Circuitos em Série e Lei de Kirchhoff

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Universidade Federal de Itajubá – Campus Itabira 
Engenharia Elétrica 
Prof. MSc. Aurélio Luiz Magalhães Coelho 
BAC006 – ELETRICIDADE 
2 Semestre - 2014 
Aula 4 – Circuitos Série e Parelo 
1. Conceitos de Circuitos 
Como os elementos de um circuito elétrico podem ser conectados em 
diferentes modos, precisamos compreender alguns conceitos básicos 
sobre topologias de circuitos. Tais elementos incluem: 
 
 Ramo: representa um componente simples, tal como um resistor ou 
outro elemento; 
 
 Nó: é um ponto de conexão entre dois ou mais ramos. O nó engloba 
todos os pontos de mesmo potencial; 
 
 Loop: é qualquer caminho fechado em um circuito. 
 
 
 
 
1. Conceitos de Circuitos 
1. Conceitos de Circuitos 
 Dois ou mais elementos estão em série se eles compartilharem 
exclusivamente um único nó e, consequentemente, são percorridos 
pela mesma corrente; 
 
 Dois um mais elementos estão em paralelo se eles estiverem 
conectados aos mesmos dois nós e, consequentemente, tiverem a 
mesma tensão entre eles. 
1. Conceitos de Circuitos 
 Se considerarmos o fio como um condutor ideal a diferença de 
potencial V entre os terminais do resistor será igual à tensão 
aplicada pela bateria. 
 
 Por convenção, o sentido do fluxo convencional da corrente como 
indicado na figura, é oposto ao fluxo de elétrons. 
1. Conceitos de Circuitos 
Pelo sentido convencional temos: 
 Um aumento de potencial ao atravessar a bateria de – para +; 
 
 Uma queda de potencial ao atravessar o resistor de + para –. 
1. Conceitos de Circuitos 
 Um circuito consiste de um número qualquer de elementos unidos 
por seus terminais, estabelecendo pelo menos um caminho 
fechado através do qual o fluxo possa fluir; 
 
 Duas configurações básicas para circuitos, série e a paralela, 
constituem a essência de circuitos mais complexos. 
 
2. Circuitos em Série 
Dois elementos estão em série se: 
 
 O ponto comum entre os dois elementos não está conectado a 
outro elemento percorrido por corrente. 
Os resistores R1 
e R2 estão em 
série porque 
possuem apenas 
o ponto “b” em 
comum. 
2. Circuitos em Série 
Diz-se que dois elementos estão o em série se eles compartilharem 
exclusivamente um único ponto e, consequentemente, transportarem 
a mesma corrente. 
Os resistores R1 e R2 
estão em série porque 
possuem apenas o 
ponto “b” em comum. 
2. Circuitos em Série 
 Os resistores R1 e R2 não estão em série porque o ponto comum 
entre os dois elementos está conectado a outro elemento 
percorrido por corrente (R3). 
 
2. Circuitos em Série 
Exemplo de um circuito com nenhum resistor em série 
Exemplo de um circuito com dois resistores em série 
2. Circuitos em Série 
 Em um circuito série a corrente é a mesma através dos elementos 
resistivos que o compõem. 
 
2. Circuitos em Série 
 A resistência total ou resistência equivalente de resistores 
conectados em série é a soma das resistências individuais. 
 
S
T
V
I
R

1 2T NR R R R   
SP VI
1 2 NS R R R
P P P P   
Num circuito série, a potência fornecida pela fonte é igual a soma da potência 
dissipada em cada um dos resistores 
2. Circuitos em Série 
1) Para o circuito determine a resistência total, a corrente fornecida 
pela fonte, a queda de tensão nos resistores, a potência dissipada 
em cada resistor e a potencia fornecida pela fonte. 
Resposta: Req = 8Ω; I = 2,5A; V1=5V; V2=2,5V; V3=12,5V; 
PR1 = 12,5W; PR2 = 6,25W; PR3=31,25W; PF=60W 
 
 
EXEMPLO: 
2. Circuitos em Série 
EXEMPLO: 
2) Dado RT e I, calcule R1 e E para o circuito dado: 
Resposta: R1 = 2kΩ; V1=12V; V2=24V; V3=36V; 
E=72V 
 
3. Fontes de Tensão em Série 
 As fontes de tensão podem ser conectadas em série, para 
aumentar ou diminuir a tensão total aplicada a um sistema; 
 
 A tensão resultante é determinada somando-se as tensões das 
fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade 
oposta. 
4. Lei de Kirchhoff para Tensão 
 A Lei de Kirchhoff afirma que a soma algébrica das elevações e 
quedas de potencial em uma malha fechada é zero. 
1 2 0E V V   
1 2E V V 
elevacoes quedasV V 
4. Lei de Kirchhoff para Tensão 
 A tensão aplicada a um circuito em série é igual à soma das 
quedas de tensão nos elementos em série; 
 
 A aplicação da Lei de Kirchhoff não precisa seguir um caminho que 
inclua elementos percorridos por corrente. 
Loop 1 
 
+8-12+Vx= 0 
Vx = 4 V 
 
Loop 2 
 
+12-8-Vx= 0 
Vx = 4 V 
 
4. Lei de Kirchhoff para Tensão 
1) Determine as tensões desconhecidas nos circuitos: 
EXEMPLO: 
+9-16+ V1 +4,2 =0  V1 = 2,8 V 
ou 
+16-9-4,2-V1=0  V1 = 2,8 V 
 
+6+14-Vx=0  Vx = 20 V 
ou 
-12+32-Vx=0  Vx =20 V 
 
2) Determine V1 e V2 para o circuito mostrado. 
 
