Material de Cálculo PUC - Unidade 12

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Cálculo I 
Capítulo 11 – PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
Introdução 
 
Em muitos problemas, estamos interessados em encontrar o valor máximo ou mínimo 
de alguma grandeza. Por exemplo, fabricantes querem saber que dimensões de uma lata de 
refrigerante de 350 ml tornam mínimo o gasto com o material para fazer esse vasilhame; 
construtores de carros querem estabelecer velocidades, ao dirigir, que maximizam a eficiência 
do combustível; cientistas querem calcular que comprimento de onda transporta a radiação 
máxima em uma dada temperatura e urbanistas querem projetar padrões de tráfego para 
minimizar atrasos. 
Todas as técnicas para encontrar valores que maximizam ou minimizam grandezas 
constituem o campo chamado de otimização. Muitas dessas técnicas consistem na aplicação 
daquilo que nos diz a derivada a respeito da função primitiva. Para resolver problemas de 
otimização, precisaremos de modo particular das idéias discutidas nos capítulos 9 e 10: 
intervalos de crescimento, pontos críticos, concavidade, máximos e mínimos locais ou 
globais. 
 
Orientações 
 
• Estude atentamente as Notas de aula 11. Analise com bastante cuidado os 
exemplos apresentados. 
• Estude este assunto no seu livro de Cálculo. O Questionário 11 pode ajudá-lo 
nessa tarefa. 
• Resolva os Exercícios 11. Eles servem para você fixar conceitos e melhorar sua 
habilidade em lidar com as aplicações das derivadas. 
• Não deixe de esclarecer suas dúvidas. Para isso, recorra ao correio acadêmico, ao 
fórum de discussão, aos chats ou, melhor ainda, a seu grupo de estudos de Cálculo. 
 
Leia sempre o quadro de avisos! 
 
 
 
Notas de aula 11 
 
Título: Unidade 12 
Autor: Jonas Lachini 
 
 
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11.1 Funções implícitas 
 
Nos estudos anteriores, usamos a notação ( )xfy = para indicar uma função. No 
primeiro membro dessa fórmula, a variável y aparece sozinha e, no segundo membro, estão os 
termos que apresentam a variável x ou são constantes. Nesse caso, dizemos que y é uma 
função explícita de x. Por exemplo, 
4
32
2 +
+
=
x
xy e 85 23 +−= xxy são funções explícitas. 
 Na equação 2522 =+ yx , a variável y não está explicitada. Dizemos que essa 
equação fornece y como uma função implícita de x. Resolvendo para y , obtemos duas 
funções: 
2 2y 25 x e y 25 x= − = − − . 
225 xy −= é a equação do semicírculo superior (Figura 12.1) e 225 xy −−= é o 
semicírculo inferior (Figura 11.2). Cada uma dessas curvas, consideradas separadamente, é 
uma função. 
 
 
Figura 11.1 Figura 11.2 
 
 
A equação 2522 =+ yx representa uma curva que admite uma tangente em cada 
ponto. A inclinação dessa tangente pode ser encontrada derivando-se a equação do círculo em 
relação a x: 
( ) ( ) ( )2522
dx
dy
dx
d
x
dx
d
=+ 
Se considerarmos y como uma função de x e usarmos a regra da cadeia, obtemos: 
022 =+
dx
dyyx e, resolvendo em 
dx
dy
, temos 
y
x
dx
dy
−= , que é a inclinação do círculo em cada 
ponto, ou seja, a função 
y
xy −=′ que a cada ponto do círculo associa a inclinação dessa 
curva. 
 
 
 Figura 11.3 
Aqui, a derivada depende de x e de y, e 
não somente de x como ocorre na função 
explícita. Isto acontece porque, para cada 
valor de x do intervalo ] [55,− , existem 
dois valores de y e, em conseqüência, 
dois pontos na curva; as inclinações da 
curva são diferentes em cada um desses 
pontos, como vemos na Figura 11.3. 
 
 
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Quando x e y são positivos, estamos considerando o semicírculo superior e a 
inclinação é negativa, conforme podemos observar na Figura 11.3. Para x positivo e y 
negativo, estamos no semicírculo inferior e a derivada é positiva. 
Em geral, uma função implícita admite derivada em todos os pontos da curva em que 
os valores de x ou de y não anulam o denominador da expressão da derivada. No caso das 
funções implícitas da equação 2522 =+ yx , a derivada 
y
xy −=′ não está definida nos 
pontos ( )05,− e ( )05, ; nesses pontos, as tangentes são verticais. 
 
