Prova Deivson Sales 2017.1 UPE 2EE + gabarito

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ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1 Avaliação: 2ª Data: 10/07/2017 
Professor: Deivson Sales Semestre: 2017.1 Turma: HT 
Nome: 
 
Instruções: 
1. A pontuação de cada resposta se encontra apresentada na questão. 
2. O aluno que chegar após alguém ter entregado a avaliação, não poderá mais respondê-la. 
3. A avaliação deve ser respondida com o uso de caneta azul ou preta. 
4. Não permitida consulta a nenhum material didático. 
5. Não é permitido o uso de calculadora ou aparelho celular durante a avaliação. 
6. O aluno pego trocando respostas, terá sua avaliação recolhida e zerada. 
 
1) Se uma bola for atirada verticalmente para cima com velocidade de 100 𝑚/𝑠, então sua altura depois de 𝑡 segundos 
é representada pela equação: 𝑠 = 100𝑡 − 10𝑡2. 
a) (0,5 pts.) Qual a altura máxima atingida pela bola? 
b) (0,5 pts.) Qual a velocidade instantânea da bola quando ela atinge o solo? 
c) (0,5 pts.) Qual a aceleração instantânea da bola 4 𝑠 após o lançamento? 
 
2) (1,5 pts.) Determine os pontos extremos, máximo e mínimo absoluto, estude a concavidade e esboce o gráfico da 
função. 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 4𝑥3 − 12𝑥2 + 5, sendo − 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 
 
3) Determine os limites das funções: 
 
a) (0,5 pts. ) lim
𝑥→13
ln(𝑥 − 12)
𝑥 − 13
 
 
b) (1,0 pt. ) lim
𝑥→0
sen(𝑥) − tg(𝑥)
𝑥3
 
 
4) (1,5 pts.) Determine o retângulo de área máxima inscrito em um semicírculo de raio 𝑅, de forma que um de seus 
lados esteja sobre o diâmetro. 
 
5) Calcule as integrais indefinidas: 
 
a) (1,0 pt. ) ∫ [−5𝑥3 sec(𝑥4) tg(𝑥4) +
8
√1 − 𝑥2
+
9 sen(3𝑥 + 1)
1 + cos(3𝑥 + 1)
+
2(𝑥7 − 3𝑥5)
𝑥6
] 𝑑𝑥 
 
b) (1,0 pt. ) ∫ cotg2(𝑥) cossec4(𝑥) 𝑑𝑥 
 
c) (1,0 pt. ) ∫ 5 cos(5𝑥) sen(6𝑥) 𝑑𝑥 
 
d) (1,0 pt. ) ∫ 𝑒9𝑥 cos(2𝑥) 𝑑𝑥 
 
GABARITO – CÁLCULO1 – 2ª AVALIAÇÃO – 2017.1 
1) 
a) 
𝑠(𝑡) = 100𝑡 − 10𝑡2 ⇒ 𝑠′(𝑡) = 100 − 20𝑡 ⇒ 𝑡𝑚𝑎𝑥 = 5 
𝑠(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 100(5) − 10(5)
2 ⇒ 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 250 
b) 
No solo 𝑠 = 0, então 100𝑡 − 10𝑡2 = 0, assim: 
𝑡(100 − 10𝑡) = 0 ⇒ 𝑡 = 0 (bola sai do solo) ou 𝑡 = 10 (bola volta ao solo) 
𝑣instântanea(𝑡) = 𝑠
′(𝑡) = 100 − 20𝑡 
𝑣instântanea(𝑡 = 10) = 𝑠
′(𝑡 = 10) = 100 − 20(10) = −100 
c) 
𝑎instântanea(𝑡) = 𝑠
′′(𝑡) = −20 
𝑎instântanea(𝑡 = 4) = 𝑠
′′(𝑡 = 4) = −20 
2) 
Pontos extremos: 
𝑓′(𝑥) = 0 ⇒ 12𝑥3 − 12𝑥2 − 24𝑥 = 𝑥(𝑥2 − 𝑥 − 2) = 0 ⇒ 𝑥 = {−
0
1
2
 
Pontos de inflexão: 
𝑓′′(𝑥) = 0 ⇒ 36𝑥2 − 24𝑥 − 24 = 0 ⇒ 𝑥 =
{
 
 
 
