Métodos Numéricos - Sistemas Lineares

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Métodos Numéricos - 2a aula - Prof Cristiane Mota 
 
Revisão - Sistemas lineares 
Regra de Cramer 
Esse método, em geral é usado para resolver sistema linear 3 x 3 ou 
2 x 2 desde que o determinante da matriz dos coeficientes seja 
diferente de zero. 
Considere o sistema linear abaixo: 
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2, 
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 
aij, bi . 
 
A regra de Cramer só pode ser usada quando D porque o valor 
de cada variável é encontrado através de uma fração, na qual D é o 
denominador. 
 
Solução: 
 
 
S = {(3,2,1)} 
 
Ex: 10 x1 + 5 x2 – 3 x3 + 2 x4 = 19 
 6 x2 – 4 x3 + 2 x4 = 0 
 5 x3 – 3 x4 = 5 
 2 x4 = 10 
 
O sistema acima tem como matriz dos coeficientes, uma matriz 
triangular superior. 
Dá para obter o valor de x4 da última equação, depois é só fazer 
retro substituição e assim dá para descobrir o valor de todas as 
outras variáveis. 
S = {(5, 4, 1, 1.6)} 
 
Método de Eliminação de Gauss (Triangularização) 
O método consiste em triangularizar a matriz aumentada do sistema 
e depois fazer retro substituição. Esse métodos pode ser usado para 
sistemas de qualquer ordem. 
Para triangularizar, usam-se as operações elementares abaixo: 
1) trocar duas linhas (Li Lj) 
2) multiplicar uma linha por uma constante real (Li 
3) somar uma linha com um múltiplo de outra linha (Li 
 
Ex: x1 - x2 + 2x3 - x4 = 1 
 2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7 
 3x1 + 2x2 – 3x3 - 2x4 = 4 
 4x1 +3x2 + 2x3 + x4 = 12 
 S = {(1, 2, 1,0)} 
 
 
 
 
 
Para Casa 
1) Ler o Capítulo 1 - Introdução (páginas 1 a 8) do livro FISH, BELYTSCHKO. 
Um primeiro curso em Elementos Finitos, LTC, 2007. 
 
2) Assistir os dois videos disponíveis em http://www.nce.com.br/servicos/ 
 
Entrevistas com Avelino Alves Filho - professor da UNESP (Universidade 
Estadual Paulista) e diretor do NCE (Núcleo de Cálculos Especiais 
Tema: Engenharia preventiva, a previsão do comportamento de um produto 
antes de fazer o seu lançamento. Para a simulação computacional usa-se o 
método dos elementos finitos. 
 
3) Resolver os sistemas lineares abaixo: 
a) 3x + 2y - 5z = 8 
 x - 2y - 3z = - 4 
 2x - 4y - z = - 4 
S = {(3, 2, 1)} 
 
b) 2x + y + 3z = 8 
 4x + 2y + 2z = 4 
 2x + 5y + 3z = - 12 
S = {(2, -5, 3)} 
 
c) 0.25x + 0.5y + z = 0.25 
 0.09x + 0.3y + z = 0.49 
 0.01x + 0.1y + z = 0.81 
S = {(1, -2, 1)} 
 
d) x1 + 3 x2 – x3 + x4 = 5 
 - x2 + 4x3 -2x4 = 0 
 -x3 + 4x4 = 8 
 5x4 = 10 
 
 S = {(33, -10, 0, 2)} 
e) x1 + x2 + x3 + x4 = 0 
 x1 + x2 + x3 - x4 = 4 
 x1 + x2 – x3 + x4 = -4 
 x1 - x2 + x3 + x4 = 2 
 S = {(1, -1, 2,- 2)} 
 
f) 2x1 - x2 = 1 
 -x1 + 2x2 -x3 = 0 
 -x2 + 2x3 - x4 = 0 
 -x3 + 2x4 = 0 
S = {(0.8, 0.6, 0.4, 0.2)}