Exemplo 1 
Determine as equações das tangentes à curva 3622 =− xyx nos pontos de abscissa 1x = . 
 
Solução 
a) Cálculo de 
dx
dy
 por derivação implícita: 
( ) ( ) ( ) ( )362222
dx
d
x
dx
d
.y
dx
d
.xy.x
dx
d
=−+ 
0622 22 =−+
dx
dy
.y.xy.x 
yx
xy
dx
dy
yx
xy
dx
dy
2
2
2
2 3
2
26 −
=⇒
−
= 
b) Coordenadas dos pontos de tangência: 
Fazendo 1x = na equação da curva 3622 =− xyx , obtemos: 
3936 22 ±=⇒=⇒=− yyy 
 e os pontos de tangência ( )311 ,P = e ( )312 −= ,P . 
c) Equações das tangentes: 
A tangente no ponto ( )311 ,P = tem inclinação 23
93
1 −=
−
=m e sua equação é 
( )123 −−=− xy ou 52 +−= xy 
A tangente no ponto ( )312 −= ,P tem inclinação 23
93
2 =
−
−
=m e sua equação é 
( )123 −=+ xy ou 52 −= xy . 
 
 
 Figura 11.4 
 
Exemplo 2 
Considere a equação 5233 =−+ xyyx . 
a) Encontre y′ por derivação implícita. 
Na Figura 11.4, estão os gráficos da 
curva 3622 =− xyx e das tangentes 
52 +−= xy e 52 −= xy . 
Em ( )0;5,0A −= , a tangente à 
curva é vertical. 
 
 
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b) Encontre os pontos da curva em que a reta tangente é horizontal ou vertical. 
 
Solução 
a) Cálculo de 
dx
dyy =′ por derivação implícita. 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )52233
dx
dy
dx
d
.xy.x
dx
dy
dx
d
x
dx
d
=





+−+ 
0223 222 =−−+
dx
dy
.y.xy
dx
dy
.yx 
xyy
x
dx
dy
22
3
2
2
−
−
= 
 
b) Pontos onde a reta tangente é horizontal. 
São os pontos em que 0==′
dx
dyy . 
0030
22
3 2
2
2
=⇒=⇒=
−
−
= xx
xyy
x
dx
dy
 
Fazendo 0=x na equação 5233 =−+ xyyx , obtemos 3 5=y . Assim, a curva tem 
uma tangente horizontal no ponto ( )3 50 , . 
 
c) Pontos onde a tangente é vertical. 
 
São pontos da curva em que temos 
 ( ) xyouyxyyxyy ==⇒=−⇒=− 002022 2 
 
Fazendo 0=y na equação 5233 =−+ xyyx , obtemos 3 5=x . Então, a curva tem 
uma tangente vertical no ponto ( )053 , . 
Fazendo xy = na mesma equação, obtemos 3 5== xy . Portanto, a curva tem uma 
tangente vertical no ponto ( )33 55 , . 
 
11.2 Taxas relacionadas 
 
À medida que uma torneira despeja água em um tanque, o nível da água sobe. Para 
descrever a velocidade com que a profundidade, h, da água aumenta, usamos a taxa de 
variação dessa profundidade em relação à variação do tempo, t: 
 
dt
dh
tempodoiaçãovar
águadaníveldoiaçãovar
= . 
Além disso, o volume V de água no tanque também está mudando e sua taxa de 
variação em relação ao tempo é indicada por 
 
dt
dV
tempodoiaçãovar
águadevolumedoiaçãovar
= . 
Dizemos que a taxa de variação do volume e a taxa de variação da profundidade são 
taxas relacionadas porque aumento ou redução da profundidade acarreta aumento ou redução 
no volume e vice-versa. 
 
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Exemplo 3 
Um tanque tem a forma de um cone com o vértice para baixo; sua altura é de 12m e o 
diâmetro da base mede 12m. Uma torneira despeja água nesse tanque à razão de min/m2 3 . 
Determinar a taxa com que o nível da água sobe 
a) quando a profundidade for de 3m; 
b) quando a profundidade for de 10m. 
 
