5 Balanço de Energia exercícios6

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Elementos e Mecânica dos Fluídos 
 
 Alessandro Mazza alessandromazza@uol.com.br
Exemplo: O tanque da figura descarrega água à atmosfera pelo tubo indicado. Sendo o tanque 
de grandes dimensões e o fluído considerado perfeito, determinar a vazão em volume de água 
descarregada se a área da seção do tubo é . 210cm
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2
2
210 10
Q v A
mQ
s
cm
= ×
= ×( ) ( )
( )
1 2
2 2
1 21 2
1 2
2
1
2 2
2
v vP P
g g
v
m
g
=
+ + = + +γ γ
+
H H
2
4
1
10
m×Z Z
2cm
3m
2 0,01Q = 3m
1000
1s
× l
2 10Q s= l
5 1
aberto p/ atm
volume cte
P+ γ123 {
2
aberto
p/ atm
Z= {
( )22 2
P.H.R.
2
v P
g
+ + γ{
( )
aberto
p/ atm
2
2
2 2
2
5
2
5 20
10
v
m
g
mv m
s
v m s
=
= ×
=
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 Alessandro Mazza alessandromazza@uol.com.br
5.1 – A bomba da figura recalca 84 sl de água. Um manômetro diferencial acusa um desnível 
de 20 . Determinar a potência da bomba em cv se seu rendimento é 70%. cmHg
Dados: 
2
31000H O kgf mγ = ; 313.600Hg kgf mγ = . 
 
 
 
 Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1
2
0,37 2
e B s
e se s
e B s
s e s e
B s e
s e
H H H
v vP PZ
g g
v v P PZ
g
m
+ =
+ + + = + +γ γ
⎛ ⎞− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ γ⎝ ⎠⎝ ⎠
− =
= = l
Z H
H Z
Z Z
 
 
 
 
Equação da continuidade
84e s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q Q
31
1000
m
s
×
l
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3
2
3 3
2
2 2 2
2
3 3
2
3 3
2
2 2 2
2
84 10
84 10
4
84 10 1,71
0,25
4
1,71
0,15
2 20 2
84 10
4
84 10 4,75
0,15
4
4,75
1,13
2 20 2
e s
e
e e e e
e e
e e
e e
s
s
s s
s s
s s
m s
Q m sA v
A D
m s m s
m
v m s v
m
g m s g
Q m sv
A D
m sv v m s
m
v m s v
m
g m s g
−
−
−
−
−
= = ×
×= × ⇒ = = π×
×= ⇒ =π×
= ⇒ =
×= = π×
×= ⇒ =π×
= ⇒ =
( ) ( )
( )2
desce sobe
Equação manométrica
partida chegada
H O x
h h
Pe
+ ∑ γ × − ∑ γ × =
+ γ
14243 14243
( ) ( ) ( )2 2Hg h H O h H O x+ γ − γ − γ ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 22
2 2
2
1
13.600
0,2
H O Z
Hg h H O h H O Z
Hg H O H OH O Z
Hg
H O H O
H O
Ps
Ps Pe
Ps Pe h
Ps Pe h Z
Ps kgPe m
Δ
Δ
Δ
− γ =
γ − γ − γ = −
− = × γ − γ − γ ÷γ
⎛ ⎞γ− = × − − Δ⎜ ⎟⎜ ⎟γ γ⎝ ⎠
− = ×γ
3m
1.000 kg 3m
2
1 0,37
2,15 . .
H O
m
Ps Pe mc a
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠
− =γ
Q Q
Q v
v v
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
0,37 1,13 0,15 2,15
3,5
s e s e
B s e
B
B
v v P PH Z Z
g
H m m m
H m
⎛ ⎞− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ γ⎝ ⎠⎝ ⎠
= + − +
=
m
2
3
Cálculo da potência da bomba
1.000
H O B
B B
B
kgf
Q H
N mNη
γ × ×= ⇒ =
3m384 10−× × 3,5 294
70% 0,7
420
B
B
kgf mm
s sN
g
N
k f
××
⇒ =
= m× 1
75
cv
kgf
×
s m×
s
5,6BN cv⇒ =
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 Alessandro Mazza alessandromazza@uol.com.br
5.17 – Na instalação da figura, o eixo da turbina transmite uma potência de 15cv. Sabendo a 
vazão 20 sl , a pressão na entrada 600 , tendo o tubo de entrada uma seção de área 
 e de saída de , determinar o rendimento da turbina. Desprezar as perdas nos 
condutos entre (1) e (2); 
Pak
210cm 220cm
310.000N mγ = ; 210g m s= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
( ) ( )
( )
1 2 1,2
2 2
1 21 2
1 2 1,22 2
T
T
 
