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2a lista de SMA-332 Ca´lculo II - 18/08/2014.
Assunto: Func¸o˜es, domı´nio, imagem, conjuntos de n´ıvel, func¸o˜es limitadas, limites
e continuidade .
1. Descreva o domı´nio e a imagem de f :
a)f(x, y) = 2x− y2 b)f(x, y) =√4− x2 + y2 c)f(x, y) = √x+y−1
x+y−1
d)f(x, y, z) =
x− z
x2 + y2
e)f(x, y, z) = ln(x+ y + z + 1)
2. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es abaixo, observando quando tais gra´ficos sa˜o superf´ıcies
cil´ındricas e quando sa˜o superf´ıcies de revoluc¸a˜o:
a) f(x, y) = x2 + y2 + 3 b) f(x, y) = (x− 1)2 + (y − 2)2 + 3 c) f(x, y) = 3
d) f(x, y) = −x− 3y + 3 e) f(x, y) =√x2 + y2 f) f(x, y) =√x2 + y2 + 1
g) f(x, y) = x+ 2 h) f(x, y) = ex + 2
3. Grafe no mesmo plano coordenado, as curvas de n´ıvel fc para c = −1, 0, 4:
a) f(x, y) = xy b) f(x, y) = ln(xy) c) f(x, y) = 4− (x− 1)2 − (y + 3)2
d) f(x, y) =
√
x2 + y2/2 f) f(x, y) =
ex
2y
.
4. Descreva o conjunto (superf´ıcie) de n´ıvel f = c para c = −1, 0, 4:
a) f(x, y, z) =
ex
2y
b) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2.
5. Ache a equac¸a˜o do conjunto de n´ıvel de f que passe pelo ponto P :
a) f(x, y) = y arctanx, P = (1, 4) b) f(x, y, z) = z2y + x, P = (1, 4,−2)
6. Uma chapa plana de metal esta´ situada em um plano-xy, de modo que a temperatura T
no ponto (x, y) e´ inversamente proporcional a` distaˆncia do ponto a origem.
a) Que func¸a˜o T (x, y) descreve a temperatura da chapa acima?
b) Descreva as isote´rmicas, isto e´, as curvas de n´ıvel da func¸a˜o temperatura.
b) Se a temperatura no ponto P = (4, 3) e´ de 40oC, ache a equac¸a˜o da isote´rmica para
uma temperatura de 20oC.
7. Dado f(x, y, z) = x2 − y2 + z2 encontre e esboce
a) w = f(1, y, z), b) w = f(x, 1, z) e c) w = f(x, 1, 1).
8. a) Use a definic¸a˜o para mostrar que lim
(x,y)→(x0,y0)
y = y0.
b) Mostre que se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L enta˜o lim
(x,y)→(x0,y0)
kf(x, y) = kL, onde k e´ con-
stante real.
9. Use as propriedades de limite para calcular:
a) lim
(x,y)→(0,1)
x2 + y2
x− y b) lim(x,y)→(0,0)
x2 − 2
3 + xy
c) lim
(x,y)→(1,0)
√
x2 + y2 − 1
d) lim
(x,y,z)→(0,1,0)
x2 + y2
x− y − z e) lim(x,y,z)→(−1,1,2) xz − xy − 2xzy lim(x,y,z)→(1,−1,4) |
x− y
x+ xy + y2z
|
1
10. Verifique se os resultados abaixo sa˜o verdadeiros.
a) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − 2xy + y2
x− y = 0 b) lim(x,y)→(0,0)
x4 − y2
x2 + y
= 0 c) lim
(x,y)→(0,1)
√
x+ y − 1
x+ y − 1 = 2
11. Calcule, caso exista:
a) lim
(x,y)→(0,0)
xsen
1
x2 + y2
b) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
e) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4 + y4
f) lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y
g) lim
(x,y)→(0,0)
xy
y − x3
h) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 − y2
12. Seja f(x, y) =
2xy2
x2 + y4
.
a) Considere a reta γ(t) = (at, bt), com a2 + b2 > 0. Mostre que, quaisquer que sejam a e
b,
lim
t→0
f(γ(t)) = 0.
Tente vizualizar este resultado atrave´s das curvas de n´ıvel de f.
b) Calcule lim
t→0
f(δ(t)) = 0, onde δ(t) = (t2, t). (Antes de calcular o limite, tente prever o
resultado olhando para as curvas de n´ıvel de f.)
c) lim(x,y)→(0,0)
2xy2
x2+y4
existe? Por queˆ?
13. Sejam δ1 e δ2 curvas em R2, cont´ınuas em t0, com γ(t0) = (x0, y0) e, para t 6= t0, γ(t0) 6=
(x0, y0), com γ(t0) ∈ Df . A afirmac¸a˜o:
lim
t→t0
f(δ1(t)) = lim
t→t0
f(δ2(t)) = L =⇒ lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L
e´ verdadeira ou falsa? Justifique.
14. Calcule lim
(h,k)→(0,0)
f(x+ h, y + k)− f(x, y)− 2xh− k
‖(h, k)‖ , onde f(x, y) = x
2 + y.
15. Calcule, caso exista, lim
(h,k)→(0,0)
f(h, k)
‖(h, k)‖ , onde f e´ dada por f(x, y) =
x3
x2 + y2
.
2
16. Suponha que lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = a e lim
u→a
g(u) = L, com g na˜o definida em a e Imf ⊂ Dg.
Prove que
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(f(x, y)) = lim
u→a
g(u).
Prove, ainda, que o resultado acima continua va´lido se supusermos g definida em a, com
g cont´ınua em a.
17. Calcule lim
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
x2 + y2
.
18. Seja f(x, y) =
{
e
(
1
x2+y2−1
)
, x2 + y2 < 1
f(x, y) = 0, x2 + y2 ≥ 1
. Calcule lim
(x,y)→
(√
2
2
,
√
2
2
) f(x, y)x2 + y2 − 1.
19. Utilize limite por caminhos para verificar que os limites abaixo na˜o existem.
a) lim
(x,y)→(0,0)
y√
x2 + y2
b) lim
(x,y)→(0,0)
xy
|xy| (esboce seu gra´fico) c) lim(x,y,z)→(0,0,0)
x+ 5y
x− y2 + z
20. Verifique quais das func¸o˜es abaixo sa˜o limitadas em seu domı´nio de definic¸a˜o:
a) f(x, y) = sen 1
xy
b) f(x, y) = x/(
√
x2 + y2) c) f(x, y) = ln(x+ y)
d) f(x, y, z) = xy−z
2
x2+y2+z2
e) f(x, y, z) = cos( xyz
9√
x−y ) f) f(x, y, z) =
xy
x2+y2+z4
21. Veja se e´ poss´ıvel utilizar o Teorema do Confronto ( ou Sandu´ıche) para o ca´lculo dos
limites abaixo.
a) lim(x,y)→(0,0)
x2y
x2+y2
b) lim(x,y)→(0,0)
xy√
x2+y2
c) lim(x,y)→(0,0)
x2−y2
x2+y2
d) lim(x,y,z)→(0,0,0)
xy
x2+y2+z2
e) lim(x,y,z)→(0,0,0)
xyz
x2+y2+z2
f) lim(x,y,z)→(0,0,0)
4x−y−3z
2x−5y+2z
g) lim(x,y,z)→(0,0,0) senx sen(
xy
x2+y2+z2
) h) lim(x,y,z)→(1,1,2) xx−y i) lim(x,y,x)→(1,0,0)
x−1
(x−1)2+|y|+|z|
22. Para os casos acima onde na˜o foi poss´ıvel utilizar o Teorema do confronto, veja se o limite
na˜o existe.
23. Descreva os pontos onde f e´ cont´ınua (esboce D(f) se poss´ıvel):
a)f(x, y) = ln(x+ y − 1) b)f(x, y) = √x exy c)f(x, y) = sen√1− x2 + y2
d)f(x, y, z) = 1
x2+y2+z2
e)f(x, y, z) = 1
x+y+z
f)f(x, y, z) = tanxyz
24. Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas em todo R2.
a) f(x, y) =
{
x3+y3
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
b) f(x, y) =
{ xy
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
25. Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
a) f(x, y) = 3x2y2 − 5xy + 6
b) f(x, y) =
√
6− 2x2 − 3y2
c) f(x, y) = ln(
x− y
x2 + y2
)
d) f(x, y) =
x− y
1− x2 − y2
3
e) f(x, y) =