 1
3
+
√7
3
1
3
−
√7
3
 
Concavidade: 
𝑓′′(𝑥 = 0) = 36(0)2 − 24(0) − 24 = −24 < 0 ⇒ concavidade para baixo ⇒ ponto de máximo 
𝑓′′(𝑥 = −1) = 36(−1)2 − 24(−1) − 24 = 36 > 0 ⇒ concavidade para cima ⇒ ponto de mínimo 
𝑓′′(𝑥 = 2) = 36(2)2 − 24(2) − 24 = 72 > 0 ⇒ concavidade para cima ⇒ ponto de mínimo 
Tabela: 
𝒙 𝒇(𝒙) Condição 
−1 0 Ponto de mínimo 
0 5 Ponto de mínimo 
1/3 + √7/3 −13,36 Ponto de inflexão 
1/3 − √7/3 2,32 Ponto de inflexão 
2 −27 Ponto de mínimo absoluto 
4 325 Ponto de máximo absoluto 
 
 
Gráfico: 
 
3) 
a) 
lim
𝑥→13
ln(13 − 12)
13 − 13
=
0
0
⇒ lim
𝑥→13
[ln(𝑥 − 12)]′
[𝑥 − 13]′
= lim
𝑥→13
1
𝑥 − 12
 
lim
𝑥→13
1
13 − 12
= 1 
b) 
lim
𝑥→0
sen(0) − tg(0)
03
=
0
0
⇒ lim
𝑥→0
[sen(𝑥) − tg(𝑥)]′
[𝑥3]′
= lim
𝑥→0
cos(𝑥) − sec2(𝑥)
3𝑥2
 
lim
𝑥→0
cos(0) − sec2(0)
3(0)2
=
0
0
⇒ lim
𝑥→0
[cos(𝑥) − sec2(𝑥)]′
[3𝑥2]′
= lim
𝑥→0
−sen(𝑥) − 2 tg(𝑥) sec2(𝑥)
6𝑥
 
lim
𝑥→0
−sen(0) − 2 tg(0) sec2(0)
6(0)
=
0
0
⇒ lim
𝑥→0
[− sen(𝑥) − 2 tg(𝑥) sec2(𝑥)]′
[6𝑥]′
 
= lim
𝑥→0
−cos(𝑥) − 6 sec4(𝑥) + 4 sec2(𝑥)
6
= −
1
2
 
4) 
 
A área do retângulo é dada por: 𝐴 = 𝑎𝑏 
Temos que: (𝑎/2)2 + 𝑏2 = 𝑅2 ⇒ 𝑎 = 2√(𝑅2 − 𝑏2) ⇒ 𝐴 = 2𝑏√(𝑅2 − 𝑏2) 
No máximo da área, temos que 𝐴′(𝑏) = 0, portanto: 
-1 1 2 3 4
-30
-20
-10
10
x
y
𝐴′(𝑏) =
2(𝑅2 − 2𝑏2)
√𝑅2 − 𝑏2
= 0 ⇒ 𝑅2 − 2𝑏2 = 0 ⇒ 𝑏 =
𝑅
√2
 
Assim, 
𝑎 = 2√𝑅2 − 𝑏2 = 2√𝑅2 −
𝑅2
2
⇒ 𝑎 = √2𝑅 
Como 𝑥 = 𝑦, então o retângulo de maior área é um quadrado. A maior área tem valor: 
𝐴max = 𝑎𝑏 = 𝑅
2 
5) 
a) 
𝐹(𝑥) = −
5
4
sec(𝑥4) + 8 arcsen(𝑥) − 3 ln|1 + cos(3𝑥 + 1)| + 𝑥2 − 6 ln|𝑥| + 𝐶 
b) 
𝐹(𝑥) = −
1
3
cotg3(𝑥) −
1
5
cotg5(𝑥) + 𝐶 
c) 
𝐹(𝑥) =
5
2
[−
cos(11𝑥)
11
− cos(𝑥)] + 𝐶 
d) 
𝐹(𝑥) =
𝑒9𝑥
85
[2 sen(2𝑥) + 9 cos(2𝑥)] + 𝐶