Solução 
 
Começamos fazendo um desenho (Figura 11.5) e colocando os dados nesse diagrama, de 
modo a visualizar a situação e estabelecer a notação. 
 
 
 Figura 11.5 
 
O volume variável da água no tanque é o volume de um cone de raio r e de altura h. Assim, 
temos: hr
3
1V 2pi= . As variáveis que nos interessam são V e h; para eliminar a variável r, 
usamos a semelhança dos triângulosda Figura 13.5: 
2
h
r
12
6
h
r
=⇒= . Portanto, a fórmula 
que relaciona V e h é: 
 
3
2
h
12
1Vh.
2
h
3
1V pi=⇒





pi= 
Derivando os dois membros dessa igualdade em relação a t, obtemos: 
 
dt
dh
.h
4
1
dt
dV 2pi= ou 
dt
dV
.
h
4
dt
dh
2pi
= 
Fazendo min/m2
dt
dV 3
= e m3h = nessa última fórmula, obtemos: 
minm28,0minm
9
8
dt
dh2.
9.
4
dt
dh
≅
pi
=⇒
pi
= 
Fazendo min/m2
dt
dV 3
= e m10h = nessa mesma fórmula, obtemos: 
minm03,0minm
25
2
dt
dh2.
100.
4
dt
dh
≅
pi
=⇒
pi
= 
 
Para resolver um problema que envolva taxas de variação, comece por fazer um esboço cuidadoso 
da situação considerada. 
A seguir, identificamos: 
 
• o que foi dado: min/m2
dt
dV 3
= 
 
• o que está sendo pedido: 
 
 min/m?
dt
dh
= quando m10hem3h == 
 
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Coloque nesse esboço todas as quantidades numéricas que permanecerão fixas; indique com letras 
as quantidades que variam com o tempo. 
A seguir, estabeleça uma relação geométrica ou física entre essas variáveis. 
Finalmente, derive os dois membros da equação encontrada em relação ao tempo t para obter uma 
relação entre as várias taxas de variação. 
Use essa relação obtida para determinar a taxa desconhecida pedida pelo problema. 
 
 
Exemplo 4 
Uma escada de 13m está apoiada em uma parede. A base da escada está sendo empurrada no 
sentido contrário ao da parede, a uma taxa constante de min/m6 . Qual a velocidade com a 
qual o topo da escada se move para baixo, sempre apoiado na parede, quando a base da escada 
está a 5m da parede? 
 
Solução 
 
Na Figura 11.6, está um diagrama da situação com os dados do problema e as grandezas que 
estão variando. 
 
 
 Figura 11.6 
 
A equação que relaciona x e y, de acordo com a Figura 11.6, é: 
222 13yx =+ 
Derivando essa expressão em relação a t, obtemos: 
dt
dy
.
x
y
dt
dx0
dt
dyy2
dt
dx
x2 −=⇒=+ 
Fazendo minm6
dt
dy
= , m5y = e m12x = nessa última igualdade, temos: 
minm5,2
dt
dx6.
12
5
dt
dx
−=⇒−= 
 
 
11.3 Problemas de otimização 
 
Otimizar alguma grandeza significa maximizar ou minimizar essa grandeza. Para 
podermos utilizar a derivada em problemas de otimização, a grandeza a ser otimizada precisa 
ser dada como uma função de grandezas que possam variar. Por exemplo, para determinar as 
dimensões ótimas de modo a minimizar a quantidade de material gasto para fazer uma lata de 
Dado do problema: 
 minm6
dt
dy
= 
 
É pedido no problema: 
 minm?
dt
dx
= quando m5y = 
 
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volume dado, precisamos escrever a grandeza quantidade de material, Q, como função da 
superfície da lata, , S, que é uma grandeza variável: ( )SfQ = . Por meio de exemplos, 
estudaremos como montar problemas de otimização; as técnicas matemáticas exigidas na 
resolução da maioria desses problemas são relativamente simples. 
 
Exemplo 5 
 
Uma laranja é lançada para o alto com uma velocidade inicial de sm6,19 . Sua altura no 
instante t é dada por 3t6,19t9,4y 2 ++−= . Qual altura máxima que ela atinge? 
 
