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exercicio de revisão AV1

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REVISÃO DE MATEMÁTICA
Prof. Marcone Soares
1) Exercício:
A função demanda de um produto é p =10 – x,e a função custo total é dada por C = 20 - x . Vamos obter:
a) Receita e o preço que a maximiza
b) Se a receita é R$ 200,00, qual é o valor de x?
c) A função lucro e o preço que a maximiza.
d) O gráfico das funções receita .Faça também o gráfico das funções custo e receita num mesmo sistema destacando os principais pontos.
e) Dê o intervalo de validade das funções receita e lucro.
f) Dê o intervalo de crescimento e decrescimento das funções receita e lucro
g) Estude o sinal da função receita.
REVISÃO
2) Conjuntos Numéricos
a) Naturais: NI = {0, 1, 2, 3, 4, .......}
NI*={1, 2, 3, 4, ...}
Obs. a) 2 + 4 = 6 b) 3 x 4 = 12 c) 4 – 10 = ?????
b) Inteiros: Z = {...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}
Subconjuntos de Z:
i) 
= {...-4, -3, -2, -1, 0} 
 conjunto dos números inteiros não positivos;
ii) 
= {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 conjunto dos números inteiros não negativos;
iii) 
= {...-4, -3, -2, -1,} 
 conjunto dos números inteiros estritamente negativos;
IV) 
= {...+4, +3, +2, +1,} 
 conjunto dos números inteiros estritamente positivos;
Obs. a) 10 – 6 = 4 b) 4 - 6 = -2 c) 
 d) 
 
c) Racionais: São todos os números que podem ser escrito em formas de fração com numerador e denominador números interiros.
Simbolicamente: 
Exemplos:
a) 2
Q, pois 2 = 
 b) 
 c) 
Obs.Toda fração com representação decimal finita ou representação infinita e periódica (dízima periódica) são números racionais.
Exemplos:
a) 
= 0,75 ; 
 = 0,5; 
= -0,6.
b) 0,33333......= 
; 0,5222222....= 
Exercícios:
1) Escrevam na forma de fração as decimais exatas:
a) 0,4 b) 2,53, c)1,75 d) 2, 127
2) Escreva sob forma de fração as dízimas:
a) 0,6666....., b) 0,522222....., c) 2,1232323........ 
d) Irracionais: Designamos por I o conjunto de todos os números irracionais. São todos aqueles que não são racionais, ou seja, não pode ser escrito em forma de fração com numerador e denominador números inteiros.
Exemplos: 
 raiz de todos os números primos
 = 3,1416592654....
 2,71.....
e) Reais: A união do conjunto dos racionais com o dos irracionais dá origem a um conjunto chamado de conjunto dos números reais, indicado por R. 
Assim: R = Q U I. 
Representação geométrica dos números reais.
 
 O 
 
 
 
 
Se, 
 > 
, então 
é representado à direita de 
 .
3) Intervalos Numéricos
Chama-se de intervalo numérico a qualquer subconjunto de números reais 
Sejam a e b números reais tais que a < . Definimos:
a) Intervalo aberto: é o conjunto de números reais entre a e b (exclusos os extremos a e b), indicado por:
Intervalo Representação geométrica
]a,b[ = {x
R/ a < x < b } ; R
 a b 
b) Intervalo fechado: é o conjunto de números reais entre a e b (inclusos os extremos a e b), indicado por:
[a,b] = {x 
 R/a 
 x 
 b}; ● ● R
 a b
c) Intervalo semi-aberto à direita: é o conjunto dos números reais entre a e b, incluindo a e excluindo b, indicado por:
[a,b[ = {x 
R/a 
 x < b}; ● ○ R
 a b
d) Intervalo semi-aberto à esquerda: é o conjunto dos números reais entre a e b, excluindo a e incluindo b, indicado por:
 R
]a,b] = {x 
R/a 
 x < b}; ● 
 a b
e) Intervalos Infinitos: 
 R
]a,+ 
[ = {x 
 R/ x > a} ○
 a
 	R
[a,+ 
 [ = {x 
 R/ x 
 a} ● 
	a	R
]-
,a] = {x 
 R/ x 
 a } ● 
 a	 R
]-
,a [ = {x 
 R/ x < a} ○
 a
EXERCÍCIOS
1) Dados os intervalos A = [0,3] e B = ]1,5[,. Represente graficamente e efetue:
A U B, A 
 B, A – B , B – A, R – A
2) Se, A = ]-2,1], B = [1,4] e C = [0,+ 
[, efetue as operações indicadas:
A U B, B U C, B 
 C, B – A, C – A e AU B U C.
4) VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO REAL´
Considere a reta real:
	 R
Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto.
Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos l4l = 4
Da mesma forma, a distância do ponto -2 à origem é 2, ou seja, o módulo de -2 é 2, pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim: l-2l = 2
Outros exemplos: l3l = 3 l-7l = 7 l0l = 0 l-1l = 1
Vamos generalizar: Qual é o módulo de um número qualquer x?
lxl = ?
A resposta é: depende!
Pelos exemplos, podemos observar que, se x for um número positivo, seu módulo é igual a ele mesmo. Porém, se x for um número negativo, a distância não pode ser negativa, logo devemos mudar o sinal desse número, ou considerar o seu oposto (o mesmo número de sinal trocado).
Portanto, lxl = x, se x for um número positivo e lxl = -x, se x for um número negativo, pois devemos trocar o sinal do número negativo.
Ou:
	
