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REVISÃO DE MATEMÁTICA Prof. Marcone Soares 1) Exercício: A função demanda de um produto é p =10 – x,e a função custo total é dada por C = 20 - x . Vamos obter: a) Receita e o preço que a maximiza b) Se a receita é R$ 200,00, qual é o valor de x? c) A função lucro e o preço que a maximiza. d) O gráfico das funções receita .Faça também o gráfico das funções custo e receita num mesmo sistema destacando os principais pontos. e) Dê o intervalo de validade das funções receita e lucro. f) Dê o intervalo de crescimento e decrescimento das funções receita e lucro g) Estude o sinal da função receita. REVISÃO 2) Conjuntos Numéricos a) Naturais: NI = {0, 1, 2, 3, 4, .......} NI*={1, 2, 3, 4, ...} Obs. a) 2 + 4 = 6 b) 3 x 4 = 12 c) 4 – 10 = ????? b) Inteiros: Z = {...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....} Subconjuntos de Z: i) = {...-4, -3, -2, -1, 0} conjunto dos números inteiros não positivos; ii) = {0, 1, 2, 3, 4, ...} conjunto dos números inteiros não negativos; iii) = {...-4, -3, -2, -1,} conjunto dos números inteiros estritamente negativos; IV) = {...+4, +3, +2, +1,} conjunto dos números inteiros estritamente positivos; Obs. a) 10 – 6 = 4 b) 4 - 6 = -2 c) d) c) Racionais: São todos os números que podem ser escrito em formas de fração com numerador e denominador números interiros. Simbolicamente: Exemplos: a) 2 Q, pois 2 = b) c) Obs.Toda fração com representação decimal finita ou representação infinita e periódica (dízima periódica) são números racionais. Exemplos: a) = 0,75 ; = 0,5; = -0,6. b) 0,33333......= ; 0,5222222....= Exercícios: 1) Escrevam na forma de fração as decimais exatas: a) 0,4 b) 2,53, c)1,75 d) 2, 127 2) Escreva sob forma de fração as dízimas: a) 0,6666....., b) 0,522222....., c) 2,1232323........ d) Irracionais: Designamos por I o conjunto de todos os números irracionais. São todos aqueles que não são racionais, ou seja, não pode ser escrito em forma de fração com numerador e denominador números inteiros. Exemplos: raiz de todos os números primos = 3,1416592654.... 2,71..... e) Reais: A união do conjunto dos racionais com o dos irracionais dá origem a um conjunto chamado de conjunto dos números reais, indicado por R. Assim: R = Q U I. Representação geométrica dos números reais. O Se, > , então é representado à direita de . 3) Intervalos Numéricos Chama-se de intervalo numérico a qualquer subconjunto de números reais Sejam a e b números reais tais que a < . Definimos: a) Intervalo aberto: é o conjunto de números reais entre a e b (exclusos os extremos a e b), indicado por: Intervalo Representação geométrica ]a,b[ = {x R/ a < x < b } ; R a b b) Intervalo fechado: é o conjunto de números reais entre a e b (inclusos os extremos a e b), indicado por: [a,b] = {x R/a x b}; ● ● R a b c) Intervalo semi-aberto à direita: é o conjunto dos números reais entre a e b, incluindo a e excluindo b, indicado por: [a,b[ = {x R/a x < b}; ● ○ R a b d) Intervalo semi-aberto à esquerda: é o conjunto dos números reais entre a e b, excluindo a e incluindo b, indicado por: R ]a,b] = {x R/a x < b}; ● a b e) Intervalos Infinitos: R ]a,+ [ = {x R/ x > a} ○ a R [a,+ [ = {x R/ x a} ● a R ]- ,a] = {x R/ x a } ● a R ]- ,a [ = {x R/ x < a} ○ a EXERCÍCIOS 1) Dados os intervalos A = [0,3] e B = ]1,5[,. Represente graficamente e efetue: A U B, A B, A – B , B – A, R – A 2) Se, A = ]-2,1], B = [1,4] e C = [0,+ [, efetue as operações indicadas: A U B, B U C, B C, B – A, C – A e AU B U C. 4) VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO REAL´ Considere a reta real: R Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto. Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos l4l = 4 Da mesma forma, a distância do ponto -2 à origem é 2, ou seja, o módulo de -2 é 2, pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim: l-2l = 2 Outros exemplos: l3l = 3 l-7l = 7 l0l = 0 l-1l = 1 Vamos generalizar: Qual é o módulo de um número qualquer x? lxl = ? A resposta é: depende! Pelos exemplos, podemos observar que, se x for um número positivo, seu módulo é igual a ele mesmo. Porém, se x for um número negativo, a distância não pode ser negativa, logo devemos mudar o sinal desse número, ou considerar o seu oposto (o mesmo número de sinal trocado). Portanto, lxl = x, se x for um número positivo e lxl = -x, se x for um número negativo, pois devemos trocar o sinal do número negativo. Ou: Propriedades do Módulo 1) lal=l-al, para todo a real Não é difícil constatar isso. Observe: l2l= 2 l10l= 10 l-5l= 5 l-2l= 2 l-10l=10 l5l= 5 2) lx2l=lxl2 = x2, para todo x real Verifiquemos isso para todas as possibilidades de valores de x: positivo, nulo ou negativo. a) para x = 5 52 = 25 l5l2 = 52 = 25 l52l=l25l= 25 b) para x = 0 02 = 0 l0l2 = 02 = 0 l02l=l0= 0 c) para x = -3 (-3) 2 = 9 l-3l2 = 32 = 9 (-3) 2l=l9l= 9 Associada a essa propriedade está o fato de que CUIDADO! É errado pensar que Isso só é verdadeiro para x ≥ 0. Veja: Para x = 7 Para x = -2 3) la . bl = lal.lbl, para quaisquer a e b reais Veja: a) a e b positivos a = 3 e b = 5 l3 . 5l= l15l= 15 e l3l.l5l= 3 . 5 = 15 b) a e b de sinais opostos a = -2 e b = 4 l-2 . 4l= = 8 4) la + bl ≤ lal+lbl, para quaisquer a e b reais 5) lxl 0 6) lxl x 7) x = a 8) = a x = -a 9) a x - a ou x a 10) ≤ a -a x a Exercícios resolvidos 1) Calcular: a) l6l+ 1 = 6 + 1 = 7 b) l-5l+ 9 = 5 + 9 = 16 c) l-10l- 1 = 10 -1 = 9 d) l-6l- l-2l = 6 - 2 = 4 e) l0,2 - 0,9l= l-0,7l= 0,7 f) g) l3 - xl, para x = -3 l3 - xl= l3 - (-3)l= l6l= 6 h) Note que . Assim: 2) Escrever uma expressão equivalente sem o módulo: a) lx – 6l, sendo x um número real qualquer b) lx – 6l, com x > 6 Como x > 6, a expressão de dentro do módulo é positiva. Logo,nesse caso, lx – 6l= x - 6. c) lx – 1l+ lx – 3l, com x > 3 Como x > 3, as duas expressões são positivas. Logo, nesse caso, lx – 1l+ lx – 3l= x - 1+ x - 3 = 2x - 4. 3) Achar os possíveis valores de x, em cada caso: a) x = l – 1l Resposta: x = 1 b) lxl= 1 Resposta: x = 1 ou x = -1, pois l1l= l-1l= 1 c) lxl= -1 Resposta: x não existe, pois não existe um número tal que seu módulo seja negativo. d) X2 = 36 Resposta: x = 6 ou x = -6 e) lxl= l-2l Resposta: x = -2 ou x = 2, pois l2l= l-2l= 2l= 8 e l-2l.l4l= 2 . 4 = 8 c) a e b negativos a = -7 e b = -10 e l-7 . (-10)l= l70l= 70 e l-7l.l-10l= 7 . 10 = 70 Exercícios Propostos: 1) Resolva as equações ou inequações: a) = 6 b) 10 c) 12 d) e) f) g) h) i) j) l 3xl = l x + 2l 2) Calcule: a) b) 3) Resolva a equação: | x| 2 - 10 | x| + 16 = 0. 5) Expressões Algébricas Expressão é uma forma de demonstrar a resolução de um problema matemático onde envolve uma ou mais operações, por exemplo: 2 + 5 . (5 + 2) - (-5) . 10 – (8 – 5) 5a + 5b + 10 Todos os exemplos acima são expressões, sendo que uma delas possui letras, esse tipo de expressão é chamado de expressões algébricas. 