Cap.1 Materiais 2014 Rev. Fev. 2015

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CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 1 
 
 
Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG 
 
Fevereiro 2015 
 
MATERIAIS 
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1.1 – Histórico 
 
O material composto concreto armado surgiu há mais de 150 anos e se trans-
formou neste período no material de construção mais utilizado no mundo, devido 
principalmente ao seu ótimo desempenho, economia e facilidade de produção. Abaixo 
são citadas algumas datas históricas, em termos do aparecimento e desenvolvimento 
do concreto armado e protendido, conforme Rusch (1981). 
 
1824 – O inventor inglês Joseph ASPDIM recebeu a patente de um produto que vinha 
desenvolvendo desde 1811, a partir da mistura, queima e moagem de argila e pó de 
pedra calcária retirado das ruas. Este novo material pulverulento recebeu o nome de 
cimento portland, devido à semelhança do produto final com as pedras encontradas 
na ilha de Portland, ao sul da Inglaterra. 
 
1848/1855 – O francês Joseph-Louis LAMBOT desenvolveu no sul da França, onde 
passava suas férias de verão, um barco fabricado com o novo material, argamassa 
de cimento e areia entremeados por fios de arame. É considerado o inventor do ferro-
cimento (argamassa armada) que deu origem ao hoje conhecido concreto armado. O 
processo de fabricação era totalmente empírico e acreditando estar revolucionando a 
indústria naval, patenteou o novo produto já em 1848, apresentando-o na feira inter-
nacional de Paris em 1855. Infelizmente sua patente não fez o sucesso esperado 
sendo superada pelas patentes posteriores de outro francês, Monier. 
 
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1.2 
 
1861 – O jardineiro (paisagista) e horticultor francês Joseph MONIER foi na realidade 
o único a se interessar pela descoberta de seu compatriota Lambot, vendo neste bar-
co a solução para os seus problemas de confinamento de plantas exóticas tropicais 
durante o inverno parisiense. O ambiente quente e úmido da estufa era favorável ao 
apodrecimento precoce dos vasos feitos até então de madeira. O novo produto além 
de bem mais durável apresentava uma característica peculiar: se o barco era feito 
para não permitir a entrada de água seguramente não permitiria também a sua saída, 
o que se encaixava perfeitamente à busca de Monier. A partir desta data começou a 
produzir vasos de flores com argamassa de cimento e areia, reforçada com uma ma-
lha de aço. Monier além de ser bastante competente como paisagista, possuía um 
forte espírito empreendedor e viu no novo produto grandes possibilidades, passando 
a divulgar o concreto armado inicialmente na França e posteriormente na Alemanha e 
em toda a Europa. Ele é considerado por muitos como o pai do concreto armado. Em 
1875 construiu no castelo de Chazelet, nos arredores de Paris uma ponte de concreto 
armado com 16,5 m de vão por 4m de largura. 
 
1867 – Monier recebe sua primeira patente para vasos de flores de concreto com ar-
maduras de aço. Nos anos seguintes consegue novas patentes para tubos, lajes vi-
gas e pontes. As construções eram construídas de forma empírica mostrando que o 
inventor não possuía uma noção clara da função estrutural das armaduras de aço no 
concreto. 
 
1877 – O advogado, inventor e abolicionista americano Thaddeus HYATT publicou 
seus ensaios com construções de concreto armado. Hyatt já reconhecia claramente o 
efeito da aderência aço-concreto, da função estrutural das armaduras, assim como da 
sua perfeita localização na peça de concreto. 
 
1878 - Monier consegue novas patentes fundamentais que dão origem a introdução 
do concreto armado em outros países. 
 
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1.3 
 
1884 – Duas firmas alemãs FREYTAG & HEISDCHUCH e MARSTENSTEIN & JOS-
SEAUX, compram de Monier os direitos de patente para o sul da Alemanha e reser-
vam-se o direito de revenda para toda a Alemanha. 
 
1886 – As duas firmas alemãs cedem o direito de revenda ao engenheiro G. A. 
WAISS, que funda em Berlim uma empresa para construções de concreto segundo o 
“Sistema Monier”. Realiza ensaios em “Construções Monier” e mostra através de pro-
vas de carga as vantagens econômicas de colocação de barras de aço no concreto, 
publicando estes resultados em 1887. Nesta mesma publicação o construtor oficial 
Mathias KOENEN, enviado aos ensaios pelo governo Prussiano, desenvolve baseado 
nos ensaios, um método de dimensionamento empírico para alguns tipos de “Cons-
truções Monier”, mostrando que conhecia claramente o efeito estrutural das armadu-
ras de aço. Deste modo passa a existir uma base tecnicamente correta para o cálculo 
das armaduras de aço. 
 
1888 – O alemão C. W. F. DÖHRING consegue uma patente segunda a qual lajes e 
vigas de pequeno porte têm sua resistência aumentada através da protensão da ar-
madura, constituída de fios de aço. Surge assim provavelmente pela primeira vez a 
ideia da protensão deliberada. 
 
1900 – A construção de concreto armado ainda se caracterizava pela coexistência de 
sistemas distintos, geralmente patenteados. O professor da Universidade de Stuttgart 
Emil MÖRSCH desenvolve a teoria iniciada por Koenen e a sustenta através de inú-
meros ensaios realizados sobre a incumbência da firma WAISS & FREITAG, a qual 
pertencia. Os conceitos desenvolvidos por Mörsch e publicados em 1902 constituem 
ao longo do tempo e em quase todo o mundo os fundamentos da teoria de dimensio-
namento de peças de concreto armado. 
 
1906 – O alemão LABES concluiu que a segurança contra abertura de fissuras con-
duzia a peças antieconômicas. Koenen propôs em 1907 o uso de armaduras previa-
mente distendidas. Foram realizados ensaios em vigas protendidas relatadas por 
BACH em 1910. Os ensaios mostraram que os efeitos danosos da fissuração eram 
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1.4 
 
eliminados com a protensão. Entretanto Koenen e Mörsch reconheceram já em 1912 
uma perda razoável de protensão, uma vez que o concreto encurta-se com o tempo, 
devido à retração e deformação lenta. 
 
1928 - O francês E. FREYSSINET já havia usado a protensão em 1924. Entretanto só 
em 1928 desenvolveu um processo empregando aços de alta resistência protendidos, 
capazes de provocar tensões de compressão suficientemente elevadas e permanen-
tes no concreto. Estuda as perdas devido à retração e deformação lenta do concreto 
e registra várias patentes sobre o sistema Freyssinet de protensão. É considerado o 
pai do concreto protendido. 
 
 
1.2 – Viabilidade do concreto armado 
 
O concreto armado é um material de construção composto, constituído de concre-
to e barras de aço nele imersas. O funcionamento conjunto dos dois materiais só é 
viabilizado pelas três propriedades abaixo: 
 Aderência aço-concreto – esta talvez seja a mais importante das propriedades 
uma vez que é a responsável pela transferência das tensões de tração não absor-
vidas pelo concreto para as barras da armadura, garantindo assim o perfeito fun-
cionamento conjunto dos dois materiais; 
 Coeficientes de dilatação térmica do aço e doconcreto praticamente iguais – 
esta propriedade garante que para variações normais de temperatura, excetuada 
a situação extrema de incêndio, não haverá acréscimo de tensão capaz de com-
prometer a perfeita aderência aço-concreto; 
 Proteção da armadura contra a corrosão – Esta proteção que está intimamente 
relacionada com a durabilidade do concreto armado acontece de duas formas dis-
tintas: a proteção física e a proteção química. A primeira é garantida quando se 
atende os requisitos de cobrimento mínimo preconizado pela NBR 6118:2014 que 
protege de forma direta as armaduras das intempéries. A proteção química ocorre 
devido à presença da cal no processo químico de produção do concreto, que en-
volve a barra de aço dentro do concreto, criando uma camada passivadora cujo 
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1.5 
 
“ph” se situa acima de 13, criando condições inibidoras da corrosão. Quando a 
frente de carbonatação, que acontece devido à presença de gás carbônico (CO2) 
do ar e porosidade do concreto, atinge as barras da armação essa camada é des-
passivada pela reação química do (CO2) com a cal, produzindo ácidos que abai-
xam o “ph” desta camada para níveis iguais ou inferiores a 11.5, criando as condi-
ções favoráveis para o processo eletroquímico da corrosão se iniciar. A corrosão 
pode acontecer independentemente da carbonatação, na presença de cloretos 
(íons cloro Cl -), ou sulfatos (S - -). 
 