Propriedades do Módulo
1) lal=l-al, para todo a real
Não é difícil constatar isso. Observe:
l2l= 2 l10l= 10 l-5l= 5 l-2l= 2 l-10l=10 l5l= 5
2) lx2l=lxl2 = x2, para todo x real
Verifiquemos isso para todas as possibilidades de valores de x: positivo, nulo ou negativo.
a) para x = 5 52 = 25 l5l2 = 52 = 25 l52l=l25l= 25 
b) para x = 0 02 = 0 l0l2 = 02 = 0 l02l=l0= 0
c) para x = -3 (-3) 2 = 9 l-3l2 = 32 = 9 (-3) 2l=l9l= 9
Associada a essa propriedade está o fato de que 
CUIDADO! É errado pensar que Isso só é verdadeiro para x ≥ 0.
Veja: Para x = 7
	
Para x = -2
	
3) la . bl = lal.lbl, para quaisquer a e b reais
Veja:
a) a e b positivos
a = 3 e b = 5 
l3 . 5l= l15l= 15 e l3l.l5l= 3 . 5 = 15
b) a e b de sinais opostos
a = -2 e b = 4 
l-2 . 4l= 
 = 8
4) la + bl ≤ lal+lbl, para quaisquer a e b reais
5) lxl 
 0
6) lxl
 x
7) 
 x = a
8) 
 = a 
 
 x = -a
9) 
 
 a 
 x 
- a ou x 
 a 
10) 
 ≤ a 
 -a 
 x 
 a
Exercícios resolvidos
1) Calcular:
a) l6l+ 1 = 6 + 1 = 7
b) l-5l+ 9 = 5 + 9 = 16
c) l-10l- 1 = 10 -1 = 9
d) l-6l- l-2l = 6 - 2 = 4
e) l0,2 - 0,9l= l-0,7l= 0,7
f) 
g) l3 - xl, para x = -3
l3 - xl= l3 - (-3)l= l6l= 6
h) 
Note que . Assim:
	
2) Escrever uma expressão equivalente sem o módulo:
a) lx – 6l, sendo x um número real qualquer
	
b) lx – 6l, com x > 6
Como x > 6, a expressão de dentro do módulo é positiva. 
Logo,nesse caso, lx – 6l= x - 6.
c) lx – 1l+ lx – 3l, com x > 3
Como x > 3, as duas expressões são positivas.
Logo, nesse caso, lx – 1l+ lx – 3l= x - 1+ x - 3 = 2x - 4.
3) Achar os possíveis valores de x, em cada caso:
a) x = l – 1l Resposta: x = 1
b) lxl= 1 Resposta: x = 1 ou x = -1, pois l1l= l-1l= 1
c) lxl= -1 Resposta: x não existe, pois não existe um número tal que seu módulo seja negativo.
d) X2 = 36 Resposta: x = 6 ou x = -6
e) lxl= l-2l Resposta: x = -2 ou x = 2, pois l2l= l-2l= 2l= 8 e l-2l.l4l= 2 . 4 = 8
c) a e b negativos 
 a = -7 e b = -10 e l-7 . (-10)l= l70l= 70 e
l-7l.l-10l= 7 . 10 = 70
Exercícios Propostos:
1) Resolva as equações ou inequações:
a) 
 = 6 b) 
 
10 c) 
 
