AD1 Matemática para Computaçao 2015 2 Gabarito

Prévia do material em texto

Curso Superior de Tecnologia em Sistemas de Computac¸a˜o
Disciplina: Matema´tica para Computac¸a˜o
AD1 - 2o semestre de 2015 - Gabarito
Questo˜es
1. (1,0 ponto) ————————————————————————————
Dadas as func¸o˜es f e g encontre (f ◦ g), (g ◦ f), (f ◦ f) e (g ◦ g).
(a) f(x) = x− 2 e g(x) = 5x +√x
(b) f(x) = x2 − 1 e g(x) = 3x + 5
(c) f(x) = cos x + x2 e g(x) = x2 + x
Soluc¸a˜o:
(a) f(x) = x− 2 e g(x) = 5x +√x
(f ◦ g)(x) = (5x +√x)− 2 = 5x +√x− 2
(g ◦ f)(x) = 5(x− 2) +√x− 2 = 5x +√x− 2− 10
(f ◦ f)(x) = (x− 2)− 2 = x− 4
(g ◦ g)(x) = 5(5x +√x) +
√
5x +
√
x = 25x + 5
√
x +
√
5x +
√
x
(b) f(x) = x2 − 1 e g(x) = 3x + 5
(f ◦ g)(x) = (3x + 5)2 − 1 = 9x2 + 30x + 25
(g ◦ f)(x) = 3(x2 − 1) + 5 = 3x2 − 3 + 5
(f ◦ f)(x) = (x2 − 1)2 − 1 = x4 − 2x2 + 1
(g ◦ g)(x) = 3(3x + 5) + 5 = 9x + 20
(c) f(x) = cos x + x2 e g(x) = x2 + x
(f ◦ g)(x) = cos(x2 + x) + (x2 + x)2 = cos(x2 + x) + x4 + 2x3 + x2
(g ◦ f)(x) = (cos x + x2)2 + (cosx + x2) = cos2 x + 2 cosx · x2 + x4 + cosx + x2
(f ◦ f)(x) = cos(cos x + x2) + (cos x + x2)2 = cos(cosx + x2) + cos2 x + 2 cosx · x2 + x4
(g ◦ g)(x) = (x2 + x)2 + (x2 + x) = x4 + 2x3 + x2 + x2 + x = x4 + 2x3 + 2x2 + x
2. (1,0 ponto) —————————————————————————————————
Para cada func¸a˜o abaixo encontre seu domı´nio e sua imagem.
(a) f(x) =
 x + 2 se −1 < x < 0x se 0 ≤ x < 1
(b) g(x) =
 2− x se 0 < x < 2x− 1 se 3 ≤ x < 4
(c) h(x) =

x2 − 4
x− 2 se x 6= 2
x− 1 se x = 2
Soluc¸a˜o:
(a) f(x) =
 x + 2 se −1 < x < 0x se 0 ≤ x < 1
Domı´nio = (−1, 1), imagem = [0, 1) ∪ (1, 2).
(b) g(x) =
 2− x se 0 < x < 2x− 1 se 3 ≤ x < 4
Domı´nio = (0, 2) ∪ [3, 4), imagem = (0, 3).
(c) h(x) =