 
1.3 – Vantagens do concreto armado 
 
 Economia – é a vantagem que juntamente com a segunda a seguir, transforma-
ram o concreto em um século e meio no material para construção mais usado no 
mundo; 
 Adaptação a qualquer tipo de forma ou fôrma e facilidade de execução – a produ-
ção do concreto não requer mão de obra especializada e com relativa facilidade 
se consegue qualquer tipo de forma propiciada por uma fôrma de madeira; 
 Estrutura monolítica – (monos – única, litos – pedra) esta propriedade garante à 
estrutura de concreto armado uma grande reserva de segurança devido ao alto 
grau de hiperestaticidade propiciado pelas ligações bastante rígidas das peças de 
concreto. Além disso, quando a peça está submetida a um esforço maior que a 
sua capacidade elástica resistente, ela ao plastificar, promove uma redistribuição 
de esforços, transferindo às peças adjacentes a responsabilidade de absorver o 
esforço; 
 Manutenção e conservação praticamente nulas – a ideia que a estrutura de con-
creto armado é eterna não é mais aceita no meio técnico, uma nova mentalidade 
associa à qualidade de execução do concreto, em todas as suas etapas, um pro-
grama preventivo de manutenção e conservação. Naturalmente quando compara-
do com outros materiais de construção esta manutenção e conservação aconte-
cem em uma escala bem menor, sem prejuízo, no entanto da vida útil das obras 
de concreto armado; 
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1.6 
 
 Resistência a efeitos térmico-atmosféricos e a desgaste mecânico. 
 
1.4 – Desvantagens do concreto armado 
 
 Peso próprio – a maior desvantagem do concreto armado é seguramente o seu 
grande peso próprio que limita a sua utilização para grandes vãos, onde o concre-
to protendido ou mesmo a estrutura metálica passam a ser econômica e tecnica-
mente mais viáveis. A sua massa específica é dada pela NBR 6118:2014 como 
2500 kg/m3; 
 Dificuldade de reformas e demolições - hoje amenizada com tecnologias avança-
das e equipamentos modernos que facilitam as reformas e demolições; 
 Baixo grau de proteção térmica – embora resista normalmente à ação do fogo a 
estrutura de concreto necessita de dispositivos complementares como telhados e 
isolamentos térmicos para proporcionar um conforto térmico adequado à constru-
ção; 
 Fissuração – a fissuração que é um fenômeno inevitável nas peças tracionadas de 
concreto armado, devido ao baixo grau de resistência à tração do concreto, foi por 
muitas décadas considerada uma desvantagem do material. Já a partir do final da 
década de setenta, este fenômeno passou a ser controlado, baseado numa redis-
tribuição das bitolas da armadura de tração, em novos valores de cobrimentos mí-
nimos e até mesmo na diminuição das tensões de serviço das armaduras, pelo 
acréscimo das mesmas. Cabe salientar que a fissuração não foi eliminada, ape-
nas controlada para valores de aberturas máximas na face do concreto de tal for-
ma a não comprometer a vida útil do concreto armado e também a estética. 
 
 
1.5 – Concreto 
 
 O concreto é uma mistura em proporção adequada (traço) dos materiais ci-
mento, agregados (areia e brita) e água resultando em um novo material de constru-
ção, cujas características do produto final diferem substancialmente daquelas dos 
materiais que o constituem. 
 
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1.7 
 
1.5.1 – Propriedades mecânicas do concreto 
 
1.5.1.1 - Resistência à compressão 
 
A resistência mecânica do concreto à compressão, devido a sua função estru-
tural assumida no material composto concreto armado, é a principal propriedade 
mecânica deste material a ser analisada e estudada. Esta propriedade é obtida atra-
vés de ensaios de compressão simples realizados em corpos de provas (CPs), com 
dimensões e procedimentos previamente estabelecidos em normas nacionais e es-
trangeiras. 
 
A resistência à compressão depende basicamente de dois fatores: a forma do 
corpo de prova e a duração do ensaio. O problema da forma é resolvido estabele-
cendo-se um corpo de prova cilíndrico padronizado, com 15 cm de diâmetro e 30 cm 
de altura, que é recomendado pela maioria das normas do mundo, inclusive as bra-
sileiras. 
 
Em outros países, como por exemplo, a Alemanha, adota-se um corpo de 
prova cúbico de aresta 20 cm, que para um mesmo tipo de concreto fornece resis-
tência à compressão ligeiramente superior ao obtido pelo cilíndrico. Isto se deve a 
sua forma, onde o efeito do atrito entre as faces do corpo de prova carregadas e os 
pratos da máquina de ensaio, confina de forma mais efetiva o CP cúbico que o cilín-
drico, devido a uma maior restrição ao deslocamento transversal das faces carrega-
das. Adota-se neste caso um fator redutor igual a 0,85, que quando aplicado ao CP 
cúbico transforma seus resultados em valores equivalentes aos do CP cilíndrico, po-
dendo assim ser usada a vasta bibliografia alemã sobre o assunto. 
 
Normalmente o ensaio de compressão em corpos de prova é de curta dura-
ção e sabe-se a partir dos trabalhos realizados pelo alemão Rüsch, que o resultado 
deste ensaio é ligeiramente superior ao obtido quando o ensaio é de longa duração. 
Isto se deve a microfissuração interna do concreto, que se processa mesmo no con-
creto descarregado, e que no ensaio de longa duração tem seu efeito ampliado de-
vido à interligação entre as microfissuras, diminuindo assim a capacidade resistente 
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1.8 
 
do CP à compressão. Uma vez que grande parcela do carregamento que atua em 
uma estrutura é de longa duração os resultados do ensaio de curta duração devem 
ser corrigidos por um fator, denominado Coeficientede Rüsch, igual a 0,85. 
 
1.5.1.2 - Resistência característica do concreto a compressão - fck 
 
Quando os resultados dos ensaios a compressão de um grande número de 
CPs são colocados em um gráfico, onde nas abscissas são marcadas as resistên-
cias obtidas e nas ordenadas a frequência com que as mesmas ocorrem, o gráfico 
final obedece a uma curva normal de distribuição de frequência, ou curva de Gauss. 
 
Observa-se neste gráfico que a resistência que apresenta a maior frequência 
de ocorrência é a resistência média fcj, aos “j” dias, e que o valor equidistante entre a 
resistência média e os pontos de inflexão da curva é o desvio-padrão “s” (ver fig. 1.1), 
cujos valores são dados respectivamente por: 
 
 
n
f
f
ci
cj


 (1.1) 
 
  
1n
ff
s
2
cjci



 (1.2) 
 
Onde n é o número de CPs e fci é a resistência à compressão de cada CP “i”. 
 
A área abaixo da curva é igual a 1. Um valor qualquer da resistência marcado 
no eixo das abscissas divide esta área em duas outras que representam as probabi-
lidades de ocorrência de valores maiores ou menores que este. Do lote de CPs en-
saiados a resistência a ser utilizada nos cálculos é baseada em considerações pro-
babilísticas, considerando-se em âmbito mundial a resistência característica fck do 
lote de concreto ensaiado aquela abaixo da qual só corresponde um total de 5% dos 
resultados obtidos, ou seja, um valor com 95% de probabilidade de ser ultrapassado 
(ver fig. 1.1). 
 