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H H H Hp
v vP PZ H Z Hp
g g
+ = +
⎛ ⎞⎜ ⎟+ + + = + + +⎜ ⎟γ γ
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
2 1 2 1
2 1
enunciado
2T
v v P PH Z Z
g
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⇒ = − + +⎜ ⎟γ⎝ ⎠123
1 1 1
1
1
1
20
Q v A
Q
A
= ×
= =
l
v
31
1000
m
s
×
l
2cm10
3
4
1
10
m×
2cm
1
2 2 2
2
2
2
20
20
s
Q v A
Qv
A
=
= ×
= =
l
v m
31
1000
m
s
×
l
2cm20
3
4
1
10
m×
2cm
2 10v m s=
10.000 NP Ph= γ × ⇒ =2 2
3m
2 2× m
( ) ( )
( )
2
2
2
1 1 1
2 2
2 1 2 1
2 1
2 2
2 2
2 3
20.000
600 Pa 600.000Pa 600.000
2
10 20 20.000 600.000
0 5
20 10.000
5 15 58 78
T
T
T T
P N m
P k P P N m
v v P PH Z Z
g
m m N N
s s m mH m m
m s N m
H m m m H m
⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
⎛ ⎞− −⎜ ⎟= − + +⎜ ⎟γ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= − − − ⇒ = −
Potência trocada com fluído
10T
NN Q H Nγ= × × ⇒ =
3m320 10−× ×4
3m
78 15.600 15.600
15.600
15
T
T T
c
N mm N N J s
s s
N w
N
v
Nη η
×× ⇒ = ⇒ =
=
= ⇒ =
736w×
1cv
15.600w
0,707 70,7%T Tη η⇒ = ⇒ =
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5.19 – Na instalação abaixo, são dados: 
2
2 2 2
1,2 3,40,9 ; 1 ; 87 ; 0 ; 450 ; 10R H O kgf l A cm Hp Hp m Pm kgf m g m sγ = γ = = = = = =
 
Determinar: 
 
a) O sentido do escoamento; 
b) A perda de carga total na 
instalação; 
c) A vazão em massa; 
d) O tipo de máquina; 
e) A potencia no eixo da 
máquina em cv para 
. 80%maqη = . 
 
 
 
 Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 
 
a
( )21
1 1
) sentido do escoamento
2 
 
 
 
 
 
