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Questão 1/5 - Análise Combinatória Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo: 1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:1331 Com base nesse triângulo, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. I. ( ) A terceira linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com n=2n=2, isto é, (20),(21)(20),(21) e (22).(22). II. ( ) A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 6, 4 e 1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. III. ( ) Os coeficientes que aparecem no desenvolvimento do binômio (x+a)5(x+a)5 com a∈R,a≠0a∈R,a≠0 são 1, 5 e 10. Agora, marque a sequência correta: Nota: 20.0 A V – V – V Você acertou! A terceira linha do triângulo de Pascal é formada pelos números (20)=1,(21)=2(20)=1,(21)=2 e (22)=1.(22)=1. Logo, a afirmativa I é verdadeira. A 5ª linha é formada pelos números binomiais: (40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4(40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4 e (44)=1.(44)=1. Assim, a afirmativa II é verdadeira. Notamos também que a 6ª linha do triângulo de Pascal contém os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)5(x+a)5. Calculando os números binomiais com n=6n=6, encontramos os coeficientes: 1, 5 e 10. Portanto, a afirmativa III é verdadeira. B V – F – V C V – V – F D V – F – F E F – V – V Questão 2/5 - Análise Combinatória Marcam-se 5 pontos sobre uma reta rr e 8 pontos sobre uma reta ss paralela a rr. Assinale a alternativa que apresenta o número exato de triângulos que existem com vértices em 3 desses 13 pontos. Nota: 20.0 A 38 B 80 C 144 D 220 Você acertou! Para formar um triângulo, ou tomamos um vértice em rr e dois em ss ou tomamos um vértice em ss e dois em rr. O número de triângulos do 1º tipo é 5⋅C8,25⋅C8,2 e o do 2º tipo é 8⋅C5,2.8⋅C5,2. Portanto, existem 5⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=2205⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=220 triângulos. E 448 Questão 3/5 - Análise Combinatória Lança-se um dado perfeito (com seis faces, numeradas de 1 a 6, todas com a mesma probabilidade de serem obtidas) e verifica-se o número voltado para cima. Com base nesse experimento aleatório, coloque V quando for verdadeira e F quando falsa. I. ( ) A probabilidade de tirar um 3 é 1616. II. ( ) A probabilidade de tirar um número ímpar é 1212. III. ( ) A probabilidade de tirar um 3 ou um 5 é 1313. Agora, marque a sequência correta: Nota: 20.0 A V – V – V Você acertou! O espaço amostral é dado por Ω={1,2,3,4,5,6}Ω={1,2,3,4,5,6} e #Ω=6#Ω=6. Considere AA o evento "tirar um 3". Então, A={3}A={3} com #A=1#A=1. Logo, a probabilidade de tirar um 3 é P(A)=#A#Ω=16P(A)=#A#Ω=16 e a afirmativa I é verdadeira. Seja BB o evento "tirar um número ímpar". Então, B={1,3,5}B={1,3,5} com #B=3#B=3. Assim, P(B)=36=12P(B)=36=12 e a afirmativa II é verdadeira. Para a afirmativa III, seja CC o evento "tirar um 5". Logo, a probabilidade de tirar um 3 ou um 5 é dada por P(A∪C)=P(A)+P(C)=16+16=13P(A∪C)=P(A)+P(C)=16+16=13, uma vez que os eventos AA e CC são mutuamente exclusivos (A∩C=∅A∩C=∅). Assim, a afirmativa III é verdadeira. B V – F – V C V – V – F D V – F – F E F – V – V Questão 4/5 - Análise Combinatória Uma urna contém 10 bolas brancas, 5 bolas amarelas e 10 bolas pretas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna e verifica-se que não é preta. Assinale a alternativa que apresenta a probabilidade da bola ser amarela. Nota: 20.0 A 1313 Você acertou! Trata-se de uma probabilidade condicional. Sejam AA o evento "bola selecionada é amarela" e BB o evento "bola selecionada não é preta". Verificamos que P(A∩B)=525P(A∩B)=525 e P(B)=1525P(B)=1525. Assim, a probabilidade da bola escolhida ser amarela, uma vez que não é preta é P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13.P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13. B 1515 C 325325 D 225225 E 125125 Questão 5/5 - Análise Combinatória Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente independente de xx no desenvolvimento de (x2+1√x)9(x2+1x)9: Nota: 20.0 A 192192 B 212212 Você acertou! O termo geral do desenvolvimento deste binômio é Tp+1=(9p)(1√x)p(x2)9−p=(9p)x−p2x9−p29−p=(9p)x18−3p229−p.Tp+1=(9p)(1x)p(x2)9−p=(9p)x−p2x9−p29−p=(9p)x18−3p229−p. Como buscamos o termo independente de xx, devemos impor que 18−3p2=018−3p2=0, isto é, p=6p=6. Desta forma, o termo independente de xx vale T7=(96)123=212.T7=(96)123=212. C 232232 D 252252 E 292292
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