exercicios de lógica

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Lógica
1- Sejam p e q as proposições “a eleição foi decidida” e “os votos foram contados”, 
respectivamente. Expresse cada uma das proposições abaixo como uma sentença em português.
(a) � (b) � (c) � (d) �
2- Considere que � , � e � são proposições verdadeiras. Quais das seguintes afirmações são 
verdadeiras?
(a) � (b) � (c) � (d) � (e) �
(f) � (g) �
3- Construa a tabela-verdade para cada uma das proposições.
(a) � (b) � (c) �
(d) � (e) �
4- Quais das proposições a seguir são tautologias, quais são contradições?
(a) � (b) � (c) � (c) �
(d) � (e) � (f) �
(g) � (h) �
5- Determine a recíproca, a inversa e a contrapositiva das seguintes implicações.
(a) Se ele é um artista, então ele é pobre. (b) Somente se ela estudar, ela passa no exame.
6- Quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
(a) A inversa de uma implicação � é a contrapositiva da reciproca.
(b) A contrapositiva de uma implicação � é a recíproca da inversa.
(c) A inversa de uma implicação � é a recíproca da contrapositiva.
(d) A recíproca de uma implicação � é a inversa da contrapositiva.
7- Escreva a negação de cada afirmação da forma mais simples possível.
(a) Se ela trabalha, ela é recompensada
(b) Se chove, então ele não sai de casa.
(c) Ela canta se e somente se está feliz.
8- Definimos � (“nem p nem q”) da seguinte forma: � é verdadeira somente se ambas 
proposições � e � forem falsas. Nos demais casos � é falsa. Determine proposições 
constituídas apenas usando o conectivo � que sejam equivalentes a 
(a) � (b) � (c) �
¬p ¬p∧ q ¬p→ ¬q q→ p
p ¬q r
p→ q q→ p p→ (q∨ r) p↔ q p↔ r
p∨ q→ p (p∧ q)→ q
(p∧ q)→ (p∨ q) (p→ q)→ (p→ q) (p→ ¬q)↔ (p↔ q)
(p↔ q)⊕ (p↔ ¬q) (p⊕ q)→ (p⊕¬q)
(p∧¬q)→ (q∨¬p) ¬p→ p ¬p↔ p (p∧¬p)→ p
(p∧¬p)→ q (p∧¬q)↔ (p→ q) (p⊕ q)⊕ (q⊕ p)
((p→ q)↔ r)→ (p→ (q↔ r)) ((p→ q)∧ (q→ r))→ (p→ r)
p→ q
p→ q
p→ q
p→ q
p ↓ q p ↓ q
p q p ↓ q
↓
¬p p∨ q p∧ q
9- Quais das seguintes afirmações são corretas?
(a) � implica logicamente em �
(b) � implica logicamente em �
(c) � implica logicamente em �
(d) � implica logicamente em �
(e) � implica logicamente em �
(f) � implica logicamente em �
(g) � implica logicamente em �
(h) � implica logicamente em �
(i) � implica logicamente em �
(j) � implica logicamente em �
(k) � implica logicamente em �
10- Se a música é boa, ela será pedida várias vezes. A música é boa ou ela tem 3 acordes. No 
entanto, a música não está sendo pedida várias vezes. O que podemos concluir?
11- João corre. Além disso, Maria não é bonita ou Carlos é alto. Carlos não é alto, mas se Cristina 
não canta, então Maria é bonita. O que podemos concluir sobre João e Cristina?
12- Se Dirceu não está preso ou o mordomo mentiu, então ocorreu um crime. O gaúcho não caiu 
do cavalo. Se ocorreu um crime, então o gaúcho caiu do cavalo. O que podemos concluir sobre 
Dirceu e o mordomo?
13- Se Carina é amiga de Carol, então Carmen é cunhada de Carol. Carmen não é cunhada de 
Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Podemos concluir que
(a) Carina é cunhada de Carmen e amiga de Carol
(b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmen
(c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol
(d) Carina é amiga de Carmen e é amiga de Carol
(e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmen
14- O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo e é condição suficiente para 
a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o Conde encontrar a princesa é condição necessária e 
suficiente para o barão sorrir e condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não 
sorriu. Logo:
(a) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa
(b) se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa
(c) o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa
(d) o rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim
(e) o duque saiu do castelo e o rei não foi à caça 
15- Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano ou 
Sicrano ou ambos são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é 
culpado, então Fulano é culpado. Logo: 
(a) Fulano é inocente, Beltrano é inocente e Sicrano é inocente
(b) Fulano é culpado, Beltrano é culpado e Sicrano é inocente
(c) Fulano é culpado, Beltrano é inocente e Sicrano é inocente
(d) Fulano é inocente, Beltrano é culpado e Sicrano é culpado
(e) Fulano é culpado, Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado
p→ (q∨ r) p→ q
p→ q (r ∧ p)→ q
(p∨ q)→ r p→ r
(p→ q)∧¬p ¬q
p↔ q p→ q
p→ q p↔ q
p→ q q
(p∨ q)∧ (¬p∨ r) q∨ r
(p→ q)∧ (q→ r) p→ r
¬p∧ (q→ p) ¬q
p→ (q→ r) q→ (p→ r)
16- Prove que os conectivos � e � constituem um sistema completo de operadores lógicos. O 
mesmo vale para � e � .