x− 3y
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
f)f(x, y) =

sen(x2 + y2)
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
1, (x, y) = (0, 0)
g) f(x, y) =
{
e
(
1
r2−1
)
, r < 1
f(x, y) = 1, r ≥ 1
, onde r = ‖(x, y)‖.
26. A func¸a˜o f(x, y) =

xy2
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
e´ cont´ınua em (0, 0)? Justifique.
27. Prove que se f for cont´ınua em (x0, y0) e se f(x0, y0) > 0, enta˜o existira´ r > 0 tal que
f(x, y) > 0 para ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < r.
28. Seja A um subconjunto do R2 que goza da propriedade: quaisquer que sejam (x0, y0)
e (x1, y1) em A, existe uma curva cont´ınua γ : [a, b] → A tal que γ(a) = (x0, y0) e
γ(b) = (x1, y1). Prove que se f for cont´ınua em A e se f(x0, y0) < m < f(x1, y1), enta˜o
existira´ (x−, y−) ∈ A tal que f(x−, y−) = m.
Sugesta˜o: aplique o Teorema do Valor Intermedia´rio a` func¸a˜o cont´ınua g(t) = f(γ(t)),
t ∈ [a, b].
29. Calcule:
a) lim
t→1
~F (t), onde ~F (t) =
(√
t− 1
t− 1 , t
2,
t− 1
t
)
b) lim
t→0
~F (t), onde ~F (t) =
(
tan 3t
t
,
e2t − 1
t
, t3
)
c) lim
t→2
~r(t), onde ~r(t) =
t3 − 8
t2 − 4
~i+
cos pi
t
t− 2
~j + 2t~k.
30. Sejam ~F = (F1, . . . , Fn), ~G = (G1, G2, . . . , Gn) duas func¸o˜es de uma varia´vel real a valores
em Rn e f uma func¸a˜o de uma varia´vel real a valores reais. Suponha que limt→t0 ~F (t) = ~a,
limt→t0 ~G(t) = ~b e limt→t0 f(t) = L, onde ~a = (a1, . . . , an), ~b = (b1, b2, . . . , bn) e L real.
Prove:
a) limt→t0 [~F (t) + ~G(t)] = ~a+~b
b) limt→t0 [f(t)~F (t) = L~a
4