 12 d) 
 e) 
f) 
 g) 
 h) 
 i) 
 j) l 3xl = l x + 2l
2) Calcule:
a) 
 b) 
3) Resolva a equação: | x| 2 - 10 | x| + 16 = 0.
5) Expressões Algébricas
Expressão é uma forma de demonstrar a resolução de um problema matemático onde envolve uma ou mais operações, por exemplo: 
2 + 5 . (5 + 2) 
- (-5) . 10 – (8 – 5) 
5a + 5b + 10 
Todos os exemplos acima são expressões, sendo que uma delas possui letras, esse tipo de expressão é chamado de expressões algébricas. 
5.1) Cálculo do valor de expressões numéricas
Exercícios:
Calcule o valor das expressões
a) 
 b) 
 c) 
d) 0,22(11 – 0,3) + 
 e) 
6) Valor numérico de expressões algébricas
Em uma expressão numérica é simples encontrar o seu valor numérico, pois basta resolve-la, veja um exemplo: 
{5 . (-5 + 2)} – 2 = 
{5 . (-3)} – 2 = 
- 15 – 2 = -17
Toda expressão algébrica tem o seu valor numérico, esse valor é encontrado a partir do momento em que temos ou atribuímos valores para as letras. Se em um exercício é pedido para que calcule o valor numérico da expressão algébrica 2x2y é preciso que saibamos ou atribuímos valores para as letras x e y. 
Então vamos supor que na equação 2x2y, os valores das letras seja x = -2 e y = 1, agora substituindo esses valores, chegaremos em um valor numérico. 
2x2y par x = 2 e y = 1, temos
2 . (-2)2 . 1 = 2 . 4 . 1
Outro exemplo: 
 para x = -2
7) PRODUTOS NOTÁVEIS
Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.
1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. 
( a + b ).( a – b ) = a² - b² 
 2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. ( a + b )² = a² + 2ab +b² 
 3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. 
 ( a – b )² = a² - 2ab + b² 
   Existem muitas outras fórmulas: 
   ( a + b )³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³ 
   (a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³
8) Fatoração
Principais tipos de fatoração
Fator comum em evidência : 
Agrupamento : 
Trinômio quadrado perfeito : 
Diferença de dois quadrados : 
Soma de dois cubos : 
Diferença de dois cubos : 
Diferença de potências: 
Exercícios
1) Simplifique a expressão
a) b) (a + 1)2 + 2 (a + 1) + 1 c) x2 - 4x + 4 + 3 (x - 2) (x + 1)
d) x2 + 9)2 - 36x2 e) x2 + 6x + 9 f) x4 - y4 g) a2 + ba + 2a + 2b
h) 3xy + 3 - x - 9y i) abd - abe + acd – ace
2) Efetue o produto (x - y). (x + y). (x2 + y2).
3) O valor da expressão para a = 3,7 e b = 2,9 é:
4) Se x = + 1, calcule x2 - 2x + 1.
5) Desenvolva (5x - 2y)2
6) Simplifique .
7) Simplifique a expressão E = 
8) Fatore, colocando os fatores comuns em evidência:
Exemplos:
ax+2a  =  a(x+2)
a²-b² = (a+b)(a-b)
a² - 4ab + 4b² = (a-2b)²
2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1)
a) 3ax-7ay b) x³ -x² + x c) x³y² + x²y² + xy² d) a²b² - ab³ 
e) a² + ab + ac + bc f) x² - b² g) x²-25 h) (x²/9 - y²/16) 
 i) x² + 4x + 4 j) a² + 6ab + 9b² l) 144x²-1 m) ab + ac + 10b + 10c 
n) 4a² - 4 o) x³y - xy³ p) x² + 16x + 64 q) 2x² + 4x + 2.
9) Calcule os produtos notáveis:
a) (a+2)(a-2) b) (xy+3z)(xy-3z) c) (x²-4y)(x²+4y) 
d) e) (x+3)² f) (2a-5)² g) (2xy+4)² 
h) i) (x+4)³ j) (2a+b)³ l) (a-1)
9) Potenciação e radiciação
Definição de Potenciação
A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 
pode ser indicado na forma 
. Assim, o símbolo 
, sendo a um número inteiro e n um número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a:
a é a base;
n é o expoente;
o resultado é a potência.
Por definição temos que: 
Exemplos:
CUIDADO !! 	
Cuidado com os sinais.
Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:
Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo:
Ex. 1: 
			
�� EMBED Equation.3 
Se 
, qual será o valor de “
”?
Observe:	
, pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.
 	→ os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x.
	
Propriedades da Potenciação
A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades:
Ex. 1. 
Ex. 2. 
Ex. 3. 
 ( neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes.
	