5.1) Cálculo do valor de expressões numéricas Exercícios: Calcule o valor das expressões a) b) c) d) 0,22(11 – 0,3) + e) 6) Valor numérico de expressões algébricas Em uma expressão numérica é simples encontrar o seu valor numérico, pois basta resolve-la, veja um exemplo: {5 . (-5 + 2)} – 2 = {5 . (-3)} – 2 = - 15 – 2 = -17 Toda expressão algébrica tem o seu valor numérico, esse valor é encontrado a partir do momento em que temos ou atribuímos valores para as letras. Se em um exercício é pedido para que calcule o valor numérico da expressão algébrica 2x2y é preciso que saibamos ou atribuímos valores para as letras x e y. Então vamos supor que na equação 2x2y, os valores das letras seja x = -2 e y = 1, agora substituindo esses valores, chegaremos em um valor numérico. 2x2y par x = 2 e y = 1, temos 2 . (-2)2 . 1 = 2 . 4 . 1 Outro exemplo: para x = -2 7) PRODUTOS NOTÁVEIS Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas. 1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. ( a + b ).( a – b ) = a² - b² 2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. ( a + b )² = a² + 2ab +b² 3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. ( a – b )² = a² - 2ab + b² Existem muitas outras fórmulas: ( a + b )³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³ (a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³ 8) Fatoração Principais tipos de fatoração Fator comum em evidência : Agrupamento : Trinômio quadrado perfeito : Diferença de dois quadrados : Soma de dois cubos : Diferença de dois cubos : Diferença de potências: Exercícios 1) Simplifique a expressão a) b) (a + 1)2 + 2 (a + 1) + 1 c) x2 - 4x + 4 + 3 (x - 2) (x + 1) d) x2 + 9)2 - 36x2 e) x2 + 6x + 9 f) x4 - y4 g) a2 + ba + 2a + 2b h) 3xy + 3 - x - 9y i) abd - abe + acd – ace 2) Efetue o produto (x - y). (x + y). (x2 + y2). 3) O valor da expressão para a = 3,7 e b = 2,9 é: 4) Se x = + 1, calcule x2 - 2x + 1. 5) Desenvolva (5x - 2y)2 6) Simplifique . 7) Simplifique a expressão E = 8) Fatore, colocando os fatores comuns em evidência: Exemplos: ax+2a = a(x+2) a²-b² = (a+b)(a-b) a² - 4ab + 4b² = (a-2b)² 2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1) a) 3ax-7ay b) x³ -x² + x c) x³y² + x²y² + xy² d) a²b² - ab³ e) a² + ab + ac + bc f) x² - b² g) x²-25 h) (x²/9 - y²/16) i) x² + 4x + 4 j) a² + 6ab + 9b² l) 144x²-1 m) ab + ac + 10b + 10c n) 4a² - 4 o) x³y - xy³ p) x² + 16x + 64 q) 2x² + 4x + 2. 9) Calcule os produtos notáveis: a) (a+2)(a-2) b) (xy+3z)(xy-3z) c) (x²-4y)(x²+4y) d) e) (x+3)² f) (2a-5)² g) (2xy+4)² h) i) (x+4)³ j) (2a+b)³ l) (a-1) 9) Potenciação e radiciação Definição de Potenciação A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto pode ser indicado na forma . Assim, o símbolo , sendo a um número inteiro e n um número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a: a é a base; n é o expoente; o resultado é a potência. Por definição temos que: Exemplos: CUIDADO !! Cuidado com os sinais. Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos: Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo: Ex. 1: �� EMBED Equation.3 Se , qual será o valor de “ ”? Observe: , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado. → os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x. Propriedades da Potenciação A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades: Ex. 1. Ex. 2. Ex. 3. ( neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes. Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos. Assim: ou Exemplo: Ex. 1 Ex. Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja ou Exemplo: Ex.1 Ex. 2 Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja ou Ex.: d) �� EMBED Equation.3 Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja ou Ex.: d) Ex. Ex. 2 Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja ou Ex.: e) Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja ou Ex.: Exercícios Calcule: 1) 23 2) (-2)3 3) 2-5 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 10) Equação do Primeiro grau Definição É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados em seus domínios. Exemplos: a) 3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita. b) 3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita. Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois os valores das incógnitas são desconhecidos. Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é equação do primeiro grau, como toda equação que satisfaça a forma: ax + b = 0 onde, a e b , são as constantes da equação, com a ≠ 0 (diferente de zero) Observe 4x + 10 = 1, a = 4 e b = 10 as constantes (4,10) Exemplo de fixação: a) x + 2 = 6 » x = 6 – 2 = 4 S {4} Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade já informada em tutoriais anteriores: ax + b = 0 » ax = - b , logo x = -b/a Obs.: É possível transformar uma equação em outra que seja equivalente à primeira, porém esta segunda na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível somar ou subtrair, multiplicar ou dividir um mesmo número, que seja diferente de zero (≠0), aos membros da equação dada no problema. Resolução de uma equação do 1º grau Resolver uma equação do primeiro grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de formacorreta a raiz da equação. Na forma simples de entender a solução de equação do primeiro grau, basta separar as incógnitas dos números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de um lado da igualdade e do outro lado as constantes. Exercícios Resolver as equações em R: a) 18x - 43 = 65 b) 23x - 16 = 14 - 17x c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20 d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4 f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2 g) h) i) j) 11) Equação do Segundo grau Chama-se de equação do segundo grau a toda equação da forma: ax2 + ax + c = 0, onde a, b e c são números reais e c 0. Exemplos: a) 2x2 – 2x + 3 = 5, equação completa, onde a =2, b = -2 e c = 3. b) –x2 + 3x = 2, equação incompleta, onde a -1, b = 3 e c = 0. c) x2 – 9 = 0, equação incompleta, onde a = 1, b = 0 e c = -9. Classificação: - Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta. 1º caso: b=0 Considere a equação do 2º grau incompleta: x² - 9 = 0 » x² = 9 » x= » x= 2º caso: c=0 Considere a equação do 2º grau incompleta: x² - 9x = 0 » Basta fatorar o fator comum x x(x - 9) = 0 » x= 0 ou x = 9 3º caso: b=c=0 2x² = 0 » x = 0 Solução de uma equação completa do segundo grau Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara , onde . Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios: 1) 3x² - 7x+ 2 = 0 a=3, b=-7 e c=2 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na fórmula: = e Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: 2) -x²+ 4x – 4 = 0 a=-1, b=4 e c=-4 = 4² - 4(-1)(-4) = 16-16 = 0 Substituindo na fórmula de Bháskara: � Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( ) 3) 5x² - 6x+5 = 0 a=5 b=-6 c=5 = (-6)²(-4).5.5 = 36-100 = - 64 Note que < 0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real. Logo: » vazio Propriedades: Duas raízes reais e diferentes Duas raízes reais e iguais Nenhuma raiz real Relações entre