x2 − 4
x− 2 se x 6= 2
x− 1 se x = 2
Domı´nio = IR, imagem = IR− {4}.
3. (1,0 ponto) ————————————————————————————
Ache os limites infinitos.
(a) lim
x→+∞
1
x
(b) lim
x→+∞
(
2 +
1
x2
)
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→+∞
1
x
= 0
(b) lim
x→+∞
(
2 +
1
x2
)
= lim
x→+∞ 2 + limx→+∞
1
x2
= 2 + 0 = 2
4. (1,0 ponto) ————————————————————————————
Determine as inversas das seguintes func¸o˜es
(a)
f(x) =
x + 1
x− 1
(b)
f(x) = 5
√
4x + 2
(c)
f(x) =
5
x2 + 1
x ≥ 0
Soluc¸a˜o:
(a)
f(x) =
x + 1
x− 1
y =
x + 1
x− 1 =⇒ y(x− 1) = x + 1 =⇒ yx− y = x + 1 =⇒ yx− x = y + 1
yx− x = y + 1 =⇒ x(y − 1) = y + 1 =⇒ x = (y + 1)
(y − 1)
Logo a inversa e´ f−1(x) = (x + 1)
(x− 1)
(b)
f(x) = 5
√
4x + 2
y = 5
√
4x + 2 =⇒ y5 = 4x + 2 =⇒ y5 − 2 = 4x =⇒ y
5 − 2
4
= x
Logo a inversa e´ f−1(x) = x
5 − 2
4
(c)
f(x) =
5
x2 + 1
x ≥ 0
y =
5
x2 + 1
=⇒ x2 + 1 = 5
y
=⇒ x2 = 5
y
− 1 =⇒ x =
√
5
y
− 1
Logo a inversa e´ f−1(x) =
√
5
x − 1
5. (1,0 ponto) ————————————————————————————
Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→4
x− 4
x2 − x− 12
(b) lim
x→2
4− x2
3−√x2 + 5
(c) lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→4
x− 4
x2 − x− 12
lim
x→4
x− 4
x2 − x− 12 = limx→4
x− 4
(x + 3)(x− 4) = limx→4
1
(x + 3)
=
1
7
(b) lim
x→2
4− x2
3−√x2 + 5
lim
x→2
4− x2
3−√x2 + 5 = limx→2
(4− x2)(3 +√x2 + 5)
(3−√x2 + 5)(3 +√x2 + 5)
lim
x→2
4− x2
3−√x2 + 5 = limx→2
(4− x2)(3 +√x2 + 5)
(4− x2)
lim
x→2
4− x2
3−√x2 + 5 = limx→2(3 +
√
x2 + 5) = 6
(c) lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
= lim
h→0
(x2 + 2hx + h2)− x2
h
= lim
h→0
2hx + h2
h
lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
= lim
h→0
h(2x + h)
h
= lim
h→0
(2x + h) = 2x
6. (1,0 ponto) ————————————————————————————
Calcule os seguintes limites laterais,
lim
x→2−
f(x) e lim
x→2+
f(x)
onde
(a) f(x) =
{
3x se x ≤ 2
x2 se x > 2
(b) f(x) =
{
x3 se x ≤ 2
4− 2x se x > 2
Soluc¸a˜o:
(a) f(x) =
{
3x se x ≤ 2
x2 se x > 2
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
3x = 6
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
x2 = 4
(b) f(x) =
{
x3 se x ≤ 2
4− 2x se x > 2
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
x3 = 8
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
4− 2x = 0
7. (1,0 ponto) ——————————————————————————————————
Dada a func¸a˜o f(x) = x2 − 3x, ache
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
e dada a func¸a˜o f(x) =
√
5x + 1, ache
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
quando x > −1
5
Soluc¸a˜o:
Para f(x) = x2 − 3x temos
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
((x + h)2 − 3(x + h))− (x2 − 3x)
h
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x2 + 2xh + h2 − 3x− 3h)− (x2 − 3x)
h
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
x2 + 2xh + h2 − 3x− 3h− x2 + 3x
h
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
2xh + h2 − 3h
h
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
2x + h− 3
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= 2x− 3
Para f(x) =
√
5x + 1 temos
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
(√
5x + 5h + 1
)
−
(√
5x + 1
)
h
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
(√
5x + 5h + 1
)
−
(√
5x + 1
)
h
·
(√
5x + 5h + 1
)
+
(√
5x + 1
)
(√
5x + 5h + 1
)
+
(√
5x + 1
)
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
(5x + 5h + 1)− (5x + 1)
h
(√
5x + 5h + 1
)
+
(√
5x + 1
)
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
5h
h
(√
5x + 5h + 1
)
+
(√
5x + 1
)
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
5(√
5x + 5h + 1
)
+
(√
5x + 1
)
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
=
5(√
5x + 1
)
+
(√
5x + 1
) = 5
2
√
5x + 1
8. (1,5 pontos) ————————————————————————————
Ache as descontinuidades das seguintes func¸o˜es (se existirem):
(a) f(x) =
x2 − 3x− 10
x + 2
(b) f(x) =
x4 − 1
x2 − 1
(c) f(x) =

4− x se x ≥ 3
x− 2 se 0 < x < 3
x− 1 se x ≤ 0
Soluc¸a˜o:
(a) f(x) =
x2 − 3x− 10
x + 2
f claramente tem uma descontinuidade em x = −2, ja´ que este ponto sequer pode
pertencer ao domı´nio de f . Entretanto podemos retirar a descontinuidade ree-
screvendo f(x) da seguinte maneira
f(x) =
x2 − 3x− 10
x + 2
=
(x + 2)(x− 5)
x + 2
= x− 5
(b) f(x) =
x4 − 1
x2 − 1
Assim como no item anterior f tem descontinuidades em x = ±1, mas pode ser
reescrita como
f(x) =
(x2 + 1)(x2 − 1)
x2 − 1 = x
2 + 1
(c) f(x) =

4− x se x ≥ 3
x− 2 se 0 < x < 3
x− 1 se x ≤ 0
f tem uma descontinuidade em x = 0, posto que
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(x− 1) = −1
e
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
(x− 2) = −2
Como os limites laterais sa˜o diferentes, existe uma descontinuidade em x = 0.
9. (1,5 pontos) ————————————————————————————
Ache os limites infinitos.
(a) lim
x→+∞
2x3
x2 + 1
(b) lim
x→−∞
2x3
x2 + 1
(c) lim
x→+∞
(
x5 − 7x4 − 2x + 5
)
(d) lim
x→−∞
(
x5 − 7x4 − 2x + 5
)
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→+∞
2x3
x2 + 1
= lim
x→+∞
(2x3)/(x2)
(x2 + 1)/(x2)
= lim
x→+∞
(2x3)/(x2)
(x2 + 1)/(x2)
= lim
x→+∞
2x
1 + 1/x2
= +∞
(b) lim
x→−∞
2x3
x2 + 1
= −∞, ana´logo ao item anterior
(c) lim
x→+∞
(
x5 − 7x4 − 2x + 5
)
= lim
x→+∞x
5
(
x5
x5
− 7x
4
x5
− 2x
x5
+
5
x5
)
= lim
x→+∞x
5
(
x5
x5
− 7x
4
x5
− 2x
x5
+
5
x5
)
= lim
x→+∞x
5
(
1− 7
x
− 2
x4
+
5
x5
)
= +∞
(d) lim
x→−∞
(
x5 − 7x4 − 2x + 5
)
= −∞, ana´logo ao item anterior