Métodos Numéricos - Valor Exato e Aproximado

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Métodos Numéricos - 3a aula - Prof Cristiane Mota 
 
Valor exato e valor aproximado 
 
Para trabalhar com números de infinitas casas decimais, 
vamos usar uma aproximação obtida por arredondamento. 
Vamos usar pelo menos 4 casas decimais (desde que não 
prejudique o entendimento). 
 
Ex : 1/3 = 0,333333..... ≈ 0,3333 
 = 3,14159265358979323846... ≈ 3,1416 
 = 1,41421356237309504880168872420... 
representação exata representação aproximada 
 
Ex: Calcule a área de uma circunferência de raio 100m, 
usando as aproximações abaixo: 
 
a) = 3,14 
b) = 3,142 
c) = 3,1416 
 
a) A = r2 = 3,14 . 1002 = 31 400m2 
b) A = r2 = 3,142 . 1002 = 31 420 m2 
c) A = r2 = 3,1416 . 1002 = 31 426 m2 
 
O número não pode ser representado através de um 
número finito de dígitos decimais. Por isso, usamos uma 
aproximação. 
 
Em cada item foi obtido um resultado diferente e isso 
ocorreu por causa da aproximação escolhida para 
 
Qualquer que seja a circunferência, a sua área nunca será 
obtida de forma exata, porque é um número irracional. 
 
Qualquer cálculo que envolva números que não podem ser 
representados através de um número finito de dígitos não 
fornecerá como resultado um valor exato. 
 
Quanto maior o número de dígitos utilizados, melhor será a 
precisão obtida. 
 
Por isso, nesse exemplo, todas as respostas estão 
corretas, porém a melhor aproximação para o valor da 
área da circunferência é aquela obtida em (c). 
 
Para minimizar os erros causados pelos arredondamentos, 
é preferível que use a representação exata (fracionária ou 
) ou a representação aproximada com a quantidade 
máxima de casas decimais (na calculadora cientifica são 9 
digitos) e arredonde só o valor encontrado na resposta 
final. 
 
 
 
 
 
Método dos Elementos Finitos (MEF) 
 
Nesse método numérico é feita a divisão da estrutura para 
calcular os deslocamentos de certos pontos, conhecendo 
as forças aplicadas nesses pontos e sabendo a rigidez da 
estrutura. 
As soluções são formuladas para cada parte e depois são 
combinadas para se obter a solução para toda a estrutura. 
Cada parte é chamada de elemento finito. As extremidades 
de cada elemento finito são pontos chamados de nós. 
 
Ex: Quando a estrutura é uma treliça, cada barra será um 
elemento finito e os pontos onde elas se tocam serão os 
nós. 
Na figura abaixo, os nós são os pontos A, B, C, D, E e F. 
Há forças aplicadas nos nós B, C e D. 
 
 
 
Elemento finito é uma mola 
 
A lei de Hooke relaciona a força aplicada com o 
deslocamento da mola. 
Lei de Hooke F = k x 
F - força aplicada 
k - constante elasticidade / coeficiente de rigidez 
x - deformação da mola 
 
Na mola, tanto as forças aplicadas (tração ou compressão) 
como os deslocamentos são axiais e elas são sempre 
aplicadas nos nós. 
As forças e os deslocamentos são positivos se estiverem 
no sentido positivo do eixo x e negativos, caso contrário. 
 
Suponha que o coeficiente de rigidez k é conhecido. 
1) apenas um nó é móvel 
F1 = k d1 
F1 - força no nó 1, 
d1 - deslocamento do nó 1. 
 
 
2) os dois nós são móveis: 
 
 
Vetor de forças Vetor de deslocamentos 
 Matriz de rigidez 
F1 - força no nó 1, 
F2 - força no nó 2, 
d1 - deslocamento do nó 1, 
d2 - deslocamento do nó 2. 
 
Sistema de equações: 
F1 = k d1 - k d2 
F2 = -k d1 + k d2 
Através do sistema dá para relacionar as forças aplicadas 
com os deslocamentos, sendo conhecida a rigidez da 
estrutura. 
 
Se a estrutura tiver mais de uma mola temos que escrever 
a matriz de rigidez de cada uma delas e depois combiná-
las para escrever a matriz de rigidez da estrutura. 
Se a estrutura tiver m elementos, então haverá m matrizes 
de rigidez, uma para cada elemento. 
Se a estrutura tiver n nós, a ordem da matriz de rigidez da 
estrutura é n x n. 
 
Ex: Considere uma estrutura com duas molas como na 
figura abaixo. 
 
A extremidade esquerda está fixa. 
Uma força de 10kgf/mm é aplicada na extremidade direita. 
Uma força de -4kgf /mm é aplicada no ponto intermediário 
que conecta as duas molas. 
Use valores com pelo menos 4 casas decimais e 
arredondamento, se precisar. 
a) Monte a matriz de rigidez de cada elemento. 
b) Monte a matriz de rigidez da estrutura. 
c) Monte o sistema F = K.d em que K é a matriz de rigidez 
da estrutura, F é o vetor de forças e d é o vetor de 
deslocamentos. 
d) Escreva o sistema de equações. 
e) Resolva o sistema, encontre o valor dos deslocamentos, 
sabendo que k1 = k2 = 1 kgf/mm. 
f) Escreva o vetor de deslocamentos. 
g) Encontre a força de reação. 
h) Escreva o vetor de forças. 
i) Verifique a condição de equilíbrio. 
 
(i) designa o elemento finito i 
i designa o nó i 
ki designa o coeficiente de 
rigidez do elemento finito (i). 
Para casa 
1) Três molas tem constantes elásticas apresentadas na figura 
abaixo. Só há força aplicada no nó 2 e vale 450N. Os nós 1 e 4 
são fixos. 
 
Use valores com pelo menos 4 casas decimais e arredondamento, 
se precisar. 
a) Monte a matriz de rigidez de cada elemento. 
b) Monte a matriz de rigidez da estrutura. 
c) Monte o sistema F = K.d em que K é a matriz de rigidez da 
estrutura, F é o vetor de forças e d é o vetor de deslocamentos. 
d) Escreva o sistema de equações. 
e) Resolva o sistema, encontre o valor dos deslocamentos, 
f) Escreva o vetor de deslocamentos. 
g) Encontre as forças de reação. 
h) Escreva o vetor de forças. 
i) Verifique a condição de equilibrio. 
 
2) Ler o Capítulo 1 - Introdução (páginas 1 a 7) do livro FISH, 
BELYTSCHKO. Um primeiro curso em Elementos Finitos, LTC, 2007. 
 
3) Assistir os videos de entrevistas com o professor Avelino Alves Filho – 
UNESP que estão disponíveis pelo link abaixo: 
http://www.nce.com.br/servicos/