17- O conectivo � (nand) é definido de forma que � é sempre verdadeira a não ser que � e 
� sejam ambas falsas. O conectivo � (nor) é definido de forma que � é sempre falsa a não 
ser que � e � sejam ambas falsas. Prove que � , sozinho, constitui um sistema completo de 
operadores lógicos. O mesmo vale para � .
18- Usando os símbolos predicados mostrados e os quantificares apropriados, escreva cada 
sentença na forma simbólica.
� é “x é um juiz" � é “x é um advogado” � é “x é uma mulher”
� é “x é um químico” � é “x admira y”
(a) Existem algumas mulheres advogadas que são químicas.
(b) Nenhuma mulher é advogada e química.
(c) Alguns advogados só admiram juízes.
(d) Todos os juízes admiram apenas juízes.
(e) Apenas juízes admiram juízes.
(f) Todas as mulheres advogadas admiram algum juiz.
(g) Algumas mulheres não admiram advogados.
19- (i) Usando os símbolos predicados mostrados e os quantificares apropriados, escreva cada 
sentença na forma simbólica.
� é “x é uma abelha” � é “x é uma flor” � é “x gosta de y "
(a) Todas as abelhas gostam de todas as flores.
(b) Algumas abelhas gostam de todas as flores.
(c) Todas as abelhas gostam de algumas flores.
(d) Toda abelha só odeia flores.
(e) Apenas abelhas gostam de flores.
(f) Toda abelha só gosta de flores.
(g) Nenhuma abelha gosta só de flores.
(h) Algumas abelhas gostam de algumas flores.
(i) Algumas abelhas gostam apenas de flores.
(j) Toda abelha odeia algumas flores.
(k) Toda abelha odeia todas as flores.
(l) Nenhuma abelha odeia todas as flores.
 (ii) Expresse, em português, a negação de cada proposição do item (i).
20- Se � é “x é bonito”, � é “x é elegante”, � é “x gosta de y “, 
� é “x é um homem”, � é “x é uma mulher”, j é “João”, m é “Maria” , traduza para o 
português cada uma das sentenças abaixo.
(a) �
(b) � 
(c) � 
(d) � 
(e) � 
(f) � 
∧ ¬
∨ ¬
!∧ p !∧ q p
q !∨ p !∨ q
p q !∧
!∨
J(x) A(x) M (x)
Q(x) Ad(x, y)
A(x) F(x) G(x, y)
B(x) E(x) A(x, y)
H (x) M (x)
E( j)∧ A(m, j)
(∀x)H (x)→ E(x)
(∀x)(M (x)→ (∀y)A(x, y)→ H (y)∧ E(y))
(∃x)H (x)∧ E(x)∧ A(x,m)
(∃x)(M (x)∧ B(x)∧ (∀y)A(x, y)→ E(y)∧ H (y))
(∀x)M (x)∧ B(x)→ A( j, x)
21- Determine o valor verdade de cada uma das proposições.
(a) �
(b) � 
(c) � 
(d) � 
(e) � 
(f) � 
(g) � 
(h) � 
(i) � 
(j) � 
(k) � 
(l) � 
(m) � 
(n) � 
(o) � 
(p) � 
(q) � 
(r) � 
(s) � 
(t) � 
22- Quais das proposições a seguir são verdadeiras?
