Dimensionamento de Vigas - Roldão Araújo

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Vigas são peças estruturais de eixo reto, submetido a cargas transversais e/ou 
axiais, podendo trabalhar à compressão, tração, cisalhamento, flexão e combinações 
destas solicitações. 
Pré-Dimensionamento: ™ 
vigas isostáticas 
12
la
10
lh = 
vigas contínuas 
15
la
12
lh = 
vigas em balanço 
5
lh = 
™ Seção Transversal (nova norma): a seção transversal das vigas não deve apresentar 
largura menor que 12 cm, e nas vigas parede, menor que 15 cm. Estes limites podem 
ser reduzidos, respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais 
sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições: 
a) alojamento das armaduras, e suas interferências com as armaduras de outros 
elementos estruturais, respeitando os espaçamentos e coberturas estabelecidos nesta 
norma; 
b) lançamento e vibração do concreto de acordo com normas brasileiras específicas e 
com práticas recomendadas. 
Obs.: A norma de 1980 limita a largura mínima das vigas, nervuras das seções T e 
paredes de vigas de seção caixão em 8 cm. 
™ Carregamento: o carregamento das vigas é composto de cargas distribuídas e 
concentradas. 
Cargas concentradas: são resultados de vigas apoiadas sobre vigas ou de pilares que 
apoiam em vigas. 
Cargas distribuídas: são formadas basicamente por três tipos: 
a) 
- 
Peso Próprio da viga: 
Para cada metro de vão tem-se: 
h
1m 
pp = λconc × bw × h × 1,0 = λconc × bw × h 
Ex.: viga → (15×40 cm) 
pp = 2500 × 0,15× 0,40 = 150 kgf/m 
 
b) Reação das lajes: 
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- 
- 
- 
A carga das lajes passa para as vigas como carregamento suposto 
uniformemente distribuído. 
O processo recomendado pela norma é baseado no método plástico de 
cálculo, segundo o qual sob a ação das cargas de ruptura, as lajes dividem-se 
em painéis rígidos, que giram em torno das linhas de ruptura. 
A laje é dividida em área de influência (trapézios e retângulos), por retas 
partindo dos vértices, inclinadas de 45° para apoios de mesmo gênero, e de 
60° a partir do engaste se o outro apoio for simples. No caso de bordo livre, 
traça-se a reta com ângulo de 90° a partir do apoio quando a borda vizinha for 
livre. 
 
área1
área3
área2
área1
área2
área3 área4
 
c) 
- 
 Peso de paredes: 
Para cada metro de parede tem-se: 
1m
halv
b
 
palv = λalv × b × halv × 1,0 = λ alv × b × h 
 
 
 
 
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™ HIPÓTESES BÁSICAS DE CÁLCULO DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO 
SUBMETIDAS A SOLICITAÇÔES NORMAIS NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
→ Hipóteses: Uma seção de concreto armado, submetida à solicitações normais, 
alcança o Estado Limite Último por esmagamento do concreto na zona comprimida ou 
por deformação plástica excessiva do aço. 
Solicitações normais: são esforços solicitantes que originam tensões normais sobre a 
seção transversal, momento fletor e força normal. 
O alongamento último da armadura é limitado em εs = 10‰ para prevenir 
deformação plástica excessiva. 
O estudo de seções de concreto armado no Estado Limite Último de Resistência 
é feito com base nas seguintes hipóteses: 
Manutenção da seção plana (hipótese de Bernoulli): as deformações normais 
específicas são, em cada ponto da seção transversal, proporcionais à sua distância 
à linha neutra. 
9 
9 
9 
Solidariedade perfeita entre os materiais: a deformação da armadura é igual a do 
concreto adjacente. 
A resistência do concreto à tração é desconsiderada. 
→ Relações Constitutivas: 
a) CONCRETO: A distribuição de tensões no concreto tem uma forma não linear, 
devido ao diagrama tensão-deformação do concreto, visualizado na figura abaixo. 
Para finalidades práticas essa distribuição é substituída por um diagrama de tensões 
constante, em uma altura menor. 
 
fc = 0,85 fcd, se “b” não diminui 
0,80 fcd ; caso contrário (seções circulares, triangulares...) 
 
