Material de Cálculo PUC - Unidade 13

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Unidade 13 – Funções Trigonométricas 
 
Notas de aula 13 
 
Introdução 
 
Abordamos nesta unidade as funções trigonométricas. Essas funções são utilizadas no 
estudo de fenômenos periódicos, abrangendo diversos movimentos, tais como, por 
exemplo, a revolução dos planetas ao redor do Sol, o vaivém de um pêndulo e a 
propagação de ondas. No Cálculo, vários métodos de integração dependem de funções 
trigonométricas e de suas propriedades. 
 
Iniciamos com uma revisão de trigonometria. Apesar de ser matéria estudada no Ensino 
Fundamental e no Ensino Médio, é comum que o estudante dela se esqueça, sobretudo 
se não a usa com certa freqüência. A seguir, fazemos um estudo das funções 
trigonométricas que aparecem em uma calculadora: seno, cosseno e tangente. 
Terminamos esta unidade com a derivação dessas funções. 
 
13.1 Revisão 
 
A palavra trigonometria traz dois termos: trígono que indica figura de três ângulos e 
metria que significa medida. Assim, a trigonometria trata da medida de figuras de três 
ângulos e tem sua origem em uma parte do estudo de triângulos. É por isso que as 
primeiras definições de funções trigonométricas foram dadas em termos de triângulos. 
 
As funções trigonométricas são definidas também a partir do círculo de raio unitário, 
definição que as torna periódicas, ou com repetições. O fato de serem periódicas torna 
as funções trigonométricas apropriadas para a descrição de fenômenos periódicos, 
como, por exemplo, a pressão sanguínea, uma corrente alternada, o nível da água em 
uma maré e a posição das moléculas do ar transmitindo sons. 
 
13.1.1 Radianos 
 
A unidade mais comum para medir ângulos é o grau, definida a partir do ângulo reto: 
01 ângulo reto 90 graus 90= = . Entretanto, quando a trigonometria é usada para 
representar oscilações, os ângulos costumam ser medidos em radianos; o radiano é a 
unidade-padrão para medida de ângulos no Cálculo. Conforme você poderá verificar, as 
fórmulas do Cálculo ficam muito mais elegantes quando se usam radianos ao invés de 
graus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um radiano é o ângulo que, tendo seu vértice no centro de um círculo, subentende um 
arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio desse círculo. 
 
Figura 13.1 
Na figura 13.1 (a) está representado um círculo unitário; é um círculo cujo raio mede 
uma unidade. Neste círculo, se “desentortarmos” um arco de 1 radiano, obteremos um 
segmento cujo comprimento é 1 raio. A Figura 13.1 (b) traz também um círculo 
unitário; podemos observar, nesta figura, que a medida de um ângulo em radianos é 
orientada: é positiva quando tomada no sentido anti-horário e é negativa se considerada 
no sentido horário. Além disso, é possível constatar que o comprimento de um arco é 
sempre positivo. 
 
Em geral, conforme mostrado na Figura 13.2, o número de radianos de um ângulo 
central α em um círculo de raio r é definido como sendo a razão entre o comprimento 
l do arco subentendido e o comprimento do raio: =α l
r
. De modo equivalente, 
podemos dizer que um ângulo central α subentende um arco cujo comprimento é α 
vezes o comprimento do raio r, ou seja, = αl r . 
 
Figura 13.2 
 
Como o círculo de raio r tem comprimento 2c rpi= , um ângulo central completo de 
0360 é equivalente a 2 2pi pi=r radianos
r
. A partir dessa igualdade, podemos escrever: 
02 360radianospi = , 0180radianospi = , 090
2
radianospi = , 
0
01801 57, 296radiano
pi
= ≅ , 
01 0,0175
180
radianospi= ≅ . 
 
No Cálculo, é usual omitir a palavra radiano quando se utilizam medidas em radianos e 
escrever, por exemplo, 090
2
pi
= , 
060
3
pi
= , 
045
4
pi
= e 030
6
pi
= . 
13.1.2 – Comprimento de arco e área de um setor circular. 
 
É bastante útil saber calcular o comprimento do arco de um círculo e também a media 
da área de um setor circular. Para esses cálculos, fica melhor usar radianos, conforme 
indicado a seguir. 
 
Figura 13.3 
 
Se um círculo, como o da Figura 13.3, tem raio r e o setor tem um ângulo radianosθ , 
podemos escrever a seguinte igualdade: θ= =comprimento do arco s r . 
 