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1.9 
 
Para um quantil de 5% obtém-se a partir da curva de Gauss: 
 
sff cjck 645,1
 (1.3) 
 
A partir de resultados de ensaios feitos em um grande número de obras e em 
todo o mundo percebe-se que o desvio-padrão “s” é principalmente dependente da 
qualidade de execução e não da resistência do concreto. A NBR-12655:2006 que 
trata do preparo, controle e recebimento do concreto, define que o cálculo da resis-
tência de dosagem deve ser feito segundo a equação: 
 
dckcj sff 645,1
 (1.4) 
 
Onde sd representa o desvio-padrão de dosagem. 
 
 
 
Figura 1.1 – Curva de Gauss para CPs de concreto ensaiados à compressão 
 Resistência característica fck 
 
 
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1.10 
 
De acordo com a NBR-12655:2006 o cálculo da resistência de dosagem do 
concreto depende, entre outras variáveis, da condição de preparo do concreto, defi-
nida a seguir: 
 Condição A (aplicável às classes C10 - fck=10 MPa, até C80 – fck=80 MPa): o 
cimento e o os agregados são medidos em massa, a água de amassamento é 
medida em massa ou volume com dispositivo dosador e corrigida em função da 
umidade dos agregados; 
 Condição B 
(aplicável às classes C10 até C25): o cimento é medido em massa, a água de 
amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados 
medidos em massa combinada com volume, de acordo com o exposto em 6.2.3; 
(aplicável às classes C10 até C20): o cimento é medido em massa, a água de 
amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados 
medidos em volume. A umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos 
três vezes durante o serviço do mesmo turno de concretagem. O volume de 
agregado é corrigido através da curva de inchamento estabelecida especifica-
mente para o material utilizado; 
 Condição C (aplicável apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento é 
medido em massa, os agregados são medidos em volume, a água de amassa-
mento é medida em volume e a sua quantidade é corrigida em função da estima-
tiva da umidade dos agregados e da determinação da consistência do concreto, 
conforme disposto na NBR 7223, ou outro método normalizado ( A NBR 
7223:1992 foi cancelada e substituída pela NBRNM 67:1998). 
 
Ainda de acordo com a NBR-12655:2006, no início da obra ou em qualquer 
outra circunstância em que não se conheça o valor do desvio-padrão sd, deve-se 
adotar para o cálculo da resistência de dosagem os valores apresentados na tabela 
1.1, de acordo com a condição de preparo, que deve ser mantida permanentemente 
durante a construção. Mesmo quando o desvio-padrão seja conhecido, em nenhum 
caso o mesmo pode ser adotado menor que 2 MPa. 
 
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1.11 
 
Tabela 1.1 – Desvio- padrão a ser adotado em função da 
condição de preparo do concreto (NBR 12655:2006) 
 
Condição Desvio-
padrão (MPa) 
A 4,0 
B 5,5 
 C1) 7,0 
 
1) Para condição de preparo C, e enquanto não se conhece o desvio-padrão, exige-
se para os concretos de classe C15 um consumo mínimo de 350 Kg de cimento por 
metro cúbico. 
 
1.5.1.3 - Módulo de elasticidade longitudinal 
 
O módulo de elasticidade longitudinal para um ponto qualquer do diagrama 
x (tensão x deformação) é obtido pela derivada (d /d ) no ponto considerado, que 
representa a inclinação da tangente à curva no ponto. De todos os módulos tangen-
tes possíveis o seu valor na origem tem grande interesse, uma vez que as tensões 
de serviço na estrutura são da ordem de 40% da tensão de ruptura do concreto, e 
neste trecho inicial o diagrama x é praticamente linear. De acordo com o item 
8.2.8 da NBR-6118:2014 o módulo de elasticidade ou módulo de deformação tan-
gente inicial é dado por: 
 
 
ckEci f5600αE 
 para fck ≤ 50 MPa (1.5a) 
 
 
3 ck
E
3
ci 1,25
10
f
α21,5x10E 
 para fck > 50 MPa (1.5b) 
 
Sendo 
 αE = 1,2 para basalto e diabásio 
 αE = 1,0 para granito e gnaisse 
 αE = 0,9 para calcário 
 αE = 0,7 para arenito 
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1.12 
 
Onde 
Eci e fck são dados em megapascal (MPa). 
 
O módulo de deformação secante a ser utilizado nas análises elásticas de 
projeto, principalmente para determinação dos esforços solicitantes e verificação dos 
estados limites de serviço, pode ser estimado pela expressão: 
 
 
ciics EαE 
 (1.6a) 
Sendo 
 
1,0
80
f
0,20,8α cki 
 (1.6b) 
 
1.5.1.4 - Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal 
 
De acordo com o item 8.2.9 da NBR-6118:2014 para tensões de compressão 
inferiores a 50% de fc (ruptura à compressão) e para tensões inferiores a resistência 
à tração fct, o coeficiente de Poisson (relação entre a deformação transversal e longi-
tudinal) e o módulo de elasticidade transversal são dados respectivamente por: 
 
  = 0,2 (1.7) 
 
 
  cs
cscs
c 0,42E
2,4
E
ν
E
G 


12
 (1.8) 
 
1.5.1.5 - Diagrama tensão-deformação (x ) 
 
Conforme o item 8.2.10 da NBR-6118:2014 o diagrama x na compressão 
para tensões inferiores a 0,5 fc pode ser adotado como linear e as tensões calcula-
das com a lei de Hooke, com o módulo de elasticidade igual ao secante Ecs. 
 
Para os estados limites últimos o diagrama x na compressão apresentado 
na figura (1.2) abaixo é um diagrama idealizado, onde se nota dois trechos distintos, 
o primeiro curvo segundo umaparábola de grau “n”, com deformações inferiores a 
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1.13 
 
εc2 e o segundo constante, com deformações variando de εc2 a εcu. Para o trecho 
curvo a tensão no concreto é dada por: 
 
 















n
c2
c
cdc
ε
ε
110,85fσ
 (1.9a) 
 
Onde fcd representa a resistência de cálculo do concreto dada no item 12.3.3 
da NBR 6118:2014 mostrada adiante no item 1.8, a potência “n” é dada na figura 
1.2 em função dos grupos de resistência I (C20 a C50) e II (C55 a C90). 
 
O valor da resistência no trecho constante é igual a σc = 0,85 fcd (o valor do 
coeficiente 0,85 só muda quando se adota o diagrama retangular simplificado). 
 
 
Figura 1.2 - Diagrama tensão-deformação idealizado (compressão) 
 (Adaptada da Fig. 8.2 da NBR 6118:2014) 
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1.14 
 
Os valores a serem adotados para os parâmetros εc2 (deformação específica 
de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e εcu (deformação espe-
cífica de encurtamento do concreto na ruptura) são os seguintes: 
 
εc2 = 2‰ 
 concretos de classes até C50 (1.9b) 
εcu = 3,5‰ 
 
εc2 = 2‰ + 0,085‰ (fck – 50)
0,53 
 concretos de classes C55 até C90 (1.9c) 
εcu = 2,6‰ + 35‰ x [ (90 – fck) / 100 ]
4 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 - Diagramas tensão-deformação parábola-retângulo 
 
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1.15 
 
1.5.1.6 - Resistência à tração 
 
Conforme o item 8.2.5 da NBR-6118:2014 os conceitos relativos à resistência 
a tração direta do concreto fct são análogos aos do item anterior relativo à compres-
são. Assim tem-se a resistência média do concreto à tração fctm e a resistência ca-
racterística do concreto à tração fctk, ou simplesmente ftk. Este valor tem 95% de 
probabilidade de ser superado pelos resultados do lote de concreto ensaiado. Na 
tração, o diagrama x é bilinear conforme a figura (1.4) mostrada a seguir. 
 