Obs.:	Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos. Assim:
 ou 
 Exemplo:	
Ex. 1 
Ex. 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
 ou 
 Exemplo:	
Ex.1 
Ex. 2 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
 
 ou 
 Ex.:	
d)
�� EMBED Equation.3 
Ex. 1 
Ex. 2 
Ex. 3 
Ex. 4 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
 ou 
 Ex.:	
d) 
Ex. 
Ex. 2 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
 ou 
 Ex.:	
e) 
Ex. 1 
Ex. 2 
Ex. 3 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
 ou 
 Ex.:	
Exercícios
Calcule:
1) 23 2) (-2)3 3) 2-5 4) 
 5) 
 6) 
7) 
 8) 
 9) 
 10) 
10) Equação do Primeiro grau
Definição
É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados em seus domínios.
Exemplos: a) 3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita.
b) 3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita.
Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois os valores das incógnitas são desconhecidos.
Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é equação do primeiro grau, como toda equação que satisfaça a forma: ax + b = 0 onde, a e b , são as constantes da equação, com a ≠ 0 (diferente de zero)
Observe 4x + 10 = 1, a = 4 e b = 10 as constantes (4,10) 
Exemplo de fixação:
a) x + 2 = 6 » x = 6 – 2 = 4 S {4} 
Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade já informada em tutoriais anteriores: ax + b = 0 » ax = - b , logo x = -b/a
Obs.: É possível transformar uma equação em outra que seja equivalente à primeira, porém esta segunda na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível somar ou subtrair, multiplicar ou dividir um mesmo número, que seja diferente de zero (≠0), aos membros da equação dada no problema.
Resolução de uma equação do 1º grau
Resolver uma equação do primeiro grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de formacorreta a raiz da equação.
Na forma simples de entender a solução de equação do primeiro grau, basta separar as incógnitas dos números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de um lado da igualdade e do outro lado as constantes.
Exercícios
Resolver as equações em R:
a) 18x - 43 = 65 b) 23x - 16 = 14 - 17x c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4
f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2 g) 
 h) 
i) 
 j) 
11) Equação do Segundo grau
Chama-se de equação do segundo grau a toda equação da forma:
ax2 + ax + c = 0, onde a, b e c são números reais e c 
 0.
Exemplos:
a) 2x2 – 2x + 3 = 5, equação completa, onde a =2, b = -2 e c = 3.
b) –x2 + 3x = 2, equação incompleta, onde a -1, b = 3 e c = 0.
c) x2 – 9 = 0, equação incompleta, onde a = 1, b = 0 e c = -9.
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau incompleta:
x² - 9 = 0  »  x² = 9  »  x=  »  x= 
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau incompleta:
x² - 9x = 0 »  Basta fatorar o fator comum x
x(x - 9) = 0  »  x= 0 ou x = 9
3º caso: b=c=0
2x² = 0  » x = 0
Solução de uma equação completa do segundo grau
Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara
, onde 
.
Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x² - 7x+ 2 = 0 a=3, b=-7 e c=2
 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 
Substituindo na fórmula:
= 
 e   
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: 
2) -x²+ 4x – 4 = 0 a=-1, b=4 e c=-4
= 4² - 4(-1)(-4) = 16-16 = 0 
Substituindo na fórmula de Bháskara:
 �
 Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( ) 
3) 5x² - 6x+5 = 0
a=5 b=-6 c=5 = (-6)²(-4).5.5 = 36-100 = - 64 
 Note que < 0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo: » vazio 
Propriedades:
  
	  
	 Duas raízes reais e diferentes
	  
	 Duas raízes reais e iguais
	  
	 Nenhuma raiz real
Relações entre coeficientes e raízes
  
	
	
Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0 Solução Sendo a=1, b=-4 e c=3:
      
b) 2x² - 6x - 8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8
   
c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:
   
Exercícios
Resolver as seguintes equações em R
a) 3x² - 7x + 2 = 0
b)-x² + 3x – 4 = 0
c) -x² + 3/2x + 1 = 0
d) x² - 4 = 0
e) 3x² = 0
f)  Onde 
g)    e 
h) 5x2 - 3x - 2 = 0
i) 3x2  + 55 = 0
j) x2 - 6x = 0
l) x2 - 10x + 25 = 0
m) x2 - x - 20 = 0
n) x2 - 3x -4 = 0 
o) x2 - 8x + 7 = 0
p) Determine o valor da incógnita x. x² - 3ax+ 2a² = 0
Resolução de equações biquadradas
Equação biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
  
	 onde   
Exemplo: Resolva a equação .
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�PAGE �1�
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