De modo semelhante, a área A de um setor circular cujo ângulo central é θ é dada pela 
fórmula 1
2
=A rs . Usando a igualdade θ=s r , podemos escrever: 21
2
A r θ= . Observe 
que, quando se tem 2θ pi= , essa fórmula nos dá 2 21 2
2
A r A rpi pi= ⋅ ⇒ = , medida da 
área do círculo de raio r. Com essa observação, fica fácil provar que a área do setor 
circular é 21
2
A r θ= ; basta usar o fato de que a área do setor circular está para a área do 
círculo assim como o arco de comprimento s está para o comprimento da 
circunferência: 
2
1
2 2
A s A rs
r rpi pi
= ⇒ = . Para se lembrar dessa fórmula, pode-se pensar no setor circular 
como se fosse um triângulo de base s e altura r. 
 
 
13.2 – O seno e o co-seno. 
 
As duas funções trigonométricas básicas, o seno e o co-seno, são definidas usando-se 
um círculo de raio unitário com centro na origem do plano cartesiano. A equação desse 
círculo é 2 2 1x y+ = . É comum referir-se a esse círculo como o círculo trigonométrico e 
falar das funções trigonométricas como sendo funções circulares. 
 
Em um círculo trigonométrico, como o exibido na Figura 13.4, consideremos um arco 
de comprimento t, tomado sobre o círculo, partindo do ponto (1,0)A = até um ponto 
( , )P x y= . À medida que P percorre o círculo no sentido anti-horário, o arco t assume 
valores reais positivos; quando P percorre o círculo no sentido horário, o arco t assume 
valores reais negativos. Como o raio do círculo trigonométrico é a unidade de medida, t 
é o comprimento do arco e também a medida, em radianos, do ângulo central 
correspondente. Além disso, todo arco aqui considerado começa em A e termina em P; 
de forma semelhante, todo ângulo central tem lado inicial OA
uuur
 e lado terminal OP
uuur
. 
 
 
Figura 13.4 
 
Desse modo, cada número real t determina uma única posição OP
uuur
 e, portanto, um único 
ponto ( , )P x y= . Postas essas condições, o seno e o co-seno de t são definidos por 
y sen t= e x cos t= . 
Nessa definição, assume-se que as funções trigonométricas são sempre consideradas em 
radianos, a não ser que haja indicação em contrário. 
 
Observando que a equação do círculo unitário é 2 2x y 1+ = , temos de imediato a 
relação fundamental da trigonometria: 2 2cos t sen t 1+ = . Podemos perceber também 
que, à medida que t aumenta e P se desloca ao redor do círculo, os valores de sen t e 
cos t oscilam entre 1 e 1− , e vão se repetindo toda vez que P passa por pontos pelos 
quais já passou. 
 
As afirmativas anteriores evidenciam que 1 sen t 1− ≤ ≤ e também que 1 cos t 1− ≤ ≤ . 
Podemos observar, ainda, que os sinais algébricos do seno e do co-seno dependem do 
quadrante em que está o ponto P. Além disso, é claro que os números t e t 2pi+ 
determinam um mesmo ponto P e, portanto, sen t sen (t 2 )pi= + e cos t cos (t 2 )pi= + . 
Assim, podemos concluir que os valores de sen t e cos t se repetem quando t aumenta 
ou diminui de 2pi ; essa propriedade indica que as funções sen t e cos t são periódicas 
de período 2pi . 
 
A palavra seno vem do termo latino sinus que significa seio, sino, sinuosidade, 
ondulação. Por essa razão, o seno é, sem dúvida, a função mais bonita da Matemática. 
Em co-seno, assim como em co-tangente e co-secante, o prefixo co vem de 
complemento; assim, co-seno, cotangente e co-secante são, respectivamente, o seno, a 
tangente e a secante do complemento: cos x sen x
2
pi 
= − 
 
, cossec x = sec x
2
pi 
− 
 
 e 
cotg x = tg x
2
pi 
− 
 
. 
 
 
As outras funções trigonométricas – tangente, co-tangente, secante e co-secante – são 
definidaspor 
y sen t
tg t
x cos t
= = , 
x cos t
cotg t =
y sen t
= , 
1 1
sec t
x cos t
= = , 
1 1
cosec t = 
y sen t
= 
 
Quando 0 t
2
pi
< < , ou seja, quando t for a medida de um ângulo agudo, temos as 
seguintes interpretações do seno, co-seno e tangente, no triângulo retângulo: 
 
 
 
cateto oposto b
sen t
hipotenusa a
= = 
cateto adjacente c
cos t
hipotenusa a
= = 
cateto oposto b
tg t
cateto adjacente c= = 
 
 
 
 Figura 13.5 
 
Como os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares, ou seja, 
têm medidas t e t
2
pi
− , respectivamente, podemos também escrever: 
sen t cos t
2
pi 
− = 
 
, cos t sen t
2
pi 
− = 
 
 e tg t cotg t
2
pi 
− = 
 
 
 
Das igualdades observadas no triângulo retângulo (Figura 13.5), obtemos as fórmulas 
equivalentes b a sen t= , c a cos t= e b c tg t= , que são usadas em muitas aplicações na 
Física e na Geometria. Nesse caso, o domínio da variável t é restrito ao intervalo 
0 t
2
pi
< < . Para os estudos desenvolvidos no Cálculo, o domínio da variável t é o 
conjunto dos reais e as definições obtidas a partir do círculo trigonométrico são as 
preferidas. 
 