Enquanto na compressão o ensaio usado é o da compressão direta, na tração 
são normalizados três ensaios: tração direta, tração indireta (compressão diametral) 
e tração na flexão. O ensaio de compressão diametral, conhecido mundialmente 
como ensaio brasileiro por ter sido desenvolvido pelo Prof. Lobo Carneiro, é o 
mais utilizado, o mais simples e fornece resultados mais homogêneos e ligeiramente 
superiores ao da tração direta. 
 
 
 
Figura 1.4 - Diagrama tensão-deformação bilinear na tração 
 (Adaptada da Fig. 8.3 da NBR 6118:2014) 
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1.16 
 
O valor da resistência à tração direta pode ser considerado igual a: 
 
 fct = 0,9 fct,st (1.10) 
ou 
 fct = 0,7 fct,f (1.11) 
 
 
Onde fct,st é a resistência a tração indireta e fct,f é a resistência a tração na flexão. 
Na falta desses valores pode-se obter a resistência média à tração dada por: 
 
fct,m = 0,3 (fck)
2/3 (MPa) P/ concretos de classes até C50 (1.12a) 
 
fct,m = 2,12 ln(1+0,11fck) (MPa) P/ concretos de classes C55 até C90 (1.12b) 
 
 
Os valores da resistência característica a tração fctk inferior e superior, usa-
dos em situações especificas, são dados por: 
 
 0,21 (fck)
2/3 (MPa) até C50 
fctk,inf = 0,7 fct,m = (1.13a) 
 1,484 ln (1 + 0,11fck) (MPa) C55 até C90 
 
 0,39 (fck)
2/3 (MPa) até C50 
fctk,sup = 1,3 fct,m = (1.13b) 
2,756 ln (1 + 0,11fck) (MPa) C55 até C90 
 
1.5.2 – Características reológicas do concreto 
 
Segundo o dicionário Aurélio reologia é “parte da física que investiga as pro-
priedades e o comportamento mecânico dos corpos deformáveis que não são nem 
sólidos nem líquidos”. As características reológicas do concreto que interessam ao 
estudo do concreto armado são: 
 
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1.17 
 
1.5.2.1 - Retração (shrinkage) 
 
A retração no concreto é uma deformação independente do carregamento e, 
portanto, de direção sendo, pois uma deformação volumétrica que ocorre devido à 
perda de parte da água dissociada quimicamente do processo de produção do con-
creto, quando este “seca” em contato com o ar. Segundo a NBR 6118:2014 depen-
de da umidade relativa do ambiente, da consistência do concreto no lançamento e 
da espessura fictícia da peça. 
 
A deformação específica de retração do concreto  cs pode ser calculada con-
forme indica o anexo A da NBR 6118:2014. Na grande maioria dos casos, permite-
se que ela seja calculada simplificadamente por meio da tabela 1.2. Esta tabela for-
nece os valores característicos superiores da deformação específica de retração en-
tre os instantes to e t,  cs(t, to) e do coeficiente de fluência φ(t,t0), em função da 
umidade média ambiente e da espessura equivalente ou fictícia da peça em , dada 
por: 
 
u
2A
e cm 
 (cm) (1.14) 
 
Onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com a 
atmosfera. 
 
Os valores desta tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10 oC 
e 20 oC, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0 oC e 40 oC. Estes va-
lores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum. 
 
Nos casos correntes das obras de concreto armado o valor da deformação 
específica devido à retração pode ser adotado igual a  cs(t, to) = –15x10
-5, satisfa-
zendo ao mínimo especificado na NBR-6118:2014 em função da restrição à retração 
do concreto imposta pela armadura. Este valor admite elementos estruturais com 
dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm, sujeitos a umidade relativa do ar não infe-
rior a 75%. O valor característico inferior da retração do concreto é considerado nulo. 
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1.18 
 
1.5.2.2 - Fluência (creep) 
 
A fluência é uma deformação que depende do carregamento e é caracteriza-
da pelo aumento da deformação imediata ou inicial, mesmo quando se mantém 
constante a tensão aplicada. Devido a esta deformação imediata ocorrerá uma redu-
ção de volume da peça, provocando este fato uma expulsão da água quimicamente 
inerte, de camadas mais internas para regiões superficiais da peça, onde a mesma 
já tenha se evaporado. Isto desencadeia um processo, ao longo do tempo, análogo 
ao da retração, verificando-se desta forma um crescimento da deformação inicial, 
até um valor máximo no tempo infinito. 
 
Da mesma forma que na retração, as deformações decorrentes da fluência do 
concreto podem ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR-6118:2014. 
Nos casos em que a tensão inicial, aplicada notempo to não varia significativamen-
te, permite-se que essas deformações sejam calculadas simplificadamente pela ex-
pressão: 
 









(28)E
)t(t
)(tE
1
)(tσεε)t(tε
ci
0,
0ci
0cccci0,c
 (1.15) 
Onde: 
-  c(t, to) é a deformação específica total do concreto entre os instantes to e t; 
- εci é a deformação inicial produzida pela tensão σc(t0); 
- εcc é a deformação devido à fluência; 
- c(t0) é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em t0; 
- Eci(t0) é o modulo de deformação longitudinal calculado na idade do carrega-
mento j=t0 pelas expressões (1.5a) e (1.5b); 
- Eci(28) é o modulo de elasticidade longitudinal calculado na idade t=28 dias 
pelas expressões (1.5a) e (1.5b); 
- (t, t0) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por car-
regamento aplicado em t0. 
 
 
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1.19 
 
Tabela 1.2-Valores característicos superiores da deformação especifica de re-
tração εcs(t,t0) e do coeficiente de fluência φ(t,t0) (Tab. 8.2 da NBR6118:2014) 
 Umidade media 
ambiente (%) 
40 55 75 90 
Espessura fictí-
cia 
2 Ac/u (cm) 
 20 60 20 60 20 60 20 60 
φ(t,to) 
C20 a 
C45 
to 
dias 
5 4,6 3,8 3,9 3,3 2,8 2,4 2,0 1,9 
30 3,4 3,0 2,9 2,6 2,2 2,0 1,6 1,5 
60 2,9 2,7 2,5 2,3 1,9 1,8 1,4 1,4 
φ(t,to) 
C50 a 
C90 
5 2,7 2,4 2,4 2,1 1,9 1,8 1,6 1,5 
30 2,0 1,8 1,7 1,6 1,4 1,3 1,1 1,1 
60 1,7 1,6 1,5 1,4 1,2 1,2 1,0 1,0 
εcs(t,to) 
‰ 
5 -0,53 -0,47 -0,48 -0,43 -0,36 -0,32 -0,18 -0,15 
30 -0,44 -0,45 -0,41 -0,41 -0,33 -0,31 -0,17 -0,15 
60 -0,39 -0,43 -0,36 -0,40 -0,30 -0,31 -0,17 -0,15 
 
O valor de (t, t0) pode ser calculado simplificadamente por interpolação da 
tabela 1.2. Esta tabela fornece o valor característico superior do coeficiente de fluên-
cia (t, t0). O seu valor característico inferior é considerado nulo. 
 
1.5.2.3 - Variação de temperatura 
 
A variação da temperatura ambiente não se transmite imediatamente ao con-
creto, tendo uma ação retardada sobre a sua própria variação de temperatura, devi-
do ao baixo grau de condutibilidade térmica do concreto. Quanto mais interno estiver 
o ponto considerado menor será sua variação de temperatura em função da tempe-
ratura ambiente. 
 