4. Lei de Kirchhoff para Tensão 
Loop 1 
 
-25+ V1 -15 = 0  V1 = 40 V 
 
Loop 2 
 
+ V2 + 20 = 0 V2 = -20 V 
 
3) Usando a Lei de Kirchhoff das tensões, determine a tensão 
desconhecida para o circuito: 
 
 
4. Lei de Kirchhoff para Tensão 
Loop 1 
 
+60 + 30 - Vx - 40 = 0  Vx = 50 V 
 
Loop 2 
 
+ Vx – 30 – 60 + 40 = 0 Vx = 50 V 
 
4) Para o circuito determine a resistência total, a corrente fornecida 
pela fonte, a queda de tensão nos resistores, a potência dissipada em 
cada resistor e a potencia fornecida pela fonte. 
Resposta: Req = 10Ω; I = 2A; V1=8V; V2=12V; 
PR1 = 16W; PR2 = 24W; PF = 40W 
 
4. Lei de Kirchhoff para Tensão 
 Elementos de circuitos em série podem ser intercambiados 
sem que a resistência total, a corrente que circula e a potência 
consumida pelos diferentes elementos sejam afetados. 
5. Elementos em Série 
1) Encontre a corrente e as tensões em cada resistor. 
Resposta: 
I=0,3A, V1=3V, V2=4,5V, V3=-1,8V, V4=2,4V, V5=-3,3V e Vab=5,7V 
 VER RESOLUÇÃO A SEGUIR 
 
EXEMPLO: 
5. Elementos em Série 
5. Elementos em Série 
Resolução do Exercício: 
 
Req = 10+15+6+8+11 = 50 Ω 
 
Eeq=12-5+8 = 15 V 
 
I = Eeq/ Req = 0,3 A 
 
V1=10*0,3 = 3 A 
V2=15*0.3=4,5 V 
V3= -6*0,3 = -1,8 V 
V4 = 8*0,3 =2,4 V 
V5= -11*0,3 =-3,3 V 
 
5. Elementos em Série 
Resolução do Exercício: 
 
Para encontrar Vab temos que adotar o sentido da corrente 
de a para b: Isso pode ser feito de duas maneiras: 
 
 
 Primeiro caso (muda o 
sentido da corrente de a 
para b): 
 
-V1 + 12 + V5 = Vab 
-3+ 12 + (-3,3) = Vab 
Vab = 5,7 V 
 
 
5. Elementos em Série 
Resolução do Exercício: 
 
Para encontrar Vab temos que adotar o sentido da corrente 
de a para b: Isso pode ser feito de duas maneiras: 
 
 
 Segundo caso (mantém o 
sentido da corrente) 
 
V2 + 5 - V3 + V4 - 8= Vab 
4,5+5-(-1,8)+2,4-8=Vab 
 
Vab = 5,7V 
 
 
 A tensão entre os terminais dos elementos resistivos divide-se na 
mesma proporção que os valores de resistência; 
 
 A razão entre os valores das resistências determina a divisão da 
tensão em um circuito CC em série. 
 
6. Divisores de Tensão 
 Regra dos divisores de tensão: 
1 2TR R R 
T
E
I
R

1
1 1
T
R E
V IR
R
 
2
2 2
T
R E
V IR
R
 
x
x
T
R E
V
R

6. Divisores de Tensão 
1) Utilizando a regra dos divisores de tensão determine a tensão V1 
para o circuito em série. 
EXEMPLO: 
6. Divisores de Tensão 
V1 = (E. R1)/(R1 + R2 ) 
V1 = (64. 20)/(20 + 60 ) 
V1 = (1280)/(80) 
V1 = 16 V 
 
V2 = (E. R2)/(R1 + R2 ) 
V2 = (64. 60)/(20+ 60 ) 
V2 = (3840)/(80) 
V2 = 48 V 
 
 
 
2) Utilizando a regra dos divisores de tensão determine a tensão V1 
e V3 para o circuito em série. 
6. Divisores de Tensão 
V1 = (E. R1)/(R1 + R2 + R3 ) 
V1 = (45. 2k)/(2k + 5k +8k ) 
V1 = (90k)/(15k) 
V1 = 6 V 
 
V2 = (E. R1)/(R1 + R2 + R3 ) 
V2 = (45. 8k)/(2k + 5k +8k ) 
V2 = (360k)/(15k) 
V2 = 24 V 
 
V3 = (E. R3)/(R1 + R2 + R3 ) 
V3 = (45. 5k)/(2k + 5k +8k ) 
V3 = (225k)/(15k) 
V3 = 15 V 
 
 
 
 Os sistemas elétricos e eletrônicos são aterrados por razões de 
segurança e para fins de referência. 
7. Fontes de Tensão e Terra 
 A tensão Vab é a tensão no ponto a em relação ao ponto 
b. 
 Vab será positivo se o ponto “a” tem um potencial maior que o 
ponto “b”; 
 Vab será negativo se o ponto “b” tem um potencial maior que o 
ponto “a”. 
 
ab a bV V V 
8. Duplo Índice Inferior 
 O índice inferior único indica um ponto em relação ao referencial 
terra. 
 