 
13.2.1 – O gráfico da função seno 
 
Na Figura 13.6 está o gráfico da função f (t) sen t.= Podemos observar que o seno é 
uma função ímpar, ou seja, ( )sen t sen t− = − . Seu valor máximo é 1 e seu valor mínimo 
é 1− , pois são os valores máximo e mínimo de y no círculo trigonométrico. Assim, a 
imagem da função seno é o intervalo [ ]1, 1− ; é usual dizer que a função seno oscila 
entre -1 e 1, tendo uma oscilação igual a 2. Depois do ponto P dar uma volta completa 
t
 
a b 
c 
em torno do círculo, os valores do seno começam a se repetir; isso faz com que a função 
seno seja periódica. 
 
 
Figura 13.6 
 
 
13.2.2 – O gráfico da função co-seno 
Na figura 13.7 está o gráfico da função g(t) cost.= Podemos observar que o co-seno é 
uma função par, ou seja, cos( ) cost t− = . Assim como acontece com o seno, o valor 
máximo do co-seno é 1 e seu valor mínimo é 1− , pois são os valores máximo e mínimo 
de x no círculo trigonométrico. Assim, a imagem da função co-seno é o intervalo 
[ ]1, 1− ; é usual dizer que a função co-seno oscila entre -1 e 1, tendo uma oscilação igual 
a 2. Depois do ponto P dar uma volta completa em torno do círculo os valores do co-
seno começam a se repetir; isso faz com que a função co-seno seja periódica. Assim 
como para o seno, a amplitude da função co-seno é 1 e o período é 2pi . 
 
 
Figura 13.7 
 
13.2.3 Amplitude e período de uma oscilação 
 
Em problemas de Física, são muito usados os termos amplitude e período de uma 
oscilação. A amplitude de uma oscilação é metade da distância entre os valores máximo 
e mínimo. Assim, tanto a amplitude da função seno quanto da função co-seno é 1. 
 
O período de uma oscilação é o tempo necessário para que a oscilação complete um 
ciclo. O período da função seno é 2pi porque este é o valor de t no momento em que P 
completa uma volta em torno do círculo; pela mesma razão, o período da função co-
seno também é 2pi . 
 
Para descrever períodos e amplitudes quaisquer, usamos funções da forma 
 
f (t) Asen Bt= e g(t) A cos Bt= 
Nessas fórmulas, A é a amplitude e 2
B
pi
 é o período. 
 
13.2.4 Diferença de fase 
 
A Figura 13.8 apresenta os gráficos do seno e do co-seno. 
 
Figura 13.8 
 
Ao observar essa figura, podemos ver que os gráficos do seno e do co-seno têm 
exatamente a mesma forma, só que deslocados horizontalmente. Como o gráfico do 
seno é o gráfico do co-seno transladado de 
2
pi
 unidades para a direita, temos: 
sen t cos t
2
pi 
= − 
 
 
Essa igualdade indica que o seno de qualquer número é igual ao co-seno do número que 
está 
2
pi
 unidades à direita na reta real. 
De modo análogo, o gráfico do co-seno é o gráfico do seno transladado de 
2
pi
 unidades 
para a esquerda, o que nos permite escrever: 
cos t sen t
2
pi 
= + 
 
 
Essa igualdade indica que o co-seno de qualquer número é igual ao seno do número que, 
na reta real, está 
2
pi
 unidades à esquerda. Em problemas práticos, é usual dizer que a 
diferença de fase entre seno e co-seno é 
2
pi
. 
 
Para representar diferenças de fase arbitrárias, deslocamos horizontalmente o gráfico 
por valores adequados de amplitude e período, substituindo t por t h− ou t h+ . 
 
Exemplo 1 
 
Primeiramente, esboce o gráfico de cada uma das funções. A seguir, determine a 
amplitude e o período destas funções. 
a) y 4sen 3t= b) ty 5cos
2
 
= −  
 
 c) y 1 2sen t= + 
 
Solução 
 
a) A figura 13.9 mostra o gráfico da função y 4sen 3t= . 
 