 
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Obs.: Nota-se que o concreto pode sofrer deformações específicas até 3,5‰, sendo 
que entre 2‰ e 3,5‰ a tensão σcd = 0,85fcd já foi alcançada. 
 
b) AÇO - BARRAS: O diagrama indica que o máximo alongamento específico é de 
10‰, e que a deformação mínima necessária para atingir a tensão fyd é de 2,07‰. É 
importante, então, que o aço trabalhe com deformação entre esses dois valores. 
 
0 < εs < εy → fy = Es εs
εy = εyd → fy = fyd
εyd = 2,07‰ 
 
O módulo de deformação longitudinal do aço é Es = 210GPa. 
™ Dimensionamento à Flexão: 
No concreto armado faz-se o dimensionamento para flexão na situação de 
Estado Limite Último, onde procura-se utilizar os materiais em sua máxima capacidade, 
com o emprego adequado de coeficientes de majoração de esforços e de minoração de 
tensões. Nestas condições uma peça em concreto (laje ou viga), sujeita a um momento 
fletor M, será dimensionada permitindo-se a ruptura do concreto à tração. Os esforços 
de tração produzidos pelo momento serão absorvidos pela armação e os de 
compressão absorvidos pelo concreto. 
Através de teoria apropriada determina-se o momento resistente último, Mu. 
A segurança adequada existe quando é verificada a condição: Md ≤ Mu. Por 
razões de economia, faz-se Md = Mu. 
→ Tipos de Ruptura na Flexão: em geral, tem-se os seguintes tipos de ruptura: 
9 se As = 0, ou muito pequena ⇒ ruptura frágil (brusca) por tração no concreto; 
9 se As for muito grande (pequena deformação εs) ⇒ ruptura frágil (brusca) por 
esmagamento do concreto comprimido; e 
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9 se As for “adequada” ⇒ ruptura dúctil (com aviso), com escoamento da armadura e 
acompanhada de intensa fissuração da zona tracionada. 
 
→ Seção Retangular com Armadura Simples: uma seção retangular com armadura 
simples é caracterizada da seguinte forma: 
9 A zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular; 
9 As barras que constituem a armadura estão agrupadas junto à borda tracionada e 
podem ser imaginadas concentradas no seu centro de gravidade. 
 
Resultantes das tensões: (σ = F/A → F = σ ⋅ A) 
no concreto: Rcd = 0,85⋅fcd⋅b⋅0,8⋅x = 0,68⋅b⋅x⋅fcd (força de compressão no concreto) 
na armadura: Rsd = As⋅σsd (força de tração no aço) 
Equações de equilíbrio: 
de força: Rcd = Rsd ou 0,68⋅b⋅x⋅fcd = As⋅σsd 
de momento: Md = Rcd⋅(d - 0,4⋅x) ou Md = Rsd⋅(d - 0,4⋅x) 
Substituindo o valor das resultantes de tensão, vem: 
Md = 0,68⋅b⋅x⋅fcd⋅(d - 0,4⋅x) ou Md = As⋅σsd⋅(d - 0,4⋅x) 
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→ Posição limite da linha neutra: Nas peças fletidas, admite-se que as seções 
transversais permanecem planas, independente das deformações dos materiais. No 
concreto armado, como há deformações diferentes no aço e no concreto, a seção 
transversal plana faz com que a linha neutra possa ocupar qualquer posição dentro da 
altura da viga: 
Se o concreto deformar pouco e o aço se alongar bastante, a linha neutra 
está muito alta na peça. 
9 
9 Se a deformação do aço é pequena, a posição da linha neutra fica mais 
baixa. 
L.N
εs εs
εc εcx
 