9. Índice Inferior Único 
Diz-se que dois resistores estão em paralelo se eles compartilharem 
os dois mesmos nós e, consequentemente, tiverem a mesma tensão 
entre eles. 
10. Circuitos em Paralelo 
 O formato retangular das conexões não descaracteriza a ligação 
em paralelo dos componentes. 
10. Circuitos em Paralelo 
 Para resistores em paralelo, a condutância total é a soma das 
condutância individuais. 
1 2T NG G G G   
10. Circuitos em Paralelo 
1 2
1 1 1 1
T NR R R R
   1G
R

 A resistência total de um conjunto de resistores em paralelo é 
sempre menor que a do resistor de menor resistência. 
 
10. Circuitos em Paralelo 
 Para circuitos em paralelo com apenas uma fonte, a corrente 
fornecida pela fonte é igual à soma das correntes em cada um dos 
ramos do circuito. 
1 2SI I I I   
 Para circuitos em paralelo com apenas uma fonte, cada ramo do 
circuito tem a mesma tensão da fonte. 
1 2E V V V   
10. Circuitos em Paralelo 
1 2E V V 
1
1
1 1
V E
I
R R
 
1 2
1 1 1
T
E E
R R R
   
    
   
1 2sI I I 
10. Circuitos em Paralelo 
1) Determine a resistência equivalente dos circuitos: 
 
EXEMPLO: 
10. Circuitos em Paralelo 
Req = 1,0526 Ω Req = 1,4286 Ω 
Req = 4 Ω Req = 0,5 Ω 
 A resistência total referente a dois resistores em paralelo é o 
produto das duas resistência dividido pela sua soma. 
1 2
1 2
T
R R
R
R R


 Elementos em paralelo podem ser intercambiados sem alterar a 
resistência total ou a corrente total. 
10. Circuitos em Paralelo 
 A Lei de Kirchhoff para Corrente afirma que a soma algébrica das 
correntes que entram e a soma das que saem de uma região, 
sistema ou nó é igual a zero. 
entram saemI I 
11. Lei de Kirchhoff para Corrente 
entram saemI I 
 A aplicação mais comum da Lei de Kirchhoff será em junções de 
dois ou mais caminhos para a corrente. 
6 2 4A A A 
11. Lei de Kirchhoff para Corrente 
1) Determine as correntes I3 e I4 no circuito usando a lei de Kirchhoff 
para corrente. 
EXEMPLO: 
11. Lei de Kirchhoff para Corrente 
Em “ a” : 
I2 + I1 -I3 = 0 
I3 = I2 + I1 
I3 = 5A 
Em “ b” : 
I3 + I5 -I4 = 0 
I4 = I3 + I5 
I4 = 6A 
 
1) Determine as correntes I1 , I3, I4 e I5 para o circuito usando a lei de 
Kirchhoff para corrente. 
11. Lei de Kirchhoff para Corrente 
11. Lei de Kirchhoff para Corrente 
 Na analise de circuitos, muitas vezes nos deparamos com um 
circuito paralelo e desejamos saber a corrente que flui para um 
determinado ramo; 
 
 Uma regra pratica para se determinar essa corrente sem se 
calcular a tensão nos nós e o que chamamos de regra do divisor 
de corrente. 
12. Divisores de Corrente 
Para dois resistores! 
 A regra do divisor de corrente é mais interessante do ponto de vista 
da condutância. Considere um circuito paralelo com N resistores (e 
suas respectivas condut^ancias associadas); A condutância 
equivalente GT , vista pela corrente I, é a soma das condutâncias 
de cada ramo: 
12. Divisores de Corrente 
12. Divisores de Corrente 
12. Divisores de Corrente 
12. Divisores de Corrente 
12. Divisores de Corrente 
12. Divisores de Corrente 
Referências 
1) Introdução à análise de circuitos. Robert Boylestad, 10ª Edição, 
Prentice Hall do Brasil. 
 
2) Análise de circuitos. John O‘Malley, 2ª Edição, Makron Books. 
 
3) Notas de Aula dos Professores Clodualdo Venicio de Sousa e Tiago 
de Sá Ferreira – BAC006 – UNIFEI (ITABIRA). 
 
4) Notas de Aula do Professor Caio Fernandes de Paula – BAC006 – 
UNIFEI (ITABIRA).