Figura 
 
Figura 13.9 
 
A amplitude de y 4sen 3t= é 4 porque o fator 4 expande as oscilações de 4− a 4. 
O período é 2
3
pi
 porque quando t varia de 2
3
pi
, a quantidade 3t varia de 2pi . 
b) A Figura 13.10 mostra o gráfico da função ty 5cos
2
 
= −  
 
. 
 
 
 
Figura 13.10 
A amplitude de ty 5cos
2
 
= −  
 
 é 5, uma vez que o fator -5 expande as oscilações 
de 5− a 5. O período é 4pi porque quando t varia de 4pi , a quantidade t
2
 varia de 
2pi e, assim, a função co-seno realiza um ciclo completo. 
 
c) A Figura 13.11 mostra o gráfico da função y 1 2sen t= + . 
 
 
 
Figura 13.11 
 
O 1 que aparece na função y 1 2sen t= + desloca o gráfico de y 2sen t= em uma 
unidade para cima. Como y 2sen t= tem amplitude 2 e período 2pi , o gráfico da 
função y 1 2sen t= + sobe até 3 e desce até 1− , tendo período 2pi . Desse modo, a 
função y 1 2sen t= + tem amplitude 2 e período 2pi . 
 
Exemplo 2 
 
As funções representadas nos gráficos a seguir (Figura 13.12) descrevem oscilações. 
Determine uma possível fórmula para cada uma dessas funções. 
 
 
Figura 13.12 
 
Solução 
a) A função correspondente à letra (a) pode ser um função seno de amplitude 3 e, 
assim, ter equação g(t) 3sen Bt= . Além disso, esta função realiza um ciclo 
completo entre t 0= e t 12pi= ; então, quando t varia de 12pi , a quantidade Bt varia 
de 2pi . Portanto, devemos ter: 1B 12 2 B
6
pi pi⋅ = ⇒ = . Com isso, uma possível 
fórmula para esta função é tg(t) 3sen
6
 
=  
 
. 
b) A função correspondente à letra (b) parece ser uma função co-seno de amplitude 2 e 
com interseção vertical 2− , tendo como possível equação f (t) 2cos Bt= − . De 
acordo com o gráfico, esta função realiza um ciclo completo entre t 0= e t 4= ; 
isso indica que, quando t varia de 4, a quantidade Bt varia de 2pi . Assim, podemos 
escrever: B 4 2 B
2
pi
pi⋅ = ⇒ = . Concluímos, pois, que uma possível fórmula para 
esta função é f (t) 2cos t
2
pi 
= −  
 
. 
c) A função da letra (c) é parecida com a função da letra (a), deslocada de pi unidades 
para a direita. Para fazer essa translação, basta substituir t por t pi− na fórmula da 
função g; com isso, uma possível fórmula desta função é th(t) 3sen
6
pi− 
=  
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
13.3 – Derivadas do seno e do co-seno 
 
Neste item, vamos verificar duas das mais importantes fórmulas da Matemática: 
 
d (sen x) cos x
dx
= e 
d (cos x) sen x
dx
= − . 
 
Trata-se de mostrar que a derivada de f (x) sen x= é a função f (x) cos x′ = e que, 
derivando-se a função g(x) cos x= , obtém-se g (x) sen x′ = − . Nessas fórmulas, x é uma 
variável real como em qualquer função e, sendo medida de ângulo, é sempre entendidacomo medida em radianos. 
 
Essas duas fórmulas podem ser deduzidas aplicando-se diretamente a definição de 
derivada: 
h 0
f (x h) f (x)f (x) lim
h→
+ −
′ = 
 
No desenvolvimento desse limite, precisamos dos dois limites seguintes: 
0
senlim 1
θ→
θ
=
θ
 e 
0
1 coslim 0
θ→
− θ
=
θ
 
Em um dos processos para provar o primeiro desses limites, consideram-se dois pontos 
P e Q sobre um círculo unitário bem como a corda PQ e o arco �PQ que unem esses 
pontos, conforme mostrado na Figura 13.13. Observamos que podemos considerar 
somente valores positivos de θ , uma vez que, ao trocarmos θ por −θ , chegamos à 
mesma razão considerada: sen ( ) sen sen−θ − θ θ= =
−θ −θ θ
. 
 