 
 R: Como , escoamento de (3) para (2) ou de 3H H> 2
 (4) para (1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v
g
= +H Z 1 11
volume cte
0,5P PH+ ⇒ = +γ γ123
te: P tmPm P= −
2 2H Z= {
( )22 2
não há
 altura
2
v P
g
+ + γ
( )
{
( )22
2
3 3 0,8 2
ver na figura
3,2
2
v
H m
g
+ − −
⇒ = +
( )
( ) ( )
{
2 2
3 2
 mesmo 
de tubulação
2
3 3
3 3
2 2
2
v v
g g
v PH Z
g
∅
=
= + + γ
64748
( )
{
( )22
3
 3 0,8
ver na figura
3 2
2
v
H m m
g
−
⇒ = + +
1 ano {
2
1
 escala
manométrica 0
3900r H O
Pm P
kgf mγ γ γ
=
∴ =
= × ⇒ γ =
1
450
0,5H = + kgf
2m
kgf900 3m 1
1H m1 ⇒ =
,2
( )24
4 4 2
v
g
= +H Z 4
 volume cte
P+ γ123 {
4
aberto para
 atmosfera
6H m⇒ =
Hp=
) vazão em massa:c
Qm Q Qm Q Qm v A
g g
γ γ= ρ× ⇒ = × ⇒ = × ×
( ) ( )
4 3 4,3
Bernoulli entre 4 3 :e
H H Hp= + ( )
( ) ( )
2
2
2
2 2
6 5,2
2
6 5,2 20 4
enunciado
v
m
g
v v
⇒ = +
= − × ⇒ =
123
b
4,1 4,3
) perda de carga total
3,2 2,1
enunciado
Hp Hp+ +
123
Hp {
enunciado
( ) ( )
( )
3 2 3,2 3,2 3 2
2
2
3,2
Bernoulli entre 3 2 :
5,2
2
e
H H Hp Hp H H
v
Hp m
g
= + ⇒ = −
= + ( )223,2
2
v
m
g
− −
3,2 4,12,0 2,0total
m s
3
Logo:
900kgfQm m= 2 410m s m×
4 287 10s m−× ×
2
3,132utm sQm utm kgf
s m
⎛ ⎞= ⇒ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠
m Hp Hp m= ∴ = =Hp
e
3
3
note:
3,132 0,0348
90
Qm utm s mQm Q Q Q Q
utm m s
= ρ× ⇒ = ⇒ = ⇒ =ρ
T
T 3
) Potência da turbina:
N N
900,8
T T TQ H
kgf
m
η η= × = × γ × ×
= ×
3
0,0348 m×N 0
T
T T
3
1N 75,168
75
N 1,00224 N 1
m
s
kgf m cv
kgf ms
s
cv cv
×
×= × ×
= ⇒ ≅
( ) ( )
4 1 4,1
) Tipo de máquina:
Bernoulli entre 4 1 :
6 1
3 6 3 turbina
d
e
H Hm H Hp Hm
Hm Hm m
+ = + ⇒ + = +
= − ⇒ = − ∴
2
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5.23 – Supondo na instalação abaixo que os reservatórios são de grandesdimensões e sendo 
dados: áreas das seções das tubulações todas iguais a 10cm2, vazão em volume 10Q L s= ; 
pressão 22 0,6P k ; gf c= m
 
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20,8kgf cm= mPm ; Hp0,1 2= ; 310 kgf mγ = 3
 
 
; determinar: 
a) O sentido do escoamento (justificar); 
b) O tipo de máquina (justificar); 
c) A potência trocada entre a máquina e o fluído, em cv; 
d) A energia por unidade de peso dissipada entre as seções 2 e 3. 
 
 
 
 
3 310 10
QQ v A v
A
m−
= × ⇒ =
×
=
1
2410 10 m
s
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
× 
v ( ) 
 
 
10 s=
cm
=
v m
( ) 22100 cm× 
22
0,6 kgf
 
P
 
 
2
2
2
2
1
6000
0,8
m
gf m
kg
m
f
c
=
=
P k
( ) 22100 cm× 
 
Pm 2
2
1
8000
m
Pm kgf m= 2 2H Z= {
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )23
3 3 2
v
H Z
g
= +
volume cte
3
3
6000
1 0
k
P
H m
gf
+ γ
= + +
678
2m
kgf1000 3m 1
3 7H m=
int extPm P P= −{
aP
3
2 3
0
3
8000 1000
tm
Pm P h
Pm h P
kgf kgf
m m
=
= + γ ×
− γ × =
− ( )2 1 1 m× + 3
3 2 2
2
3
8000 2000
6000
P
kgf kgfP
m m
P kgf m
⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎣ ⎦
= −
=
( ) ( )
2 3
R: Escoamento natural de 2 para 3
porque H H>( ) ( )
( ) ( )
( )
{
0 1 0,1 0,1 0 1
0,1
2 3 2,3 2,3 2 3
2,3 2,3
0 3 0,3
2 4
b) Bernoulli entre 0 e 1
2
b) Bernoulli entre 2 e 3
11 7 4
5,5 7 6
7,5 Bomba
m m
m
H H Hp Hp H H
Hp m
H H Hp Hp H H
Hp Hp m
H H H Hp H
H m
+
= + ⇒ = −
=
= + ⇒ = −
= − ⇒ =
+ = + ⇒ + = +
= ∴
3
3m
c) potência trocada
10B
kgfN Q H N= γ × × ⇒ = 10L×
31
s
m×
1000L
7,5
75
kg
m
N
f
⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= m×
s
1
75
cv
kgf
×
m× s
2,3
1
) 4
N cv
d Hp m
⇒ =
=
( )20
0 0
a) sentido do escoamento
2
v
H Z
g
= + 0
volume cte
P+ γ123 {
aberto p/ atm
0
1 1
5,5H m
H Z
=
= {
( )
( )
2
1 1
P.H.R.
2
1
1 2
1
1
2
10
0
20
5
v P
g
m s PH
m s
PH m
+ + γ
= + + γ
= + γ
( )
2
2 2
P.H.R.
2
2 2
2
600010
0
20
v P
g
m s
H
m s
kgf
+ + γ
= + +
2m
kgf1000 3m 1
2 25 6 11H m m H m= + ⇒ =
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5.26 – Sabendo que o rendimento da máquina é de 80%, e a vazão em volume é 4,8L s , 
achar: 
a) O tipo de máquina, considerando , 0BCHp = e 2 31000H O kgf mγ = ; 
b) A potência da máquina em cv; 
c) A potencia trocada com o fluído em cv; 
d) A potência perdida, em cv. 
 