Solução 
 
 
 
Usando a derivada, podemos achar os pontos críticos da função: 
 
s2
8,9
6,19
t06,19t8,9y ==⇒=+−=′ 
Variação de sinal de y′ : 
 
 
Como y′ passa de positiva para negativa, 2t = é ponto de máximo. 
O valor máximo da altura é: ( ) m6,2232.6,192.9,42y 2 =++−= 
 
 
 Sugestões para resolver problemas de otimização: 
 
1. Leia o problema e identifique que grandezas variam e quais são as constantes. 
Identifique desse modo, o que é dado e o que é pedido pelo problema (qual 
grandeza deve ser otimizada). 
2. Faça um desenho (um esboço) da situação, mostrando como as grandezas que 
variam estão relacionadas. Trabalhe com uma figura genérica. Por exemplo, se 
um problema trata de um quadrilátero, não desenhe um quadrado; se o problema 
se refere a um triângulo, não faça um triângulo eqüilátero. 
3. Coloque cuidadosamente os dados na figura; indique com números as grandezas 
que são constantes e atribua variáveis (letras) às grandezas que variam. 
4. Escreva a grandeza a ser maximizada ou minimizada como função de uma única 
variável. Estabeleça uma fórmula que relacione as grandezas variáveis. Se 
necessário, elimine dessa fórmula todas as variáveis menos uma. Identifique o 
domínio sobre o qual esta variável varia. 
Grandezas variáveis: altura → y 
 tempo → t 
 
Dado: 3t6,19t9,4y 2 ++−= 
 
Pedido: valor máximo de y 
 
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5. Use derivada para achar os pontos críticos e calcule o valor da função nesses 
pontos e nas extremidades. 
 
 
Exemplo 6 
 
Uma chaminé deposita fuligem no solo com uma concentração inversamente proporcional ao 
quadrado da distância da chaminé. Com duas chaminés, separadas de km21 , a concentração 
dos depósitos combinados, na reta que as liga, a uma distância x de uma chaminé, é dada por 
( )2
2
2
1
x21
k
x
kS
−
+= 
 
onde 21 kek são constantes positivas que dependem da quantidade de fumaça emitida por 
cada chaminé. Se 21 k8k = , encontre o ponto que liga as chaminés onde a concentração do 
depósito é mínima. 
 
 
Solução 
 
 
 
 
 
Cálculo da derivada de S: 
 
( ) ( )3
2
3
2
2
2
2
2
x21
k2
x
k16S
x21
k
x
k8S
−
+−=′⇒
−
+= 
Ponto crítico: 
 
( ) ( ) ( ) km14xxx212xx2180xk2x21k160S 333232 =⇒=−⇒=−⇒=+−−⇒=′ 
Assim, o ponto de concentração mínima de fuligem está a 14 km da chaminé de quantidade 
de fumaça 1k . 
 
Exemplo 7 
 
O custo por hora para mover um pequeno barco é proporcional ao cubo de sua velocidade. 
Determine a velocidade com a qual ele se deve mover contra uma corrente de h/km4 para 
minimizar o custo de uma viagem contra a corrente percorrendo uma distância de 18 km. 
 
Solução 
Grandezas variáveis: 
 Concentração de fuligem → S 
 Distância à chaminé de quantidade de 
 fumaça 1k → x 
Dados: ( )2
2
2
1
x21
k
x
kS
−
+= e 21 k8k = 
Pedido: valor de x que faz S ser mínima. 
 
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Grandezas variáveis: custo da viagem → C 
 velocidade do barco → v 
Dados: 3kvhoraporcusto = 
 km18percurso = 
 h/km4corrente = 
Pedido: valor de v que faz C ser mínimo. 
 
Com os dados do problema, podemos escrever: 
 
viagemdaduraçãodetempoxhoraporCustoviagemdaCusto = 
( )
4v
18
.vkvC 3
−
= 
Cálculo da derivada: 
( ) ( )( )2
32
4v
v.k.184v.vk.18.3
vC
−
−−
=′ 
Ponto crítico: ( ) ( ) hkm6v12v2v.k1812v3v.k180vC 32 =⇒=⇒=−⇒=′ . 
Então, para que o custo da viagem seja mínimo, o barco deve navegar a uma velocidade de 6 
km/h. 
 
Exemplo 8 
 
Determine o perímetro do retângulo de maior área que pode ser inscrito no semicírculo de 
equação 2x25y −= . 
 