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1.20 
 
Segundo a NBR 6118:2014, para efeito de análise estrutural, o coeficiente de 
dilatação térmica do concreto pode ser admitido como sendo igual a αc = 10
-5/°C. 
 
Considerando o mínimo especificado na NBR-6118:2014 para a deformação 
específica do concreto devido à retração  cs(t, to) = –15x10
-5, isto equivale a uma 
diminuição uniforme de temperatura igual a 150C. 
 
 
1.6 – Aço 
 
O aço é uma liga metálica composta basicamente de ferro e de pequenas 
quantidades de carbono, com percentuais variando de 0,03% a 2%, que lhe confere 
maior ductilidade possibilitando que o mesmo não se quebre quando é dobrado para 
execução das armaduras. Os teores de carbono para aços estruturais utilizados na 
construção civil variam de 0,18% a 0,25%. 
 
A armadura usada nas peças de concreto armado é chamada passiva e a 
usada na protensão do concreto protendido é chamada ativa. 
 
1.6.1 – Categoria 
 
Para aplicação estrutural o aço produzido inicialmente nas aciarias precisa ser 
modificado, o que acontece por meio de dois tipos de tratamento: a quente e a frio. 
O tratamento a quente consiste na laminação, forjamento ou estiramento do aço 
acima da temperatura crítica, em torno de 720 oC. Os aços assim produzidos apre-
sentam maior trabalhabilidade, podem ser soldados com solda comum e apresentam 
diagrama tensão-deformação com patamar de escoamento bem definido. Estão in-
cluídos neste grupo os aços CA 25 e CA 50. 
 
O tratamento a frio ou encruamento é obtido por uma deformação imposta ao 
aço por meio de tração, compressão ou torção abaixo da temperatura crítica, impri-
mindo basicamente ao mesmo um aumento da sua resistência mecânica. O aço CA 
60 pertence a este grupo, que apresenta um diagrama tensão-deformação sem pa-
tamar de escoamento. 
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1.21 
 
Segundo a NBR 7480:1996 o aço a ser usado nos projetos de estruturas de 
concreto armado deve ser classificado nas categorias CA 25, CA 50 e CA 60, em 
que CA significa Concreto Armado e o número representa o valor característico da 
resistência de escoamento do aço, fyk, em kN/cm
2 ou kgf/mm2. 
 
A NBR 7480:1996 classifica como barra o aço produzido exclusivamente por 
laminação a quente com bitola nominal maior ou igual a 5 mm e como fio o produzi-
do por laminação a frio (trefilação ou equivalente) com bitola nominal não superior a 
10 mm (tabela 1.3).Os valores nominais dos diâmetros, das áreas das seções trans-
versais e da massa por metro são os estabelecidos pela NBR-7480:1996, cujos va-
lores mais usados estão indicados na tabela 1.4, abaixo. 
 
Para se obter a massa por unidade de comprimento (kg/m) das barras basta 
multiplicar a área da seção transversal por 1m de comprimento (que dá o volume da 
barra por metro) , vezes a massa específica do aço. Assim, por exemplo, para a bar-
ra com bitola igual a 8 mm a área da seção transversal é igual a π x (8x10 -3 m)2 / 4 = 
0,503x10-4 m2 = 0,503 cm2 e a massa por unidade de comprimento é (0,503x10-4 
m2) x (1 m) x (7850 kg/m) = 0,503 x 0,785 = 0,395 kg/m. A massa específica do aço 
é dada no item 1.6.3 a seguir. 
 
Tabela 1.3 – Diâmetros nominais de barras e fios - NBR 7480:1996 
BARRAS Φ≥ 5 mm - LAMINAÇÃO A QUENTE - AÇOS CA-25 E CA-50 
 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 32 40 
 FIOS Φ≤ 10 mm – LAMINAÇÃO A FRIO – AÇO CA-60 
 2,4 3,4 3,8 4,2 4,6 5,0 5,5 6,0 6,4 7,0 8,0 9,5 10 
 
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1.22 
 
 Tabela 1.4 – Valores nominais para fios e barras de aço 
Diâmetro nomi-
nal 
(mm) 
Massa 
Nominal 
(kg/m) 
Área nominal 
da seção 
(cm2) 
Fios Barras 
5,0 5,0 0,154 0,196 
6,0 0,222 0,283 
 6,3 0,245 0,312 
6,4 0,253 0,322 
7,0 0,302 0,385 
8,0 8,0 0,395 0,503 
9,5 0,558 0,709 
10,0 10,0 0,617 0,785 
- 12,5 0,963 1,227 
- 16 1,578 2,011 
- 20,0 2,466 3,142 
- 22,0 2,984 3,801 
- 25,0 3,853 4,909 
- 32,0 6,313 8,042 
- 40,0 9,865 12,566 
 
 
 
 
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1.23 
 
1.6.2 – Tipo de superfície 
 
Os fios e barras podem ser lisos, entalhados ou providos de saliências ou 
mossas. Para cada categoria de aço, o coeficiente de aderência deve atender ao 
indicado na NBR-6118:2014. 
 
Para os efeitos desta norma, a capacidade aderente entre o aço e o concreto 
está relacionada ao coeficiente de aderência 1, listados na tabela 1.5. 
 
 Tabela 1.5 – Valor do coeficientede aderência η1 
 (Tabela 8.3 da NBR 6118:2014) 
 
Tipo de superfície η1 
Lisa (CA 25) 1,00 
Entalhada (CA 60) 1,40 
Nervurada (CA 50) 2,25 
 
 
1.6.3 – Massa específica e propriedades mecânicas do aço 
 
Para a massa específica do aço da armadura passiva pode ser adotado o 
valor s = 7850 kg/m
3. O valor do coeficiente de dilatação térmica, para intervalos 
de temperatura entre -20 oC e 150 oC pode ser adotado como αs = 10
-5/ oC. O módu-
lo de elasticidade, na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, pode 
ser admitido igual a: 
Es = 210 GPa = 21000 kN/cm
2 = 2100000 kqf/cm2. 
 
1.6.4 – Diagrama tensão-deformação 
 
O diagrama tensão-deformação do aço, os valores característicos das resis-
tências ao escoamento fyk e à tração (ruptura) fstk, e da deformação última de ruptu-
ra u devem ser obtidos de ensaios de tração realizados segundo a NBR ISO-
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1.24 
 
6892:2002. O valor de fyk para os aços sem patamar de escoamento é o valor da 
tensão correspondente à deformação permanente de 2 ‰ . 
 
Para cálculo nos estados limites de serviço e último pode-se utilizar o diagra-
ma tensão-deformação simplificado mostrado na figura (1.5) abaixo, para os aços 
com ou sem patamar de escoamento. 
 
 
Figura 1.5 – Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras 
 passivas (Adaptada da fig. 8.4 da NBR 6118:2014) 
 
 
1.7 – Definições da NBR 6118:2014 
 
Concreto estrutural – termo que se refere ao espectro completo das aplicações do 
concreto como material estrutural. 
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1.25 
 
Elementos de concreto simples estrutural – elementos estruturais produzidos 
com concreto sem nenhuma armadura, ou quando a possui é em quantidades inferi-
ores aos mínimos estabelecidos nesta norma. 
 
Elementos de concreto armado – elementos estruturais produzidos com concreto 
cujo comportamento estrutural depende da perfeita aderência aço-concreto e onde 
não se aplicam alongamentos iniciais nas armaduras, antes da materialização desta 
aderência. 
 
Elementos de concreto protendido – elementos estruturais produzidos com con-
creto onde parte da armadura é previamente alongada por equipamentos especiais 
de protensão com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fis-
suração e os deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de 
aços de alta resistência no ELU ( estado limite último). 
 
Armadura passiva – qualquer armadura que não seja usada para produzir forças 
de protensão, ou seja, armadura utilizada no concreto armado. 
 