(a) �
(b) � 
(c) � 
(d) � 
(e) � 
(f) � 
(g) � 
23- Para mostrar que “se todo X é Y, então todo Z é W", é suficiente mostrar que 
(a) Todo Z é X e todo W é Y (b) Todo Z é X e todo Y é W (c) Todo X é Z e todo Y é W
 (d) Todo X é Z e algum Y é W (e) Todo Z é X e algum Y é W (f) Todo Z é X e algum Y é W
 (g) Algum X é Z e todo Y é W 
(∀n∈!)(∃m∈!) n2 < m
(∃n∈!)(∀m∈!) n < m2
(∃n∈!)(∀m∈!) nm = m
(∀n∈!)(∃m∈!) n +m = 0
(∀n∈!)(∃m∈!) nm = m
(∃n∈!)(∃m∈!) n2 +m2 = 25
(∃n∈!)(∃m∈!) n2 +m2 = 6
(∃n∈!)(∃m∈!) n +m = 4 ∧ n −m = 1
(∃n∈!)(∃m∈!) n +m = 4 ∧ n −m = 2
(∀n∈!)(∀m∈!)(∃p∈!) p= n +m2
(∀x ∈!)(∃y∈!) x2 = y
(∀x ∈!)(∃y∈!) x = y2
(∃x ∈!)(∀y∈!) xy = 0
(∃x ∈!)(∃y∈!) x + y ≠ y + x
(∀x ∈!) x ≠ 0→ (∃y∈!)xy = 1
(∃x ∈!)(∀y∈!) y ≠ 0→ xy = 1
(∀x ∈!)(∃y∈!) x + y = 1
(∃x ∈!)(∃y∈!) x + 2y = 2∧ 2x + 4y = 5
(∀x ∈!)(∃y∈!) x + y = 2∧ x − y = 1
(∀x ∈!)(∀y∈!)(∃z∈!)z = x + y2
(∃x)A(x)∧ B(x)→ (∃x)A(x)∧ (∃x)B(x)
(∃x)A(x)∨ B(x)→ (∃x)A(x)∨ (∃x)B(x)
[(∀x)A(x)→ (∀x)B(x)]→ (∀x)A(x)→ B(x)
(∃x)(∀y)P(x, y)→ (∀y)(∃x)P(x, y)
(∀x)A(x)∨ (∃x)B(x)→ (∀x)A(x)∨B(x)
[(∀x)A(x)→ B(x)]→ [(∃x)A(x)→ (∃x)B(x)]
[(∀y)Q(x, y)→ P(x)]→ [(∃x)Q(x, y)→ P(x)]
24- Há um astrônomo que não é míope. Todo mundo que usa óculos é míope. Todo mundo usa 
óculos ou lentes. Logo:
(a) Todo astrônomo usa lentes (b) Algum astrônomo usa óculos
(c) Quem usa lentes também usa óculos (d) Quem não é míope é um astrônomo 
(e) Algum astrônomo usa lentes (f) Quem usa lentes não é astrônomo 
25- Todo mundo é espetacular ou sensacional ou incrível.Toda pessoa sensacional mente mais 
que alguém e todo mundo que mente mais que alguém é incrível. Fulano não é espetacular. Logo:
(a) Fulano é sensacional (b) Fulano mente, mas não é sensacional (c) Alguém é incrível
(d) Fulano mente, mas não é incrível (e) Alguém é sensacional
(f) sensacionais mentem mais que incríveis (g) Ninguém é incrível
Técnicas de Demonstrações
26- Mostre que para todos números reais � e � , se � e � então � .
27- Mostre que o quadrado de um número inteiro não divisível por 5, tem resto 1 ou 4 quando 
dividido por 5.
28- Sejam � números reais. Mostre que pelos menos um deles é maior ou igual que a média 
dos três.
29- Mostre que um inteiro positivo � é par se, e somente se � é par.
30- Mostre que um número inteiro positivo � é ímpar se, e somente se, � é ímpar.
31- Mostre que se� é um inteiro impar, então a equação � não tem soluções inteiras.
32- Mostre que se � é um inteiro não divisível por 3, então seu quadrado tem resto 1 quando 
dividido por 3.
33- Mostre que não existem soluções inteiras para a equação � .
34- Mostre que existem 100 naturais consecutivos que não são quadrados perfeitos.
35- Mostre todo inteiro divisível por 2 e por 3 é divisível por 6.
36- Mostre que o algarismo das unidades do quadrado de qualquer inteiro � é 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.
37- Mostre que o algarismo das unidades da quarta potência de qualquer inteiro � é 0, 1, 5 ou 6.
a b a < b b < 0 a2 > b2
x, y, z
n 7n + 4
n 5n + 6
p x2 + x − p = 0
n
x2 + 3y2 = 8
n
n
38- Mostre que se � é um número irracional, então � é irracional. 
39- Mostre que a soma de um número racional com um irracional é irracional.
40- Mostre que o produto de um número racional com um irracional é irracional.
41- "A soma de 2 números irracionais é irracional”. Mostre que esse resultado é falso.
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