Dados: 2 32,5 ; 10 ; 5000FMh m g m s kgf m= = γ = 
 ( )21
1 1 2
v
 
 Paulo Vinicius Rodrigues de Lima paulo.vini2004@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H Z
g
= + 1
volume cte
P+ γ123 {
aberto para atm
1 20=
=
H m
A AH Z
} ( )
( )
P.H.R. 2
2
2
2
A A
A A
A
v P
g
v P
g
+ + γ
= + γH
4,8
A
A A A
A
QA v
A
= × ⇒ =
=
3 3
b) Potência da máquina 
10
B
B B
B
kgfQ N
mHN η
γ × ×= ⇒ = ( ) 3 34,8 10 m−× ×( ) 10
0,8
60B
s m
N
kgf
×
= m×
Q v
v
L 31
s
m×
1
1000L
1
75
cv
kgf
×220 cm
21m×
4 210 cm
mesmo 
2,4A B m s
∅
= =14243
rnoulli entre B e C :
B m C B CH Hp+ = +
v v
( ) ( )
,
Be
H H
( )
ENUNCIADO
m C B
m C B
H
Z
= −
= −
123
H H
H Z ( ) ( )
2 2
MESMA COTA
2 2
C Bv v
g g
⎡ ⎤+ ⎢ − ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦14243
MESMO 
C B
C B
m
P P
P P
∅
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟γ γ⎝ ⎠
⎛ ⎞= −⎜ ⎟γ γ⎝ ⎠
144424443
H
( ) ( )
( )2
Equação manométrica entre B e C
C H O y+ γ ×P h ( ) ( ) ( )2 2H O FM FM H O yh h h+ γ × − γ × − γ × ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 2 2
5000
1 2,5
B C H O FM FM B
FM H OC B
C B FM FM H O C B FM H O
H O H O
C B C BFM
H O H O H O
P P h h P
hP Ph h P P h
P P P P kgh m
f
= ⇒ + γ × − γ × =
γ − γ−− = γ × − γ × ⇒ − = γ − γ ⇒ =γ γ
⎛ ⎞− −γ= − ⇒ = ×⎜ ⎟⎜ ⎟γ γ γ⎝ ⎠
P P
3m
1000 kgf 3m 2
1 10 BombaC B
H O
P PHm m
⎛ ⎞ −⎜ ⎟− ⇒ = = ∴⎜ ⎟ γ⎝ ⎠
s m×
s
0,8 BN cv⇒ =
3
c) Potência trocada com o fluído
1000B
kgfN Q H N
m
= γ × × ⇒ = 3
3
4,8 10 m−
⎛ ⎞× ×⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
10
48
m
s
N
kgf
⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= m× 1
75
cv
kgf
×
s m×
s
0,64N cv⇒ =
dissipada dissipada
d) Potência perdida
0,19BN N N N= − ⇒ = cv