Armadura ativa (de protensão) – armadura constituída por barras, fios isolados ou 
cordoalhas, destinada a produzir forças de protensão, isto é, armaduras com pré-
alongamento inicial. 
 
Estados limites da NBR 6118:2014 (itens 3.2 e 10.3) 
 
 Estado limite último (ELU) – estado limite relacionado ao colapso, ou a qual-
quer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da es-
trutura. 
1. estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como 
corpo rígido; 
2. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura 
no seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais; 
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1.26 
 
3. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura 
no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem; 
4. estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; 
5. estado limite último de colapso progressivo; 
6. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutu-
ra, no seu todo ou em parte, considerando exposição ao fogo, conforme a 
NBR 15200; 
7. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutu-
ra, considerando ações sísmicas, de acordo a NBR 15421; 
8. outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em ca-
sos especiais. 
 
 Estados limites de serviço (ELS) 
1. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F) – estado em que se inicia a 
formação de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando 
a tensão máxima de tração na seção transversal for igual a fct,f , já definida 
anteriormente como a resistência característica à tração do concreto na 
flexão. 
2. Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) – estado em que as fissu-
ras se apresentam com aberturas iguais aos máximos estabelecidos nesta 
norma. 
3. Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) – estado em que as 
deformações atingem os limites estabelecidos para utilização normal es-
pecificados nesta norma. 
4. Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE) – estado em que as vi-
brações atingem os limites estabelecidos para utilização normal da cons-
trução. 
 
 
 
 
 
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1.27 
 
1.8 – Ações 
 
Conforme a NBR 6118:2014 na análise estrutural deve ser considerada a in-
fluência de todas as ações (designada genericamente pela letra F) que possam pro-
duzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em 
conta os possíveis estados limites últimos e os de serviços. Embora a norma espe-
cífica para ações e segurança nas estruturas seja a NBR 8681:2003, a norma NBR 
6118:2014 traz em seu item 11 os conceitos necessários à determinação das ações 
e seus coeficientes de ponderação. As ações são classificadas, conforme a NBR-
8681:2003 e a NBR 6118:2014, em permanente, variáveis e excepcionais. 
 
1.8.1 – Ações permanentes 
 
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constan-
tes durante toda a vida da construção. Também são consideradas permanentes as 
ações que crescem com o tempo, tendendo a um valor limite. As ações permanen-
tes devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis 
para a segurança (NBR 6118:2014). 
 
1.8.1.1 – Ações permanentes diretas 
 
As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio e pelos pesos 
dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes (NBR 6118:2014). 
 Peso próprio (avaliado com a massa específica do concreto armado) 
 Peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes (avaliado 
conforme as massas específicas dos materiais de construção correntes com ba-
se nos valores indicados pela NBR 6120:1980, versão corrigida de 2000) 
 Empuxos permanentes (consideram-se como permanentes os empuxos de terra 
e outros materiais granulosos quando forem admitidos não removíveis) 
 
 
 
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1.28 
 
1.8.1.2 – Ações permanentes indiretas 
 
As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas 
por retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométri-
cas e protensão (NBR 6118:2014). 
 Retração do concreto - a deformaçãoespecífica de retração do concreto pode 
ser calculada conforme indica o anexo A da NBR 6118:2014. 
 Fluência do concreto - as deformações decorrentes da fluência do concreto po-
dem ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR 6118:2014. 
 Deslocamentos de apoio - os deslocamentos de apoio só devem ser considera-
dos quando gerarem esforços significativos em relação ao conjunto das outras 
ações, isto é, quando a estrutura for hiperestática e muito rígida. 
 Imperfeições geométricas – na verificação do estado limite último das estruturas 
reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas globais e lo-
cais do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. 
 Momento mínimo - o efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substitu-
ído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1a or-
dem 
 Protensão - a ação da protensão deve ser considerada em todas as estruturas 
protendidas, incluindo, além dos elementos protendidos propriamente ditos, 
aqueles que sofrem a ação indireta da protensão, isto é, de esforços hiperestáti-
cos de protensão. 
 
1.8.2 – Ações variáveis 
 
1.8.2.1 – Ações variáveis diretas 
 
As ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas 
para o uso da construção, pela ação do vento e da água, devendo-se respeitar as 
prescrições feitas por Normas Brasileiras específicas (NBR 6118:2014). 
 
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1.29 
 
 Cargas acidentais previstas para o uso da construção - cargas verticais de uso 
da construção; cargas móveis, considerando o impacto vertical; impacto lateral; 
força longitudinal de frenação ou aceleração; força centrífuga. 
 Ação do vento - os esforços devidos à ação do vento devem ser considerados e 
recomenda-se que sejam determinados de acordo com o prescrito pela NBR 
6123:1988 - versão corrigida 2:2013, permitindo-se o emprego de regras simpli-
ficadas previstas em Normas Brasileiras específicas. 
 Ação da água - o nível d'água adotado para cálculo de reservatórios, tanques, 
decantadores e outros deve ser igual ao máximo possível compatível com o sis-
tema de extravasão. 
 Ações variáveis durante a construção - as estruturas em que todas as fases 
construtivas não tenham sua segurança garantida pela verificação da obra pronta 
devem ter, incluídas no projeto, as verificações das fases construtivas mais signi-
ficativas e sua influência na fase final. 
 
1.8.2.2 – Ações variáveis indiretas 
 
 Variações uniformes de temperatura 
 
A variação da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da 
temperatura da atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela de-
pende do local de implantação da construção e das dimensões dos elementos estru-
turais que a compõem. De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valo-
res (NBR 6118:2014): 
a) para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, 
deve ser 
considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10ºC a 
15ºC; 
b) para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteira-
mente fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que 
essa oscilação seja reduzida respectivamente para 5ºC a 10ºC; 
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___________________________________________________________________________ 
 
1.30 
 
c) para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm 
admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indi-
cados. 
 
 Variações não uniformes de temperatura 
 
Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição significa-
tivamente diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribui-
ção. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre 
os valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura conside-
rada entre uma face e outra da estrutura não seja inferior a 5ºC (NBR 6118:2014). 
 
 Ações dinâmicas 
 
Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, está sujeita a choques ou vi-
brações, os respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das solici-
tações e a possibilidade de fadiga deve ser considerada no dimensionamento dos 
elementos estruturais, de acordo com a seção 23 da NBR 6118:2014. 
 
1.8.3 – Ações excepcionais 
 
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, 
cujos efeitos não podem ser controlados por outros meios, devem ser consideradas 
ações excepcionais com os valores definidos, em caso particular, por Normas Brasi-
leiras específicas (NBR 6118:2014). 
 
1.8.4 – Valores das ações 
 
1.8.4.1 – Valores característicos 
 
Os valores característicos Fk das ações são estabelecidos na NBR-
6118:2014 em função da variabilidade de suas intensidades. 
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1.31 
 
Para as ações permanentes Fgk (a letra g será usada para ações permanen-
tes), os valores característicos devem ser adotados iguais aos valores médios das 
respectivas distribuições de probabilidade, sejam valores característicos superiores 
ou inferiores. Esses valores são definidos na NBR-6118:2014 ou em normas especí-
ficas, como a NBR-6120:1980, versão corrigida de 2000. 
 
Os valores característicos das ações variáveis Fqk (a letra q será usada para 
ações variáveis), estabelecidos por consenso em Normas Brasileiras específicas, 
correspondem a valores que têm de 25% a 35% de probabilidade de serem ultra-
passados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos. Esses valores 
são aqui definidos ou em normas específicas, como a NBR-6120:1980, versão corri-
gida de 2000. 
 
