíntota 
ao gráfico da função. 
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b) Esboce um possível gráfico dessa função. 
 
 
 
QUESTÃO 5 
Na figura, estão os gráficos da reta r e da parábola 2 2y x x
3
= − . Determine a equação da 
reta r e o ponto em que r corta o eixo y. 
 
 
 
Solução: 
Os pontos 1 2( 1, y ) e (3, y )− pertencem à parábola 2
2y x x
3
= − . Portanto, 
2
1
2y 3 3 7
3
= − ⋅ = e 22
2 5y ( 1) ( 1)
3 3
= − − ⋅ − = 
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Assim, os pontos comuns à parábola e à reta r são ( )51, e 3, 7
3
 
− 
 
. Então, r é a reta que 
passa por esses dois pontos; em conseqüência, seu coeficiente angular é 
57 43m
4 3
−
= = e 
sua equação é 4y 7 (x 3)
3
− = − ou 4x 3y 9 0− + = . 
 Sendo (0, b) o ponto em que r corta o eixo y e considerando que esse ponto está sobre a 
reta r, temos: 4 0 3b 9 9 b 3⋅ − + = ⇒ = . Assim, r corta o eixo y no ponto ( )0, 3 . 
 
QUESTÃO 6 
 
Encontre o polinômio cúbico )x(fy = representado pelo gráfico abaixo. Descreva o 
comportamento dessa função quando −∞→x e quando +∞→x . 
 
 
 
Solução 
 
O polinômio tem as raízes 3, 1 e 4− − . Portanto, sua equação é da forma: 
y k(x 3)(x 1)(x 4)= + + − 
 
Como o gráfico desse polinômio passa pelo ponto (0,1) , temos: 
11 k(0 3)(0 1)(0 4) k
12
= + + − ⇒ = − . 
Assim a equação dessa função polinomial é 1y (x 3)(x 1)(x 4)
12
= − + + − . 
Observando o gráfico, podemos afirmar que: 
 
x x
lim f (x) e lim f (x)
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞ . 
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QUESTÃO 7 
Considere a função 
2x
1x4)x(f
+
−
= . Encontre as assíntotas; descreva o comportamento da 
função na vizinhança da assíntota vertical e o que acontece com essa função quando 
±∞→x . Use estas informações para esboçar o gráfico dessa função. 
 
Solução 
 
a) A assíntota vertical ocorre em x 2= − , valor que anula o denominador da lei de 
definição da função. Nas proximidades de x 2= − , temos: 
x 2 x 2
4x 1 4x 1lim e lim
x 2 x 2− +→− →−
− −
= +∞ =
−∞
+ +
 
 
 A assíntota vertical é x 2= − . 
 
b) Limites quando x fica tende a infinito: 
 
x x x x
4x 1 4x 4x 1 4xlim lim 4 e lim lim 4
x 2 x x 2 x→−∞ →−∞ →+∞ →+∞
− −
= = = =
+ +
 
 
 A assíntota horizontal é y 4= 
 
c) Segue o gráfico da função: 
 
 
 
 
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QUESTÃO 8 
 
O gráfico da figura é o de uma função racional )x(h
)x(g)x(f = , sendo )x(he)x(g funções 
quadráticas. Obtenha uma possível fórmula para )x(f . Justifique sua escolha. 
 
 
 
De acordo com os dados do gráfico, 
2
2
x 4f (x)
x 1
+
=
+
 é uma possível solução por que: 
2 2
2 2x x x
x 4 xlim f (x) lim lim 1
x 1 x→−∞ →−∞ →−∞
+
= = =
+
 
e 
2 2
2 2x x x
x 4 xlim f (x) lim lim 1
x 1 x→+∞ →+∞ →+∞
+
= = =
+
 
 
Além disso, f (0) 4= , 2g(x) x 4= + é uma função quadrática e 2h(x) x 1= + também é 
uma função quadrática. 
Outra possível solução é 
2
2
3x 4x 4f (x)
3x 2x 1
+ +
=
− +
, função que satisfaz todas as condições 
exigidas pelo problema. 
 
Essa questão admite uma infinidade de soluções. 
 
QUESTÃO 8 
 
Uma pessoa investiu em papéis das empresas A e B no mercado de ações, durante 12 meses. O 
valor das ações da empresa A variou de acordo com a função A(t) t 10= + e o valor das ações da 
empresa B obedeceu à função 2B(t) t 4t 10= − + . O tempo t é contado em meses, sendo t 0= o 
momento da compra das ações. Com base nessas informações: (a) determine em que momentos as 
ações têm o mesmo valor e qual é esse valor; (b) esboce os gráficos dessas funções em um mesmo 
sistema de eixos e para um período de 12 meses; (c) comente a evolução do valor de cada uma das 
ações; (d) indique em que período as ações da empresa A tiveram um valor maior do que as ações 
da empresa B e, por fim (e) estime em que mês o valor das ações da empresa B foi mínimo. 
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Solução 
 
a) Para encontrar o momento em que as ações dessas duas empresas têm o mesmo valor, 
achamos o valor de t que satisfaz o sistema 2
A(t) t 10
B(t) t 4t 10
= +

= − +
. 
 Resolvendo este sistema para t, temos: 
2 2t 4t 10 t 10 t 5t 0 t 0 ou t 5− + = + ⇒ − = ⇒ = = . 
Portanto, as ações dessas duas empresas têm o mesmo valor no momento em que são 
adquiridas (t 0)= e cinco meses após terem sido compradas (t 5)= . 
No instante t 0= , o valor de cada ação é dado por: 
 
2A(0) 0 10 10 ou B(0) 0 4 0 10 10= + = = − ⋅ + = 
No momento t 5= , cada ação vale: 
 
2A(5) 5 10 15 ou B(5) 5 4 5 10 15= + = = − ⋅ + = 
 
b) Os gráficos dessas duas funções estão apresentados a seguir: 
 
 
 
c) O valor das ações da empresa A é sempre crescente. A função que estabelece esse valor 
A(t) t 10= + é uma função linear de coeficiente angular m 1= e, portanto, tem taxa de 
variação positiva. Já o valor das ações da empresa B decresce nos primeiros meses e, 
depois, começa a crescer. A função que define o valor das ações da empresa B, 
2B(t) t 4t 10= − + , é uma função quadrática e seu gráfico é uma parábola com 
concavidade voltada para cima. 
 
d) Conforme se pode observar no gráfico, entre o momento da compra (t 0)= e o instante 
t 5= , período que corresponde aos cinco primeiros meses de aplicação, o valor das ações 
da empresa A é maior do que o valor das ações da empresa B. Por outro lado, depois do 
quinto mês de aplicação, as ações da empresa B passam a ter um valor maior do que as 
ações da empresa A. 
 
 
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e) O valor mínimo das ações da empresa B ocorre no vértice da parábola. Neste vértice, 
temos: 
 
b 4
t 2
2a 2 1
−
= − = =
⋅
 e 
2 24B(2) 2 4 2 10 6 ou B 6
4a 4 1
∆ −
= − ⋅ + = = − = − =
⋅
. 
 
Portanto, o valor mínimo das ações de B é R$6,00 e esse valor ocorre ao final do segundo 
mês de aplicação.