 
Figura 13.13 
 
A partir dessas considerações, podemos escrever que a razão entre o comprimento da 
corda e o comprimento do arco tende a 1 quando os pontos P e Q se aproximam um do 
outro, ou seja, quando o arco �PQ (ou a corda PQ ) tende a zero: 
�
�comprimento da corda PQ 1 quando PQ 0
comprimento do arco PQ
→ → 
 
 
 
Usando a notação da Figura 13.13, podemos escrever: 
2sen sen 1 quando 2 0 ou 0
2
θ θ
= → θ → θ →
θ θ
 
Escrito de outra maneira, temos: 
0
senlim 1
θ→
θ
=
θ
. 
 
Com esse primeiro limite, podemos calcular o segundo: 
 
2
0 0 0
2
0 0
0 0
1 cos 1 cos 1 cos 1 coslim lim lim
1 cos (1 cos )
sen sen senlim lim(1 cos ) 1 cos
sen sen 0lim lim 1 0
1 cos 1 1
θ→ θ→ θ→
θ→ θ→
θ→ θ→
− θ − θ + θ − θ 
= ⋅ = θ θ + θ θ⋅ + θ 
θ θ θ
= = ⋅
θ ⋅ + θ θ + θ
θ θ   
= ⋅ = ⋅ =   θ + θ +   
 
 
Usando esses limites e a definição de derivada, calculamos a derivada da função 
f (x) sen x= : 
h 0
sen(x h) sen xf (x) lim
h→
+ −
′ = 
Como sen(x h) sen x cos h cos x sen h+ = ⋅ + ⋅ , escrevemos: 
h 0
h 0
h 0
sen(x h) sen xf (x) lim
h
sen x cos h cos x sen h sen xlim
h
sen h 1 cos hlim cos x sen x
h h
cos x 1 sen x 0 cos x
→
→
→
+ −
′ =
⋅ + ⋅ −
=
 −    
= ⋅ − ⋅    
    
= ⋅ − ⋅ =
 
 
De modo semelhante, podemos calcular a derivada da função g(x) cos x= . 
h 0
cos (x h) cos xg (x) lim
h→
+ −
′ = 
Como cos (x h) cos x cos h sen x sen h+ = ⋅ − ⋅ , escrevemos: 
h 0
h 0
h 0
cos (x h) cos xg (x) lim
h
cos x cos h sen x sen h cos xlim
h
sen h 1 cos hlim sen x cos x
h h
sen x 1 cos x 0 sen x
→
→
→
+ −
′ =
⋅ − ⋅ −
=
 −    
= − ⋅ − ⋅    
    
= − ⋅ − ⋅ = −
 
 
Usando a regra da cadeia, podemos generalizar essas duas fórmulas: 
y sen u y cos u u e y cos u y sen u u′ ′ ′ ′= ⇒ = ⋅ = ⇒ = − ⋅ ~ 
 
 
 
Exemplo 3 
 
Calcule as derivadas de cada uma das seguintes funções: 
 
a) y sen 3x y 3cos3x′= ⇒ = 
b) 3 2y sen x y 3sen x cos x′= ⇒ = ⋅ 
c) 3 3 2 2 3y cos (4 2x ) y sen (4 2x ) ( 6x ) 6x sen(4 2x )′= − ⇒ = − − ⋅ − = ⋅ − 
d) cos x cos xy e y sen x e′= ⇒ = − ⋅ 
e) 1y sen (ln x) y cos (ln x)
x
′= ⇒ = ⋅ 
 
Exemplo 4 
Determine a inclina da curva 1y sen 3x
3
= nos pontos em que seu gráfico atravessa o 
eixo x. 
 
Solução 
Na Figura 13.14 está o gráfico da função 1y sen 3x
3
= . 
 
 
Figura 13.14 
Nos pontos da figura em que essa curva corta o eixo x, temos: 
1y sen 3x 0 sen 3x 0 x 0 ou x ou x
3 3 3
pi pi
= = ⇒ = ⇒ = = = − 
 
A inclinação da curva nesses pontos é o valor da derivada da função nesses pontos. 
Portanto, temos: 
y cos3x, y (0) cos0 1, y cos 1, y cos ( ) 1
3 3
pi pi   
′ ′ ′ ′= = = = pi = − − = −pi = −   
   
 
 
 
13.4 – A função tangente 
 A função tangente é definida por sen ttg t , para cos t 0
cos t
= ≠ . A Figura 13.15 nos mostra 
que ytg t
x
= ; isso nos indica que tg t é a inclinação da reta que passa pela origem 
(0,0) e pelo ponto P (x, y) (cos t, sen t)= = no círculo unitário. 
 
Figura 13.15 
A função tangente não é definida para cos t 0= , isto é, para (2n 1)t
2
pi+
= ± , como, por 
exemplo, t
2
pi
= ± , 3t
2
pi
= ± e 5t
2
pi
= ± . Em cada um desses valores de t, o gráfico da 
tangente tem uma assinto vertical. O gráfico da função tangente y tg t= é dado na 
Figura 13.16. 
 