1.8.4.2 – Valores representativos (NBR 6118:2014) 
 
As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: 
 
 os valores característicos conforme definido acima; 
 valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações 
excepcionais; 
 valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como: 
 
1. verificações de estados limites últimos, quando a ação considerada se 
combina com a ação principal. Os valores reduzidos são determinados a 
partir da expressão  oFk , que considera muito baixa a probabilidade de 
ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações 
variáveis de naturezas diferentes; 
2. verificações de estados limites de serviço. Estes valores reduzidos são 
determinados a partir de  1Fk , que estima um valor freqüente e  2Fk , 
que estima valor quase permanente, de uma ação que acompanha a 
ação principal. 
 
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1.32 
 
1.8.4.3 – Valores de cálculo 
 
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores represen-
tativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação  f definidos a 
seguir. 
 
1.8.5 – Coeficientes de ponderação das ações 
 
As ações devem ser majoradas pelo coeficiente  f dado por: 
  f = ( f1)x( f2)x( f3) (1.16) 
Onde: 
  f1 – parte do coeficiente de ponderação das ações  f , que consideraa variabili-
dade das ações 
  f2 – parte do coeficiente de ponderação das ações  f , que considera a simulta-
neidade de atuação das ações 
  f3 – parte do coeficiente de ponderação das ações  f , que considera os desvios 
gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista 
das solicitações 
 
1.8.5.1 – Coeficientes de ponderação das ações no ELU 
 
Os valores base são os apresentados na tabela 1.6 para ( f1)x( f3) e na tabela 
1.7 para  f2 . Para pilares e pilares-paredes esbeltos com espessura inferior a 19 cm 
e lajes em balanço com espessura menor que 19 cm, os esforços solicitantes de 
cálculo devem ser multiplicados pelo coeficiente de ajustamento n (ver 13.2.3 e 
13.2.4.1 da NBR 6118:2014). Essa correção se deve ao aumento da probabilidade 
de ocorrência de desvios relativos e falhas na construção. 
 
 
 
 
 
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1.33 
 
Tabela 1.6 – Valores de ( f1)x( f3) (Tab. 11.1 da NBR 6118:2014) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1.7 – Valores do coeficiente  f2 (Tab. 11.2 da NBR 6118:2014) 
 
AÇÕES 
 f2 
 0  1
a  2 
Cargas acidentais 
de edifícios 
Locais em que não há predominância de 
peso de equipamentos que permanecem 
fixos por longos períodos de tempo, nem de 
elevadas concentrações de pessoas b 
0,5 0,4 0,3 
Locais em que há predominância de pesos 
de equipamentos que permanecem fixos 
por longos períodos de tempo, ou de ele-
vada concentração de pessoas c 
0,7 0,6 0,4 
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 
Vento 
Pressão dinâmica do vento nas estruturas 
em geral 
0,6 0,3 0 
Temperatura 
Variações uniformes de temperatura em 
relação à média anual local 
0,6 0,5 0,3 
Combinações 
de 
ações 
Ações 
Permanentes 
(g) 
Variáveis 
(q) 
Protensão 
(p) 
Recalques 
de apoio e 
retração 
D F G T D F D F 
Normais 1,4a 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 
Especiais ou 
de construção 
1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 
Onde: D é desfavorável, F é favorável, G é geral e T é temperatura. 
a
 - Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, 
especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3. 
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1.34 
 
a Para os valores  1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, 
ver seção 23 da NBR 6118:2014. 
b Edifícios residenciais 
c Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos 
 
 
1.8.5.2 – Coeficientes de ponderação no ELS 
 
Em geral, o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de ser-
viço é dado pela expressão: 
 
  f =  f2 (1.17) 
 
Onde  f2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tab. 1.7) 
  f2 = 1 para combinações raras 
  f2 =  1 para combinações frequentes 
  f2 =  2 para combinações quase permanentes. 
 
Os valores das tabelas 1.6 e 1.7 podem ser modificados em casos especiais aqui 
não contemplados, de acordo com a NBR 8681:2003. 
 
1.8.6 – Combinações de ações (NBR 6118:2014) 
 
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabili-
dades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um 
período preestabelecido. 
 
1.8.6.1 – Combinações últimas 
 
1. Combinações últimas normais – Em cada combinação devem estar incluídas 
as ações permanentes e a ação variável principal, com seus valores característi-
cos e as demais ações variáveis, consideradas secundárias, com seus valores 
reduzidos de combinação, conforme NBR-8681:2003. 
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1.35 
 
2. Combinações últimas especiais ou de construção – Em cada combinação 
devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável especial, quando 
existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveis com proba-
bilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos 
de combinação, conforme NBR-8681:2003. 
3. Combinações últimas excepcionais - Em cada combinação devem estar pre-
sentes as ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, com 
seus valores representativos e as demais ações variáveis com probabilidade não 
desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combina-
ção, conforme NBR-8681:2003. Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo e 
incêndio. 
4. Combinações últimas usuais – para facilitar a visualização, essas combinações 
estão listadas na tabela 11.3 da NBR-6118:2014, transcrita na tabela 1.8 abaixo. 
 
Tabela 1.8 – Combinações últimas (Tab. 11.3 da NBR 6118:2014) 
 
Combinações 
últimas (ELU) Descrição Cálculo das solicitações 
 
 
Normais 
 
 
Esgotamento da 
capacidade resis-
tente para elemen-
tos estruturais de 
concreto armadoa 
 
 
Fd = g Fgk + εg Fεgk + q (Fq1k + Σ Ψ0j Fqjk) + 
εqΨ0εFεqk 
Esgotamento da 
capacidade resis-
tente para elemen-
tos 
estruturais de con-
creto protendido 
Deve ser considerada, quando necessário, a 
força de protensão como carregamento externo 
com os valores Pkmáx e Pkmin para a força desfa-
vorável e favorável, respectivamente, conforme 
definido na seção 9 
Perda do equilíbrio 
como corpo rígido 
S (Fsd) ≥ S (Fnd) 
Fsd = gs Gsk + Rd 
Fnd = gn Gnk + q Qnk - qs Qs,min , 
onde: Qnk = Q1k + Σ Ψ0j Qjk 
Especiais ou 
de constru-
çãob 
Fd = g Fgk + εg Fεgk + q (Fq1k + Σ Ψ0j Fqjk) + εqΨ0εFεqk 
Excepcionaisb Fd = g Fgk + εg Fεgk + Fq1ecx + q Σ Ψ0j Fqjk) + εqΨ0εFεqk 
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1.36 
 
Onde: 
Fd - é o valor de cálculo das ações para combinação última; 
Fgk - representa as ações permanentes diretas; 
Fεk - representa as ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e va-
riáveis como a temperatura Fεqk; 
Fqk - representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida prin-
cipal; 
g, εg, q, εq - ver tabela 1.6; 
Ψ0j, Ψε - ver tabela 1.7; 
Fsd - representa as ações estabilizantes; 
Fnd - representa as ações não estabilizantes; 
Gsk - é o valor característico da ação permanente estabilizante; 
Rd - é o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver; 
Gnk - é o valor característico da ação permanente instabilizante; 



m
2j
jk0j1knk QΨQQ
 
Qnk - é o valor característico das ações variáveis instabilizantes; 
Q1k - é o valor característico da ação variável instabilizante considerada 
como principal; 
Ψ0j e Qjq - são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu 
valor reduzido; 
Qs,min - é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que 
acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante. 
a - No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o 
efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela considera-
ção de g= 1. No caso de estruturas usuaisde edifícios essas combina-
ções que consideram g reduzido (1,0) não precisam ser consideradas. 
b - Quando Fq1k ou Fq1exc atuarem em tempo muito pequeno ou tiverem 
probabilidade de ocorrência muito baixa Ψ0j, pode ser substituído por 
Ψ2j. 
 