coeficientes e raízes Exemplos: 1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: a) x² - 4x + 3=0 Solução Sendo a=1, b=-4 e c=3: b) 2x² - 6x - 8 =0 Sendo a=2, b=-6 e c=-8 c) 4-x² = 0 Sendo a=-1, b=0 e c=4: Exercícios Resolver as seguintes equações em R a) 3x² - 7x + 2 = 0 b)-x² + 3x – 4 = 0 c) -x² + 3/2x + 1 = 0 d) x² - 4 = 0 e) 3x² = 0 f) Onde g) e h) 5x2 - 3x - 2 = 0 i) 3x2 + 55 = 0 j) x2 - 6x = 0 l) x2 - 10x + 25 = 0 m) x2 - x - 20 = 0 n) x2 - 3x -4 = 0 o) x2 - 8x + 7 = 0 p) Determine o valor da incógnita x. x² - 3ax+ 2a² = 0 Resolução de equações biquadradas Equação biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é: onde Exemplo: Resolva a equação . �PAGE � �PAGE �1� _1295102512.unknown _1296458271.unknown _1296459496.unknown _1296461398.unknown _1296493773.unknown _1296495255.unknown _1297084072.unknown _1297084630.unknown _1297085765.unknown _1297084558.unknown _1296495331.unknown _1296495107.unknown _1296495200.unknown _1296493832.unknown _1296493551.unknown _1296493668.unknown _1296493715.unknown _1296493598.unknown _1296477668.unknown _1296493526.unknown _1296461480.unknown _1296460513.unknown _1296461191.unknown _1296461337.unknown _1296461095.unknown _1296459698.unknown _1296459762.unknown _1296459559.unknown _1296459081.unknown _1296459199.unknown _1296459438.unknown _1296459163.unknown _1296459008.unknown _1296459032.unknown _1296458985.unknown _1296455191.unknown _1296457812.unknown _1296457959.unknown _1296458017.unknown _1296457918.unknown _1296457511.unknown _1296455223.unknown _1295851597.unknown _1295853384.unknown _1296455159.unknown _1295852613.unknown _1295107623.unknown _1295850898.unknown _1295850845.unknown _1295103731.unknown _1295103739.unknown _1130069333.unknown _1295097469.unknown _1295099691.unknown _1295100001.unknown _1295100124.unknown _1295100104.unknown _1295099785.unknown _1295099814.unknown _1295099716.unknown _1295097733.unknown _1295098467.unknown _1295098532.unknown _1295098385.unknown _1295097560.unknown _1295097675.unknown _1295097515.unknown _1295096216.unknown _1295096973.unknown _1295097089.unknown _1295097136.unknown _1295097036.unknown _1295096498.unknown _1295096888.unknown _1295096456.unknown _1295095120.unknown _1295095325.unknown _1295095512.unknown _1295095029.unknown _1130069362.unknown _1151936120.unknown _1105358117.unknown _1105879779.unknown _1122795387.unknown _1122796755.unknown _1130069259.unknown _1130069298.unknown _1122796802.unknown _1122797021.unknown _1122797123.unknown _1122796757.unknown _1122796648.unknown _1122796742.unknown _1122795497.unknown _1122795080.unknown _1122795246.unknown _1122795275.unknown _1122795162.unknown _1107345872.unknown _1107345940.unknown _1107346082.unknown _1107083871.unknown _1107083988.unknown _1107085266.unknown _1107083553.unknown _1105358574.unknown _1105358668.unknown _1105358678.unknown _1105358681.unknown _1105358687.unknown _1105358676.unknown _1105358665.unknown _1105358528.unknown _1105358547.unknown _1105358138.unknown _1105355513.unknown _1105355846.unknown _1105357131.unknown _1105357816.unknown _1105358089.unknown _1105357754.unknown _1105357177.unknown _1105356795.unknown _1105357092.unknown _1105356749.unknown _1105355628.unknown _1105355787.unknown _1105355545.unknown _1105281367.unknown _1105281446.unknown _1105355290.unknown _1105281445.unknown _1089008094.unknown _1089008154.unknown _1030290870/ole-[42, 4D, 7E, A5, 01, 00, 00, 00]
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