 
Figura 13.16 
 
A função y tg t= tem período pi , pois ela se repete a cada pi unidades. Não tem sentido 
falar de amplitude da função tangente, uma vez que, nas proximidades de cada assíntota 
vertical, a tangente fica infinitamente grande. De modo geral, na função tangente 
y A tg Bt= , o período é 
B
pi
 e não tem sentido falar em amplitude. 
 
Na Figura 13.17 está o gráfico da função y 5 tg t= . Observe que o período é pi e não 
tem sentido falar sobre amplitude. 
 
 
 
Figura 13.17 – Gráfico da função y 5 tg t= . 
 
Na Figura 13.18 está o gráfico da função y 5 tg (2t)= . O período é 
2
pi
 e não tem sentido 
falar em amplitude. 
 
 
Figura 13.18 – Gráfico da função y 5 tg (2t)= . 
 
 
 
Na Figura 13.19 está o gráfico da função y 5 tg (t / 2)= . Neste caso, o período é 2pi e 
não tem sentido falar em amplitude. 
 
 
 
 
Figura 13.19 – Gráfico da função y 5 tg (t / 2)= . 
 
13.4.1 – A derivada da função tangente 
 
Como sen xtg x
cos x
= , podemos usar a regra do quociente para achar sua derivada. 
2 2
2 2 2
d (tg x) (sen x) cos x (sen x) (cos x) cos x sen x 1
dx cos x cos x cos x
′ ′⋅ − ⋅ +
= = = 
 
Portanto, a derivada da função y tg x= , para x medido em radianos, é a função 
2
1y
cos x
′ = . Como 1 sec x
cos x
= , é usual escrever 2y sec x′ = . 
Na Figura 13.20 estão os gráficos da função tangente f (x) tg x= e o da derivada 
2f (x) sec x′ = . 
 
 
Figura 13.20 
 
 
 
 
13.5 Exercícios resolvidos 
 
1) Determine em quais pontos da curva y sen x cos x, 0 x 2= + ≤ ≤ pi , a reta tangente é 
horizontal. 
 
Solução 
Nos pontos em que a reta tangente é horizontal, a derivada da função é nula. Assim, 
devemos ter: 
sen x 5y cos x sen x 0 1 x ou x
cos x 4 4
pi pi
′ = − = ⇒ = ⇒ = = 
 
Na Figura 13.21 estão os gráficos da função e das duas tangentes horizontais. 
 
 
Figura 13.21 
 
2) Encontre uma equação da reta que passa pelo ponto (3,5) e determina no primeiro 
quadrante um triângulo de menor área. 
 
Solução 
A área do triângulo (Ver Figura 13.23), é 1A ab
2
= . 
Por semelhança de triângulos, temos: 
 
b a 5ab
5 a 3 a 3
= ⇒ =
− −
 
 
Assim, a área é 
25aA
2(a 3)= − e a derivada é 
 
2
2
5a 30aA (a)
2(a 3)
−
′ =
−
. Figura 13.22 
(0,0) (a,0) 
(0, b) 
+
 
(3,5) 
Para A (a) 0′ = , temos a 6= e b 10= , valores que tornam mínima a área do triângulo 
examinado. 
A equação da reta que passa pelos pontos (0, 10), (3,5) e (6,0) é: 
x y 51 ou y x 10
6 10 3
+ = = − + 
 
 
3) Mostre que, de todos os triângulos isósceles com um dado perímetro, aquele de 
maior área é o eqüilátero. 
 
 
Solução 
Consideremos o triângulo isósceles da Figura 13.22. 
O semi-perímetro é = +p l b e a área é =A bh . 
A função área deve passar por um máximo. 
No triângulo retângulo de lados l, h e b, e levando 
em conta que = −b p l ,temos: 
 
2 2 22= − ⇒ = −h l b h pl p 
Assim, a área é dada por 
 
2( ) 2= − ⋅ −A p l pl p . 
Derivando, obtemos: 
2
2
2( ) 2 ( )
2 2
′ = − + + ⋅ −
−
pA l pl p p l
pl p
 
Igualando a derivada a zero, temos: Figura 13.23 
2 2 2(2 ) 0
3
− − + − = ⇒ =
ppl p p pl l . Portanto, a área é máxima quando o lado l é um 
terço do perímetro e, assim, o triânguloé eqüilátero. 
 
4) Uma mulher em um ponto A na praia de certo lago 
circular com raio de 4 km quer chegar no ponto C 
diametralmente oposto a A, do outro lado do lago no 
menor tempo possível. Ela pode andar a uma taxa de 
8km h e remar um bote a 4 km h . Como ela deve 
proceder? 
 