 
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1.37 
 
1.8.6.2 – Combinações de serviço 
 
São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura como: 
 
1. Quase permanente – podem atuar durante grande parte do período de vida da 
estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite 
de deformações excessivas (ELS-DEF); 
2. Frequentes – se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e 
sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de for-
mação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Po-
dem também ser consideradas para verificações de ELS-DEF decorrentes de 
vento ou temperatura que possam comprometer as vedações; 
3. Raras – ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua 
consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de formação 
de fissuras. 
4. Combinações de serviço usuais – para facilitar a visualização, essas combina-
ções estão listadas na tabela 11.4 da NBR 6118:2014, transcrita na tabela 1.9 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.38 
 
 Tabela 1.9 – Combinações de serviço (Tab. 11.4 da NBR 6118:2014) 
 
Combinações 
de 
serviço (ELS) 
 
Descrição Cálculo das solicitações 
Combinações 
quase perma-
nentes de servi-
ço (CQP) 
Nas combinações quase permanen-
tes de serviço, todas as ações variá-
veis são consideradas com seus va-
lores quase permanentes Ψ2 Fqk 
 
Fd, ser = Σ Fgik + Σ Ψ2j Fqjk 
 
 
Combinações 
freqüentes de 
serviço (CF) 
 
Nas combinações frequentes de ser-
viço, a ação variável principal Fq1 é 
tomada com seu valor frequente Ψ1 
Fq1k e todas 
as demais ações variáveis são toma-
das com seus valores quase perma-
nentes Ψ2 Fqk 
Fd,ser = Σ Fgik + ψ1 Fq1k + 
 Σ ψ2j Fqjk 
Combinações 
raras de serviço 
(CR) 
Nas combinações raras de serviço, a 
ação variável principal Fq1 é tomada 
com seu valor característico Fq1k e 
todas as demais ações são tomadas 
com seus valores frequentes Ψ1 Fqk 
 
Fd,ser = Σ Fgik + Fq1k + 
Σ ψ1j Fqjk 
 
Onde: 
Fd,ser - é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço; 
Fq1k - é o valor característico das ações variáveis principais diretas; 
ψ1 - é o fator de redução de combinação freqüente para ELS; 
ψ2 - é o fator de redução de combinação quase permanente para ELS. 
 
 
1.8.7 – Resistências 
 
1.8.7.1 – Valores característicos 
 
Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de materi-
al, têm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavo-
rável para a segurança. Pode ser de interesse determinar a resistência característica 
inferior fk,inf e a superior fk,sup , que são respectivamente menor e maior que a resis-
tência média fm . Para efeito da NBR-6118:2014, a resistência característica inferior 
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___________________________________________________________________________ 
 
1.39 
 
é admitida como sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser 
atingido pelos elementos de um dado lote de material. 
 
1.8.7.2 – Valores de cálculo 
 
1. Resistência de cálculo - a resistência de cálculo fd é dada pela expressão: 
 
m
k
d
γ
f
f 
 (1.18) 
 
Onde m é o coeficiente de ponderação das resistências. 
 
2. Resistência de cálculo do concreto - a resistência de cálculo do concreto 
fcd é obtida em duas situações distintas: 
 quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias 
 
c
ck
cd
γ
f
f 
 (1.19) 
 
 quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias 
 
c
ck
1
c
ckj
cd
γ
f
β
γ
f
f 
 (1.20) 
 
sendo  1 a relação (fckj / fck ) dada por: 
 










t
28
1s
1 eβ
 (1.21) 
 
 
Onde: s = 0,38 - para concreto de cimento CPIII e IV; 
 s = 0,25 - para concreto de cimento CPI e II; 
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1.40 
 
 s = 0,20 - para concreto de cimento CPV-ARI; 
 t - é a idade efetiva do concreto, em dias. 
 
1.8.7.3 – Coeficientes de ponderação das resistências 
 
As resistências devem ser minoradas pelo coeficiente: 
 
m = m1 . m2 . m3 (1.22) 
 
Onde: 
 
m1 - é a parte o coeficiente de ponderação das resistência m , que consi-
dera a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos. 
 
m2 - é a parte do coeficiente de ponderação das resistência m , que consi-
dera a diferença entre a resistência do material no corpo-de-prova e na 
estrutura. 
 
m3 - é a parte co coeficiente de ponderação das resistência m , que con-
sidera os desvios gerados na construção e as aproximações feitas em 
projeto do ponto de vista das resistências. 
 
1.8.7.3.1 - Coeficientes de ponderação das resistências no ELU 
 
Os valores para verificação no estado limite último (ELU) estão indicados na 
tabela 1.10. 
 
 
 
 
 
 
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1.41 
 
Tabela 1.10 – Valores dos coeficientes c e s 
(Tab. 12.1 da NBR 6118:2014) 
 
Combinações 
Concreto 
c 
Aço 
s 
Normais 1.4 1.15 
Especiais ou de 
construção 
1.2 1.15 
Excepcionais 1.2 1 
 
 
1.8.7.3.2 - Coeficientes de ponderação das resistências no ELS 
 
Os limites estabelecidos para os estados limites de serviço (ELS) não neces-
sitam de minoração, portanto m = 1. 
 
1.8.7.3.3 – Valores finais das resistências de cálculo do concreto e do aço 
 
 Para um concreto classe C20, por exemplo, cuja resistência característica fck 
= 20 MPa = 200 kgf/cm2= 2 kN/cm2, a resistência de cálculo é fcd = (fck / c) = (2 / 
1,4) = 1,429 kN/cm2 (c conforme tabela 1.10). O valor da tensão de pico, quando se 
usa o diagrama parábola-retângulo, a ser considerado nos cálculos deve ser afe-
tado pelo coeficiente de Rüsch resultando no valor final de cálculo σc = fc = 0,85fcd = 
0,85 x 1,429 = 1,214 kN/cm2, independentemente do tipo de seção e da classe do 
concreto. 
 
 Por facilidade nos cálculos, normalmente se utiliza o diagrama retangular 
simplificado de tensões no concreto, com altura y = λ X e tensão constante e igual a 
σc = fc = αc fcd quando a largura da seção transversal não diminui no sentido da li-
nha neutra para a borda mais comprimida. Caso contrário, como por exemplo, seção 
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___________________________________________________________________________1.42 
 
circular, a tensão constante deve ser σc = fc = 0,9 αc fcd. Os parâmetros λ e αc, que 
serão vistos no capítulo 2 desta apostila, são dados por: 
 
λ = 0,8 αc = 0,85 fck ≤ 50 MPa 
 
λ = 0,8 – (fck – 50) / 400 αc = 0,85 [1 – (fck – 50) / 200] fck > 50 MPa 
 
 
O valor σc = fc não aparece na NBR 6118:2014, mas de agora em diante nes-
ta apostila será adotado o valor fc para representar a resistência final de cálculo do 
concreto. 
 
Para um aço CA 50, por exemplo, cuja resistência característica ao escoa-
mento fyk = 50 kN/cm
2 = 500 MPa = 5000 kgf/cm2, a resistência de cálculo é fyd = 
(fyk / s=1,15) = 4348 kgf/cm
2 ≈ 435 MPa = 43,48 kN/cm2 ≈ 43,5 kN/cm2. 
 
 Tabela 1.11 – Valores finais de cálculo para os concretos e aços usuais 
 
Valores finais de cálculo para os concretos do grupo I - fc (kN/cm
2) 
αc = 0,85 
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
1,214 1,518 1,821 2,125 2,429 2,732 3,036 
Valores finais de cálculo para os concretos do grupo II - fc (kN/cm
2) 
αc = 0,85 [1 – (fck – 50) / 200] 
C55 C60 C65 C70 C75 C80 C85 C90 
3,256 3,461 3,650 3,825 3,984 4,129 4,258 4,371 
Valores de cálculo para os aços - fyd (kN/cm
2) 
CA 25 CA 50 CA 60 
21,74 43,48 52,17