Fisica 2 06 Oscilacoes II

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Oscilações II
Estudo:
● Pêndulo Simples
● Oscilador Forçado
● Ressonância
 
Oscilações - Pêndulo
Considere um corpo de massa m, presso a extremidade livre de um 
fio inextensível de comprimento L, como indicado na figura abaixo.
Quando a massa é removida de seu ponto de 
equilíbrio, deslocando-a de forma ao fio fazer um 
ângulo θ com a vertical, o sistema irá oscilar após 
o corpo ser liberado.
Uma análise das forças atuando 
sobre o corpo é apresentada na 
figura ao lado. O eixo x é a 
trajetória curva que a massa 
descreve e o y ao longo do fio.
No caso do pêndulo, a força peso 
(P) é quem fará o papel da força 
restauradora, ocupada pela força 
elástica no sistema massa-mola.
 
Oscilações - Pêndulo
Mais especificamente a componente x da força peso
Aplicando a 2a Lei do Movimento na direção do 
movimento:
A equação do movimento para o sistema massa-mola:
 
Oscilações - Pêndulo
Isto significa que um pêndulo, em sua forma geral, não executa 
oscilações harmônicas simples, já que a sua força restauradora não é 
da forma:
menos uma constante vezes o deslocamento e sim vezes o ângulo 
que o pêndulo faz com a horizontal, que não é uma grandeza linear.
menos uma constante vezes o deslocamento e sim vezes o ângulo 
que o pêndulo faz com a horizontal, que não é uma grandeza linear.
No entanto, para pequenas oscilações
 
Oscilações - Pêndulo
E a força restauradora fica na forma
O último termo é o deslocamento da massa de seu ponto de equilíbrio 
e se considerarmos o ângulo bem pequeno, o arco de circunferência 
formado pelo deslocamento da massa se aproxima a um 
deslocamento linear
Nesta aproximação a força se torna semelhante a força elástica de 
uma mola
 
Oscilações - Pêndulo
Retornando com esta aproximação para a equação do movimento
Está equação agora é idêntica a do sistema 
massa-mola, amenos nas constante à frente da 
variável x, que será a nova frequência angular.
com 
 
Oscilações - Pêndulo
Portanto, para pequenas oscilações (θ < 5°), um pêndulo simples 
executa oscilações harmônicas simples.
Em se tratando de um movimento oscilatório em um arco de 
circunferência,
A oscilação pode ser escrita pelo ângulo do movimento:
 
Pêndulo – Ex 1
Uma massa de 120g é presa a um fio de 45,0cm, fixada ao teto. Esta massa 
é posta para oscilar, em pequenas oscilações, com um movimento brusco 
impondo à massa uma velocidade inicial de 1,62cm/s. Determine: (a) o 
período de oscilação deste pêndulo;
Dados:
A frequência angular para o pêndulo
 
Pêndulo – Ex 1
(b) o máximo deslocamento deste pêndulo:
No instante inicial, t=0, o pêndulo recebe um impulso de 1,62cm/s 
(c) a fase deste movimento:
Como em t = 0 
… com um movimento brusco impondo 
à massa uma velocidade inicial de 
1,62cm/s …
Aplicando à equação da velocidade em 
t = 0
 
Oscilador Amortecido
Osciladores mecânicos não oscilam indefinidamente pois todos são, 
de alguma forma, amortecidos, parando após algum tempo.
O oscilador abaixo representa um oscilador amortecido, onde o 
amortecimento está explicitado na palheta imersa em um recipiente 
com água.
A força de amortecimento devido ao 
movimento da palheta no fluido, para 
pequenas velocidade pode ser aproximada 
pela equação: 
onde b é uma constante de amortecimento 
que depende da viscosidade do líquido e da 
forma da palheta. b possui unidades de 
quilogramas por segundo.
 
Oscilador Amortecido
Aplicando a 2a Lei do Movimento:
A solução desta equação tem a forma:
onde a frequência angular será dada por
 
Oscilador Amortecido
A figura abaixo mostra a evolução temporal para um oscilador 
fracamente amortecido.
O movimento pode ser visto como um oscilador de amplitude
com a amplitude reduzindo no tempo. 
 
Ressonância
Todo sistema sólido, seja ele um prédio, uma parede, uma estrutura 
metálica, uma ponte, …, possui frequências naturais de vibração, tal 
como um oscilador massa-mola, onde 
e um Pêndulo Simples, onde
ou expressões mais complexas como de uma membrana de um 
tambor ou a estrutura sólida de uma construção.
Chamamos de oscilador forçado quando a estrutura é forçada, por um 
agente externo, a oscilar a uma frequência, geralmente, diferente da 
sua frequência natura.
 
Ressonância
O gráfico a seguir apresenta a amplitude de oscilação em função da 
razão entre a frequência externa e a frequência natura do sistema. 
Na figura a frequência natura foi chamada de ωd (driving frequency)
 
Ressonância
Ressonância pode ser um problema:
 
Ressonância
Ou solução:
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