L.N
εs εs
εc εc
x
 
A linha neutra mais alta ou mais baixa depende do valor do momento M e das 
dimensõesda viga. Como o momento M produz a força de compressão Rc, quanto 
maior for o momento maior será o Rc. Aumentando-se o valor de Rc o concreto 
necessita de mais área para suportar essa força, e a linha neutra desce, aumentando o 
valor de x. Quanto mais a linha neutra desce, menor é a deformação do aço, e menos 
efetiva é a sua utilização. Com essas considerações, podemos estabelecer um limite 
para o valor de x, que ainda mantenha o aço trabalhando em escoamento. Esse valor 
limite deve levar à seguinte situação: 
Xlimite
dh
εs min = 2,07‰
εc máx = 3,5‰
 
07,25,3
d
5,3
x itelim
+= → d63,0d57,5
5,3x itelim =×= 
kx = x/d → x = kx ⋅ d 
O valor limite, para o aço CA50, será: 
kx = 0,63 
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 Qualquer valor de momento que exija uma área comprimida de profundidade 
maior que 63% da altura útil levará o aço a trabalhar de maneira insuficiente (o concreto 
estará muito solicitado e o aço pouco solicitado). Nessas condições é melhor aumentar 
as dimensões da viga. 
 Na prática do concreto armado é comum o emprego de uma tabela (visto no 
dimensionamento de lajes) que, partindo de dados conhecidos (M, b e h), fornece a 
armadura As para suportar o momento M e indique também a posição da linha neutra. 
Essa tabela nada mais é do que o resultado de um equacionamento deduzido de 
condições de equilíbrio interno de forças Rc e Rt de tensões nos materiais. 
→ Armaduras Longitudinais: 
- 
a) 
b) 
9 
A armadura longitudinal das vigas pode ser constituída de: 
Barras isoladas; 
Feixes formados por 2, 3, ou 4 barras, não sendo permitido feixes de barras de 
diâmetro superior a 25 mm. 
As armaduras longitudinais mínimas nos casos de seção retangular e seção T, 
pode-se considerar como valor dessa área mínima: 
0,15% de bw h, para os aços CA-50 e CA-60. 
 
→ Domínios de deformação: O desenho a seguir mostra as possíveis configurações 
últimas do diagrama de deformações específicas ao longo da seção transversal de uma 
peça de concreto armado sujeita à Solicitações Normais. Define-se domínios de 
deformação conforme a natureza da ruptura da seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ruptura por alongamento plástico excessivo da armadura de tração: 9 
Reta a: tração uniforme 
Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão. O estado limite último é 
caracterizado pelo escoamento do aço (εs = 10‰). 
Domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto 
(εc ≤ 3,5‰). O estado limite último é caracterizado pelo escoamento do aço (εs = 10‰). 
A linha neutra corta a seção. 
Ruptura do concreto comprimido (sem grandes deformações): 9 
Domínio 3: Flexão Simples ou Composta com ruptura à compressão do concreto 
(εc = 3,5‰) e com escoamento do aço (εs ≥ εyd ). A linha neutra corta a seção. 
Domínio 4: Flexão Simples ou Composta com ruptura à compressão do concreto 
(εc = 3,5‰) e sem escoamento do aço (εs < εyd ). A linha neutra corta a seção. A 
ruptura da peça ocorre de forma frágil, sem aviso, pois o concreto rompe antes que a 
armadura tracionada se deforme excessivamente. 
Domínio 4a: Flexão Composta com armaduras comprimidas e ruptura à compressão do 
concreto (εc=3,5‰). A linha neutra corta a seção na região de cobrimento da armadura 
menos comprimida. 
DOMÍNIO 5: Compressão não uniforme, sem tração. A linha neutra não corta a seção. 
Neste domínio, a deformação última do concreto é variável, sendo igual a εc = 2‰ na 
compressão uniforme e εc = 3,5‰ na flexo-compressão (linha neutra tangente à seção). 
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Reta b: Compressão uniforme 
Obs.: As peças projetadas no DOMÍNIO 3. São as que melhor aproveitam as 
resistências dos materiais; portanto, são as mais econômicas. 
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