Solução 
De acordo com os dados da Figura 13.24, o percurso a ser 
cumprido pela mulher é �L AB BC= + . Usando a lei dos co-
senos no triângulo tem vértices no centro do lago e nos pontos A e B, temos 
AB 4cos= θ . Por outro lado, �BC 4= θ . Considerando as velocidades dadas, o tempo 
gasto no percurso L é 4cos 4t
4 8
θ θ
= + . Diferenciando em relação a θ , obtemos 
1
t ( ) sen
2
′ θ = − θ + . Assim, o tempo mínimo para cumprir esse percurso ocorre quando 
l 
θ
 
h 
b 
 
 Figura 13.24 
1
sen
2 6
piθ = ⇒ θ = . Portanto, para fazer o percurso no menor tempo possível, a mulher 
deverá remar numa direção que forme um ângulo de 
6
pi
 radianos com ao diâmetro AC . 
 
5) A função P(t) 4.000 360sen t 180sen t
6 3
pi pi   
= + +   
   
 expressa o tamanho de uma 
manada de corças, sendo t medido em meses a partir de primeiro de abril. O gráfico 
dessa função está na Figura 13.21. 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações, determine: (a) quando a manada assume seu maior valor 
e de quantas corças é composta neste instante; (b) em que momento a manada assume 
seu menor valor e qual é este valor; (c) de quanto a manada está crescendo em primeiro 
de abril. 
 
Solução 
Primeiramente, calculamos a derivada da função P: 
P (t) 60 cos t 60 cos t
6 3
pi pi   
′ = pi + pi   
   
 
A seguir, determinamos os pontos críticos dessa função: 
2
P (t) 0 cos t cos t 0
6 3
cos t 2cos t 1 0
6 6
Fazendo y cos t, temos :
6
pi pi   
′ = ⇒ + =   
   
pi pi   
⇒ + − =   
   
pi
=
 
t 
Figura 13.21 
2 12y y 1 0 y 1 ou y
2
+ − = ⇒ = − = 
Voltando para a variável t, obtemos: 
cos t 1 t ou t 3 t 6 ou t 18
6 6 6
ou
1 5
cos t t ou t t 2 ou t 10
6 2 6 3 6 3
pi pi pi
= − ⇒ = pi = pi ⇒ = =
pi pi pi pi pi
= ⇒ = = ⇒ = =
 
 
Considerando os resultados obtidos e a observando o gráfico, podemos concluir: 
a) O número de indivíduos da manada é máximo para t 2= , ou seja, no primeiro dia 
de junho. Neste dia, o número de indivíduos é 
P(2) 4.000 360sen 2 180sen 2
6 3
3 34.000 360 180 4.468
2 2
pi pi   
= + ⋅ + ⋅   
   
= + ⋅ + ⋅ ≈
 
 Obs.: Pelo gráfico, podemos concluir que esta função é periódica de período 12. 
Assim, a manada voltará a ter um número máximo de indivíduos em 
t 14= . 
 
b) O número de indivíduos é mínimo para t 10= , ou seja, no primeiro dia do mês 
fevereiro, dia em que o número de indivíduos era 
P(10) 4.000 360sen 10 180sen 10
6 3
3 34.000 360 180 3.532
2 2
pi pi   
= + ⋅ + ⋅   
   
   
= + ⋅ − + ⋅ − ≈      
   
 
 Obs.: Os pontos t 6 e t 18= = são pontos de inflexão. 
c) No dia primeiro de abril, t 0= e a taxa de crescimento da manada é: 
P (0) 60 cos 0 60 cos 0 377 indivíduos por mês.
6 3
pi pi   
′ = pi ⋅ + pi ⋅ ≈   
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Um observador permanece em um ponto 
P, distante uma unidade de certa pista, 
conforme indicado na Figura 13.25. Dois 
corredores iniciam no ponto S da 
figuram e correm ao longo da pista. Um 
corredor corre três vezes mais rápido do 
que o outro. Encontre o valor máximo do 
ângulo θ de visão do observador entre os 
corredores. [Sugestão: Maximize tg θ .] 
 