 
 
 
 
 
Com os dados do problema, podemos escrever: 
alturaxbaseretângulodoÁrea = 
Grandezas variáveis: 
Área do retângulo → A 
Base do retângulo → 2x 
Altura do retângulo → y 
 
Dado: 2x25y −= 
 
Pedido: 
Valor do perímetro do retângulo de 
área máxima. 
 
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( ) 2x5x2xAouy.x2A −== 
Cálculo da derivada: 
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
x25
x2252
xA
x252
x2.x
x252xA
−
−
=′⇒







−
−
+−=′ 
 
Ponto crítico: 
 ( )
2
5
x0x2250xA 2 =⇒=−⇒=′Assim, o retângulo de área máxima é o de dimensões 
2
5ye
2
10
x2 == . 
O perímetro, p, desse retângulo é: 
2
50y2x4p =+= . 
 
Exemplo 9 
 
Deseja-se cercar um jardim retangular de 2m72 . Se um lado do jardim já está protegido por 
um muro, quais são as dimensões da cerca de menor comprimento. 
 
Solução 
 
 
 
 
Com os dados do problema, podemos escrever: 
x
72
x2Louyx2L +=+= 
Cálculo da derivada: 
 ( ) 2
x
722xL −=′ 
Ponto crítico: 
 ( ) 6x072x20xL 2 =⇒=−⇒=′ 
 
Assim, o comprimento da cerca será mínimo para m12yem6x == . 
 
Questionário 11 
 
Estude em seu livro de Cálculo os assuntos derivadas de funções implícitas, problemas de 
taxas relacionadas e problemas de otimização. Estude com especial atenção os exemplos 
resolvidos. 
 
1) Explique como funciona a derivação implícita. Dê um exemplo. 
2) Escolha um problema de taxas relacionadas e escreva sua solução de modo detalhado, 
como se estivesse explicando para outra pessoa. 
Grandezas variáveis: 
Comprimento do jardim → y 
Largura do jardim → x 
Comprimento da cerca → L 
Dados: 2m72yx = 
Pedido: valor de x e de y que tornam L 
mínimo. 
 
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3) Escolha um problema de otimização e escreva sua solução de modo detalhado, como 
se estivesse explicando para outra pessoa. 
 
 
Exercícios 11 
 
1. Determine dy
dx
 diferenciando implicitamente. 
a) 2xy 2x 3x 4+ + = 
b) x y 5+ = 
c) 2 2x y 1+ = 
d) 3 2 2x x y 4y 6+ + = 
e) 2y x 1
x y
= +
−
 
2. Encontre a equação da reta tangente à curva 
2 2
x y 1
16 9
− = , no ponto 95,
4
 
− 
 
. 
3. Ache a equação da reta tangente à curva 2 2 2 2 22(x y ) 25(x y )+ = − no ponto (3, 1). 
4. Uma jovem com 1,60 m de altura, que está correndo à velocidade de 3,6m/s, passa 
embaixo de uma lâmpada afixada em um poste a 6m acima do solo. Encontre a 
velocidade com que o topo de sua sombra se move quando ela está a 15m depois do 
poste. 
5. Um carro, que viaja a 96 km/h numa estrada reta, passa sob um balão de ar que está 
subindo a 32 km/h. Se o balão estiver a 1,6 km acima do solo quando o carro estiver 
diretamente embaixo dele, com que velocidade a distância entre o carro e o balão 
estará crescendo 1 minuto depois? 
6. Um cartaz deverá ter 2600cm de área para a mensagem impressa; deverá ter, também, 
7,5 cm de margem no topo e na base, bem como uma margem de 5 cm em cada lado. 
Determine as dimensões totais do cartaz para que a quantidade de papel usada seja 
mínima. 
7. Uma nova agência bancária deverá ter o piso com uma área de 2315m . Deverá ser um 
retângulo com três paredes de tijolos e uma frente de vidro decorativo. O vidro custa 
1,8 vezes o preço da parede de tijolos por metro linear. Quais as dimensões do piso 
desse edifício que minimizarão o custo de material das paredes e da frente? 
8. Uma longa faixa de metal com 8 cm de largura deve ser transformada em uma calha 
virando-se para cima os dois lados em ângulos retos com relação à base. Se a calha 
deve ter capacidade máxima, quantos centímetros devemos virar para cima nos lados.