 
Figura 13.25 
Solução 
A partir das anotações feitas na Figura 13.25, podemos escrever: tg ( ) 3xθ + α = e 
tg xα = . Considerando que tg tg[( ) ]θ = θ + α − α e utilizando a identidade 
tg a tgb
tg (a b)
1 tg a tg b
−
− =
+ ⋅
, temos: 
2
3x x 2x
tg tg[( ) ]
1 3x x 1 3x
−θ = θ + α − α = =
+ ⋅ +
 
Diferenciando essa função tangente, obtemos: 
2 2
2
2 2 2 2
d 2 (1 3x ) 3x 2x 2 6x
sec
dx (1 3x ) (1 3x )
θ ⋅ + − ⋅ −θ⋅ = =
+ +
 
Observando que 2 2 2sec 1 tg 1 9xθ = + θ = + e trocando θ por x na derivada encontrada, 
temos: 
2
2 2 2
d 2 6x
dx (1 3x ) (1 9x )
θ −
=
+ ⋅ +
. O valor que anula esta derivada é 
2 32 6x 0 x
3
±
− = ⇒ = . Assim, o valor máximo do ângulo entre os corredores, 
segundo visão do observador, e levando em conta que 
2
piθ < , é tal que tg 3x 3θ = = , 
ou seja, 
6
piθ = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
α 
x 2x 
7) Para fazer uma calha com uma folha de metal de 30cm de largura, dobra-se 1
3
 de 
cada um de seus lados para cima, formando-se um ângulo θ com a horizontal (Ver 
Figura 13.26.). Determine o valor de θ de modo que a capacidade de carregar água 
da calha seja máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13.26 
Solução 
A capacidade de carregar água será máxima quando a área de uma seção transversal 
tiver área máxima. Assim, a função a ser maximizada é (B b) hA
2
+ ⋅
= . Nessa equação, 
de acordo com a Figura 13.26, b 10, h 10sen e B 10 20cos= = θ = + θ . Assim, a área 
da seção transversal da calha é 
[(10 20cos ) 10] 10senA 100 (sen sen cos )
2
+ θ + ⋅ θ
= = ⋅ θ + θ θ 
Diferenciando a função área, temos: 
2 2A ( ) 100 (cos cos sen )′ θ = ⋅ θ + θ − θ 
Para A ( ) 0′ θ = , temos 2
1
cos
2cos cos 1 0 2 3
cos 1
pi θ = ⇒ θ =θ + θ − = ⇒ 
 θ = − ⇒ θ = pi
. 
Desses dois valores, somente 
3
piθ = torna a área da seção transversal máxima e, 
portanto, faz com que seja máxima a capacidade de carregar da calha. 
 
8) Determine em que posição deve ficar o ponto P, sobre o segmento AB , de modo 
que o ângulo θ seja máximo (Ver Figura 13.27.). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13.27 
 
 
Solução 
Considerando x AP= e 3 x PB− = , podemos escrever sobre os ângulos que têm de 
vértice em P: xtg
5
α = , 
3 x
tg
2
−β = , ( )θ = pi − α + β e tg tg ( )θ = − α + β . Com essas 
igualdades, temos: 
2 2
x 3 x
3x 155 2tg tg ( ) tg
3x x 10 3x x1
10
−
+
−θ = − α + β = − ⇒ θ =
− − +
−
 
Derivando a função tangente, obtemos: 
2
2
2 2
d 15 30x 3x
sec
dx (10 3x x )
θ − + −θ⋅ =
− +
 
 
Para que tenhamos (x) 0′θ = , devemos impor: 
2x 10x 5 0 x 5 2 5 ou x 5 2 5− + = ⇒ = + = − 
 
Como x 3< , o valor de x para que θ seja máximo é x AP 5 2 5= = − . 
 
 
9) A pintura mostrada na Figura 13.28 
tem altura h 3m= e está pendurada em 
uma galeria de arte de forma que o 
lado de baixo está a uma distância 
d 1m= acima do olho do observador. 
A que distância deve ficar o 
observador para obter a melhor visão? 
 
 Figura 13.28 
Solução 
Considerando x como a distância do olho do observador à parede em que está 
pendurada a pintura e sendo θ e α os ângulos no vértice oposto ao quadro, podemos 
escrever: 
h d 4
tg ( )
x x
+θ + α = = e d 1tg
x x
α = = . 
Assim, usando a tangente da diferença de ângulos, temos: 
2
2 2
4 1
3 x 3xx xtg tg[( ) ] tg4 1 x x 4 x 41
x x
−
θ = θ + α − α = ⇒ θ = ⋅ =
+ ++ ⋅
 
Derivando a função tangente, obtemos: 
2 2
2
2 2 2 2
d 3 (x 4) 2x 3x 3x 12
sec
d x (x 4) (x 4)
θ ⋅ + − ⋅ − +θ⋅ = =
+ +
. 
O valor de x que anula esta derivada é 2x 9 0− = 23x 12 0 x 2− = ⇒ = . 
Assim, o observador deve ficar a 2 metros da parede em que está pendurado o quadro 
para obter a melhor visão.